前言

第1章  函數

1.1  函數和反函數的表達  1

1.1.1  函數的表達  1

1.1.2  反函數的表達  3

1.2  常用的函數及其圖形  5

1.2.1  冪次函數  5

1.2.2  指數函數  9

1.2.3  對數函數  10

1.2.4  三角函數  12

1.3  小結  22

第2章  向量

2.1  向量的基本概念  23

2.1.1  向量的表示  23

2.1.2  向量的模  24

2.1.3  向量空間  25

2.1.4  單位向量和零向量  26

2.2  向量的簡單運算  26

2.2.1  向量的數乘  26

2.2.2  向量的加法  27

2.2.3  向量的減法  28

2.3  向量的點積運算  30

2.3.1  向量點積的計算  30

2.3.2  向量點積的幾何意義  31

2.3.3  向量點積的用處  33

2.4  向量的叉積運算  34

2.4.1  向量叉積的計算  34

2.4.2  向量叉積的幾何意義  36

2.4.3  向量叉積的用處  38

2.5  小結  42

第3章  行列式

3.1  行列式的表示和簡便計算法  43

3.1.1  行列式的表示  43

3.1.2  簡便計算法  44

3.2  行列式的性質  45

3.2.1  單位矩陣的行列式  45

3.2.2  一行（或列）為0的行列式  46

3.2.3  某兩行（或列）成比例的行列式  46

3.2.4  行列式中的某兩行（或列）互換  47

3.2.5  數乘行列式  48

3.2.6  行列式的某行（或列）倍加另一行（或列）  48

3.2.7  隻有某行（或列）不同的兩個行列式相加  49

3.2.8  上三角矩陣的行列式  51

3.3  用其他方法計算行列式  52

3.3.1  用代數餘子式計算行列式  52

3.3.2  法計算行列式  54

3.4  小結  55

第4章  矩陣及其運算

4.1  理解矩陣  57

4.1.1  矩陣的表示  57

4.1.2  矩陣的用處  58

4.2  矩陣的運算  58

4.2.1  矩陣的加法  58

4.2.2  矩陣的減法  59

4.2.3  矩陣的數乘  59

4.2.4  矩陣的乘法  59

4.2.5  矩陣的轉置  63

4.3  從幾何意義上理解矩陣的運算  66

4.3.1  構成矩陣的向量  66

4.3.2  從幾何意義來理解加法  70

4.3.3  從幾何意義來理解減法  71

4.3.4  從幾何意義來理解數乘  72

4.3.5  從幾何意義來理解乘法  72

4.3.6  從幾何意義來理解線性組合  75

4.3.7  從幾何意義來理解轉置  77

4.4  小結  77

第5章  幾個特殊的矩陣

5.1  單位矩陣  79

5.1.1  單位矩陣的表示  79

5.1.2  單位矩陣的特性  80

5.2  對稱矩陣  81

5.2.1  對稱矩陣的定義  81

5.2.2  對稱矩陣的特性  81

5.3  逆矩陣  83

5.3.1  逆矩陣的定義  83

5.3.2  逆矩陣的特性  83

5.3.3  求逆矩陣  83

5.4  矩陣的初等變換  86

5.4.1  數乘矩陣中的某個行（或列）向量  86

5.4.2  某行（或列）向量數乘後加到另一行（或列）向量  90

5.4.3  兩行（或列）向量互換  93

5.4.4  連續初等變換  96

5.5  行階梯矩陣與矩陣的秩  98

5.5.1  行階梯矩陣  98

5.5.2  矩陣的秩與線性相關  99

5.5.3  滿秩矩陣與奇異矩陣  102

5.6  小結  103

第6章  線性方程組

6.1  線性方程組的表示  104

6.1.1  常見的形式  104

6.1.2  用矩陣和向量來表示  105

6.2  求解線性方程組的方法  105

6.2.1  矩陣向量法  106

6.2.2 &nbs法  107

6.2.3  法求逆矩陣  108

6.2.4  從幾何意義上理解線性方程組的解  109

6.2.5  齊次線性方程組  111

6.2.6  解的情況總結  111

6.3  有無窮個解時的解空間  112

6.3.1  齊次線性方程組的無窮個解  112

6.3.2  非齊次線性方程組的無窮個解  117

6.4  小結  122

第7章  基底與變換

7.1  幾何空間的基底  123

7.1.1  理解基底  123

7.1.2  理解基底的變換  126

7.1.3  用空間圖形理解變換  129

7.1.4  對線性變換的總結  138

7.2  向量空間  140

7.2.1  向量空間的定義  140

7.2.2  子空間  140

7.2.3  列空間  141

7.2.4  零空間  141

7.2.5  行空間  142

7.2.6  左零空間  142

7.2.7  對各種子空間的總結  142

7.3  用空間思維理解線性方程組的解  146

7.3.1  齊次線性方程組的解  146

7.3.2  非齊次線性方程組的解  152

7.4  小結  155

第8章  向量的投影

8.1  向量之間的投影  156

8.1.1  從圖形上理解向量之間的投影  156

8.1.2  計算向量之間的投影  157

