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編輯推薦

《微積分Ⅱ》可供綜合性大學、理工科大學、師範院校作為教材, 也可供相關專業的工程技術人員參考閱讀.

內容簡介

本套書由《微積分Ⅰ》、《微積分Ⅱ》兩《微積分II》組成。《微積分Ⅰ》內容包括極限與函數的連續性、導數與微分、導數的應用、不定積分、定積分及其應用、廣義積分、向量代數與空間解析幾何。在附錄中簡介了行列式和矩陣的部分內容。《微積分Ⅱ》內容函數微分學、二重積分、三重積分及其應用、曲線積分、曲面積分、場論初步、數項級數、冪級數、傅裡葉級數、廣義積分的斂散性的判別法、常微分方程初步等。本套書繼承了微積分的傳統特色，內容安排緊湊合理，例題精練，習題量適難易恰當。
本套書可供綜合性大學、理工科大學、師範院校作為教材，也可供相關專業的工程技術人員參考閱讀。

前言
第5函數微分學
5.函數的極限與連續性
5.1.1 點集基本知識
5.1.函數的概念
5.1.函數的極限
5.1.函數的連續性
習題5.1
5.2 偏導數與全微分
5.2.1 偏導數
5.2.2 高階偏導數
5.2.3 全微分
5.2.4 高階微分*
習題5.2前言
第5函數微分學
5.函數的極限與連續性
5.1.1 點集基本知識
5.1.函數的概念
5.1.函數的極限
5.1.函數的連續性
習題5.1
5.2 偏導數與全微分
5.2.1 偏導數
5.2.2 高階偏導數
5.2.3 全微分
5.2.4 高階微分^*
習題5.2
5.3 復合函數與隱函數的偏導數
5.3.1 復合函數的偏導數
5.3.2 隱函數的偏導數
習題5.3
5.函數的泰勒公式^*
習題5.4
5.向量函數^*
習題5.5
5.6 偏導數在幾何上的應用
5.6.1 空間曲線的切線與法平面
5.6.2 空間曲面的切平面與法線
習題5.6
5.7 極值與條件極值
5.7.函數的極值
5.7.2 最大值與最小值
5.7.3 條件極值
習題5.7
5.8 方向導數
習題5.8
第6章重積分
6.1 二重積分的概念與性質
6.1.1 二重積分的概念
6.1.2 二重積分的性質
習題6.1
6.2 二重積分的計算
6.2.1 累次積分法
6.2.積分法
習題6.2
6.3 三重積分
6.3.1 三重積分的概念與性質
6.3.2 累次積分法
6.3.積分法
習題6.3
6.4 重積分的應用
6.4.1 重積分在幾何上的應用
6.4.2 重積分在物理上的應用^*
習題6.4
6.5 廣義重積分簡介
習題6.5
第7章曲線積分·曲面積分與場論
7.1 第一類曲線積分
7.1.1 第一類曲線積分的概念與性質
7.1.2 第一類曲線積分的計算
習題7.1
7.2 第二類曲線積分
7.2.1 第二類曲線積分的概念與性質
7.2.2 第二類曲線積分的計算
7.2.3 兩類曲線積分之間的聯繫
習題7.2
7.3 格林公式及其應用
7.3.1 格林(Green)公式
7.3.2 平面上第二類曲線積分與路徑無關的條件
習題7.3
7.4 第一類曲面積分
7.4.1 第一類曲面積分的概念與性質
7.4.2 第一類曲面積分的計算
習題7.4
7.5 第二類曲面積分
7.5.1 第二類曲面積分的概念與性質
7.5.2 第二類曲面積分的計算
習題7.5
7.6 高斯公式與斯托克斯公式
7.6.1 高斯(Gauss)公式
7.6.2 斯托克斯(Stokes)公式
習題7.6
7.7 場論初步
7.7.1 場的概念
7.7.2 數量場·等值面·梯度
7.7.3 向量場的流量與散度
7.7.4 向量場的環流量與旋度
7.7.5 有勢場
習題7.7
第8章無窮級數
8.1 常數項級數
8.1.1 常數項級數的概念
8.1.2 收斂級數的基本性質
習題8.1
8.2 正項級數
習題8.2
8.3 任意項級數
8.3.1 交錯級數
8.3.2 絕對收斂與條件收斂
習題8.3
8.4 函數項級數
8.4.1 函數項級數的收斂與一致收斂
8.4.2 一致收斂級數的性質^*
習題8.4
8.5 冪級數
8.5.1 冪級數的收斂半徑
8.5.2 冪級數的性質
習題8.5
8.6 泰勒級數
習題8.6
8.7 廣義積分的斂散性
8.7.1 無窮限廣義積分斂散性判別法
8.7.2 無界函數廣義積分的斂散性判別法
8.7.3 *函數與B函數
習題8.7
第9章傅裡葉級數
9.1 三角級數·三角函數繫的正交性
習題9.1
9.2 函數展開成傅裡葉級數
習題9.2
9.3 任意周期的周期函數的傅裡葉級數
習題9.3
第10章常微分方程初步
10.1 微分方程的基本概念
10.2 一階微分方程的初等解法
10.2.1 變量分離方程
10.2.2 可化為變量分離方程的類型
習題10.2
10.3 一階線性微分方程
習題10.3
10.4 全微分方程與積分因子
10.4.1 全微分方程
10.4.2 積分因子
習題10.4
10.5 解的存在唯一性定理^*
10.6 高階微分方程
10.6.1 可降階的高階微分方程
10.6.2 二階線性微分方程
10.6.3 二階線性常繫數微分方程
10.6.4 歐拉方程^*
習題10.6
10.7 微分方程應用舉例^*
習題10.7
參考文獻
附錄部分習題參考答案

