第1章函數、圖像和直線1

1.1 函數1

1.1.1 區間表示法3

1.1.2 求定義域3

1.1.3 利用圖像求值域4

1.1.4 垂線檢驗5

1.2 反函數6

1.2.1 水平線檢驗7

1.2.2 求反函數8

1.2.3 限制定義域8

1.2.4 反函數的反函數9

1.3 函數的復合10

1.4 奇函數和偶函數12

1.5 線性函數的圖像14

1.6 常見函數及其圖像16

第2章三角學回顧21

2.1 基本知識21

2.2 擴展三角函數定義域23

2.2.1 ASTC 方法25

2.2.2 [0; 2π] 以外的三角函數27

2.3 三角函數的圖像29

2.4 三角恆等式32

第3章極限導論34

3.1 極限：基本思想34

3.2 左極限與右極限36

3.3 何時不存在極限37

3.4 在∞ 和-∞ 處的極限38

3.5 關於漸近線的兩個常見誤解41

3.6 三明治定理43

3.7 極限的基本類型小結45

第4章求解多項式的極限問題47

4.1 x → a 時的有理函數的極限47

4.2 x → a 時的平方根的極限50

4.3 x → ∞ 時的有理函數的極限51

4.4 x → ∞ 時的多項式型函數的極限56

4.5 x → -∞ 時的有理函數的極限59

4.6 包含值的函數的極限61

第5章連續性和可導性63

5.1 連續性63

5.1.1 在一點處連續63

5.1.2 在一個區間上連續64

5.1.3 連續函數的一些例子65

5.1.4 介值定理67

5.1.5 一個更難的介值定理例子69

5.1.6 連續函數的值和小值70

5.2 可導性71

5.2.1 平均速率72

5.2.2 位移和速度72

5.2.3 瞬時速度73

5.2.4 速度的圖像闡釋74

5.2.5 切線75

5.2.6 導函數77

5.2.7 作為極限比的導數78

5.2.8 線性函數的導數80

5.2.9 二階導數和更高階導數80

5.2.10 何時導數不存在81

5.2.11 可導性和連續性82

第6章求解微分問題84

6.1 使用定義求導84

6.2 用更好的辦法求導87

6.2.1 函數的常數倍88

6.2.2 函數和與函數差88

6.2.3 通過乘積法則求積函數的導數88

6.2.4 通過商法則求商函數的導數90

6.2.5 通過鏈式求導法則求復合函數的導數91

6.2.6 那個難以處理的例子94

6.2.7 乘積法則和鏈式求導法則的理由96

6.3 求切線方程98

6.4 速度和加速度99

6.5 導數偽裝的極限101

6.6 分段函數的導數103

6.7 直接畫出導函數的圖像106

第7章三角函數的極限和導數111

7.1 三角函數的極限111

7.1.1 小數的情況111

7.1.2 問題的求解——小數的情況113

7.1.3 大數的情況117

7.1.4 “其他的” 情況120

7.1.5 一個重要極限的證明121

7.2 三角函數的導數124

7.2.1 求三角函數導數的例子127

7.2.2 簡諧運動128

7.2.3 一個有趣的函數129

第8章隱函數求導和相關變化率132

8.1 隱函數求導132

8.1.1 技巧和例子133

8.1.2 隱函數求二階導137

8.2 相關變化率138

8.2.1 一個簡單的例子139

8.2.2 一個稍難的例子141

8.2.3 一個更難的例子142

8.2.4 一個非常難的例子144

第9章指數函數和對數函數148

9.1 基礎知識148

9.1.1 指數函數的回顧148

9.1.2 對數函數的回顧149

9.1.3 對數函數、指數函數及反函數150

9.1.4 對數法則151

9.2 e 的定義153

9.2.1 一個有關復利的問題153

9.2.2 問題的答案154

9.2.3 更多關於e 和對數函數的內容156

9.3 對數函數和指數函數求導158

9.4 求解指數函數或對數函數的極限161

9.4.1 涉及e 的定義的極限161

9.4.2 指數函數在0 附近的行為162

9.4.3 對數函數在1 附近的行為164

9.4.4 指數函數在∞ 或-∞ 附近的行為164

9.4.5 對數函數在∞附近的行為167

9.4.6 對數函數在0 附近的行為168

9.5 取對數求導法169

9.6 指數增長和指數衰變173

9.6.1 指數增長174

9.6.2 指數衰變176

9.7 雙曲函數178

第10章反函數和反三角函數181

10.1 導數和反函數181

10.1.1 使用導數證明反函數存在181

10.1.2 導數和反函數：可能出現的問題182

10.1.3 求反函數的導數183

10.1.4 一個綜合性例子185

10.2 反三角函數187

10.2.1 反正弦函數187

10.2.2 反餘弦函數190

10.2.3 反正切函數192

10.2.4 反正割函數194

10.2.5 反餘割函數和反餘切函數195

10.2.6 計算反三角函數196

10.3 反雙曲函數199

第11章導數和圖像202

11.1 函數的極值202

11.1.1 全局極值和局部極值202

11.1.2 極值定理203

