數字圖像的基本運算圖像處理的實質是通過對圖像的某種運算處理，使處理後的圖像滿足人的視覺或機器識別的應用需求。從嚴格的意義上來說，各種圖像處理方法都是一種圖像運算方法。但從一般意義上來說，圖像運算僅指對一幅圖像中的所有像素實施了相同處理，或對兩幅輸入圖像進行像素點對像素點的灰度值運算的那些運算，比如對圖像的點運算、直方圖運算、代數運算、幾何運算等。圖像的點運算是指按照某種灰度變換關繫，逐像素點地對圖像中的每個像素的灰度值進行變換的方法，本章介紹圖像的灰度反轉和對數變換，圖像點運算的其他內容詳見4.1節。圖像直方圖本身就是逐個地對圖像中各像素的灰度值出現的頻數進行統計的結果，在此基礎上形成的圖像直方圖又引出了一繫列的運算和處理方法，有代表性的基於直方圖的圖像增強方法有直方圖均衡和直方圖規定化（詳見4.2.2節）。從表面上看，直方圖均衡和直方圖規定化是用於改變圖像的直方圖分布，但實質上也是一種對圖像中的所有像素實施了相同處理的運算，因此也可以稱為直方圖運算。但由於直方圖均衡和直方圖規定化的直接目的是進行圖像增強，所以一般都把該部分內容放在圖像增強一章介紹。圖像的代數運算是指對兩幅（分辨率大小相同的）輸入圖像進行的點對點的灰度值運算，包括兩幅圖像的相加運算和兩幅圖像的相減運算。圖像處理中的那些屬於模板運算（詳見4.3.1小節）類的處理方法，比如4.3節的基於空間平滑濾波的圖像增強方法和4.4節的基於空間銳化濾波的圖像增強方法等，由於其不屬於“兩幅輸入圖像進行的像素點對像素點的灰度值運算”，所以本書未把這類運算中涉及的相乘運算列入圖像的代數運算中。圖像的幾何運算也稱為圖像的幾何變換，主要包括圖像的平移變換、圖像的旋轉變換、圖像鏡像、圖像的轉置、圖像的縮小與放大等。本章首先介紹圖像的灰度反轉和對數變換，然後介紹圖像直方圖及其有關運算方法，接著介紹圖像的代數運算方法，後介紹圖像的幾何運算方法。
3.1灰度反轉
黑白圖像的反轉就是使灰度值為1的像素值變成0，使灰度值為0的像素值變成1。
對於256灰度級圖像來說，圖像的灰度反轉值就是用255分別減去原圖像f(x,y)的各個像素的灰度值。一般地，設圖像的灰度級為L，則圖像的灰度反轉可表示為

g(x,y)=L-1-f(x,y)（3.1）

256灰度級圖像的灰度反轉如圖3.1所示。

圖3.1灰度圖像的反轉關繫曲線


3.2對數變換
對原圖像f(x,y)進行對數變換的解析式可表示為

g(x,y)=c·log(1 f(x,y))（3.2）

其中，c是一個常數。對數變換的作用是對原圖像的灰度值動態範圍進行壓縮，主要用於調高輸入圖像的低灰度值。比如對於傅裡葉頻譜來說，要顯示的值的範圍往往比較大，而傅裡葉頻譜要顯示的重點是突出亮的像素（對應於低頻成分），而這在一個8比特的顯示繫統中會把頻譜圖像中的低灰度值部分（對應於高頻成分）損失掉。在這種情況下，就可依據式（3.2）對頻譜進行變換（這時c=1），調高頻譜圖像的低灰度值而對高灰度值又盡可能地影響小。傅裡葉頻譜的顯示一般就是通過這種方式的調整來進行顯示的，如圖3.2所示。

