了得網研究生_金融優化基礎

商品搜索

类别：

关键字：

商品分类

金融優化基礎
該商品所屬分類：研究生 -> 經濟管理
【市場價】	220-320元
【優惠價】	138-200元
【作者】	張清邦
【所屬類別】	圖書教材研究生/本科/專科教材經濟管理類
【出版社】	清華大學出版社
【ISBN】	9787302463924
【折扣說明】	一次購物滿999元台幣免運費+贈品一次購物滿2000元台幣95折+免運費+贈品一次購物滿3000元台幣92折+免運費+贈品一次購物滿4000元台幣88折+免運費+贈品
【本期贈品】	①優質無紡布環保袋，做工棒！②品牌簽字筆 ③品牌手帕紙巾

版本	正版全新電子版PDF檔
您已选择：	正版全新
溫馨提示：如果有多種選項，請先選擇再點擊加入購物車。 . 電子圖書價格是0.69折，例如了得網價格是100元，電子書pdf的價格則是69元。 . 購買電子書不支持貨到付款，購買時選擇atm或者超商、PayPal付款。付款後1-24小時內通過郵件傳輸給您。 *. 如果收到的電子書不滿意，可以聯絡我們退款。謝謝。

內容介紹

開本：32開

紙張：膠版紙

包裝：平裝-膠訂

是否套裝：否

國際標準書號ISBN：9787302463924

作者：張清邦

出版社：清華大學出版社

出版時間：2017年02月

編輯推薦

自1952年Markowitz提出均值方差投資組合理論後，數學中的優化理論與方法在金融問題的定量研究中的重要作用越來越顯著。盡管近年來有關非線性優化的教材很多，但它們幾乎都是針對有良好的拓撲學和實分析等數學基礎的理科學生而編寫的，或者是由於學時和基礎知識的限制而弱化內容完整性的工科教材。本書希望在彌補這些不足的方面做出一些實質性的工作。

內容簡介

本書講授處理非線性*化問題時必需的基礎知識。全書共5章，內容包括*化問題及風險管理和金融工程中的一些金融優化模型；有限維空間中範數與集函數分析基礎知識；凸分析的基礎知識；非線性無約束優化的*性條件及局部解的迭代算法；CVaR與極小化CVaR；非線性約束優化的*性條件及其在利潤機會魯棒模型中的應用；對偶理論及其在金融問題中的應用；一般非線性優化的罰函數法；極小極大定理及其在*壞Sharpe率情形的*值問題等。
本書可作為金融數學、金融工程等財經類專業和計算數學、應用數學等專業高年級本科生或財經院校碩士研究生的教學用書和輔導用書，也可供科研工作者參考。

作者簡介

張清邦，男，博士研究生，教授。2008年於北京工業大學獲得理學博士研究生學位。在國內外重要學術刊物上已發表學術論文30餘篇，其中20餘篇論文被SCI檢索收錄。主持完成了四川省教育廳重點項目1項，西南財經大學科研項目7項,西南財經大學教改項目3項；參與了國家自然科學基金項目2項、*重點項目和四川省教育廳重點項目各1項。兩次獲得西南財經大學優秀科研成果獎。先後擔任過本科《數學分析》、《高等數學》、《微積分》、《線性代數》、《高等代數》、《概率論》及研究生《*化理論及應用》、《金融優化與風險度量》等課程教學。參與過《微積分》校級精品課程建設；近幾年，指導全國大學生數學建模競賽獲得國家一等獎3項、二等獎3項，四川省一等獎10項，省二、三等獎多項。

