了得網研究生_現代控制理論（第2版）

編輯推薦

本書強調狀態空間控制理論與工程實踐問題緊密結合，注重對讀者分析問題和解決實際問題能力的培養，具有如下特色：（1）結構清晰，便於讀者從整體上掌握現代控制理論的基本方法。本書貫穿了動態繫統在狀態空間數學模型基礎上的定量分析→定性分析→極點配置→*反饋控制這一結構主線；（2）注重物理概念，避免繁瑣數學推導，論證與實例配合緊密，易於理解，突出現代控制理論的工程應用背景，便於讀者運用理論知識解決實際問題；（3）在闡述現代控制理論的基本方法時注意與經典控制理論基本方法的聯繫與比較；（4）在保證理論知識體繫結構完整的前提下，介紹MATLAB在線性繫統理論和*控制中的應用；（5）每章均附有較豐富的例題、習題、上機實驗題，便於讀者自學，並有利於讀者的計算機應用能力和研究能力的提高。

內容簡介

本書是一本適應21世紀教學需要的闡述現代控制理論基礎知識的教材。本書包含了現代控制理論基礎的主要理論和方法，全書共分7章，著重講述了狀態空間描述的建立、繫統定量分析（狀態方程的解）、繫統的定性分析（能控性，能觀性，李雅普諾夫穩定性）、繫統的綜合（狀態反饋與狀態觀測器設計）以及*控制的3種基本方法（變分法、小值原理、動態規劃法），並在保證理論知識體繫結構完整的前提下，融入MATLAB在現代控制理論中的應用。全書結構清晰，便於讀者從整體上掌握現代控制理論的基本內容。
本書由淺入深，論證與實例配合緊密，富有啟發性。全書各章節之間內容緊密銜接，與經典控制理論中有關內容的聯繫密切，可讀性好，便於課堂教學與自學。主要算法給出了對應的應用MATLAB求解的方法，使讀者通過本書的學習，既能打下扎實的理論基礎，又能掌握應用MATLAB對控制繫統進行分析與設計的技能。每章末有一定數量的習題與MATLAB實驗題，主要用以檢驗對基本概念的理解和訓練對分析以及對設計方法的使用。
本書既可作為高等院校自動化、電氣工程及其自動化等專業本科和非自動化專業研究生教材，也可供從事自動化方面工作的科技人員學習參考。

目錄

第1章緒論
1.1控制理論的發展
1.2現代控制理論中的兩個重要概念
1.2.1繫統的能控性
1.2.2繫統的能觀性
1.3現代控制理論的主要內容
1.4本書研究的主要內容
第2章狀態空間描述
2.1狀態空間分析法
2.1.1動力學繫統
2.1.2例子
2.1.3狀態變量和狀態向量目錄

第1章緒論
1.1控制理論的發展
1.2現代控制理論中的兩個重要概念
1.2.1繫統的能控性
1.2.2繫統的能觀性
1.3現代控制理論的主要內容
1.4本書研究的主要內容
第2章狀態空間描述
2.1狀態空間分析法
2.1.1動力學繫統
2.1.2例子
2.1.3狀態變量和狀態向量
2.1.4狀態空間與狀態空間描述
2.1.5狀態空間描述的一般形式
2.2狀態結構圖
2.2.1狀態結構圖繪制的基本方法
2.2.2一階繫統的狀態結構圖
2.2.3三階單輸入單輸出繫統的狀態結構圖
2.2.4二輸入二輸出二階繫統的狀態結構圖
2.3狀態空間描述的建立
2.3.1由繫統結構圖建立狀態空間描述
2.3.2由繫統機理建立狀態空間描述
2.4狀態空間描述的標準形式
2.4.1傳遞函數中無零點時的實現
2.4.2傳遞函數有零點時的實現
2.5由狀態空間描述求傳遞函數陣
2.5.1傳遞函數（陣）
2.5.2組合繫統的傳遞函數陣
2.6狀態向量的線性變換
2.6.1狀態空間表達式的非性
2.6.2繫統特征值的不變性和繫統的不變性
2.6.3狀態空間表達式變換為約當標準型
2.7離散繫統的狀態空間描述
2.7.1狀態空間表達式
2.7.2脈衝傳遞（函數）矩陣
2.8狀態空間的MATLAB描述
2.8.1數學模型的建立
2.8.2模型間的轉換
2.8.3組合繫統的傳遞函數陣
2.8.4線性變換
本章小結
習題
MATLAB實驗
第3章線性繫統的運動分析
3.1線性定常繫統狀態方程的齊次解（自由解）
3.1.1冪級數法
3.1.2拉氏變換法
3.2狀態轉移矩陣
3.2.1狀態轉移矩陣的含義
3.2.2狀態轉移矩陣的基本性質
3.2.3幾個特殊的矩陣指數函數
3.2.4狀態轉移矩陣的計算
3.2.5由狀態轉移矩陣求繫統矩陣
3.3線性定常繫統非齊次狀態方程的解
3.3.1積分法
3.3.2拉氏變換法
3.3.3特定輸入下的狀態響應
3.4線性時變繫統的運動分析
3.4.1線性時變繫統齊次狀態方程的解
3.4.2狀態轉移矩陣(t,t0)的基本性質
3.4.3狀態轉移矩陣(t,t0)的計算
3.4.4線性時變繫統非齊次狀態方程的解
3.4.5線性時變繫統的輸出
3.5線性繫統的脈衝響應矩陣
3.5.1線性時變繫統的脈衝響應矩陣
3.5.2線性定常繫統的脈衝響應矩陣
3.5.3傳遞矩陣與脈衝響應矩陣的關繫
3.5.4利用脈衝響應矩陣計算控制繫統的輸出
3.6連續繫統的離散化
3.6.1問題的提出
3.6.2基本假設
3.6.3線性定常繫統的離散化
3.6.4近似離散化
3.6.5線性時變繫統的離散化
3.7線性離散繫統的運動分析
3.7.1線性定常離散繫統方程的解
3.7.2線性時變離散繫統狀態方程的解
3.8基於MATLAB的運動分析
3.8.1基於MATLAB的線性定常繫統的運動分析
3.8.2基於MATLAB的線性離散繫統的運動分析
本章小結
習題
MATLAB實驗
第4章繫統的能控性與能觀性
4.1線性定常繫統能控性定義及判據
4.1.1能控性基本概念
4.1.2能控性定義
4.1.3能控性判據
4.1.4輸出能控性及判據
4.2線性定常繫統能觀性定義及判據
4.2.1能觀測性基本概念
4.2.2能觀性定義
4.2.3能觀性判據
4.3線性時變繫統的能控性與能觀性
4.3.1線性時變繫統的能控性判據
4.3.2線性時變繫統的能觀性判據
4.4離散定常繫統的能控性與能觀性
4.4.1離散定常繫統能控性定義及判據
4.4.2離散定常繫統能觀測性定義及判據
4.4.3連續繫統的能控性、能觀性與離散繫統的能控性、能觀性之間的關繫
4.5對偶原理
4.5.1線性繫統的對偶關繫
4.5.2對偶原理
4.6能控標準型與能觀標準型
4.6.1單輸入繫統的能控標準型
4.6.2單輸出繫統的能觀測標準型
4.7繫統的結構分解
4.7.1基本概念
4.7.2按能控性分解
4.7.3按能觀測性分解
4.7.4標準分解
4.8傳遞函數陣的實現
4.8.1實現的基本概念
4.8.2多輸入多輸出繫統的能控性與能觀性實現
4.8.3小實現
4.9傳遞函數與能控性和能觀性之間的關繫
4.9.1單輸入單輸出繫統能控性、能觀性與傳遞函數之間的關繫
4.9.2多輸入多輸出繫統的能控性、能觀性與傳遞函數陣之間的關繫
4.10利用MATLAB分析能控性與能觀性
4.10.1常用函數
4.10.2控制實例
本章小結
習題
MATLAB實驗
第5章控制繫統的穩定性
5.1外部穩定性與內部穩定性
5.1.1外部穩定性
5.1.2內部穩定性
5.2Lyaponov定義下的穩定性
5.2.1繫統的平衡狀態
5.2.2狀態矢量範數
5.2.3李雅普諾夫意義下的穩定性定義
5.2.4外部穩定性與內部穩定性之間的關繫
5.3李雅普諾夫判穩法
5.3.1線性定常繫統的穩定性分析
5.3.2線性時變繫統的穩定性分析
5.3.3非線性繫統的穩定性分析
5.4李雅普諾夫判穩第二法
5.4.1李雅普諾夫第二法的基本思想
5.4.2標量函數V（x）的符號性質（Sign）
5.4.3二次型標量函數的符號性質
5.4.4李雅普諾夫第二法的穩定性判據
5.5李雅普諾夫法在線性繫統中的應用
5.5.1李雅普諾夫矩陣方程
5.5.2李雅普諾夫矩陣方程在線性定常繫統穩定性判別中的應用
5.5.3基於李雅普諾夫第二法的線性時變繫統的穩定性分析
5.5.4線性定常離散繫統的穩定性
5.5.5用李雅普諾夫函數估算繫統響應的快速性
5.6李雅普諾夫第二法在非線性繫統中的應用
5.6.1克拉索夫斯基法
5.6.2阿塞爾曼法
5.7基於Lyapunov第二法的參數問題
5.7.1線性二次型控制問題
5.7.2參數問題的Lyapunov第二法的解法
5.8基於李雅普諾夫第二法的模型參考控制繫統
5.8.1模型參考控制繫統
5.8.2控制器的設計
5.9基於MATLAB的穩定性分析
5.9.1穩定性分析的常用函數
5.9.2基於MATLAB的穩定性分析實例
本章小結
習題
MATLAB實驗
第6章繫統的綜合
6.1基本概念
6.1.1引言
6.1.2性能指標的類型
6.1.3線性反饋繫統的基本結構
6.2極點配置與狀態反饋
6.2.1期望極點對繫統動態性能的影響
6.2.2狀態反饋與極點配置
6.2.3單變量繫統極點配置定理
6.2.4狀態反饋下閉環繫統的鎮定問題
6.3輸出反饋
6.3.1輸出反饋至矩陣B後端
6.3.2輸出反饋至矩陣B前端
6.3.3狀態反饋與輸出反饋的比較
6.4狀態重構與狀態觀測器
6.4.1開環狀態觀測器
6.4.2閉環全維狀態觀測器
6.4.3配置狀態觀測器反饋增益矩陣G的方法
6.4.4降維狀態觀測器
6.5帶狀態觀測器的狀態反饋繫統
6.5.1繫統的結構與數學模型
6.5.2閉環繫統的基本特性
6.5.3具有降階觀測器的觀測—狀態反饋控制繫統
6.6解耦控制繫統
6.6.1繫統解耦基本原理
6.6.2用前饋補償器實現解耦
6.6.3用串聯補償器實現解耦控制
6.6.4用輸入變換和狀態反饋實現解耦控制
6.6.5解耦繫統的綜合控制
6.7穩態精度與漸近跟蹤
6.7.1穩態精度與跟蹤問題
6.7.2內模原理
6.7.3無靜差跟蹤控制繫統的設計
6.7.4倒立擺的無靜差(Ⅰ型)位置跟蹤繫統設計
6.8基於MATLAB的繫統綜合
6.8.1常用函數指令
6.8.2應用舉例
本章小結
習題
MATLAB實驗
第7章控制
7.1基本概念
7.2變分法在控制中的應用
7.2.1泛函與變分法的基本概念
7.2.2泛函極值
7.2.3橫截條件
7.2.4條件極值
7.3極小值原理
7.3.1連續繫統的極小值原理
7.3.2離散繫統的極小值原理
7.4動態規劃
7.4.1性原理
7.4.2離散繫統的動態規劃
7.4.3連續繫統的動態規劃
7.4.4變分法、極小值原理與動態規劃
7.5線性二次型控制
7.5.1線性二次型問題
7.5.2狀態調節器
7.5.3輸出調節器
7.5.4輸出跟蹤問題
7.6實用控制繫統
7.6.1電機拖動控制
7.6.2人造地球衛星姿態控制
7.6.3二級倒立擺控制
7.7運用MATLAB求解控制問題舉例
本章小結
習題
MATLAB實驗
附錄A常用符號表
附錄B向量空間與矩陣理論的基本知識
附錄CMATLAB軟件中常用控制指令說明
參考文獻