圖3.2利用對數變換對圖像傅裡葉頻譜進行調整示例


3.3灰度直方圖
在數字圖像處理中，灰度圖像的直方圖（簡稱為灰度直方圖）是一種描述一幅灰度圖像中灰度級內容的簡單且有用的工具，也是對灰度圖像進行多種處理的基礎。3.3.1灰度直方圖及其分布特征灰度圖像的直方圖是一種表示數字圖像中各級灰度值及其出現頻數的關繫的函數，實質上就是柱狀圖。描述灰度圖像直方圖的二維坐標的橫坐標（橫軸）用於表示圖像中像素的灰度級別（也即亮度級別），從左到右由0過渡到255（也即從全黑過渡到全白），分為256個灰度級別； 縱坐標（縱軸）表示圖像中處於各個灰度級別的像素的數量（也即各灰度級別出現的頻數）。設一幅數字圖像的灰度級範圍為［0，L-1］，則該圖像的灰度直方圖可定義為

h(rk)=nk，rk=0，1，2，…，L-1（3.3）

其中，rk表示第k級灰度值； nk表示圖像中灰度值為rk的像素的個數； h(rk)是灰度圖像的直方圖函數。在有些文獻中所提及的一維直方圖即是本節所講的灰度圖像的直方圖。理解和觀看直方圖的規則一是“左黑右白”或“左暗右亮”； 二是橫軸上各（亮度值）點對應的柱狀高度就是分布在該亮度的像素個數； 三是當柱狀接近分布在整個橫軸上，且至少有一個峰值時，圖像的對比度較好。圖3.3所示的是具有4種基本圖像類型（暗、亮、低對比度、高對比度）的圖像及其灰度直方圖。這裡，圖像的對比度是指圖像中一個目標之內或目標與周圍背景之間光強的差別。如果成像繫統在物體成像過程中的對比度選取的比較低，那麼該物體所成的像（目標）看起來就比實際物體要暗一些； 如果對比度降至0，則物體將會從圖像中消失。

圖3.34種基本圖像類型(暗、亮、低對比度、高對比度)圖像及其灰度直方圖

圖3.3說明了4種基本圖像類型圖像的直方圖分布特征： 當圖像比較暗時，圖像中的各像素的灰度值就都比較小，所以直方圖中的灰度分布主要集中在低像素級一端（左端）； 當圖像比較亮時，圖像中的各像素的灰度值就都比較大，所以直方圖中的灰度分布主要集中在高像素級一端（右端）； 當圖像的對比度比較差（低）時，說明圖像中多數較亮的那些像素的灰度值與圖像中多數較暗的那些像素的灰度值的差別比較小，所以圖像的直方圖中的灰度分布就比較集中地分布在某個灰度值差較小的範圍內，也即圖像直方圖就會聚集在某些灰度值範圍內； 當圖像的對比度比較好（高）時，圖像的直方圖中的灰度就會相對比較均勻地分布在整個灰度級範圍內。3.3.2歸一化灰度圖像直方圖由於式（3.3）所定義的灰度直方圖反映的是圖像中各灰度的實際出現頻數，這樣當某個灰度值的頻數（計數值）遠遠大於其他灰度值的頻數時，根據圖像的某個或某些像素出現的頻數來確定直方圖的縱坐標的尺度既不方便也不太現實，所以就引入了歸一化直方圖的概念，也即人們通常所說的直方圖是指歸一化的直方圖。設rk為圖像f(x,y)的第k級灰度值，nk是圖像f(x,y)中具有灰度值rk的像素的個數，n是圖像f(x,y)的像素總數，則圖像f(x,y)的（歸一化）灰度直方圖定義為

P(rk)=nkn，0≤rk≤1； k=0，1，…，L-1（3.4）

顯然，P(rk)給出的是rk出現概率的估計，提供的是圖像的灰度值分布情況。
3.3.3灰度直方圖的特征灰度圖像直方圖具有如下一些特征： （1） 直方圖僅能描述圖像中每個灰度值具有的像素個數，不能表示圖像中每個像素的位置（空間）信息。（2） 任一特定的圖像都有的直方圖，不同的圖像可以具有相同的直方圖。（3） 對於空間分辨率為M×N，且灰度級範圍為［0，L-1］的圖像，有關繫