第1章化及金融學中的基本模型1
習題16

第函數分析8
2.1範數與集合8
2.2函數的連續性10
2.3函數的可微性14
本章小結18
習題219

第3章凸分析基礎20
3.1凸集20
3.2凸函數23
3.3共軛函數29

第1章化及金融學中的基本模型1

習題16

第函數分析8

2.1範數與集合8

2.2函數的連續性10

2.3函數的可微性14

本章小結18

習題219

第3章凸分析基礎20

3.1凸集20

3.2凸函數23

3.3共軛函數29

3.4錐與極錐33

3.5次梯度35

本章小結38

習題338

第4章無約束優化理論與方法40

4.1性條件40

4.2局部解的迭代算法42

4.2.1線性搜索43

4.2.2速下降法52

4.2.3牛頓算法及修正牛頓法53

4.2.4擬牛頓法55

4.2.5共軛梯度法594.3CVaR與極小化CVaR62

本章小結66

習題466

第5章約束優化理論與方法67

5.1性條件67

5.1.1含等式約束的優化問題70

5.1.2含不等式約束的優化問題72

5.1.3含等式約束和不等式約束的優化問題79

5.1.4利潤機會魯棒模型83

5.2對偶理論85

5.2.1鞍點定理85

5.2.2Lagrange對偶89

5.2.3對偶理論在金融問題中的應用95

5.3罰函數法98

5.3.1外罰函數法（外點法）98

5.3.2內罰函數法（內點法）103

5.3.3乘子法107

5.4極小極大定理與壞Sharpe率的值問題114

5.4.1極小極大定理114

5.4.2壞Sharpe率的值問題117

本章小結118

習題5119

參考文獻121

前言

盡管近年來有關非線性優化的教材很多，但它們幾乎都是針對有良好的拓撲學和實分析等數學基礎的理科學生而編寫的，或者是由於學時和基礎知識的限制而弱化內容完整性的工科教材。自1952年Markowitz提出均值方差投資組合理論後，數學中的優化理論與方法在金融問題的定量研究中的重要作用越來越顯著。應用化理論與方法研究金融學科中的相關問題，就是廣義下的金融優化。它不僅涵蓋投資組合選擇的全部內容，而且包括資產定價和風險管理中的相關優化問題。一般來說，在金融優化模型中，盡管涉及隨機變量的期望、方差等，但它們都可以轉化為線性或非線性優化問題。因此需對一般的線性或非線性優化問題解的存在性和迭代算法的基本理論有清楚的理解和把握。本教材想寫成一本供金融數學、金融工程等財經類專業高年級本科生或財經院校碩士研究生使用的教材。因此本書以處理非線性化問題時所必要的基礎知識為立足點，結合自己的教學體會，以理論、方法與實例相結合進行編寫。體現了以下特色：首先，在內容的選取方面，盡可能避免過分復雜的理論分析，但又不弱化定理證明或理論分析中的數學思維訓練，以適應金融數學、金融工程等財經類專業的需要。其次，理論分析時由一般理論到特殊情形，處理問題的方法層層遞進，理論、方法與實例相結合，形成自己的特色。另外，在本書中選取一些實例，以使讀者加深對理論的理解，同時也了解相關內容在某些金融問題中的應用；在算法實例中，給出了MATLAB軟件的使用與實現。本書共分5章。第1章主要介紹化問題及風險管理和金融工程中的一些金融優化模型；第2章主要介紹有限維空間中範數與集合函數的連續性和可微函數分析基礎知識；第3章主要介紹凸分析的基礎知識，包括凸集、凸函數、共軛函數、錐與極錐、次梯度等；第4章介紹非線性無約束優化的性條件及局部解的迭代算法，其中包括線性搜索法、速下降法、牛頓法與修正牛頓法、擬牛頓法及共軛梯度法；並利用相關理論對CVaR與極小化CVaR進行介紹；第5章介紹非線性約束優化的性條件及其在利潤機會魯棒模型中的應用、對偶理論及其在金融問題中的應用、一般非線性優化的罰函數法、極小極大定理與壞Sharpe率的值問題。由於第1章僅作為引言，我們不追求其全面性，旨在讓讀者了解化問題及一些金融優化模型。第2章和第3章著重函數分析和凸分析的基礎知識，力求簡明。