在線試讀

第函數微分學

在前面幾章中 ,我們討論的函數是隻有一個自變量的函數函數 ,研究函數的微積分 .但在現實問題中 ,常常出現一個變量依賴於兩個或兩個以上變量的情形 ,這函數 .因此函數的微積分推函數的微積分是必要的 ,也是自然的 .本章函數及其微分函數的積分學則留到下面的章節討論.

5函數的極限與連續性

5.1.1點集基本知識

為了函數 ,我們需要先介紹 n維空間 Rn中點集的基本知識 .首先我們把距離及鄰域的概念推廣到 n維空間.設 P1(a1,a2, ,an),P2(b1,b2, ,bn) ∈ Rn ,我們用

表示兩點 P1,P2間的距離 .定義 5.1.1 (鄰域)設 P0 ∈ Rn , δ> 0,點集

Nδ(P0)= { P | P ∈ Rn ,ρ(P, P0) 0,使得 Nδ(P0) . G,則稱 P0是 G的內點 . G的內點的集合稱為 G的內部 ,記為G.

(2)若 P0 ∈ G,且存在 δ> 0,使得 Nδ(P0)G = .,則稱 P0是 G的外點 . G的外點的集合稱為 G的外部 .

(3)若 P0 ∈ Rn ,且對任意的 δ> 0, Nδ(P0)中既有點屬於 G,又有點不屬於 G,則稱 P0是 G的邊界點 . G的全部邊界點的集合稱為 G的邊界 ,記為G.
第函數微分學

在前面幾章中 ,我們討論的函數是隻有一個自變量的函數函數 ,研究函數的微積分 .但在現實問題中 ,常常出現一個變量依賴於兩個或兩個以上變量的情形 ,這函數 .因此函數的微積分推函數的微積分是必要的 ,也是自然的 .本章函數及其微分函數的積分學則留到下面的章節討論.

5函數的極限與連續性

5.1.1點集基本知識

為了函數 ,我們需要先介紹 n維空間 Rn中點集的基本知識 .首先我們把距離及鄰域的概念推廣到 n維空間.設 P1(a1,a2, ,an),P2(b1,b2, ,bn) ∈ Rn ,我們用

表示兩點 P1,P2間的距離 .定義 5.1.1 (鄰域)設 P0 ∈ Rn , δ> 0,點集

Nδ(P0)= { P | P ∈ Rn ,ρ(P, P0) <δ }

稱為點 P0的δ鄰域 ,簡稱鄰域 .點集

N.δ(P0)= Nδ(P0)\\{P0}

稱為點 P0的去心 δ鄰域 ,簡稱去心鄰域 .下面我們給出 n維空間中內點、外點、邊界點、聚點以及開集和閉集的概念 .定義 5.1.2 (內點,外點,邊界點,聚點)設 G . Rn ,

(1)若 P0 ∈ G,且存在 δ> 0,使得 Nδ(P0) . G,則稱 P0是 G的內點 . G的內點的集合稱為 G的內部 ,記為G.

