第1章 復數與復變函數 1
§ 1.1 復數及其運算 1
1.1.1 復數的概念 1
1.1.2 復數的表示法 1
1.1.3 復數的四則運算 3
1.1.4 共軛復數 5
1.1.5 復數的乘冪與方根 6
1.1.6 無窮遠點與復球面 7
§ 1.2 復平面上的點集 8
1.2.1 基本概念 8
1.2.2 復平面上的曲線 10
1.2.3 單連通域和多連通域 10
§ 1.3 復變函數 11
1.3.1 復變函數的概念 11
1.3.2 復變函數的極限 12
1.3.3 復變函數的連續性 14
§ 1.4 用MATLAB運算 14
本章小結 16
練習題 16
第2章 解析函數 18
§ 2.1 解析函數的概念 18
2.1.1 復變函數的導數與微分 18
2.1.2 求導法則 19
2.1.3 解析函數的定義 20
§ 2.2 函數解析的充要條件 21
§ 2.3 初等復變函數 25
2.3.1 指數函數 25
2.3.2 對數函數 26
2.3.3 冪函數 27
2.3.4 三角函數與雙曲函數 28
2.3.5 反三角函數與反雙曲函數 30
§ 2.4 用MATLAB運算 31
本章小結 31
練習題 32
第3章 復變函數的積分 33
§ 3.1 復變函數積分的概念與性質 33
3.1.1 復變函數積分的概念 33
3.1.2 復變函數積分的存在性及其計算 34
3.1.3 復變函數積分的性質 37
§ 3.2 柯西積分定理及其推廣 38
3.2.1 柯西積分定理 38
3.2.2 解析函數的原函數 39
3.2.3 復合閉路定理 40
§ 3.3 柯西積分公式和解析函數的高階導數 42
3.3.1 柯西積分公式 42
3.3.2 解析函數的高階導數 43
§ 3.4 解析函數與調和函數的關繫 47
3.4.1 調和函數 47
3.4.2 共軛調和函數 48
§ 3.5 用MATLAB運算 50
本章小結 52
練習題 52
第4章 級數 55
§ 4.1 復數項級數 55
4.1.1 復數序列的極限 55
4.1.2 復數項級數的概念 56
4.1.3 復數項級數的審斂法 56
§ 4.2 復變函數項級數 58
4.2.1 函數項級數 58
4.2.2 冪級數及其收斂性 59
4.2.3 冪級數的收斂圓與收斂半徑 60
4.2.4 冪級數的運算與性質 63
§ 4.3 泰勒級數 64
4.3.1 泰勒展開定理 64
4.3.2 幾個初等函數的冪級數展開式 66
§ 4.4 洛朗級數 70
4.4.1 洛朗級數的概念 70
4.4.2 洛朗展開定理 72
本章小結 77
練習題 78
第5章 留數及其應用 80
§ 5.1 孤立奇點 80
5.1.1 孤立奇點的分類 80
5.1.2 孤立奇點的性質 81
5.1.3 函數零點與極點的關繫 83
*5.1.4 函數在無窮遠點的性態 85
§ 5.2 留數 87
5.2.1 留數的概念和計算 87
5.2.2 留數定理 90
*5.2.3 解析函數在無窮遠點處的留數 93
§ 5.3 留數在定積分計算中的應用 96
5.3.1 形如的積分 96
5.3.2 形如的積分 98
5.3.3 形如的積分 100
*§ 5.4 對數留數與輻角原理 103
5.4.1 對數留數 103
5.4.2 輻角原理 105
§ 5.5 用MATLAB運算 109
本章小結 111
練習題 111
第6章 保角映射 113
§ 6.1 保角映射 113
6.1.1 解析函數的導數的幾何意義 113
6.1.2 保角映射的概念 116
§ 6.2 分式線性映射 118
6.2.1 分式線性映射的概念 118
6.2.2 分式線性映射的分解 119
6.2.3 分式線性映射的性質 120
§ 6.3 決定分式線性映射的條件 123
6.3.1 三對對應點地決定分式線性映射 123
6.3.2 三類重要的分式線性映射 126
6.3.3 雜例 132
§ 6.4 幾個初等函數所構成的映射 135
6.4.1 冪函數與根式函數 135
6.4.2 指數函數與對數函數 139
本章小結 142
練習題 142
第7章 傅裡葉變換 145
§ 7.1 傅裡葉變換的概念 145
7.1.1 傅裡葉級數 145
7.1.2 傅裡葉積分定理 147
7.1.3 傅裡葉變換的定義 148
§ 7.2 單位脈衝函數 149
7.2.1 單位脈衝函數的概念 150
7.2.2 單位脈衝函數的性質 151
§ 7.3 傅裡葉變換的性質 153
7.3.1 線性性質 153
7.3.2 對稱性質 154
7.3.3 相似性質 154
7.3.4 平移性質 155
7.3.5 微分性質 155
7.3.6 積分性質 156
7.3.7 乘積定理 157
7.3.8 能量積分 157
§ 7.4 傅裡葉變換的卷積 158
7.4.1 卷積的定義 158
7.4.2 卷積定理 159
§ 7.5 用MATLAB運算 160
本章小結 161
練習題 161
第8章 拉普拉斯變換 163
§ 8.1 拉普拉斯變換的概念 163
8.1.1 拉普拉斯變換的定義 163
8.1.2 拉普拉斯變換的存在定理 165
§ 8.2 拉普拉斯變換的性質 166
8.2.1 線性性質 166
8.2.2 相似性質 167
8.2.3 微分性質 167
8.2.4 積分性質 169
8.2.5 平移性質 170
8.2.6 拉普拉斯變換的卷積 170
8.2.7 拉普拉斯變換的卷積定理 171
§ 8.3 拉普拉斯逆變換 172
8.3.1 反演積分公式 172
8.3.2 留數法 172
8.3.3 部分分式法 173
§ 8.4 拉普拉斯變換的應用 174
8.4.1 微分方程的拉普拉斯變換解法 174
8.4.2 積分方程的拉普拉斯變換解法 175
§ 8.5 用MATLAB運算 176
本章小結 177
練習題 177
附錄Ⅰ Fourier變換簡表 179
附錄Ⅱ Laplace變換簡表 182
附錄Ⅲ ??函數的基本知識 186
參考文獻 190