第4章和第5章主要介紹光滑非線性優化問題的性條件和局部解的迭代算法，層層遞進，理論和實例相結合，力求主線清晰、易學易懂；在應用MATLAB實現算法時，重在算法思想及軟件的使用，弱化了MATLAB編程。第2～5章均配有金融領域中相關的應用問題及一定的習題，以加深對該章內容的理解。本書可作為金融數學、金融工程等財經類專業和計算數學、應用數學等專業高年級本科生或財經院校碩士研究生的教學用書和輔導用書，也可供有關科研人員和工程技術人員學習和參考。本教材得到了四川省研究生教育改革創新項目（數理金融研究生培養體繫探索與實踐）及西南財經大學金融數學專項基金、校級規劃教材項目等項目的部分支持，在此表示感謝；同時，感謝陳明博士及清華大學出版社的大力支持和辛勤勞動。由於學識水平所限，書中難免存在一些錯誤或不足，誠懇希望專家、同行及讀者批評指正。盡管近年來有關非線性優化的教材很多，但它們幾乎都是針對有良好的拓撲學和實分析等數學基礎的理科學生而編寫的，或者是由於學時和基礎知識的限制而弱化內容完整性的工科教材。自1952年Markowitz提出均值方差投資組合理論後，數學中的優化理論與方法在金融問題的定量研究中的重要作用越來越顯著。應用化理論與方法研究金融學科中的相關問題，就是廣義下的金融優化。它不僅涵蓋投資組合選擇的全部內容，而且包括資產定價和風險管理中的相關優化問題。一般來說，在金融優化模型中，盡管涉及隨機變量的期望、方差等，但它們都可以轉化為線性或非線性優化問題。因此需對一般的線性或非線性優化問題解的存在性和迭代算法的基本理論有清楚的理解和把握。本教材想寫成一本供金融數學、金融工程等財經類專業高年級本科生或財經院校碩士研究生使用的教材。因此本書以處理非線性化問題時所必要的基礎知識為立足點，結合自己的教學體會，以理論、方法與實例相結合進行編寫。體現了以下特色：首先，在內容的選取方面，盡可能避免過分復雜的理論分析，但又不弱化定理證明或理論分析中的數學思維訓練，以適應金融數學、金融工程等財經類專業的需要。其次，理論分析時由一般理論到特殊情形，處理問題的方法層層遞進，理論、方法與實例相結合，形成自己的特色。另外，在本書中選取一些實例，以使讀者加深對理論的理解，同時也了解相關內容在某些金融問題中的應用；在算法實例中，給出了MATLAB軟件的使用與實現。本書共分5章。第1章主要介紹化問題及風險管理和金融工程中的一些金融優化模型；第2章主要介紹有限維空間中範數與集合函數的連續性和可微函數分析基礎知識；第3章主要介紹凸分析的基礎知識，包括凸集、凸函數、共軛函數、錐與極錐、次梯度等；第4章介紹非線性無約束優化的性條件及局部解的迭代算法，其中包括線性搜索法、速下降法、牛頓法與修正牛頓法、擬牛頓法及共軛梯度法；並利用相關理論對CVaR與極小化CVaR進行介紹；第5章介紹非線性約束優化的性條件及其在利潤機會魯棒模型中的應用、對偶理論及其在金融問題中的應用、一般非線性優化的罰函數法、極小極大定理與壞Sharpe率的值問題。由於第1章僅作為引言，我們不追求其全面性，旨在讓讀者了解化問題及一些金融優化模型。第2章和第3章著重函數分析和凸分析的基礎知識，力求簡明。第4章和第5章主要介紹光滑非線性優化問題的性條件和局部解的迭代算法，層層遞進，理論和實例相結合，力求主線清晰、易學易懂；在應用MATLAB實現算法時，重在算法思想及軟件的使用，弱化了MATLAB編程。第2～5章均配有金融領域中相關的應用問題及一定的習題，以加深對該章內容的理解。本書可作為金融數學、金融工程等財經類專業和計算數學、應用數學等專業高年級本科生或財經院校碩士研究生的教學用書和輔導用書，也可供有關科研人員和工程技術人員學習和參考。本教材得到了四川省研究生教育改革創新項目（數理金融研究生培養體繫探索與實踐）及西南財經大學金融數學專項基金、校級規劃教材項目等項目的部分支持，在此表示感謝；同時，感謝陳明博士及清華大學出版社的大力支持和辛勤勞動。由於學識水平所限，書中難免存在一些錯誤或不足，誠懇希望專家、同行及讀者批評指正。
編者2016年11月

