目錄

譯者序

中文版序

前言

各章關聯性流程圖

引言1

第1章什麼是數論4

第2章勾股數組8

第3章勾股數組與單位圓13

第4章高次冪之和與費馬大定理16

第5章整除性與公因數19

第6章線性方程與公因數24

第7章因數分解與算術基本定理31

第8章同餘式37

第9章同餘式、冪與費馬小定理43

第10章同餘式、冪與歐拉公式47

第11章歐拉函數與中國剩餘定理50

第12章素數55

第13章素數的計數60

第14章梅森素數64

第15章梅森素數與完全數67

第16章冪模m與逐次平方法74

第17章計算模m的k次根78

第18章冪、根與不可破密碼81

第19章素性測試與卡米歇爾數85

第20章模p平方剩餘93

第21章-1是模p平方剩餘嗎？2呢 99

第22章二次互反律107

第23章二次互反律的證明116

第24章哪些素數可表成兩個平方數之和123

第25章哪些數能表成兩個平方數之和132

第26章像1,2,3一樣簡單136

第27章歐拉函數與因數和141

第28章冪模p與原根145

第29章原根與指標154

第30章方程X4 Y4=Z4158

第31章再論三角平方數161

第32章佩爾方程167

第33章丟番圖逼近171

第34章丟番圖逼近與佩爾方程178

第35章數論與虛數183

第36章高斯整數與因子分解193

第37章無理數與超越數204

第38章二項式繫數與帕斯卡三角形216

第39章斐波那契兔子問題與線性遞歸序列225

第40章O，多美的一個函數236

第41章三次曲線與橢圓曲線246

第42章有少量有理點的橢圓曲線255

第43章橢圓曲線模p上的點259

第44章模p的撓點繫與不好的素數267

第45章虧量界與模性模式270

第46章橢圓曲線與費馬大定理275

附錄A小合數的分解277

附錄B6000以下的素數表279

進一步閱讀的文獻281

索引282

前言20世紀90年代美國數學界掀起了微積分教學改革的浪潮，其目的是教會學生自己思考與解決實質性問題，而不僅僅是背誦公式與進行機械的代數操作．本書有類似的但更大的目標，意在引導你進行數學思考與體驗獨立知識發現的驚喜．我們選擇的話題——數論，尤其適合我們的意圖．自然數1，2，3，…具有多種漂亮的模式與關繫，其中許多可謂一目了然，但其餘的是如此難以捉摸以致人們詫異它們是否被真正引起注意．數學實驗僅需要紙與筆，但基於少量例子做出的猜想可能是錯誤的．一個人終確信他的數值例子反映了一般真理需要嚴格的論證．本書將引導你通過潛伏鮮艷數論花朵的叢林，同時鼓勵你去調查、分析、猜測與終證明你自己的美妙數論結果．本書初稿用作布朗大學Jeff Hoffstein教授在20世紀90年代早期建立的課程Math 42的教材．課程Math 42用於吸引那些對標準微積分繫列課程興趣不大的非理科專業學生，同時說服他們去學習一些大學數學目的在於創建一個類似於“莫扎特（Mozart)的音樂”或“伊麗莎白女王時代的戲劇”課程，引導聽眾通過對某一特殊方面的繫統學習而對整體上的主題與方法有所了解．課程Math 42取得了極大的成功，既吸引了它擬定的讀者群，也吸引了想聽點不同於傳統的大講座或壓縮餅干式課程的理科大學生．閱讀本書需要的預備知識很少．熟悉高中代數是必要的，而會編寫計算機程序的讀者將會從產生大量的數據和實現各種算法中獲得樂趣，但實際上讀者僅需一個簡單的計算器．微積分的一些概念有時被提到，但基本上不怎麼用它．盡管如此，我們仍要提醒讀者，要想真正欣賞數論，必須有渴求知識和探索問題的願望，不怕做試驗，不怕犯錯誤並從錯誤中吸取教訓，有面對挫折的勇氣以及堅持到後勝利的恆心與毅力．具備這些素質的讀者將在學習數論以及享受生活方面獲得較大的回報．第1版中致謝我要感謝許多人的幫助，包括在課程Math 42方面有過先驅性工作的Jeff Hoffstein、Karen Bender與Rachel Pries,允許我使用他一些卡通畫的Bill Amend，便於進行數論計算的PARI的發明者，對初稿提出許多有益建議的Nick Fiori、Daniel Goldston、Rob Gross、Matt Holford、Alan Landman、Paul Lockhart、Matt Marcy、Patricia Pacelli、Rachel Pries(再次)、Michael Schlessinger、Thomas Shemanske、Jeffrey Stopple、Chris Towse、Roger Ware、Larry Washington、Yangbo Ye、Karl Zimmerman、Michael Artin、Richard Guy、Marc Hindry、Mike Rosen、Karl Rubin、Ed Scheinerman、John Selfridge與Sam Wagstaff，以及在出版過程中給出建議與指導的Prentice Hall出版社的George Lobell與Gale Epps。