(2)若 P0 ∈ G,且存在 δ> 0,使得 Nδ(P0)G = .,則稱 P0是 G的外點 . G的外點的集合稱為 G的外部 .

(3)若 P0 ∈ Rn ,且對任意的 δ> 0, Nδ(P0)中既有點屬於 G,又有點不屬於 G,則稱 P0是 G的邊界點 . G的全部邊界點的集合稱為 G的邊界 ,記為G.

(4)若 P0 ∈ Rn ,且對任意的 δ> 0, δ(P0)中總有點屬於 G,則稱 P0是 G的聚點 .

定義 5.1.3 (開集,閉集)設 G . Rn ,

(1)若 G的所有點都是 G的內點,即 G = G. ,則稱 G為開集 .

(2)若 G關於全集 Rn的補集 (即 Rn \\ G)為開集,則稱 G為閉集 .

(3)如果點集 G內任意兩點 ,都可用曲線連接起來 ,且該曲線上的點都屬於 G,則稱 G為連通集 .

(4)若 G是開集,又是連通集,則稱 G為開區域 .

(5)若存在開區域 A,使得 G = A稱 .A,則稱 G為閉區域 .

(6)開區域與閉區域統稱區域 .我們規定 ,空集 .既是開集又是閉集 ,因而全空間 Rn既是開集又是閉集 .除此之外 , Rn的任何非空真子集都不可能既是開集又是閉集.定義 5.1.4 (有界集 )設 G . Rn , P0 ∈ Rn .若存在 k ∈ R,使得 G . Nk(P0),則稱 G為有界集 ,此時稱 d(G) = sup{ ρ(P1,P2)|. P1,P2 ∈ G }

為 G的直徑 .否則,稱 G為無界集 .例 5.1.1設 R3中的點集

A = {(x, y, z)| x 2 + y 2 + z< 1 },

B = {(x, y, z)| x 2 + y 2 + z 2 : 1 },

C = {(x, y, z)| x 2 + y 2 + z 2 =1 },

則由定義可得下列結論:

(1) A= B = A, C = ;

(2) A = B = C = C;

(3)集合 A, B的聚點的集合都是 B, C的聚點的集合是 C;

(4) A, B, C都是連通集,也是有界集,直徑都是 2;

(5) A是開集也是開區域, B是閉集也是閉區域, C是閉集但不是閉區域.例 5.1.2設 R2中的點集 G = (x, y是)是是x = n 1 ,y = n 1 ,n ∈ N不 ,則由定義可得下列結論 :

(1) G = ;

(2) .G = G稱 {(0, 0)};

(3)集合 G有唯一的聚點 (0, 0);

(4) G不是連通集,不是開集,也不是閉集;

(5) G是有界集且 d(G)= 2.

5.1函數的概念

定義 5.1.5函數)設 D . Rn ,我們稱映射為定義在 D上函數函數也常常記為

y = f(P ),P ∈ D,或 y = f(x1,x2, ,xn), (x1,x2, ,xn) ∈ D.

變量 x1,x2, ,xn稱為自變量 , y稱為因變量 , D稱為函數 f的定義域 ,記為 D(f).

f(D)= { f(P )| P ∈ D(f)}稱為函數 f的值域 .在記號上,我們函數 f : D → R (D . R2)記為

z = f(x, y), (x, y) ∈ D函數 f : D → R (D . R3)記為

u = f(x, y, z), (x, y, z) ∈ D.

例 5.1.3討論下列函數的定義域.

我們知道函數 y = f(x)的圖形是所有滿足等式 y = f(x)的點 (x, y)的集合 ,通常是平面上的曲線 .類似地函數 z = f(x, y)的圖形是所有滿足等式 z = f(x, y)的點 (x, y, z)的集合 ,通常是空間曲面 .例如函數 z =2x +3y +4的圖形是空間中一平面 ,而函數 z = x2 + y2的圖形是圓錐面.