媒體評論

評論

在線試讀

第3章凸分析基礎集合與函數的凸性在化理論分析中有著重要作用。本章簡要介紹有關凸分析的基礎知識，包括凸集和凸函數的定義及性質、共軛函數、錐與極錐、次梯度等。3.1凸集定義3.1設集合SRn，如果對任意x,y∈S及任意的λ∈［0,1］，有λx (1－λ)y∈S，則稱集合S是凸集(convex set)。注凸集的幾何意義是：連接集合中任意兩點的直線段都包含在該集合中。由凸集的定義及數學歸納法可證明其如下性質。定理3.1設集合SiRn是凸集，ki∈R，i∈I（任意指標集），則∩i=ISi={x|x∈Si,i∈I}和∑i∈IkiSi=∑i∈Ikixi|xi∈Si,ki∈R,i∈I是凸集。定理3.2SRn是凸集的充分必要條件是：對任意m≥2，任給的xi∈S和實數λi≥0（i=1,2,…,m），且∑mi=1λi=1，都有∑mi=1λixi∈S。定義3.2對任意集合SRn，包含S的小凸集稱為S的凸包（convex hull），記為coS，即coS=∩{D|DS,D是凸集}。特別地，當S僅由有限個點x1,x2,…,xm∈Rn構成時，coS可表示為co{x1,x2,…,xm}或co{xi|i∈I}（指標集I={1,2,…,m}）。給定m個點x1,x2…,xm∈Rn，由滿足λi≥0（i=1,2,…,m）且∑mi=1λi=1的實數λ1,λ2,…,λm表示的向量x=∑mi=1λixi稱為x1,x2,…,xm的凸組合。〖1〗金融優化基礎〖1〗第3章凸分析基礎由給定的有限個點x0,x1,…,xm∈Rn的所有凸組合構成的集合D=x∈Rnx=∑mi=0λixi,∑mi=0λi=1,λi≥0,i=0,1,…,m稱為凸多面體（convex polytope）。若該式所定義的凸多面體D中的m個向量x1－x0,…,xm－x0是線性無關的，則稱D為m維單純形(msimplex)，對應的m 1個點x0,x1,…,xm稱為D的頂點(vertex)。顯然，Rn中不存在滿足m>n的m維單純形。一維單純形是線段，二維單純形是三角形，三維單純形是四面體。定理3.3（Carathéodory定理）設非空集合SRn，則coS等於由S中至多n 1個點的凸組合構成的集合。注由定理3.3可知，對任意x∈coS，都存在xi∈S及滿足∑mi=1λi=1的實數λi≥0（i=1,2,…,m）使得x=∑mi=1λixi（m≤n 1）。下面介紹凸集分離定理。它是研究非線性規劃性條件的理論基礎。考慮由向量a∈Rn(a≠0)與實數α∈R定義的超平面H={x∈Rn|〈a,x〉=α}。空間Rn被超平面H分割為兩個子集H ={x∈Rn|〈a,x〉≥α}，H－={x∈Rn|〈a,x〉≤α}。稱這兩個集合H 和H-為由超平面H定義的半空間(half space)。當集合D1，D2Rn滿足D1H 和D2H－時，稱超平面H分離了D1和D2，即〈a,y〉≥α≥〈a,z〉,y∈D1,z∈D2；並稱H為D1和D2的分離超平面(separating hyperlane)。並且D1∪D2H成立，則稱H正常分離了D1和D2。若集合D1，D2Rn滿足D1 ={x∈Rn|〈a,x〉>α}和D2－={x∈Rn|〈a,x〉<α}，則稱超平面H嚴格分離了D1和D2。特別地，當D1={x}時，稱H分離了集合D1和點x。定義3.3設非空閉凸集SRn中與點x∈Rn距離近的點稱為x在S上的投影（projection），記為PS(x)，即PS(x)是S中滿足下列條件的點：‖x－PS(x)‖=minz∈S‖x－z‖。顯然，若x∈S，則有x=PS(x)。定理3.4設SRn為非空閉凸集，則對x∈Rn，x在S上的投影PS(x)存在且。證明存在性當x∈S時，結論顯然成立。當xS時，令δ=minz∈S‖x－z‖>0，則存在點列{xk}S使得‖x－xk‖→δ（k→∞）。