第8章向量代數與空間解析幾何

8.1本章目標

8.2相關命令

8.3向量的運算

8.3.1向量運算的數學表達

8.3.2實例分析

8.4平面與空間直線

8.4.1平面與直線的數學表達

8.4.2實例分析

8.5曲面與空間曲線

8.5.1典型曲面的數學方程表達

8.5.2實例分析

8.6空間解析幾何綜合實例分析

8.6.1空間圖形位置關繫判斷

8.6.2參數變化時曲面的數值仿真

8.6.3計算曲面的切平面

8.6.4空間解析幾何輔助3D打印

8.7拓展內容

8.7.1MATLAB坐標繫轉換方法

8.7.2參數方程的空間解析幾何

8.7.3曲面動畫繪圖的實現

8.8上機實踐

第函數微分法及其應用

9.1本章目標

9.2相關命令

9函數的基本概念

9.3.1通過圖形函數的概念

9.3.函數的極限

9.3.3函數連續性

9.4偏導數

9.4.1偏導數的求法

9.4.2高階偏導數

9.5全微分

9.5.1全微分的求法

9.5.2全微分在近似計算中的應用

9復合函數的求導

9.6復合函數的求導法則

9.6.2在MATLAB中復合函數

9.7隱函數的求導公式

9.7.1隱函數求導在MATLAB中的實現

9.7.2隱函數作圖

9函數微分學的幾何應用

9.8.1空間曲線的切線與法平面方程求法

9.8.2空間曲面的切平面與法線方程求法

9.9方向導數與梯度

9.9.1求方向導數

9.9.2求梯度

9.9.3梯度與等值面

9.函數的極值及其求法

9.10.函數的極值

9.10.2求條件極值

9.函數的泰勒公式

9.12小二乘法

9.13上機實踐

第10章重積分

10.1本章目標

10.2相關命令

10.3二重積分的計算

10.3.1二重積分的數值計算

10.3.2直角坐標計算

10.3.3極坐標計算

10.3.4二重法

10.4三重積分

10.4.1利用直角坐標計算三重積分

10.4.2利用柱面坐標計算三重積分

10.4.3利用球面坐標計算三重積分

10.5拓展內容

10.5.1重積分補充案例

10.5.2四維積分的計算

10.6上機實踐

第11章曲線積分與曲面積分

11.1本章目標

11.2相關命令

11.3對弧長的曲線積分

11.4對坐標的曲線積分

11.5保守場

11.5.1保守場的判定

11.5.2積分函數的確定

11.6從曲線到曲面的推廣

11.6.1曲面積分

11.6.2高斯公式與斯托克斯公式

11.7拓展內容： 曲面積分與散度定理的證明

11.8上機實踐

第12章無窮級數

12.1本章目標

12.2相關命令

12.3常數項級數的計算

12.4常數項級數的審斂法

12.5冪級數

12.6傅裡葉級數

12.7一般周期函數的傅裡葉級數

12.8拓展內容： 傅裡葉變換的應用——頻譜分析

12.9上機實踐

第13章高等數學數學建模方法

13.1微積分基本建模方法

13.2導彈追蹤模型

13.2.1問題的描述

13.2.2模型的建立與求解

13.3酒駕司機酒精含量模型

13.3.1問題的描述

13.3.2模型的建立

13.3.3模型的求解

13.4鉛球擲遠模型

13.4.1問題的描述

13.4.2模型的建立與求解

13.5化學物質分解模型

13.5.1問題的描述

13.5.2基本假設

13.5.3模型的建立與求解

13.6車間空氣清潔模型

13.6.1問題的描述

13.6.2問題分析與假設

13.6.3模型的建立

13.7減肥模型

13.7.1問題的描述

13.7.2問題的分析

13.7.3基本假設

13.7.4模型建立

13.7.5模型求解

13.7.6模型討論

13.8森林救火模型

13.8.1問題的描述

13.8.2問題的分析

13.8.3模型假設

13.8.4模型建立

13.8.5模型解釋

13.9薄膜滲透率的測定

13.9.1問題的描述

13.9.2假設

13.9.3符號說明

13.9.4模型的建立

13.9.5求解參數

13.10捕食者獵物模型

13.10.1模型描述

13.10.2模型的求解

13.10.3模型討論(比較不同求解器的結果)