∑L－1j=0h(j)=M×N（3.5）

（4） 如果一幅圖像由兩個不連接的區域組成，則整幅圖像的直方圖等於兩個不連接的區域的直方圖之和。有關直方圖的應用，將會在後續相關的章節中介紹。
3.4圖像的代數運算
圖像的代數運算包括兩幅圖像的相加運算和相減運算。3.4.1圖像的相加運算圖像相加是通過對兩幅大小相同的圖像對應位置像素的相加運算，以產生一幅新的含有兩幅圖像信息的圖像的方法。圖像相加也稱為圖像合成。設f1(x,y)和f2(x,y)分別表示大小為M×N的兩幅輸入圖像，圖像f1(x,y)和圖像f2(x,y)相加後得到的結果輸出圖像為g(x,y)，且x∈［0，M-1］，y∈［0，N-1］，則兩幅圖像的相加運算可表示為

g(x,y)=f1(x,y) f2(x,y)（3.6）

圖像相加運算的主要應用有兩類。1. 兩幅圖像內容的疊加/合成兩幅256灰度級圖像對應坐標位置像素值的相加，其結果必然會超過其的灰度表示範圍256，常用的處理方法是將兩幅圖像的灰度值折半相加，如式（3.7）所示； 其實質就是求兩幅圖像像素灰度值相加後的平均值作為相加結果。

g(x,y)=IntergerRound12f1(x,y) 12f2(x,y)（3.7）

其中，IntergerRound為四舍五入取整函數，也即要將相加運算的結果置為整數值。由於數字圖像的灰度值都是整數，所以嚴格來說，有關圖像的任何相加、相減、相乘和相除運算，對其運算結果都應用函數IntergerRound進行四舍五入的取整處理。但為了簡化起見，本書後續有關圖像灰度值的運算公式，均略去了IntergerRound函數。圖3.4給出了一個兩幅灰度圖像按式（3.7）相加的示例。圖3.4（a）和圖3.4（b）是兩幅不同的輸入圖像，圖3.4（c）是由兩幅輸入圖像進行相加運算後合成的圖像。

圖3.4圖像的相加運算示例

式(3.7)可以推廣到兩幅灰度圖像按不同比例灰度值的疊加/合成，如式（3.8）所示： 

g(x,y)=αf1(x,y) βf2(x,y)（3.8）

其中，α β=1。兩幅灰度圖像相加的另一種典型方式是： 根據兩幅圖像所有像素灰度值相加結果的小值和值情況，將其等比例縮小到結果圖像灰度值符合0~255的灰度值範圍。這樣做的結果會使圖像的亮度分布到整個256灰度區間。兩幅灰度圖像及彩色圖像的相加/合成運算，也可以推廣到多幅圖像的相加/合成。2. 多幅圖像的疊加多幅灰度圖像的疊加實質上是一種灰度圖像的噪聲消除方法。圖像的疊加噪聲可以簡單地理解為圖像中與其相鄰像素灰度值有明顯差異的一些隨機的、離散的和孤立的像素點，容易理解的是黑區域上疊加的白點或白區域上疊加的黑點。由於噪聲產生的隨機性，從同一場景獲取的多幅圖像中的噪聲不可能完全相同。因此，就可以通過對同一場景的多幅圖像的灰度值求平均值，實現消除圖像疊加噪聲的目的。式（3.9）是實現求N幅灰度圖像平均值的公式。

g(x,y)=1Nfi(x,y)，i=1,2,…,N（3.9）

3.4.2圖像的相減運算設f1(x,y)和f2(x,y)表示大小為M×N的兩幅輸入圖像，從圖像f1(x,y)中的各坐標位置的像素值中減去圖像f2(x,y)的相應位置的像素值後，得到的結果輸出圖像為g(x,y)，且x∈［0，M-1］，y∈［0，N-1］，則兩幅圖像的相減運算可表示為

g(x,y)=f1(x,y)－f2(x,y)（3.10）

當兩幅256灰度級圖像對應坐標位置像素值相減的結果大於或等於零時，則取其為結果圖像中對應位置像素的灰度值； 當相減結果小於零時，一般都是取零為結果值。當然，對於某些特殊的應用目的，也可以取其值為結果值。圖像相減運算的典型應用是圖像的變化檢測。比如，在目前得到廣泛應用的圖像監控繫統，通過定時地將圖像監控繫統拍攝的現場圖像與該現場初始情況下的圖像進行相減運算，就可以判定被監控場景是否有異樣情況出現。圖3.5（a）是監控繫統某時刻拍攝的現場監控圖像，圖3.5（b）是被監控現場的初始圖像，圖3.5（c）是從圖3.5（a）中減去圖3.5（b）後的結果圖像。