11.1.3 求全局值和小值204

11.2 羅爾定理206

11.3 中值定理209

11.4 二階導數和圖像212

11.5 對導數為零點的分類215

11.5.1 使用一次導數215

11.5.2 使用二階導數217

第12章繪制函數圖像219

12.1 建立符號表格219

12.1.1 建立一階導數的符號表格221

12.1.2 建立二階導數的符號表格222

12.2 繪制函數圖像的全面方法224

12.3 例題225

12.3.1 一個不使用導數的例子225

12.3.2 完整的方法：例一227

12.3.3 完整的方法：例二229

12.3.4 完整的方法：例三231

12.3.5 完整的方法：例四234

第13章化和線性化239

13.1 化239

13.1.1 一個簡單的化例子239

13.1.2 化問題：一般方法240

13.1.3 一個化的例子241

13.1.4 另一個化的例子242

13.1.5 在化問題中使用隱函數求導246

13.1.6 一個較難的化例子246

13.2 線性化249

13.2.1 線性化問題：一般方法251

13.2.2 微分252

13.2.3 線性化的總結和例子254

13.2.4 近似中的誤差256

13.3 牛頓法258

第14章洛必達法則及極限問題總結263

14.1 洛必達法則263

14.1.1 類型A：0/0 263

14.1.2 類型A：±∞/ ±∞ 266

14.1.3 類型B1: (∞－∞) 267

14.1.4 類型B2: (0 ×±∞) 269

14.1.5 類型C:?(1±∞, 0º 或∞º)270

14.1.6 洛必達法則類型的總結272

14.2 關於極限的總結273

第15章積分276

15.1 求和符號276

15.1.1 一個有用的求和279

15.1.2 伸縮求和法280

15.2 位移和面積283

15.2.1 三個簡單的例子283

15.2.2 一段更常規的旅行285

15.2.3 有向面積287

15.2.4 連續的速度288

15.2.5 兩個特別的估算291

第16章定積分293

16.1 基本思想293

16.2 定積分的定義297

16.3 定積分的性質301

16.4 求面積305

16.4.1 求通常的面積306

16.4.2 求解兩條曲線之間的面積308

16.4.3 求曲線與y 軸所圍成的面積310

16.5 估算積分313

16.6 積分的平均值和中值定理316

16.7 不可積的函數319

第17章微積分基本定理321

17.1 用其他函數的積分來表示的函數321

17.2 微積分的基本定理324

17.3 微積分的第二基本定理328

17.4 不定積分329

17.5 怎樣解決問題：微積分的基本定理331

17.5.1 變形1：變量是積分下限332

17.5.2 變形2：積分上限是一個函數332

17.5.3 變形3：積分上下限都為函數334

17.5.4 變形4：極限偽裝成導數335

17.6 怎樣解決問題：微積分的第二基本定理336

17.6.1 計算不定積分336

17.6.2 計算定積分339

17.6.3 面積和值341

17.7 技術要點344

17.8 微積分基本定理的證明345

第18章積分的方法I347

18.法347

18.1.法和定積分350

18.1.2 353

18.1.法的理論解釋355

18.2 分部積分法356

18.3 部分分式361

18.3.1 部分分式的代數運算361

18.3.2 對每一部分積分365

18.3.3 方法和一個完整的例子367

第19章積分的方法II 373

19.1 應用三角恆等式的積分373

19.2 關於三角函數的冪的積分376

19.2.1 sin 或cos 的冪376

19.2.2 tan 的冪378

19.2.3 sec 的冪379

19.2.4 cot 的冪381

19.2.5 csc 的冪382

19.2.6 約化公式382

19.3 關於法的積分384

19.3.1 類型1：384

19.3.2 類型2：386

19.3.3 類型3：387

19.3.4 配方和法388

19.3.5 關於法的總結389

19.3.6 平方根的方法和法389

19.4 積分技巧總結391

第20章反常積分：基本概念393

20.1 收斂和發散393

20.1.1 反常積分的一些例子395

20.1.2 其他破裂點397

20.2 關於無窮區間上的積分398

20.3 比較判別法(理論)400

20.4 極限比較判別法(理論)402

20.4.1 函數互為漸近線402

20.4.2 關於判別法的陳述404

20.5 p 判別法(理論) 405

20.6 收斂判別法407

第21章反常積分：如何解題410

21.1 如何開始410

21.1.1 拆分積分410

21.1.2 如何處理負函數值411

21.2 積分判別法總結413

21.3 常見函數在∞ 和－∞附近的表現414

21.3.1 多項式和多項式型函數在1 和¡1 附近的表現415

21.3.2 三角函數在∞ 和－∞ 附近的表現417