5.1函數的極限

極限的概念是研究函數性態的重要工具.下面我函數為例來函數極限的定義.

一、二重極限

定義 5.1.6 (二重極限)設 D . R2 ,函數 f(x, y)在 D上有定義, P0(x0,y0)是 D的聚點.若存在常數 A,使得對於任意給定的正數 ε,總存在正數 δ,當 P (x, y) ∈ D且 0 <ρ(P, P0) <δ時,恆有,

則稱函數 f(x, y)在 P → P0時以 A為極限,記為

也記作

或

這個極限也稱為二重極限.簡單地說, lim f(x, y)= A .ε> 0, .δ> 0,當時,

恆有 |f(x, y) . A| < ε.以上函數的二重極限的概念,可相應地推廣函數的 n重極限,讀者可以自行完成.例 5.1.4試用定義證明 lim (2x +4y) = 10.

解因為是

二重極限的定函數極限的定義在形式上並無多大差異,因函數極限的運算法則 (如四則運算法則,無窮小的運算法則)與有關性質 (如極限的唯一性,局部有界性, 夾逼準則)等都可以推廣到二重極限中來.但由於變量的增函數的定義域是平面點集,二重極限的復雜性在於點 P (x, y)在平面上趨向於點 P0(x0,y0)的方式是多種多樣的,而二重極限 lim f(x, y)= A是指點 P (x, y)在定義域中以任何方式趨向於點 P0(x0,y0)時, 都趨向於同一個常數 A.因此,如果 P (x, y)在定義域中以某一特殊的方式 (如沿著某條確定的直線或某條確定的曲線)趨向於點 P0(x0,y0)時, f(x, y)趨向於某一常數,我們並不能由此斷定二重極限存在.但是,如果當 P (x, y)以不同方式趨向於點 P0(x0,y0)時, f(x, y)趨向於不同的值,那麼我們就可以斷定函數 f(x, y)在 P0(x0,y0)處極限不存在.

例 5.1.5試求極限 .

解方法 1:因為

所以 ε> 0,取 δ =2ε,當 0
由定義可知 lim xy =0.

方法2:f(x,y)=xyx2+ y2 =xyx2+ y2 ,x是無窮小, : 1是有界變量,無

窮小與有界變量的積是無窮小,所以

方法 3:記 f(x, y)= x2 + y2 ,令 x = ρ cos θ, y = ρ sin θ,則 ,

所以

例 5.1.6 求下列極限:

例 5.1.7試證 f(x, y)= x2 + y2在 (x, y) → (0, 0)時無極限.

解方法 1:當點 P (x, y)沿直線 y =0趨向於 (0, 0)時,

當點 P (x, y)沿直線 y = x趨向於 (0, 0)時,

由此可知 ,當 (x, y)以不同方式趨向於 (0, 0)時, f(x, y)趨向於不同的值 ,所以 f(x, y)= xy

x2 + y2在 (x, y) → (0, 0)時無極限.

方法 2:令 x = ρ cos θ0,y = ρ sin θ0,θ0為常數,且 0 : θ0 < 2π,則 ,由於點 P沿著直線 L : x = ρ cos θ0,y = ρ sin θ0趨向於 (0, 0)時,

其極限值隨著 θ0的變化 (即隨著直線 L的變化 )而取不同的值 ,所以函數 f(x, y)在 (x, y) → (0, 0)時無極限.

二、累次極限

上面介紹的二重極限 ,是當函數的兩個自變量 (如果函數 ,就是 n個自變量 )同時趨於各自的極限時所得出的 .除此之外 ,有時我們還會遇到函數的兩個自變量按先後次序分別趨於各自的極限的情形,這就是累次極限.

函數 f(x, y),先把變量 y固定 (視 y為參數 ),這時 f(x, y)隻是函數 ,如果對於一切固定的 y,極限 lim f(x, y)存在,則這個極限是與 y有關的函數,記為

然後再讓 y → y0,考慮 .(y)的變化,若 lim .(y)也存在,設為 A,即

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