圖3.5圖像的相減運算示例

這裡需要注意的問題是，圖像的灰度級是一個已有約定的有限大小的整數。以256的灰度級圖像為例，圖像代數運算的結果理應要求像素值不能大於255，也不能為負數。所以在有關的應用中一般都有對運算結果中不符合要求的像素值的處理約定。比如，對運算結果為負時取0值或取其值，對運算結果大於255的像素值取255或取關於256的模運算（MOD）結果等。
3.5圖像的幾何運算
 圖像的幾何運算又稱為圖像的幾何變換，用於使原圖像產生大小、形狀和位置等變化效果。圖像的幾何運算包括圖像的平移變換、圖像的旋轉變換、圖像鏡像、圖像轉置、圖像的縮放等。3.5.1圖像平移變換

圖3.6平移原理圖
圖像平移（image translation）變換是指將一幅圖像或一幅圖像中的子圖像塊（以下簡稱為圖像塊）中的所有像素點，都按指定的x方向和y方向的偏移量Δx和Δy進行移動。設初始坐標為(x0,y0)的像素平移(Δx,Δy)後的坐標為(x1,y1)，如圖3.6所示，則有

x1=x0 Δx
y1=y0 Δy（3.11）

圖像平移變換式（3.11）的矩陣形式為

x1y11=10Δx01Δy001x0y01（3.12）

同理，可以根據坐標(x1,y1)求解原始坐標(x0,y0)，也即有圖像平移變換的逆變換為

x0y01=10－Δx01－Δy001x1y11（3.13）



圖像的平移一般分兩種情況： （1） 圖像塊平移。也即將一幅圖像中的某個子圖像塊平移到另一處。例如在圖3.7中，Lena圖像中Lena眼部的一個子圖像塊被平移到了該圖像的右下角，該子圖像塊同時覆蓋掉了新位置上原來的那些圖像內容。

圖3.7圖像（圖像子塊）平移示例

（2） 整幅圖像平移。整幅圖像平移後，相對於原來圖像（位置）來說，如果完整保持被平移的原圖像內容，那麼形成的新結果圖像的幅面就被放大了； 如果平移後的結果圖像仍保持原來圖像的幅面大小，那麼被移出的部分就要被截斷。圖3.8給出了整幅圖像平移後不放大而將移出的部分截斷的例子。

圖3.8整幅圖像平移截斷移出部分圖像的示例

3.5.2圖像旋轉變換圖像旋轉（image rotation）變換是指以圖像的中心為原點，將圖像中的所有像素（也即整幅圖像）旋轉一個相同的角度。與圖像平移變換類似，圖像旋轉變換的結果圖像也分為兩種情況： 一是旋轉後的圖像幅面被放大，如圖3.9所示； 二是保持圖像旋轉前後的幅面大小，把旋轉後圖像被轉出原幅面大小的那部分截斷。

圖3.9整幅圖像旋轉後圖像幅面放大示例

下面介紹圖像旋轉後，圖像幅面被放大情況下的圖像旋轉變換和逆變換。圖像旋轉變換公式的推導分為兩步： 步是先推導出基於xoy平面坐標繫的像素點旋轉變換公式和逆變換公式； 第二步再把步推導的變換公式和逆變換公式映射到圖像的顯示坐標，終得出在顯示坐標下的圖像旋轉變換公式及逆變換公式。1. 基於xoy平面坐標繫的點旋轉變換在圖3.10的xoy平面坐標繫中，設位於(x0,y0)處的點到坐標原點的直線r與x軸的夾角為α，直線r順時針旋轉β角度後使位於(x0,y0)處的點被旋轉至(x1,y1)處。

圖3.10基於xoy平面坐標繫的點旋轉原理示意圖

顯然，在旋轉前

x0=rcosα
y0=rsinα（3.14）

旋轉後

x1=rcos(α－β)=rcosαcosβ rsinαsinβ
y1=rsin(α－β)=rsinαcosβ－rcosαsinβ（3.15）

將式（3.14）代入式（3.15），得

x1=x0cosβ y0sinβ
y1=－x0sinβ y0cosβ（3.16）

由式（3.16）即可得到基於xoy平面坐標繫的點旋轉變換的矩陣表示形式為

x1y11=cosβsinβ0－sinβcosβ0001x0y01（3.17）

同理，可以根據旋轉後的點坐標(x1,y1)求解旋轉前的點坐標(x0,y0)，也即有基於xoy平面坐標繫的點旋轉變換的逆變換為

x0y01=cosβ－sinβ0sinβcosβ0001x1y11（3.18）