13.10.4模型的意義分析

13.11拓展內容： 大學生數學建模競賽

13.11.1數模競賽的形式

13.11.2參加數模競賽的意義

13.11.3MATLAB在數學建模中的地位

13.11.4完成數模競賽所需要的知識

附錄A命令彙總

參考文獻

本書的背景和意義
本書為應對新一輪科技革命與產業變革，支撐服務創新驅動發展、“中國制造2025”等一繫列國家戰略而寫。2017年2月以來，*積極推進新工科建設、金課建設、雙萬計劃等一繫列措施，旨在形成領跑全球工程教育的中國模式，助力強國建設。在這一繫列政策和概念的指引下，如何培養有能力、實干、理論與實踐兼備的工程師是教育界需要解決的問題。回歸教育，在信息技術迅猛發展的時代，根據工業界的反饋和教育的經驗，教育界普遍認同項目式學習和計算思維的培養是高等教育的主要突破方向。
項目式學習是一種通過參與解決真實的項目或問題的學習方式，著眼於實踐並通過實踐強化和倒逼理論的學習，是一種既培養實際工程實踐能力又促進理論學習和理論轉化能力培養的學習方式。項目式學習很容易讓學習者體驗到成功解決問題的成就感和快樂，從而形成正向反饋機制，激勵學習者繼續學習，從而逐漸培養學習的興趣。
計算思維綜合了應用數學思維和計算機編程能力。多數的研發到了一定階段都離不開數學，數學在工程或產品中的體現是程序，因此計算思維對未來的科學家和工程師來說都非常重要。計算思維的培養離不開具體的項目，所以項目式學習和計算思維培養自然融合到一起。
回到高等教育本身，如何繫統培養學生的計算思維呢？不妨分析一下本科的課程組成，從圖1的本科(以通信工程專業為例)課程構成可以發現，其實我們現在的本科課程中，“數學”和“應用數學”課程(與專業結合)已自然呈現循序漸進、逐漸累積的趨勢，隻是我們傳統的教育不利於這些課程的累計和融合。基於這樣的分析結果，如果從大學一年級就通過項目式學習，結合具體的課程，培養學生的計算思維，那麼就很自然地實現了更有成效的學習變革。

圖1新工科教學改革路線圖(以通信工程專業為例)