首先證明{xk}是Cauchy序列。事實上，對任意k,l都有‖xl－xk‖2=2‖x－xk‖2 2‖xl－x‖2－4x－12(xl xk)2成立。由於12(xl xk)∈S，故有x－12(xl xk)2≥δ，從而得到‖xl－xk‖2≤2‖x－xk‖2 2‖xl－x‖2－4δ2→0（k,l→∞），這說明{xk}是Cauchy序列，因此{xk}必收斂於某點x-。由於S是閉集，故x-∈S。且由f(x)=‖x‖的連續性可知‖x－x-‖=δ，所以PS(x)是存在的。性假設存在x-,x～∈S滿足x-≠x～，‖x－x-‖=‖x－x～‖=δ。同上可證明‖x-－x～‖2≤2‖x－x-‖2 2‖x～－x‖2－4δ2=0，這與x-≠x～矛盾，故PS(x)存在且。■定理3.5設SRn為非空閉凸集，則對x,y∈Rn，z∈S都有下列性質：（1）〈PS(x)－x,PS(x)－z〉≤0；(2) ‖PS(x)－PS(y)‖≤‖x－y‖；(3) 〈PS(x)－PS(y),x－y〉≥0；（4） ‖PS(x)－z‖2≤‖x－z‖2－‖PS(x)－x‖2；（5）函數h(α)=〈y,x-PS(x αy)〉在(0, ∞)是單調遞減的；（6）函數g1(α)=‖z－PS(z αx)‖和g2(α)=‖z－PS(z αx)‖α在(0, ∞)是單調遞減的。證明僅證明（1）、（2）和（5），其餘留作練習題。（1）因為S是凸集，則對λ∈(0,1)都有(1－λ)PS(x) λz∈S。再由PS(x)的定義知‖x－PS(x)‖2≤‖x－［(1－λ)PS(x) λz］‖2。變形整理可得〈PS(x)－x,PS(x)－z〉≤λ2‖PS(x)－z‖2，再由λ的任意性可得（1）成立。（2）由（1）知，〈PS(x)－x,PS(x)－z〉≤0且〈PS(y)－y,PS(y)－z〉≤0。因為PS(x)，PS(y)∈S，所以在上兩式中分別代入z=PS(y)和z=PS(x)後再相加可得‖PS(x)－PS(y)‖2≤〈x－y,PS(x)－PS(y)〉≤‖x－y‖·‖PS(x)－PS(y)‖，從而知（2）成立。（5）對任意α1>α2>0，有h(α1)－h(α2)=〈y,x－PS(x α1y)〉－〈y,x－PS(x α2y)〉=〈y,PS(x α2y)－PS(x α1y)〉=1α2－α1〈(x α2y)－(x α1y),PS(x α2y)－PS(x α1y)〉≤0（由（3））。當α1=α2時，h(α1)=h(α2)。故（5）成立。■注事實上，對x∈Rn及z∈S，由〈x-－x,x-－z〉≤0易推知x-=PS(x)。定理3.6設SRn為非空閉凸集，x∈Rn且xS，則存在嚴格分離S與x的超平面H={y∈Rn|〈a,y〉=α}，即存在0≠a∈Rn，α∈R使得〈a,z〉≥α>〈a,x〉，z∈S。證明由定理3.4知，x在S上的投影x-=PS(x)存在且。顯然x-≠x，故‖x-－x‖2=〈x-－x,x-－x〉>0。再由定理3.5（1）知對z∈S，〈x-－x,x-－z〉≤0，從而有〈x-－x,z〉≥〈x-－x,x-〉>〈x-－x,x〉。令a=x-－x及α=〈x-－x,x-〉，得證。■定理3.7設SRn為非空凸集，x∈Rn且xS，則存在分離S與x的超平面，即存在0≠a∈Rn，α∈R使得〈a,z〉≥〈a,x〉，z∈S。證明由假設條件知xclS（S的閉包）與x∈bdS（S的邊界）之一成立。當xclS時，由定理3.6得證。當x∈bdS時，則必存在點列{xk}使得xkclS且xk→x（k→∞）。由定理3.6可知，對每個k都存在0≠ak∈Rn使得〈ak,z〉>〈ak,xk〉，z∈S。不失一般性，可假設‖ak‖=1，於是點列{ak}存在收斂於某個滿足‖a‖=1的點a的子列{aik}，使得〈aik,z〉>〈aik,xik〉。令i→∞可得〈a,z〉≥〈a,x〉，z∈S。故得證。