21.3.3 指數在∞和－∞附近的表現419

21.3.4 對數在∞ 附近的表現422

21.4 常見函數在0 附近的表現426

21.4.1 多項式和多項式型函數在0 附近的表現426

21.4.2 三角函數在0 附近的表現427

21.4.3 指數函數在0 附近的表現429

21.4.4 對數函數在0 附近的表現430

21.4.5 更一般的函數在0 附近的表現431

21.5 如何應對不在0 或∞ 處的瑕點432

第22章數列和級數：基本概念434

22.1 數列的收斂和發散434

22.1.1 數列和函數的聯繫435

22.1.2 兩個重要數列436

22.2 級數的收斂與發散438

22.3 第n 項判別法(理論) 442

22.4 無窮級數和反常積分的性質443

22.4.1 比較判別法(理論) 443

22.4.2 極限比較判別法(理論) 444

22.4.3 ρ 判別法(理論)444

22.4.4 收斂判別法445

22.5 級數的新判別法447

22.5.1 比式判別法(理論) 447

22.5.2 根式判別法(理論) 449

22.5.3 積分判別法(理論) 450

22.5.4 交錯級數判別法(理論) 453

第23章求解級數問題455

23.1 求幾何級數的值455

23.2 應用第n 項判別法457

23.3 應用比式判別法457

23.4 應用根式判別法461

23.5 應用積分判別法462

23.6 應用比較判別法、極限比較判別法和p 判別法463

23.7 應對含負項的級數468

第24章泰勒多項式、泰勒級數和冪級數導論472

24.1 近似值和泰勒多項式472

24.1.1 重訪線性化472

24.1.2 二次近似473

24.1.3 高階近似474

24.1.4 泰勒定理475

24.2 冪級數和泰勒級數478

24.2.1 一般冪級數479

24.2.2 泰勒級數和麥克勞林級數481

24.2.3 泰勒級數的收斂性481

24.3 一個有用的極限485

第25章求解估算問題487

25.1 泰勒多項式與泰勒級數總結487

25.2 求泰勒多項式與泰勒級數488

25.3 用誤差項估算問題491

25.3.1 個例子492

25.3.2 第二個例子494

25.3.3 第三個例子495

25.3.4 第四個例子496

25.3.5 第五個例子497

25.3.6 誤差項估算的一般方法499

25.4 誤差估算的另一種方法499

第26章泰勒級數和冪級數：如何解題502

26.1 冪級數的收斂性502

26.1.1 收斂半徑502

26.1.2 求收斂半徑和收斂區域504

26.2 合成新的泰勒級數508

26.2.1 代換和泰勒級數509

26.2.2 泰勒級數求導511

26.2.3 泰勒級數求積分512

26.2.4 泰勒級數相加和相減514

26.2.5 泰勒級數相乘515

26.2.6 泰勒級數相除516

26.3 利用冪級數和泰勒級數求導517

26.4 利用麥克勞林級數求極限519

第27章參數方程和極坐標523

27.1 參數方程523

27.2 極坐標528

27.2.1 極坐標與笛卡兒坐標互換529

27.2.2 極坐標繫中畫曲線530

27.2.3 求極坐標曲線的切線534

27.2.4 求極坐標曲線圍成的面積535

第28章復數538

28.1 基礎538

28.2 復平面541

28.3 復數的高次冪544

28.4 解  w 545

28.5 解 ＝ w 550

28.6 一些三角級數552

28.7 歐拉恆等式和冪級數554

第29章體積、弧長和表面積556

29.1 旋轉體的體積556

29.1.1 圓盤法557

29.1.2 殼法558

29.1.3 總結和變式560

29.1.4 變式1：區域在曲線和y 軸之間561

29.1.5 變式2：兩曲線間的區域562

29.1.6 變式3：繞平行於坐標軸的軸旋轉565

29.2 一般立體體積567

29.3 弧長571

29.4 旋轉體的表面積574

第30章微分方程578

30.1 微分方程導論578

30.2 可分離變量的一階微分方程579

30.3 一階線性方程581

30.4 常繫數微分方程585

30.4.1 解一階齊次方程586

30.4.2 解二階齊次方程586

30.4.3 為什麼特征二次方程適用587

30.4.4 非齊次方程和特解588

30.4.5 求特解589

30.4.6 求特解的例子590

30.4.7 解決yP 和yH 間的衝突592

30.4.8 IVP 593

30.5 微分方程建模595

附錄A 極限及其證明598

A.1 極限的正式定義598

A.2 由原極限產生新極限602

A.3 極限的其他情形606

A.4 連續與極限611

A.5 再談指數函數和對數函數616

A.6 微分與極限618

A.7 泰勒近似定理的證明627

附錄B 估算積分629

B.1 使用條紋估算積分629

B.2 梯形法則632

B.3 辛普森法則634

B.4 近似的誤差636

符號列表640

索引643