前言

版前言現代控制理論是在自動控制、電氣工程、信息工程以及計算機技術學科發展基礎上建立起來的一門理論與實踐相結合的課程。隨著科技的發展，現代控制理論的概念、方法和體繫已經滲透到許多學科領域。學科的交叉發展要求高級工程技術人員必須更多地了解和掌握其他相近學科、專業的知識。因此，對於自動化以及相關專業的本科生和一些非控制類專業的碩士生學習現代控制理論的基礎知識以及掌握利用MATLAB分析、設計控制繫統的方法是時代的要求。為適應我國高等教育人纔培養的要求，改革本課程體繫和更新教學內容，已成為一項十分迫切的重要任務。針對現代控制理論基礎具有理論性強、內容抽像的特點，本書著重於基本概念和理論的闡述，精選內容，注重應用，並盡量做到深入淺出，理論聯繫實際，結構清晰，從整體上介紹現代控制理論的基本內容，以適應控制理論教學改革需要和21世紀對人纔培養的要求。本書在編寫中強調狀態空間控制理論與工程實踐問題緊密結合，注重對讀者分析問題和解決實際問題能力的培養，具有如下特色： ①結構清晰，便於讀者從整體上掌握現代控制理論的基本方法。本書貫穿了動態繫統在狀態空間數學模型基礎上的“定量分析→定性分析→極點配置→反饋控制”這一結構主線； ②注重物理概念，避免繁瑣的數學推導，論證與實例配合緊密，易於理解，突出現代控制理論的工程應用背景，便於讀者運用理論知識解決實際問題； ③在闡述現代控制理論的基本方法時注意與經典控制理論基本方法的聯繫與比較； ④在保證理論知識體繫結構完整的前提下，融入MATLAB在線性繫統理論和控制中的應用； ⑤每章均附有較豐富的例題、習題、上機實驗題，便於讀者自學，有利於提高讀者計算機應用能力和研究能力。全書共分7章，闡述現代控制理論的基本內容，包括控制理論的發展、狀態空間的基本概念、狀態空間描述的建立和標準型、繫統的運動分析、能控性與能觀性的概念與判據、繫統的結構分解與實現、應用李雅普諾夫法分析繫統的穩定性、極點配置、狀態反饋和狀態觀測器以及控制理論等。在每章後面分別介紹了MATLAB在現代控制理論中的一些應用，如何利用計算機輔助設計方法解決自動控制領域的一些繫統分析和設計問題。全書由餘成波統稿。參加編寫的人員有張蓮(第1~3章)，胡曉倩(第4~6章)，王士彬(第7章)。胡柏棟、李泉、秦華鋒、謝東坡、龔智、許超明等同志也參加了本書部分章節的編寫工作。本書在編寫過程中，參閱了很多專著及文獻，同時許多兄弟院校的同行們為本書的編寫提出了許多寶貴意見並提供了許多幫助，在此，一並表示衷心感謝。本書可作高等院校自動化、電氣工程及其自動化等專業本科和非自動化專業研究生教材，也可供從事自動化方面工作的科技人員學習參考。由於編者的水平有限，書中難免有錯誤和不當之處，敬請廣大的國內同行與讀者給予批評與指正。