    後也是重要的，我要感謝我的妻子Susan與孩子們Debby、Daniel和Jonathan在我寫作本書時表現出的耐心與理解．第2版中致謝我要感謝那些花費時間向我提出修正或其他建議的人們，這對準備第2版是極有幫助的．他們包括：Arthur Baragar、Aaron Bertram、Nigel Boston、David Boyd、Seth Braver、Michael Catalano Johnson、L.Chang、Robin Chapman、Miguel Cordero、John Cremona、Jim Delany、Lisa Fastenberg、Nicholas Fiori、Fumiyasu Funami、Jim Funderburk、Andrew Granville、Rob Gross、Shamita Dutta Gupta、Tom Hagedorn、Ron Jacobowitz、Jerry S.Kelly、Hershy Kisilevsky、Hendrik Lenstra、Gordon S.Lessells、Ken Levasseur、Stephen Lichtenbaum、Nidia Lopez Jerry
Metzger、Jukka Pihko、Carl
Pomerance、Rachel Pries、Ken
Ribet、John Robeson、David
Rohrlich、Daniel Silverman、Alfred
Tang與Wenchao Zhou第3版中致謝我要感謝Jiro Suzuki把本書很好地翻譯成日文．我也要感謝那些花時間給我提出修改建議的人們，這對準備第3版是極為有益的．他們包括：Bill Adams、Autumn Alden、Robert Altshuler、Avner Ash、Joe Auslander、Dave Benoit、Jürgen
Bierbrauer、Andrew Clifford、Keith
Conrad、Sarah DeGooyer、Amartya
Kumar Dutta、Laurie Fanning、Benji
Fisher、Joe Fisher、Jon Graff、Eric Gutman、Edward Hinson、Bruce Hugo、Ole Jensen、Peter Kahn、Avinash Kalra、Jerry Kelly、Yukio Kikuchi、Amartya Kumar、Andrew Lenard、Sufatrio Liu、Troy Madsen、Russ Mann、Gordon Mason、Farley Mawyer、Mike McConnell、Jerry Metzger、Steve Paik、Nicole Perez、Dinakar Ramakrishnan、Cecil Rousseau、Marc Roth、Ehud Schreiber、Tamina Stephenson、Jiro Suzuki、James Tanton、James Tong、Chris Towse、Roger Turton、Fernando Villegas與Chung Yi.第4版中致謝我要感謝下述給我評論與建議或閱讀第4版初稿的人們：Joseph Bak、Hossein
Behforooz、Henning Broge、Lindsay
Childs、Keith Conrad、David Cox、Thomas Cusick、Gove Effinger、Lenny Fukshansky、Darren Glass、Alex Martsinkovsky、Alan Saleski、Yangbo Ye(葉揚波)以及一些匿名的評論者第4版中的變化第4版的主要變化如下：



    新增關於數學歸納法的第26章關於反證法的一些內容移到第8章．證明d次多項式模p至多有d個根時就要用到反證法，在第21章中推導歐拉二次剩餘公式時我們不用原根而改用這個事實．（先前版本中對歐拉二次剩餘公式的證明使用了原根．）關於原根的第28～29章移到關於二次互反律與平方和的第20～25章之後．做此變化是因為作者發現對學生來說原根定理是本書中難的內容之一．新的順序可讓教師先教二次互反律，如果願意的話也可略去所有關於原根的內容．第22章現在包含了關於雅可比符號的二次互反律的部分證明，餘下的證明留作習題．二次互反律現在有完整的證明．涉及-1p與2p的證明仍像以前那樣放在第21章，新增的第23章給出了艾森斯坦關於pqqp的證明．第23章比之前的章節困難得多，略去它不影響閱讀後面的章節．作為原根的應用，我們在第28章中討論了Gostas陣列的構造．斐波那契數列模p的小正周期在p模5餘1或4時整除p-1，第39章中包含了對此的證明．新增了許多新的習題．數論是個範圍廣闊又不斷成長的學科，數年來本書增添了許多新的章節．為使本版保持合理的厚度，我們在印刷版中略去了第47～50章（第47章“連分數的混亂世界”，第48章“連分數的佩爾方程”，第49章“生成函數”，第50章“冪和”）．這些略去的章節可通過訪問網址http://wwwmathbrownedu/~jhs/frinthtmlhttp://wwwpearsonhigheredcom/mathstatsresources免費下載．電子郵件與電子資源前面所列的各位幫助我改正了一些錯誤並提出了有益的建議，但沒有哪本書會毫無錯誤或沒有改進的餘地．我很樂意收到來自讀者的不論是肯定的還是批評的評論或更正．你可發郵件到我的信箱jhs@mathbrownedu另外一些資料（包括額外幾章、更正表、一些數論網站的鏈接以及涉及計算機的許多練習），都可從本書主頁wwwmathbrownedu/~jhs/frinthtml處獲得．Joseph HSilverman各章關聯性流程圖