■定理3.8設兩個非空凸集S,TRn滿足S∩T=（空集），則必存在分離S與T的超平面，即存在0≠a∈Rn，α∈R使得〈a,y〉≥〈a,z〉，y∈S,z∈T。證明令Q=S－T={x∈Rn|x=y－z,y∈S,z∈T}，則易驗證Q是非空凸集。因為S∩T=等價於0Q，故由定理3.7知結論成立。■3.2凸函數定義3.4設f:XRn→R∪{ ∞}。若對x,y∈X,α∈［0,1］都有f(αx (1－α)y)≤αf(x) (1－α)f(y)，則稱f為X上的凸函數。若上式對x,y∈X且x≠y都成立，則稱f是嚴格凸函數。若－f是凸函數，則稱f為凹函數；若f既是凸函數又是凹函數，則稱f是仿射函數。下面我們了解一些關於凸函數的基本性質。定理3.9設f:Rn→R∪{ ∞}，則下面條件等價：（1） f是凸函數；（2）對X中任意的有限點集{xi}ni=1的凸組合x=∑ni=1λixi∑ni=1λi=1，λi≥0都有 f∑ni=1λixi≤∑ni=1λif(xi)；（Jensen不等式）（3） f的上圖是凸集。證明（1）（2）顯然。下證（2）（3）。為此我們隻需證明對於f的上圖中的任意兩點(x,λ),(y,μ)與任意的α∈［0,1］，都有α(x,λ) (1－α)(y,μ)=(αx (1－α)y,αλ (1－α)μ)在f的上圖中。實際上，由f(x)≤λ，f(y)≤μ與α∈［0,1］，易得αf(x) (1－α)f(y)≤αλ (1－α)μ。再由（2）有f(αx (1－α)y)≤αf(x) (1－α)f(y)≤αλ (1－α)μ。後證明（3）（2）。由(xi,f(xi))∈ep(f),xi∈X與ep(f)凸，我們有∑ni=1λixi,∑ni=1λif(xi)=∑ni=1λi(xi,f(xi))∈ep(f)。■由上面命題我們有下面的推論。推論3.1X的子集K是凸集當且僅當K的指示函數是凸函數。證明實際上，ep(ψK)=K×R 是凸函數當且僅當K是凸集。定理3.10假設f,g,fi(i∈I):Rn→R∪{ ∞}都是凸函數，則（1）函數f g和supi∈I fi是凸函數；（2）當α>0時，αf是凸函數；（3） fA是凸函數，若A:YRn→Rn是線性映射；（4） φf是凸函數，若φ:R→R是遞增的凸函數。證明由ep(supi∈I fi)=(x,λ)|supi∈I fi(x)≤λ=∩i∈Iep(fi)可得出supi∈I fi是凸函數；其餘各結論易證。■定理3.11設f:Rn→R∪{ ∞}是凸函數，則其截口S(f,λ)必是凸集。注該命題的逆命題不一定成立。例3.1凸函數的例子： (1）向量空間的範數是凸函數。顯然,由範數的性質易得。（2) 向量空間X上f(x)=‖x‖2是嚴格凸函數。解因為任取α,β∈\\[0,1\\]，β=1－α，對任意x,y,z∈Rn,都有‖x－αy－βz‖2=α‖x－y‖2 β‖x－z‖2－αβ‖y－z‖2。令x=0，則有f(αy βz)=αf(y) βf(z)－αβ‖y－z‖2<αf(y) βf(z)。（3) 任何次可加的正齊次函數都是正齊次的凸函數，反之亦成立。（4) 設某特定債券在到期時間t的執行價格為K，則在無套利假設下其看漲期權（Call option）的成本函數C(K,t)是關於K的凸函數。解設該債券在時間t的價格是S(t)，則在時間t(K,t)看漲期權的支出是(S(t)－K) =S(t)－K,S(t)≥K,0,S(t)0，{x|f(x,y,A)≥r}={x|xTy≥rxTAx}是凸的。事實上，對任意xi(i=1,2)使得xTiy≥rxTiAxi成立，都有(xTiy)2≥r2xTiAxi(i=1,2)。