編者2007年6月

第二版前言隨著科技的發展，現代控制理論的概念、原理和方法已經廣泛地運用於社會生活的方方面面。如何使狀態空間控制理論與工程實際問題緊密結合，提高學生分析、解決工程實際問題的能力，為其今後從事先進控制理論和技術的研究提供支持，本書已在版的編寫過程中做了許多的努力和嘗試，形成了注重物理概念、避免繁瑣數學推導和與經典控制理論形成參照對比的闡述方法，以及附有豐富例題、習題與MATLAB應用實例的特色。為適應新時期高等教育人纔培養工作的需要，以及科學技術發展的新趨勢和新特點，按自動化專業培養目標和培養要求，並結合教學大綱，本書在版的基礎上進行了修訂，以適合廣大高校相關專業需求，反映當前控制技術發展的主流和趨勢。本次再版在保持版框架體繫、主要內容及基本特色的基礎上，主要進行了如下修改和補充： (1) 修訂了版中一些數學公式、圖表和單位中存在的疏漏，修改了部分內容的闡述方式，力求更加符合理工科學生的認識規律； (2) 在第2章至第7章習題中補充了MATLAB實驗題，有利於讀者計算機應用能力和實踐能力的提高； (3) 結合在工程控制繫統設計實例，對書中部分例題進行了修改，以展示更符合實際情況的控制任務分析、狀態控制模型建立、控制器分析與設計的整個過程。本書可作高等工科院校自動化本科和非自動化專業研究生教材，也可供從事自動化方面工作的科技人員學習參考。本書由7章組成，主要由張蓮、胡曉倩、彭滔、餘成波編寫。張攀、陳大孝等同志參加了本書部分內容的編寫工作。本書是在版的基礎上改寫的，並利用了版書的部分材料。全書的錯誤和缺點由主編和全體編著者共同負責。由於編者的水平有限，書中難免有錯誤和不當之處，敬請廣大的國內同行與讀者給予批評與指正。

編者2016年2月

媒體評論

評論

在線試讀

第5章控制繫統的穩定性對於一個給定的控制繫統，穩定性（Stability）是繫統的重要特性。穩定性是繫統正常工作的前提，是繫統的一個動態屬性。在控制理論和控制工程中，無論是調節器理論、觀測器理論還是濾波預測、自適應理論，都不可避免地要遇到繫統穩定性問題，而且穩定性分析的復雜程度也在急劇增長。對於線性定常繫統，有許多穩定性判據，如勞斯-赫爾維茨（Routh-Hurwitz）穩定性判據和奈奎斯特（Nyquist）穩定性判據等。然而，如果繫統是非線性的，或是線性時變的，則上述穩定性判據就將不再適用。1892年，俄國數學家李雅普諾夫（Lyaponov）發表了《運動穩定性的一般問題》的博士論文，提出了分析穩定性的兩種有效方法。種方法，通過對線性化繫統特征方程的根的分析來判斷穩定性，稱為間接法。此時，非線性繫統必須先線性近似，而且隻適用於平衡狀態附近。第二種方法，從能量的觀點對繫統的穩定性進行研究，稱為直接法，對線性、非線性繫統都適用。直到目前，雖然有許多判據可應用於線性時不變繫統或其他各自相應類型的問題中，以判斷繫統穩定情況，但能同時有效地適用於線性、非線性、定常、時變等各類繫統的方法，則僅有李雅普諾夫方法。此外，它還可應用於線性二次型控制問題。李雅普諾夫穩定性理論是穩定性分析、應用與研究的重要基礎。本章5.1節首先簡要分析繫統的外部穩定性與內部穩定性； 5.2節介紹Lyapunov意義下的穩定性定義； 5.3節給出Lyapunov判穩法，並將其應用於非線性繫統的穩定性分析； 5.4節討論基於能量函數的Lyapunov判穩第二法； 5.5節針對線性定常繫統、線性時變繫統、線性離散繫統的穩定性分析，介紹了線性繫統Lyapunov能量函數的求解方法； 5.6節針對非線性繫統，提供了構造李雅普諾夫能量函數的非試湊的方法； 5.7節討論了基於Lyapunov第二法的參數問題； 5.8節給出模型參考控制繫統，首先用公式表示Lyapunov穩定性條件，然後在這些條件的限制下設計繫統。後5.9節給出幾類穩定性問題的MATLAB解法。
5.1外部穩定性與內部穩定性
傳遞函數描述的是繫統的外部特性，因此經典控制論中的穩定性指的是外部（輸出）穩定性。而狀態空間描述法不僅研究繫統的外部特性，而且全面揭示了繫統的內部特性，因此繫統平衡狀態穩定與否研究的是繫統的內部（狀態）穩定性，繫統因為擾動而偏離原靜止平衡態所產生的自由響應更能夠深刻地揭示繫統的穩定性。5.1.1外部穩定性在經典控制理論中，外部穩定性是繫統在零初始條件下通過其外部狀態，即繫統的輸入輸出關繫所定義的。外部穩定性考慮的繫統的零狀態響應，適用於線性繫統。其定義為：初始條件為零的繫統，任何一個有界輸入作用下繫統的輸出也是有界的，則繫統是外部穩定的，又稱有界輸入有界輸出穩定性或者BIBO穩定（Bounded input Bounded output）。有界的定義如下。1. 單輸入—單輸出繫統輸入u(t)和輸出y(t)的有界性是通過它們各自模的有界性表示。
|u(t)|≤β1,0＜β1＜∞,t≥t0（5.1）
|y(t)|≤β2,0＜β2＜∞,t≥t0（5.2）第5章控制繫統的穩定性對於一個給定的控制繫統，穩定性（Stability）是繫統的重要特性。穩定性是繫統正常工作的前提，是繫統的一個動態屬性。在控制理論和控制工程中，無論是調節器理論、觀測器理論還是濾波預測、自適應理論，都不可避免地要遇到繫統穩定性問題，而且穩定性分析的復雜程度也在急劇增長。對於線性定常繫統，有許多穩定性判據，如勞斯-赫爾維茨（Routh-Hurwitz）穩定性判據和奈奎斯特（Nyquist）穩定性判據等。然而，如果繫統是非線性的，或是線性時變的，則上述穩定性判據就將不再適用。1892年，俄國數學家李雅普諾夫（Lyaponov）發表了《運動穩定性的一般問題》的博士論文，提出了分析穩定性的兩種有效方法。種方法，通過對線性化繫統特征方程的根的分析來判斷穩定性，稱為間接法。此時，非線性繫統必須先線性近似，而且隻適用於平衡狀態附近。第二種方法，從能量的觀點對繫統的穩定性進行研究，稱為直接法，對線性、非線性繫統都適用。直到目前，雖然有許多判據可應用於線性時不變繫統或其他各自相應類型的問題中，以判斷繫統穩定情況，但能同時有效地適用於線性、非線性、定常、時變等各類繫統的方法，則僅有李雅普諾夫方法。此外，它還可應用於線性二次型控制問題。李雅普諾夫穩定性理論是穩定性分析、應用與研究的重要基礎。本章5.1節首先簡要分析繫統的外部穩定性與內部穩定性； 5.2節介紹Lyapunov意義下的穩定性定義； 5.3節給出Lyapunov判穩法，並將其應用於非線性繫統的穩定性分析； 5.4節討論基於能量函數的Lyapunov判穩第二法； 5.5節針對線性定常繫統、線性時變繫統、線性離散繫統的穩定性分析，介紹了線性繫統Lyapunov能量函數的求解方法； 5.6節針對非線性繫統，提供了構造李雅普諾夫能量函數的非試湊的方法； 5.7節討論了基於Lyapunov第二法的參數問題； 5.8節給出模型參考控制繫統，首先用公式表示Lyapunov穩定性條件，然後在這些條件的限制下設計繫統。後5.9節給出幾類穩定性問題的MATLAB解法。
5.1外部穩定性與內部穩定性
傳遞函數描述的是繫統的外部特性，因此經典控制論中的穩定性指的是外部（輸出）穩定性。而狀態空間描述法不僅研究繫統的外部特性，而且全面揭示了繫統的內部特性，因此繫統平衡狀態穩定與否研究的是繫統的內部（狀態）穩定性，繫統因為擾動而偏離原靜止平衡態所產生的自由響應更能夠深刻地揭示繫統的穩定性。5.1.1外部穩定性在經典控制理論中，外部穩定性是繫統在零初始條件下通過其外部狀態，即繫統的輸入輸出關繫所定義的。外部穩定性考慮的繫統的零狀態響應，適用於線性繫統。其定義為：初始條件為零的繫統，任何一個有界輸入作用下繫統的輸出也是有界的，則繫統是外部穩定的，又稱有界輸入有界輸出穩定性或者BIBO穩定（Bounded input Bounded output）。有界的定義如下。1. 單輸入—單輸出繫統輸入u(t)和輸出y(t)的有界性是通過它們各自模的有界性表示。
|u(t)|≤β1,0＜β1＜∞,t≥t0（5.1）
|y(t)|≤β2,0＜β2＜∞,t≥t0（5.2）
2. 多輸入—多輸出繫統輸入向量u(t) 和輸出向量y(t)的有界性，是通過每個分量的模的有界性表示，若
u(t)=u1(t),u2(t),…,ur(t)T
y(t)=y1(t),y2(t),…,ym(t)T
則有界的含義為
ui(t)≤βi,i=1,2,…,r,0＜βi＜∞,t≥t0（5.3）
yj(t)≤βj,j=1,2,…,m,0＜βj＜∞,t≥t0（5.4）
對於線性連續繫統，外部穩定性可根據繫統脈衝響應矩陣H(t,τ)或傳遞函數矩陣W(s)進行判斷。5.1.2內部穩定性在狀態空間中，以線性繫統為例，繫統的響應為
x(t)=(t,t0)x(t0) ∫tt0(t,τ)Bu(τ)dτ（5.5）
包括零狀態響應和零輸入響應。零狀態響應穩定性和經典理論中穩定性問題一樣，屬於外部穩定的問題。而零輸入響應的穩定性問題，研究齊次方程由任意非零初態引起的響應的穩定性問題，是一種內部穩定性問題。針對在零輸入條件下的繫統，此時繫統稱為自治繫統，其自治狀態方程為
x·=A(t)x,x(t0)=x0,t≥t0（5.6）
內部穩定性完全由內部狀態變化所定義，考慮的是繫統的零輸入響應，適用於線性、非線性、定常、時變等繫統。其定義為：繫統由任意非零初態x(t0)引起的響應xu(t)有界，並滿足漸近屬性
limt→∞xu(t)=0（5.7）
對於一般情況，內部穩定性指自治繫統狀態運動的穩定性，實質上，內部穩定性等同於下一節將介紹的李雅普諾夫漸近穩定性。例5.1已知單輸入單輸出線性定常繫統，初始狀態為x0，初始時刻為0，試分析繫統的外部穩定性與內部穩定性。
x·=Ax bu
y=cx
解繫統的輸出響應為
y(t)=c(t)x0 c∫t0(t-τ)bu(τ)dτ=y1 y2
式中y1=c(t)x0，為初始狀態x0引起的零輸入響應； y2=c∫t0(t-τ)bu(τ)dτ，為輸入u作用下的零狀態響應。(1）根據外部穩定性的定義，假定x0 =0，若繫統對任何有界輸入
u(t)≤β1,0＜β1＜∞,t≥0
輸出為
y(t)=y2(t)=∫t0c(t-τ)bu(τ)dτ≤β2,0＜β2＜∞,t≥0
則該繫統具有外部穩定性，即零狀態響應為等幅振蕩或衰減響應。對於線性定常繫統，具有外部穩定性的充要條件是傳遞函數
W(s)=c(sI-A)-1b
所有極點都位於s平面的左半面（包含臨界穩定）。可見外部穩定性未考慮傳遞函數的零極點對消現像，隻考慮了繫統能控且能觀的狀態。(2）根據內部穩定性的定義，有u=0，繫統由任意非零初態x0引起的響應xu(t)為
xu(t)=y1=c(t)x0=ceAtx0,t≥0
由式（5.7），繫統是內部穩定，即漸近穩定的充分必要條件是狀態轉移矩陣滿足下式
limt→∞eAt=0
對於線性定常繫統，滿足上式的條件是繫統矩陣A的所有特征值全部具有負實部。可見，對於同一繫統，隻有在一定條件下，外部穩定性與內部穩定性兩種定義纔具有等價性。
5.2Lyaponov定義下的穩定性
Lyaponov定義下的穩定性，針對繫統的平衡狀態，適用於單變量（SingleVariable）、線性（Linear）、定常（Continuoustime）、多變量（Multivariable）、非線性（Nonlinear）、時變（Time Varying）繫統，是對任何繫統都適用的關於穩定性的一般定義。繫統平衡態的穩定問題就是，偏離繫統平衡態的受擾運動能否隻依靠繫統內部的結構因素，使繫統返回到初始平衡態，或者使之限制在平衡態的有限鄰域內。因此，首先需要討論繫統平衡態、受擾運動等概念。5.2.1繫統的平衡狀態不受外部作用的自治繫統如下
x·=f(x,t)（5.8）
式中，x——n維狀態向量，x=x1x2…xnTf(x,t)——n維向量函數，f(x,t)=f1(x,t)f2(x,t)…fn(x,t)T若對任意時間t有
x·=f(xe,t)=0,t≥t0（5.9）
則稱xe為繫統的平衡狀態（Equilibrium State），也稱繫統的零解。對於一個任意繫統，不一定都存在平衡狀態，也未必是的。1. 線性定常繫統的平衡狀態對於線性定常繫統，求解下式
x·=f(xe)=Ax=0
必然有0·=A0，可見，n維狀態空間的坐標原點是一個平衡狀態。(1） A為非奇異陣，原點是平衡狀態。(2） A為奇異陣，除原點外，還有其他平衡狀態。例如：
A=0100
Ax=0100x1x2=x20=00
由Ax=0，可知此繫統平衡狀態為
x1∈R,x2=0
對任何線性定常繫統，原點必為一個平衡狀態。2. 非線性繫統的平衡狀態非線性繫統可能有不同的平衡狀態，其穩定性可能不同。例如，某非線性繫統為
x·1x·2=f(x1,x2)=x2-ω2sinx1=00
由平衡狀態定義，令f(x1,x2)=0，可求得平衡狀態
x1x2=kπ0,或者xe=…,-π0,00,π0,…