基於這樣的認識，很自然就得到了本科階段繫統的項目式計算思維培養方案：
(1) 大一： 高等數學部分增加MATLAB高等數學實踐部分，培養學生的基本編程能力和數學應用能力。
(2) 大二： 線性代數和概率部分增加相應的實踐環節，繼續增強學生的編程能力和基本的工程應用能力，如數據分析、數學建模、算法設計能力。大二在部分專業基礎課程部分，增設實驗和項目實踐內容，培養基本專業理論的應用能力。
(3) 大三： 在專業課部分增加實驗和實踐環節，鼓勵學生將所學的專業知識通過平臺轉化成工程產品原型。
(4) 大四： 在課程設計或畢業設計中鼓勵學生繫統使用基於模型設計的技能完成完整的工程項目。
高等數學是高等教育階段核心的基礎課程。MATLAB是通用的科學計算軟件，廣泛應用於科研和工程中，也是培養計算思維的平臺，所以高等數學和MATLAB的結合也就很自然了。本書的定位是高等數學的MATLAB項目式學習參考書，其主要內容是講解高等數學中主要知識的MATLAB實現過程以及這些知識在工程界的應用實例。本書的作用： 一是讓學生在學習高等數學階段就學習MATLAB編程，培養學生由理論知識到實踐轉化的能力； 二是通過實踐環節倒逼學生重視理論的學習並促進對理論知識的理解； 三是以高等數學這門課為載體，培養學生的編程能力和計算思維； 四是培養學生的學習興趣。
本書的編寫過程： 學生編寫自己的教材
本書的大致構思在2018年初就有了，但我一直沒有落筆，因為自己也不確定以怎樣的形式呈現這些內容。在2018年秋季，我受邀給復旦大學的學生做關於MATLAB編程的講座，其間就提到MATLAB編程是實踐性的技術，好的學習方式就是以一個小課題或一個小問題為載體，邊學習邊解決問題，這樣的學習效果好。聽講座的絕大多數是大一、大二的學生，還沒做課題，就把這本書的大致構思跟學生說了一下，並鼓勵學有餘力或感興趣的同學參與。結果有10位同學感興趣，報名了這個課題，每5位同學為一個小組，每組選一位組長，負責平時的聯絡和課題的組織工作。個小組，負責高等數學的上冊，第二個小組，負責高等數學的下冊。一開始我隻給出建議，鼓勵他們根據自己的想法並應用自己的模式表達。這些學生確實比較厲害，都有自己的想法，每人負責的章節也各有特色。為了讓本書內容風格更一致，經過組內互評，幾輪討論後，挑選了更好的內容(高等數學知識點和MATLAB程序的融合)表達模式，再進行修改，後由本人彙總、修改，形成了本書。
一個講座促成了特殊的組合和課題的完成，這個過程對我也很有啟發，讓學生自己去編寫自己的教材太神奇了，他們是可以創造未來的，畢竟教材的主體是他們，他們更懂得自己的學習風格，知道自己更喜歡什麼樣的內容，所以他們的參與首先貢獻了很多內容的表達風格和想法。其次對他們來說，這也是一次很好的課題實踐活動。因為絕大多數學生隻知道MATLAB很有用，但MATLAB用得並不好，或者根本不會用。一開始他們就是想通過這個課題，學會使用MATLAB。但課題完成後，所有學生的MATLAB使用水平已經很高了，在不知不覺中，已經可以靈活運用MATLAB編程解決自己遇到的問題了，甚至有些同學對高等數學和MATLAB有了更深刻的感悟。
高等數學知識點與MATLAB程序的融合有助於我們
理解解析方法與數值方法，可以讓我們更直觀地學習高等數學的概念與方法，並增強對這些方法在實際生產生活中應用的能力，還能幫助我們更好地理解計算機處理計算的過程。比如，它並不能做到我們在傳統數學學習中接觸的無限趨近的想法，而往往需要通過迭代計算方法減小誤差至一個較小的容差值。理解計算機的運算方式，我們纔能在日後更好地進行其他依賴計算機的研究工作。另外，一個數值計算的方法很難用對錯定論，往往用計算復雜度、誤差值等作為其評價標準。比如從定積分求解的角度，通過牛頓萊布尼茲公式求解的方式可以得出積分的精確結果，但通過不同的數值方法我們會得到不同的帶有誤差的解，因此我們就需要不斷地對自己設計出的數值方法進行優化。每一個數值方法背後其實都還蘊藏著優化的潛能，我們每位讀者都可以獨立探索，設計出帶有個人特點的更優化、更有創造力的數值方法。因此，MATLAB與高等數學相結合的學習能更好地培養我們的創造能力以及精益求精的習慣，這種能力與習慣對日後的學習研究都很有幫助。每一種數學方法在MATLAB函數中的體現都是一次人機的交流，每一次將人腦思維轉化為計算機思維的基礎實踐，都會成為我們在日後有關方向研究學習的奠基。希望讀者在閱讀本書時能夠體會這種學習方式！”
我想隻有參與課題或者研讀過這本書的讀者纔能有這樣的體會！如果讀者能夠得到這樣的體會，我想這本書的目的就達到了！
本書特色
縱觀全書，本書的特點鮮明主要表現在：
(1) 知識繫統，結構合理。本書的內容編排基本與同濟版《高等數學(下冊)》(第七版)教材一致，這樣便於讀者與理論知識相對應。對於具體內容，則按照本章目標、相關命令、實例、工程拓展應用以及習題等內容依次展開。這樣既保持了知識的繫統性，也便於讀者更高效地學習。
(2) 理論與實踐相得益彰。對於本書的每個知識點，都列舉了若干個典型的案例，讀者可以通過案例加深對理論的理解。本書選擇的案例都是高等數學中的典型例題或習題，通過程序展示，很容易讓讀者產生共鳴，同時讀者可以利用案例的程序進行模仿式學習，提高學習效率。
如何閱讀本書
下冊內容分兩部分，共6章。
部分(第8~12章)是本書的主體部分，繫統介紹了高等數學的MATLAB實現方法。每章包含以下內容：
(1) 本章目標： 重溫高等數學中的知識點，便於讀者理解隨後的MATLAB命令、案例針對的是哪個理論知識點。
(2) 相關命令： 介紹要實現某個命令需用到的MATLAB函數以及這些函數的具體用法。
(3) MATLAB案例： 介紹高等數學中的MATLAB求解問題的具體實現方式，包含詳細的代碼以及關鍵代碼的注釋。
(4) 工程拓展實例： 通過實例介紹工程界是如何應用這些高等數學知識的，拓展讀者的思路，讓讀者對日後的工程應用場景有更清晰的認識。
(5) 習題： MATLAB是實踐性的技術，必須通過實踐來提高應用水平，重要的是可以通過練習加深對理論知識的掌握。
第二部分(第13章)主要介紹高等數學的數學建模方法和經典的數學建模實例，因為數學建模體現數學的應用，而高等數學是數學建模的重要組成部分。第13章的每個實例都按照數學建模的步驟展開，可以培養讀者的建模思想，讓讀者體會MATLAB在數學建模中的作用，並培養讀者的MATLAB數學建模技能。
讀者對像
(1) 各大院校學生。
(2) 高等數學教師或高等數學實驗教師。
(3) 從事工程數學、科研的工程師或科研人員。本書包含高等數學的工程實踐案例，對工程人員和科研人員也有參考意義。
(4) 希望學習MATLAB的工程師或科研工作者。因為本書的代碼都是用MATLAB編寫的，所以對於希望學習MATLAB的讀者來說，本書是一本很好的參考書。
致讀者
本書繫統地介紹了MATLAB高等數學的實現方法。本書中的內容雖然繫統，但也相對獨立，教師可以根據課程的學時安排和專業方向的側重，選擇合適的內容進行課堂教學，其他內容則可作為參考。
作為21世紀的大學生，工程化的思想越來越重要，不僅要學科學，更重要的是如何將科學轉化為工程，用工程輔助科學的進一步發展。高等數學作為基礎的學科，重要性不言而喻。MATLAB編程是實現科學到工程的具體工具，是科學和工程的橋梁，而利用MATLAB實現高等數學的方法是科學轉化為工程的步，希望讀者通過學習本書對此有更深刻的體會，本書也算是科學到工程的啟蒙書。
勘誤和支持
由於時間倉促，加之作者水平有限，本書不妥或疏漏之處在所難免。在此，誠懇地期待廣大讀者批評指正。
致謝
感謝MathWorks，在我寫作期間提供全面、深入、準確的參考材料。感謝清華大學出版社盛東亮老師一直以來的支持和鼓勵，幫助我們順利完成全部書稿！

卓金武2021年3月