則對任意λ∈［0,1］，有(λx1 (1－λ)x2)Ty2=λ2(xT1y)2 (1－λ)2(xT2y)2 2λ(1－λ)(xT1y)(xT2y)≥r2［(λx1)TA(λx1) ((1－λ)x2)TA((1－λ)x2) 2λ(1－λ)(xT1Ax1)(xT2Ax2)］=r2［(λx1)TA(λx1) ((1－λ)x2)TA((1－λ)x2) 2λ(1－λ)(xT1Ax2)(xT1Ax2)］=r2［(λx1)TA(λx1) ((1－λ)x2)TA((1－λ)x2) 2(λx1)TA((1－λ)x2)］=r2(λx1 (1－λ)x2)TA(λx1 (1－λ)x2)，即λx1 (1－λ)x2∈{x|f(x,y,A)≥r}。所以{x|f(x,y,A)≥r}是凸集。(2）要證r>0，{(y,A)|f(x,y,A)≤r}={(y,A)|xTy≤rxTAx}是凸的。事實上，對任意(yi,Ai)∈{(y,A)|f(x,y,A)≤r}(i=1,2)及任意λ∈［0,1］，則有rxT(λA1 (1－λ)A2)x=rλxTA1x (1－λ)xTA2x≥rλxTA1x r(1－λ)xTA2x≥rλxTy1 r(1－λ)xTy2=rxT(λy1 (1－λ)y2)。故{(y,A)|f(x,y,A)≤r}是凸集。因此結論得證。■定理3.12設f:Rn→R∪{ ∞}是正常凸函數，則極小化問題infx∈Rnf(x)的解集M是凸集。若f是嚴格凸的正常函數，則M至多包含一個點。證明令αdefinfx∈Rnf(x)，則M=∩λ>αS(f,λ)。由f的凸性與定理3.11可知，對λ>α，S(f,λ)都是凸集，因此M是一個凸集。設f嚴格凸的正常函數，且x1≠x2是問題α=infx∈Xf(x)的兩個解，則有α=fx1 x220,λ∈(0,1),xi∈Rn(i=1,2)。我們隻需考慮x1,x2都在f的定義域中的情況。由xi∈domf(i=1,2)與下確界的定義可知，存在y1,y2∈Rn使得g(xi,yi)≤f(xi) ε(i=1,2)。再由g的凸性可知g(αx1 (1－α)x2,αy1 (1－α)y2)≤αf(x1) (1－α)f(x2) ε。但是由f的定義可得f(αx1 (1－α)x2)≤g(αx1 (1－α)x2,αy1 (1－α)y2)，故 f(αx1 (1－α)x2)≤αf(x1) (1－α)f(x2) ε，令ε→0，命題得證。■定理3.14設fi:Rn→R∪{ ∞}（i=1,2,…,n）是凸函數,則由F(x)=(f1(x),f2(x),…,fn(x))，x∈K=∩ni=1domfi定義的映射F:K→Rn∪{ ∞}具有下面的性質：集合F(K) Rn 與F(K) Rn °都是凸集，其中Rn ={x∈Rn|xi≥0,i=1,2,…,n}。錐Rn °代表錐Rn 的內部，是由分量全部為正的n維向量構成的。證明我們隻證明第二部分。取定F(K) Rn °內的兩個向量yi=F(xi) ui(i=1,2)，其中xi∈K,ui∈Rn °。對任意α∈［0,1］，令y=αy1 (1－α)y2=F(x) u，其中x=αx1 (1－α)x2，並且u=αu1 (1－α)u2 αF(x1) (1－α)F(x2)－F(αx1 (1－α)x2)。由f的凸性可知向量u的所有分量都是正的，即y∈F(K) Rn °。■現在介紹可微函數是凸函數的充要條件。定理3.15設DRn是非空開凸集，f:D→R在D上連續可微函數，則（1） f(x)是D上的凸函數的充要條件是f(x1)≥f(x2) 〈f(x2),x1－x2〉，x1,x2∈D。（2） f(x)是D上的嚴格凸函數的充要條件是f(x1)≥f(x2) 〈f(x2),x1－x2〉，x1,x2∈D且x1≠x2。證明隻證明結論（1）成立，類似可證明結論（2）。必要性設f(x)是D上的凸函數，則對任意α∈［0,1］，有f(αx1 (1－α)x2)≤αf(x1) (1－α)f(x2)，故f(α(x1－x2) x2)－f(x2)α≤f(x1)－f(x2)。