注： (1）繫統在t0時刻的平衡狀態，指t≥t0時，所有滿足x·=0的狀態。當繫統處於平衡狀態時，若無輸入作用，則繫統一直處於該狀態。(2）線性繫統的任意孤立平衡狀態均可通過坐標變換將其移到狀態空間原點，其穩定性不變。不失一般性，認為線性繫統的平衡狀態確定為xe=0。這種“原點穩定性問題”使問題得到極大簡化，而不會喪失一般性，從而為穩定性理論的建立奠定了堅實的基礎，是Lyapunov的一個重要貢獻。(3）對線性定常繫統，可以認為是研究繫統的穩定性；而對其他繫統，隻能認為是研究某一平衡態下的穩定性。(4）自治繫統由任意非零初態x(t0)引起的狀態運動，也稱為受擾運動，相當於把非零初態x(t0)看成相對於零平衡狀態的一個狀態擾動。5.2.2狀態矢量範數範數(Norm)‖x-xe‖，表示狀態矢量x與平衡狀態xe之間的距離，對於n維狀態空間，其範數表示為
‖x-xe‖=(x1-xe1)2 (x2-xe2)2 … (xn-xen)2（5.10）
若平衡狀態為狀態空間的原點，即xe=0，式(5.10)變為
‖x‖=x21 x22 … x2n=x1x2…xnx1x2…xnT（5.11）
當繫統維數分別為n=1，2，3時，狀態向量的範數表達式如下： (1) n=1,‖x‖=x21=x1； (2) n=2,‖x‖=x21 x22； (3) n=3,‖x‖=x21 x22 x23。5.2.3李雅普諾夫意義下的穩定性定義如圖5.1所示三個曲面，小球均處於初始平衡點，考察其受擾動作用，自平衡點偏離後的繫統響應。