◎8.1.3  計算公式的證明  159

8.2  向量對子空間的投影  161

8.2.1  從圖形上理解向量對平面的投影  161

8.2.2  計算向量對平面的投影  162

◎8.2.3  計算公式的證明  163

8.2.4  計算向量對子空間的投影  165

8.3  正交化  165

8.3.1  標準正交向量  165

8.3.2  簡化計算公式  166

8.3.3  找到一組標準正交向量  167

8.4  方程組無解就求近似解  173

8.4.1  子空間的互補和正交關繫  173

8.4.2  求方程組的近似解  174

8.5  用投影的空間思維做線性擬合  178

8.5.1  線性擬合  178

8.5.2  認識誤差  180

8.6  小結  181

第9章  相似變換與相似矩陣

9.1  相似變換  183

9.1.1  向量在不同空間中的坐標  183

9.1.2  理解相似變換和相似矩陣  185

9.2  對角矩陣  189

9.2.1  為什麼要用對角矩陣  189

9.2.2  構造出對角矩陣  190

9.2.3  特征值和特征向量  191

9.3  小結  193

第10章  矩陣的分解

10.1  對稱矩陣  194

10.1.1  對稱矩陣的一個重要性質  194

10.1.2  對稱矩陣的秩  195

10.1.3  對稱矩陣的正定性  195

10.1.4  對稱矩陣的特征值  196

10.2  協方差矩陣與特征值分解  200

10.2.1  理解協方差  200

10.2.2  構建協方差矩陣  202

10.2.3  用協方差矩陣和特征值分解做數據降維  203

10.3  奇異值分解  207

10.3.1  空間變換的相等關繫  207

10.3.2  奇異值分解的通用形式  209

10.3.3  用奇異值分解壓縮數據  209

10.3.4  怎麼求得U、V和∑  210

10.4  小結  213

練習參考答案  214

第1章  函數  214

第2章  向量  215

第3章  行列式  215

第4章  矩陣及其運算  216

第5章  幾個特殊的矩陣  217

第6章  線性方程組  219

第7章  基底與變換  221

第8章  向量的投影  225

第9章  相似變換與相似矩陣  226

第10章  矩陣的分解  227

參考文獻  229

後記  230

我從事計算機軟件開發、大數據技術的研究十幾年了，通過與很多朋友的交流及自身的不斷學習發現，做研究、做開發所有的底層實現還是數學，於是我經常回翻攻讀本碩博時的數學教材。盡管自認為數學底子尚可，還能看懂滿板符號的高等數學圖書，但是，要處理的工作與瑣事繁多，想要連續一段時間靜心深入學習數學也怕是沒那麼容易，時間隻能以碎片化的形式利用起來。目前，市面上很難看到讓人學習起來饒有興趣的數學圖書，這讓我產生了寫作本書的想法。

怎麼纔能讓人對數學感興趣呢？怎麼纔能讓滿板的符號變成好理解、易學懂的知識呢？我認為用空間思維來學習數學是好的做法。在腦海中建立起數學知識的圖像、多維空間，可以讓知識點形像地展現出來，以便更好地理解，而不必死記。

為了讓學習線性代數者可以較好地掌握這門學科，本書寫作時堅持了以下“三用”的特點：

（1）用圖形來表達。空間思維上的一些思考可以借助圖形的方式來表達。為此，我使用了Python編程語言和Visio這兩個工具（通讀本書無需您掌握這兩個工具，但如果您對編程和作圖感興趣，可以和我一起交流探討），將線性代數的知識用圖形的方式表達出來。

（2）用表格來總結。在每一章的小結部分，用表格的形式對該章的核心知識點進行梳理。為了便於讀者理解，有的配備了一句話口訣，有的配備了在空間思維上的說明。

（3）用練習來鞏固。講解完知識點後，馬上就配備例子說明，再給出練習題，並可在書中直接作答，而不必等課後再進行練習。

學習線性代數有一個突出的問題：看到滿板的符號、公式就緊張。其實，不必回避這些符號，而是要形像地理解、學會用這些符號，深入學習後，就能靈活運用各種數學符號。書中帶有符號“◎”的內容為選學內容，不要求掌握。

全書內容共10章，分為3個學習階段。

第1階段：回顧知識並打下空間思維的基礎。第1～2章用來回顧和總結初中、高中為基礎的數學知識，並用圖表結合的方式幫助讀者建立空間思維的基礎。

第2階段：理解計算並在空間中變換。第3～6章從空間思維的角度來看待線性代數裡的計算，解線性方程組時也注重從空間變換的角度來求解問題。

第3階段：加深認識並在空間中思考。第7～10章是初學者學習線性代數相對高級的內容。本書認為基底是線性代數這門學科裡建立空間思維的框架，矩陣的運算就是在空間裡作投影變換、作線性變換，矩陣分解的目的是將復雜的問題簡單化。

由於線性代數這門學科涵蓋的內容十分廣泛，一本書難以全面覆蓋所有的知識點，所以本書的內容沒有涉及較為高階的線性代數知識。但是，學完本書，讀者應當能對線性代數的許多知識點有著更為形像而且深刻的認識，能借助空間思維的力量來思考問題。以後再學習更為高階的知識或開展行業領域的數學應用將會變得更為輕松。

感謝中國水利水電出版社萬水分社副總經理，在我創作本書的過程中，他提出了很多寶貴的建議。感謝我的夫人黃婧女士，為我的創作提供了寬松的家庭環境，否則本書也難以成稿。

本書還受到了湖南省科技創新計劃資助（項目編號：2020RC4025），在此一並表示感謝。

由於本人水平有限，書中疏漏之處在所難免，懇請廣大讀者批評、指正。

作  者