由Taylor展開式可知f(α(x1－x2) x2)－f(x2)=α〈f(x2),x1－x2〉 o(α‖x1－x2‖)，從而有〈f(x2),x1－x2〉 o(α‖x1－x2‖)α≤f(x1)－f(x2)。兩邊取關於α（α→0）的極限，可得〈f(x2),x1－x2〉≤f(x1)－f(x2)。充分性設f(x1)－f(x2)≥〈f(x2),x1－x2〉，x1,x2∈D。對任意α∈［0,1］，令x-=αx1 (1－α)x2，則由D的凸性可知x-∈D。由已知可得，對x1,x2∈D，有f(x1)≥f(x-) 〈f(x-),x1－x-〉，f(x2)≥f(x-) 〈f(x-),x2－x-〉。於是可得αf(x1) (1－α)f(x2)≥f(x-) 〈f(x-),(αx1 (1－α)x2)－x-〉，即f(αx1 (1－α)x2)≤αf(x1) (1－α)f(x2)。由α的任意性及凸函數的定義可知f(x)是D上的凸函數。■若函數f(x)二次連續可微，則有下列判別定理。定理3.16設DRn是非空開凸集，函數f:DRn→R在D上二次連續可微，則f(x)是D上的凸函數的充要條件是f(x)的Hesse矩陣2f(x)在D上是半正定的。證明必要性任取x-∈D，由D是開凸集知，對任意x∈D都存在δ>0使得當α∈(0,δ)時有x- αx∈D。由於f(x)是D上的凸函數，由定理3.15知f(x-) αf(x-)Tx≤f(x- αx)，x∈D。再由f(x)的二次連續可微性知f(x- αx)=f(x-) αf(x-)Tx 12α2xT2f(x-)Tx o(‖αx‖2)。從而有12α2xT2f(x-)Tx o(‖αx‖2)≥0，x∈D。將該式兩邊同除以α2，並令α→0得xT2f(x-)Tx≥0，x∈D，即2f(x)在D上是半正定的。充分性設2f(x)在任意點x∈D是半正定的，由f(x)的二次連續可微性可知，f(x)在x-∈D處的Taylor展開式為f(x)=f(x-) f(x-)T(x－x-) 12(x－x-)T2f(ξ)T(x－x-)，其中ξ=x- θ(x－x-)，θ∈(0,1)。由D的凸性可知ξ∈D。又由於2f(ξ)是半正定的，故有f(x)≥f(x-) f(x-)T(x－x-)。再由定理3.15知f(x)是D上的凸函數。■注在定理3.16的假設下，由2f(x)在D上的正定性能推出f(x)在D上是嚴格凸的；但是f(x)在D上是嚴格凸的隻能推出2f(x)在D上的半正定性，不能推出2f(x)在D上是正定的。例如，函數f(x)=x4是嚴格凸函數，但f″(x)在x=0處不是正定的。例3.3對於n×n的對稱半正定矩陣A，函數f(x)=xTAx是凸函數。證明由例2.3及定理3.16易得。接下來，我們介紹關於凸函數的連續性的重要結果。定理3.17設正常凸函數f:Rn→R∪{ ∞}滿足int domf≠，則f在int domf內連續。證明任取x∈int domf，則存在n維單形Sint domf，使得x∈intS。記S的頂點為x0,x1,…,xn，並令μ=max{f(x0),f(x1),…,f(xn)}。因任意y∈S都可表示為y=∑ni=0αixi，其中∑ni=0αi=1，αi≥0（i=0,1,…,n），從而由定理3.9可得f(y)≤∑ni=0αif(xi)≤μ，y∈S。由x∈intS，故可選取充分小的r>0使得B(x,r)S。對任意ε∈(0,1)，選取滿足‖z－x‖<εr的z，並令w=x 1ε(z－x)，於是有z=(1－ε)x εw且w∈S。故有f(z)≤(1－ε)f(x) εf(w)≤(1－ε)f(x) εμ，即f(z)－f(x)≤ε(μ－f(x))。又因為x=11 εz ε1 ε(2x－w)且2x－w∈S（由於‖(2x－w)－x‖=‖x－w‖

書摘插畫

網友評論我們期待著您對此商品發表評論

相關商品

商品搜索

商品分类

【醫學】

【各大出版社】