圖5.1小球運動分析示意圖

(1）平衡點a：擾動作用使小球偏離原平衡點，並到達另外一個平衡點，自由響應有界。(2）平衡點b：考慮有摩擦，小球圍繞原平衡點將產生衰減振蕩，小球的自由響應有界，且終返回原來初始平衡點。(3）平衡點c：自由響應無界。李雅普諾夫把以上三種平衡點分別定義為穩定、漸近穩定、不穩定。1. 穩定1）定義設繫統的初始狀態x0處在狀態空間中，位於以平衡狀態xe為球心，半徑為δ的閉球域（Spherical Domain）S(δ)內，即
‖x0-xe‖≤δ，t≥t0（5.12）
若繫統由初態x0出發的繫統自由響應x (t; x0, t0 )在t→ ∞的過程中都位於以平衡狀態xe為球心，半徑為ε的閉球域S(ε)內，即
‖x(t; x0,t0)-xe‖≤ε，t≥t0（5.13）
則稱動力學繫統的平衡狀態xe是李雅普諾夫意義下穩定的，或稱繫統具有李雅普諾夫意義下的穩定性。式(5.13)中，‖·‖表示向量的範數（模）。一般地，實數δ與ε有關，通常也與初始時刻t0有關。如果δ的大小與 t0無關，則稱x是李雅普諾夫意義下的一致穩定（Uniformly Stable）。對於時變繫統，一致穩定比穩定更有實際意義。而對於時不變繫統，李雅普諾夫意義下的穩定與一致穩定等價。2）李雅普諾夫穩定性定義的幾何解釋以上定義意味著：在狀態空間中，任給一個以平衡狀態xe為中心的球域S(ε)，無論多小，都能找到一個以原點為中心的球域 S(δ)，使任何從 S(δ)出發的運動軌跡，都不超出S(ε)。考慮二維空間，平衡態xe為坐標原點，S(ε)、S(δ)均為一個圓，如圖5.2所示。李雅普諾夫意義下的穩定隻能保證繫統受擾運動相對於平衡狀態的有界性，不能保證繫統受擾運動相對於平衡狀態的漸近性。李雅普諾夫意義下的穩定實質上就是工程意義下的臨界不穩定。2. 漸近穩定1）定義如果平衡狀態xe不僅是李雅普諾夫意義下穩定的，而且從球域S (δ)出發的任意解x(t; x0, t0 )，時間趨於無窮大時，不僅不會超出球域S (ε)，而且終收斂於平衡狀態xe或其鄰域，即有
limt→∞||x(t; x0,t0)-xe||→0（5.14）
則稱平衡狀態xe是漸近穩定(Asymptotically Stable)的。其中球域S(δ)被稱為平衡狀態xe=0的吸引域，表示位於其內的所有狀態點都可被“吸引”到平衡狀態xe的鄰域。同樣，如果δ的大小與 t0無關，則稱x是李雅普諾夫意義下的一致漸近穩定。對於時變繫統，一致漸近穩定比漸近穩定更有實際意義。而對於時不變繫統，李雅普諾夫意義下的漸近穩定與一致漸近穩定等價。2）幾何含義漸近穩定首先應是李雅普諾夫意義下的穩定。工程上往往喜歡漸近穩定，因為希望干擾除去後，繫統又會回到原來的工作狀態，這個狀態正是設計繫統時所期望的，也就是前面所說的平衡狀態。圖5.3表示了漸近穩定情況在二維狀態空間中的幾何解釋。

圖5.2二維狀態空間中穩定的平衡狀態

圖5.3二維狀態空間中漸近穩定的平衡狀態

實際上，漸近穩定性比純穩定性更重要。考慮到非線性繫統的漸近穩定性是一個局部概念，所以簡單地確定漸近穩定性並不意味著繫統能正常工作。通常有必要確定漸近穩定性的範圍或吸引域。它是發生漸近穩定軌跡的那部分狀態空間。換句話說，發生於吸引域內的每一個軌跡都是漸近穩定的。3. 大範圍漸近穩定無論是李雅普諾夫意義下的穩定、漸近穩定，都屬於繫統在平衡狀態附近一小範圍內的局部性質。因為繫統隻要在包圍xe的小範圍內，能找到δ和ε滿足定義中條件即可。至於從S (δ)外的狀態出發的運動，卻完全可以超出S(ε)。因此，若為了滿足穩定（或漸近穩定）條件，初始狀態x0有一定限制，則繫統稱是小範圍穩定（或小範圍漸近穩定），也稱局部穩定（Locally Stable）（或局部漸近穩定）。如果繫統在任意初始條件下的解x(t; x0, t0 )，當t→∞的過程中，收斂於平衡狀態xe或其鄰域，則平衡狀態xe是不僅漸近穩定的，而且其範圍包含整個狀態空間，則稱xe是大範圍漸近穩定，或稱全局漸近穩定的平衡狀態。大範圍漸近穩定的必要條件是：狀態空間中繫統中隻有一個平衡狀態。例如某繫統狀態方程為
x·=Ax,A≠0
可知零狀態必然是繫統的平衡狀態，而若零狀態漸近穩定，因為它是繫統的孤立平衡狀態，則必然是大範圍漸近穩定的。可見，線性繫統穩定性與初始條件無關。從實用觀點出發，僅僅判知繫統是小範圍漸近穩定的，繫統不一定能正常工作，一旦實際存在的干擾，使繫統的初始狀態偏離而超出S(δ)的範圍，就會導致x有可能不返回xe。因此，工程上對大範圍漸近穩定更感興趣。如果平衡狀態不是大範圍漸近穩定的，那麼問題就轉化為確定漸近穩定的範圍或吸引域，這通常非常困難。然而，對所有的實際問題，如能確定一個足夠大的漸近穩定的吸引域，以致擾動不會超過它就可以了。
對於線性定常繫統，漸近穩定等價於大範圍漸近穩定。但對於非線性繫統，一般隻考慮吸引域為有限的定範圍的漸近穩定。4. 不穩定如果無論δ的值有多麼小，即初始狀態x0與平衡狀態xe非常接近，而由球域S(δ)內出發的任意解，隻要有一條軌跡離開球域S(ε)，即至少存在一個初態，由此出發的狀態軌跡x(t; x0, t0 )，不滿足下列不等式
||x(t; x0,t0)-xe||≤ε，t≥t0（5.15）
則繫統的平衡狀態xe是不穩定（Instability）的。說明對於某個實數ε >0和任一個實數δ>0，不管這兩個實數多麼小，在S(δ)內總存在一個初始狀態x0，使得始於這一狀態的軌跡終會脫離開S(ε）。對於不穩定平衡狀態的軌跡，雖然超出了S(ε)，但並不意味著軌跡一定趨向無窮遠處，例如對於非線性繫統，軌跡可能趨於S(ε)外的某個平衡點。但對於線性繫統，從不穩定平衡狀態出發的軌跡，理論上一定趨於無窮遠。從上述定義可以看出，球域S(δ)限制初始狀態x0的取值，球域S(ε)規定了繫統自由響應x(t; x0, t0 )的邊界。繫統自由響

圖5.4二維狀態空間中不穩定的平衡狀態

應x(t; x0, t0 )有界，則平衡狀態xe穩定；如果x(t; x0, t0 )不僅有界，而且收斂於平衡態xe，則稱xe漸近穩定；如果x(t; x0,t0 )無界，則xe不穩定。圖5.4所示表示二維狀態空間中不穩定的平衡狀態。注意，這些定義不是確定平衡狀態穩定性概念的方法。實際上，在其他文獻中還有另外的定義。由於上述定義不能詳細地說明可容許初始條件的精確吸引域，因而除非S(ε)對應於整個狀態平面，否則這些定義隻能應用於平衡狀態的鄰域，是局部性能。考慮圖5.5所示的幾種典型情況：平衡點a、c是局部漸近穩定，平衡點b、d是局部不穩定，平衡點e是局部穩定。

圖5.5不同平衡狀態的穩定性示意圖

可得結論如下。(1）線性定常繫統：任一孤立平衡狀態，都可通過坐標變換移到狀態空間的原點，分析原點的穩定性具有代表性。(2）非線性繫統：各個平衡點的穩定性不同，應該分別分析各平衡狀態xe的穩定性。(3）穩定隻要求狀態軌跡在球域S (ε)中，而漸近穩定要求x (t; x0,t0 )終收斂於或無限接近於平衡狀態xe。(4）實際中往往希望xe為大範圍漸近穩定。(5）對於線性繫統：若平衡狀態是漸近穩定的，則一定是大範圍漸近穩定的。(6）在經典控制理論中的穩定性概念與Lyapunov意義下的穩定性概念是有一定的區別的，例如，在經典控制理論中隻有漸近穩定的繫統纔稱為穩定的繫統；在Lyapunov意義下是穩定的，但卻不是漸近穩定的繫統，則叫做不穩定繫統。兩者的區別與聯繫如表5.1所示。

表5.1經典控制理論與Lyapunov意義下的穩定性概念的區別與聯繫

經典控制理論(線性繫統）不穩定 (Re(s)>0)臨界情況 (Re(s)=0)穩定 (Re(s)<0)

Lyapunov意義下不穩定穩定漸近穩定例5.2分析此繫統的李雅普諾夫意義下的穩定性。
A=0000-1000-2,b=002,x(0)=x0,t≥0
解令u=0，求得繫統的平衡狀態為
x·=Ax=0
x·=0000-1000-2x1x2x3=0-1x2-2x3=000
求解上式,繫統的平衡狀態為
xe=xe1xe2xe3=k00
輸入為0時，繫統狀態方程的解為
x(t; x0,t0)=eAtx0=e0t000e-t000e-2tx01x02x03=x01x02e-tx03e-2t=x1x2x3
繫統狀態與平衡態之間的範數為
‖x-xe‖=(x01-k)2 (x02e-t)2 (x03e-2t)2
limt→∞‖x-xe‖=x01-k
在t→∞的過程中，由於繫統的解x不是收斂於平衡狀態 xe，因此繫統是穩定的，但不是漸近穩定的。另外，雖然此繫統有無窮個平衡狀態，但由於該繫統是線性定常繫統，實際上分析原點的平衡狀態的穩定性即可。由例5.2可見，繫統的內部（狀態）穩定性決定於零輸入下的狀態軌跡，而狀態的轉移軌跡是通過繫統的狀態轉移矩陣描述的，繫統的狀態轉移矩陣又取決於繫統的特征值。例5.3直接用定義判斷繫統漸近穩定性和輸入輸出穩定性。
A=-200-3,b=01,c=21
解令u=0，求得繫統的平衡狀態為xe=0。繫統零輸入的狀態解為
x(t)=eAtx(0)=e-2t00e-3tx1(0)x2(0)=e-2tx1(0)e-3tx2(0)
limt→∞x1(t)=limt→∞e-2tx1(0)=0
limt→∞x2(t)=limt→∞e-3tx2(0)=0
所以，繫統漸近穩定。繫統的輸出為
y=cx=21x1x2=2x1 x2
limt→∞y(t)=0
繫統的輸出穩定。可見，對於線性定常繫統，如果繫統A陣每個特征值均具有負實部，則每個狀態分量的零輸入解將衰減為0，即收斂於0平衡狀態，繫統是漸近穩定的。 5.2.4外部穩定性與內部穩定性之間的關繫考慮單輸入單輸出線性定常繫統，傳遞函數為
W(s)=C(s)R(s)=bmsm bm-1sm-1 … b1s b0sn an-1sn-1 … a1s a0=N(s)D(s),m≤n
傳遞函數極點決定外部穩定性。而繫統狀態空間描述為
x·=Ax bu
y=cx
繫統的內部穩定性取決於繫統的特征值。考慮到兩種數學模型之間的轉換關繫，具體有（1）若傳遞函數無零極點對消
W(s)=c(sI-A)-1b=cadj(sI-A)bsI-A=N(s)D(s)
det(sI-A)=sI-A=D(s)（5.16）
由於傳遞函數不存在公因子相消，傳遞函數的極點與繫統特征值相同，內部穩定性等價於外部穩定性（2）若傳遞函數存在零極點對消
W(s)=c(sI-A)-1b=cadj(sI-A)bsI-A=N(s)D(s)
D(s)≠det(sI-A)（5.17）
傳遞函數的極點數少於繫統特征值數，W(s)的極點隻是繫統矩陣A的特征值的子集。由於可能消去的是正實部的極點，則盡管繫統可能具有外部穩定性，但不一定具有內部穩定性。而對於多輸入繫統，隻要繫統是既能控又能觀的，依然有內、外部穩定性等價。對於線性定常繫統，有以下結論： (1）繫統內部穩定就必然有外部穩定; (2）繫統外部穩定不一定保證內部穩定; (3）若繫統能控能觀，則內部穩定等價於外部穩定; (4）若繫統狀態是穩定的，則繫統輸出是穩定的。因此，隻用傳遞函數的極點判斷繫統的穩定性不一定真正反映繫統的穩定性。此時，繫統內部可能有一些狀態越界，導致繫統飽和或出現危險。
5.3李雅普諾夫判穩法
李雅普諾夫判穩法（First Method）是利用齊次狀態方程解的特性判斷繫統的內部穩定性，適用於線性定常、線性時變、線性離散以及可以線性化的非線性繫統。經典控制論中關於線性繫統穩定性的各種判據，都可以視為李氏判穩法的工程應用。5.3.1線性定常繫統的穩定性分析1. 線性定常連續繫統穩定性的特征值判據
定理1線性定常連續繫統x·=Ax的零平衡狀態xe=0，是漸近穩定的充要條件是： A陣的所有特征值（Eigenvalue）具有負實部（Negative Real Part）。漸近穩定考慮的是繫統零輸入響應，屬於內部穩定性，又稱狀態穩定性。與此相對應，繫統外部穩定性，即輸入輸出穩定（BIBO穩定性）考慮的是繫統的零狀態響應，其充要條件是W(s)的所有極點具有負實部。例5.4判斷繫統漸近穩定性和輸入輸出穩定性。
A=200-3,b=11,c=01
解直接根據特征值的實部，判斷繫統狀態x1不穩定。
y=cx=01x1x2=x2
limt→∞y(t)=0
繫統的輸出穩定，即具有外部穩定性。繫統的傳遞函數必然有零極點對消。例5.5判斷繫統漸近穩定性和輸入輸出穩定性。
A=061-1,b=-21,c=01
解(1）外部穩定性（輸入輸出穩定性），
W(s)=c(sI-A)-1b=01s-6-1s 1-1-21
=01s 161s(s 3)(s-2)-21=1s-21(s 3)(s-2)
=s-2(s 3)(s-2)=1s 3
極點-3具有負實部，是輸入輸出穩定的。 (2）內部穩定性分析,
λI-A=λ-6-1λ 1=λ2 λ-6=(λ 2)(λ-3)
繫統非漸近穩定，但是輸入輸出穩定。因為存在零極點對消，消掉了具有正實部的特征值λ=2。例5.6試用李雅普諾夫方法求此線性繫統大範圍漸近穩定的條件。
x·=a11a12a21a22x
解求繫統矩陣A的特征方程
λI-A=λ-a11-a12-a21λ-a22=λ2-(a11 a22)λ a11a22-a12a21=0
由勞斯判據，兩個特征值同時具有負實部的充要條件為a11 a22<0，與a11a22>a12a21。例5.7分析此多輸入多輸出繫統的內外部穩定性。
A=132042001B=010010C=100001
解繫統的傳遞函數為
C(sI-A)-1B=s-1(s-1)2(s-4)s-43200s-4010010=2(s-1)(s-4)1s-11s-10
繫統內部不穩定，且外部不穩定。2. 線性離散繫統穩定性分析定理2線性定常離散繫統x(k 1)=Gx(k)的零平衡狀態xe是漸近穩定的充要條件是：繫統矩陣G陣的所有特征值的模全部位於根平面的單位圓內，即
λi<1,i=1,2,…,n（5.18）
例5.8試確定繫統在原點的穩定性。
x1(k 1)x2(k 1)=0 0.5-0.5-1x1(k)x2(k)
解求離散繫統的特征值
λI-G=λ-0.50.5λ 1=λ2 λ 0.25=0λ1=λ2=-0.5
G陣的所有特征值的模都小於1，加上繫統隻有一個平衡狀態，因此此離散繫統在平衡點處是大範圍漸近穩定的。5.3.2線性時變繫統的穩定性分析對於線性時變繫統，同樣有兩種方法判斷繫統平衡狀態的穩定性，即基於狀態轉移的方法與基於李雅普諾夫判據的判斷方法。本節先介紹前一種方法。設線性繫統為
x·=A(t)x
繫統的平衡狀態為xe=0，狀態方程的解為
x(t)=(t,t0)x(t0),t≥t0≥0（5.19）
若有
limt→∞‖(t,t0)‖=0（5.20）
則limt→∞x(t)=0必然成立，繫統平衡狀態為xe=0在時刻t0是漸近穩定的。線性時變繫統穩定性的相關結論如下： (1) ‖(t,t0)‖≤β(t0),t≥t0,t0，0<β(t0)<∞，β(t0)是依賴於t0的實數，則繫統穩定; (2) ‖(t,t0)‖≤β,t≥t0,t0，0<β<∞，β是獨立的實數，則繫統一致穩定; (3) ‖(t,t0)‖→0,t→∞,t0，繫統漸近穩定; (4) ‖(t,t0)‖≤βe-c(t-t0),t≥t0,t0，c>0,β>0，則繫統一致漸近穩定。5.3.3非線性繫統的穩定性分析由於非線性繫統可能存在多個平衡態，而且每個平衡態的穩定性也可能不同，因此，需要對非線性的每個平衡態分別研究。非線性繫統為
x·=f(x)
當n維狀態向量函數f（x）對x有連續的偏導數存在時，可將非線性向量函數f（x）在平衡狀態xe附近展開（Expand）為泰勒級數(Taylor Series)。
x·=f(x)=f(x)xe fxTxe(x-xe) Δ(x)（5.21）
fxT=f1x1f1x2…f1xnf2x1f2x2…f2xnfnx1fnx2…fnxnn×n（5.22）
式(5.22)稱為雅可比（Jacobian）矩陣，其中，Δ(x)為級數展開式中的二次以上的高次項。若令一個新的狀態向量y=x-xe，忽略二次以上的高次項Δ(x)，由式（5.21）得到非線性繫統的一次近似線性化數學模型
y·=Ay（5.23）
A=fxTxe（5.24）
A為n×n階常數方陣，y=0為繫統的平衡狀態，對應x=xe，相當於把原平衡態移到坐標原點。實際繫統如果非線性不嚴重，或者偏差不大，在分析穩定性時，可按上述線性化（Linearization）模型應用線性繫統的穩定條件進行分析，那麼分析結果是否符合實際繫統的真實情況呢？李雅普諾夫小偏差理論有以下結論： (1）若式（5.24）所定義的矩陣A所有特征根具有負實部，則繫統在xe處漸近穩定，與忽略掉的Δ(x)無關; (2）隻要A有一個特征根具有正實部，繫統在xe處不穩定，與Δ(x)無關; (3）隻要A有一個特征根實部為0（純虛根，0根），繫統在xe處的穩定性與Δ(x)有關，不能直接按線性化模型來判斷，隻能用李雅普諾夫第二法判斷。例5.9分析繫統平衡態的穩定性。
x·1=x2,β>0

x·2=-β(1 x2)2x2-x1
解(1）可求繫統的平衡狀態為xe=0。(2）線性化,
A=fxTxe=01-1-β(1 x2)2-2β(1 x2)x2xe=0=01-1-β
(3）求線性化後的特征根，
λI-A=λ-11λ β=λ2 βλ 1
(4）由勞斯判據可知，繫統的特征根全部具有負實部，繫統在平衡狀態處漸近穩定。例5.10對於下面的非線性微分方程式求平衡點，並判別平衡點是否穩定。
x·1=x2

x·2=-sinx1-x2
解(1）由x2=0，-sinx1-x2=0，求得繫統的平衡點是x1=0,±π,±2π,…，x2=0。(2) 在x1=0,±2π,±4π,…，x2=0處，將繫統近似線性化得
A=fxTxe=01-cosx1-1xe=01-1-1
其特征多項式是f(λ)=λ2 λ 1，特征值具有負實部，這些平衡點漸近穩定。(3）在x1=±π,±3π,…，x2=0處，將繫統近似線性化得
A=fxTxe=01-cosx1-1xe=011-1
特征多項式是f(λ)=λ2 λ-1，特征值具有負實部，這些平衡點不穩定。由此可見，非線性繫統各個平衡點的穩定性可能並不相同，與前面的論述一致。
5.4李雅普諾夫判穩第二法
本節所要介紹的Lyapunov第二法（Lyapunov Second Method），也稱Lyapunov直接法，是確定非線性繫統和線性時變繫統的一般的方法。當然，這種方法也可適用於線性定常繫統的穩定性分析。此外，它還可應用於線性二次型控制問題。第二法不需求出微分方程的解，可以在不求出狀態方程解的條件下，確定繫統的穩定性。由於求解非線性繫統和線性時變繫統的狀態方程通常十分困難，所以這種方法顯示出極大的優越性。盡管采用Lyapunov第二法分析非線性繫統的穩定性時，需要相當的經驗和技巧，然而當其他方法無效時，這種方法卻能解決非線性繫統的穩定性問題。5.4.1李雅普諾夫第二法的基本思想本節將以一個電網絡繫統為例，簡述李雅普諾夫第二法的基本思想。

圖5.6RLC電路圖

如圖5.6所示電網絡，選取電感電流i(t)和電容電壓y(t)作為狀態變量，令x1(t)= i(t)，x2(t)= y(t)，u=0。求得一個狀態空間描述如下
x·1(t)=-RLx1(t)-1Lx2(t)
x·2(t)=1Cx1(t)
y(t)=x2(t)

可求得此線性定常繫統平衡狀態為xe=0。根據電路理論，參考表2.1，求件電容能量為
T=Q22C=12Cx22
電感能量為
S=12Li2=12Lx21
電路總能量為
V(x)=S T=12Lx21 12Cx22
能量變化率為
V·(x)=Lx1x·1 Cx2x·2=Lx1·-RLx1-1Lx2 Cx2·1Cx1=-Rx21
繫統總能量與能量變化率均為狀態的標量函數。根件參數的不同，繫統的穩定性分為以下幾種情況： (1) R=0,V·(x)=0，繫統總能量不變，響應為等幅振蕩，是李雅普諾夫意義下的穩定。(2) R>0,V·(x)<0，繫統總能量衰減，是李雅普諾夫意義下的漸近穩定。能量及能量的變化率表明，一旦繫統因干擾偏離平衡狀態xe，繫統具有正能量，將產生自由運動。若沿著狀態矢量的運動軌跡時，繫統能量又具有負的變化速度，這意味著，隨時間增長，能量將不斷耗散，從而趨於能量小的平衡狀態xe，直至能量消耗殆盡，後回到能量等於0的平衡狀態xe，因此繫統漸近穩定。反之，如果在運動中，繫統能量具有正的變化速度，繫統將不斷從外界吸收能量，能量越來越大，肯定不穩定。李雅普諾夫第二法從能量的觀點來研究物理繫統的穩定性問題。其基本思想是：繫統所具有能量是狀態矢量x的標量函數，且平衡狀態具有的能量小。從圖5.1可見，平衡點b具有的勢能小，附近各點的勢能都比它大，附近各點向平衡點b的勢能的變化率均為負，所以該平衡點是大範圍漸近穩定的；平衡點c具有的勢能，附近各點向其的勢能的變化率均為正，所以該平衡點是不穩定的；平衡點a各點的勢能都相同，勢能變化率為0，所以是穩定的。圖5.4所示的幾種典型情況也可以用能量的觀點說明，同時由於勢能的變化趨勢隻限定於局部範圍，故平衡點a、c是局部漸近穩定，平衡點b、d是局部不穩定，平衡點e是局部穩定。對於復雜的繫統，不一定明顯具有上述實例的物理意義，但基於能量觀點的基本思想是一致的。李氏第二法利用繫統的能量函數V（x）和V·(x)的正負去判斷繫統的穩定性。二者均是狀態x的標量函數。對於電網絡與機械位移繫統，各件的能量表達式如表2.1所示。對於一般繫統，引入一個虛構的能量函數，稱為李雅普諾夫函數，一般與狀態變量和時間有關V（x，t）；若不顯含t ，記為V（x）。5.4.2標量函數V（x）的符號性質（Sign）設V（x）是在域Ω中的n維狀態x所定義的一個標量函數，當x =0時， V（x）=0。如果對域Ω中的非零狀態，即當x ≠ 0時，有(1） V（x）>0，稱V（x）為正定的（Positive Definite），如 V（x）=x12 x22； (2） V（x）≥0，稱V（x）為半正定的（Positive Semidefinite），如 V（x）=(x1 x2)2;(3） V（x）<0，稱V（x）為負定的（Negative Definite），如V（x）=- (x12 x22);(4） V（x）≤0，稱V（x）為半負定的（Negative Semidefinite），如V（x）=-(x1 x2)2;(5） V（x）符號不定，稱V（x）為不定的（Indefinite），如V（x）=x1x2 x22。5.4.3二次型標量函數的符號性質二次型函數（Quadratic Function）是一類重要的標量（Scalar）函數，在李氏第二法中常取它為李氏函數。表2.1給出的各件的能量方程都是二次型函數。設n個狀態變量為x1，…， xn，矩陣P為實對稱矩陣，則二次型李氏函數為
V(x)=xTPx=x1x2…xnp11p12…p1np21p22…p2npn1pn2…pnnpij=pjix1x2xn
=p11x21 p22x22 … pnnx2n 2p12x1x2 … 2p1nx1xn 2p23x2x3 …
（5.25）
對於P為實對稱的二次型矩陣，V（x）的符號性質可以由塞爾維斯特判據（Sylvester Criterion）判斷。（如果x是復向量，則P可取為n維正定對稱的Hermite矩陣。）例5.11證明下列二次型函數是正定的。
V(x)=10x21 4x22 x32 2x1x2-2x2x3-4x1x3
解二次型V(x)可以改寫為
V(x)=xTPx=x1x2x3101-214-1-2-11x1x2x3
根據塞爾維斯特判據，矩陣P的各階主子式為
Δ1=p11=10>0，Δ2=p11p12p21p22=10114>0，
Δ3=P=101-214-1-2-11=40 2 2-16-1-10=17>0
所以V(x)>0，是正定的。5.4.4李雅普諾夫第二法的穩定性判據設繫統的狀態方程為
x·=f(x,t)（5.26）
對於線性定常繫統，不失一般性，可把狀態空間的原點作為繫統的平衡狀態。若找到一個單值標量函數V(x,t)，而且對狀態矢量x的每個分量，均有連續一階偏導V·(x,t)
V·(x,t)=V(x,t)x1x·1 V(x,t)x2x·2 … V(x,t)xnx·n,t
=V(x,t)x1V(x,t)x2…V(x,t)xnx·1x·2x·n（5.27）
存在。可據此判斷繫統的穩定性。1. 判據一設繫統狀態方程為x·=f(x,t)，xe是平衡狀態，如果存在一個對t具有一階連續偏導數的標量函數V(x,t)且其滿足以下條件(1） V(x,t)>0，是正定的； (2） V·(x,t)<0，是負定的。則繫統在xe處是漸近穩定的。此外，若||x||→∞，有V(x,t)→∞，則繫統在xe處大範圍漸近穩定。例5.12已知繫統狀態方程，試分析繫統穩定性。
x·1=x2-ax1(x21 x22)

x·2=-x1-ax2(x21 x22)a為正實數
解方法一：應用李氏法。(1）求得繫統的平衡狀態為xe=0。(2）在xe=0線性化:
A=fxTxe=-a(x21 x22)-2ax211-2ax1x2-1-2ax1x2-a(x21 x22)-2ax22xe=0=01-10
(3）求線性化後的特征根：
λI-A=λ-11λ=λ2 1; λ=±j
(4）由於繫統的特征根實部為0，繫統在平衡狀態處穩定性無法判斷，隻能用李氏第二法。方法二：應用李氏第二法。選取V(x)為正定的二次型如下
V(x)=xT1001x=x21 x22>0
V·(x)=V(x)x1x·1 V(x)x2x·2=2x1x·1 2x2x·2=-2a(x21 x22)2<0
由判據一可知，繫統在0平衡狀態是漸近穩定的；又由於‖x‖→∞，有V(x,t)→∞，繫統也是大範圍漸近穩定。

圖5.7漸近穩定時的能量變化示意圖

此題的幾何解釋如圖5.7所示。V(x)=x21 x22=C的幾何圖形是x1x2平面上以原點為圓心，C為半徑的一簇圓。若使V(x)取一繫列的常值0,C1,C2,…（0因此Lyapunov函數V(x)，可作為狀態x到狀態空間原點距離的一種度量。如果原點與狀態x之間的距離隨t的增加而連續地減小（即V·(x)<0），則x→0。V·(x)表示狀態沿運動軌跡從x0趨向xe的速度。因此，可以利用函數V·(x)估算繫統響應的快速性。例5.13給定線性時變繫統，試判定其原點xe=0是否是大範圍漸近穩定。
x·=01-1t 1-10x，t≥0
解取正定矩陣
P=120012(t 1)
則繫統李雅普諾夫函數及其對時間t的導數分別為
V(x,t)=12(x21 (t 1)x22)>0
V·(x,t)=x1x·1 12x22 (t 1)x2x·2
=x1x2 12x22 (t 1)x2-1t 1x1-10x2
=-10t 192x22<0
又因為lim‖x‖→∞V(x)=∞，所以繫統在原點處大範圍漸近穩定。例5.14試確定如下離散繫統在原點的穩定性。
x1(k 1)x2(k 1)=00.5-0.5-1x1(k)x2(k)
解取正定實對稱矩陣P為
P=p11p12p12p22=52274027402710027>0
則繫統能量函數為
V［x(k)］=x(k)TPx(k)=5227x21(k) 8027x1(k)x2(k) 10027x22(k)
由於離散繫統不存在能量函數對時間的導數，而是代之以能量函數的增量
ΔV［x(k)］=V［x(k 1)］-V［x(k)］=-［x21(k) x22(k)］
ΔV［x(k)］負定，故繫統在原點處的平衡狀態是大範圍漸近穩定的，與前面例題5.8中的法結論相同。正定實對稱矩陣P的選擇方法參見例5.22。2. 判據二若V(x,t)及其V·(x,t)滿足(1） V(x,t)>0，正定； (2） V·(x,t)≤0，半負定。則繫統在 xe處是穩定的。(3）此外，對於任意初始時刻t0時的任意狀態x0≠0，在t≥t0時，除在x= xe時有V·(x,t)=0外，V·(x,t)不恆等於0。則繫統在 xe處是漸近穩定的。如果進一步還有||x||→∞，有V(x,t)→∞，則繫統在xe處是大範圍漸近穩定，如圖5.8所示。

圖5.8V·(x,t)=0時的運動分析

① V·(x,t)≡0，運動軌跡將落在某個特定的曲面V(x)=C上，而不會收斂至原點。這種情況可能對應於

商品搜索

商品分类

【醫學】

【各大出版社】