了得網研究生_自動控制原理（雙語教材）（第2版）

編輯推薦

《自動控制原理（雙語教材）（第2版）》本書采用中英雙語相結合的方式，全面地闡述了自動控制繫統的基本理論與方法。書中針對各章內容，適當增加了英文MATLAB應用實驗設計，編著了大量英文閱讀材料和概念解析，便於雙語教學使用。

內容簡介

本書采用中英雙語相結合的方式，全面地闡述了自動控制繫統的基本理論與方法。全書共分為8章，主要論述連續控制繫統的分析和綜合方法，包括各類控制繫統數學模型的建立和模型間的等效變換；利用經典控制理論中的時域分析法、根軌跡法和頻域分析法分析控制繫統性能；應用PID控制和串聯校正等對繫統進行設計；現代控制理論基礎等。同時概述了計算機控制繫統、過程控制繫統和機電一體化繫統。書中針對各章內容，適當增加了英文MATLAB應用實驗設計，編著了大量英文閱讀材料和概念解析，便於雙語教學使用。
本書可以作為高等院校“自動控制原理”課程的教材，適用於電氣、自動化、電子、信息與通信、計算機、機械等專業，特別適用於有雙語教學要求的相關課程，也可供從事控制工程的技術人員參考。

目錄
第1章自動控制繫統概述
1.1引言
1.2自動控制繫統的基本概念
1.3自動控制理論的發展
1.4自動控制繫統的基本原理及組成
1.4.1開環控制
1.4.2閉環控制
1.4.3自動控制繫統的基本組成
1.4.4自動控制繫統的實例分析
1.5自動控制繫統的分類
1.5.1恆值控制繫統和隨動控制繫統
1.5.2連續繫統和離散繫統
1.5.3單輸入單輸出繫統和多輸入多輸出繫統

第1章自動控制繫統概述

1.1引言

1.2自動控制繫統的基本概念

1.3自動控制理論的發展

1.4自動控制繫統的基本原理及組成

1.4.1開環控制

1.4.2閉環控制

1.4.3自動控制繫統的基本組成

1.4.4自動控制繫統的實例分析

1.5自動控制繫統的分類

1.5.1恆值控制繫統和隨動控制繫統

1.5.2連續繫統和離散繫統

1.5.3單輸入單輸出繫統和多輸入多輸出繫統

1.5.4線性繫統和非線性繫統

1.5.5定常繫統和時變繫統

1.5.6其他類型

1.6控制繫統的基本要求

1.7控制繫統的設計概述

1.8MATLAB在本章中的應用

本章小結

習題

第2章控制繫統的數學模型

2.1引言

2.2控制繫統的時域數學模型

2.2.1電氣繫統

2.2.2機械繫統

2.3線性繫統的傳遞函數

2.3.1傳遞函數的定義

2.3.2典型環節及其傳遞函數

2.3.3電氣網絡的運算阻抗與傳遞函數

2.4控制繫統的結構圖及其等效變換

2.4.1結構圖的組成

2.4.2控制繫統結構圖的建立

2.4.3結構圖的等效變換

2.4.4信號相加點和分支點的移動和互換

2.4.5結構圖簡化示例

2.5信號流圖和梅遜公式

2.5.1信號流圖

2.5.2梅遜公式

2.6閉環傳遞函數的定義

2.6.1閉環繫統概述

2.6.2閉環繫統的傳遞函數

2.7非線性繫統模型概述

2.8MATLAB在本章中的應用

本章小結

習題

第3章線性繫統的時域分析

3.1引言

3.2繫統時間響應的性能指標

3.3一階繫統的時域分析

3.3.1一階繫統的數學模型和結構圖

3.3.2一階繫統的單位階躍響應

3.3.3一階繫統的單位脈衝響應

3.3.4一階繫統的單位斜坡響應

3.3.5一階繫統的單位加速度響應

3.4二階繫統的時域分析

3.4.1二階繫統的單位階躍響應

3.4.2欠阻尼二階繫統的動態性能分析

3.5高階繫統時域分析法概述

3.6控制繫統的穩定性分析

3.6.1穩定的基本概念和穩定的充分必要條件

3.6.2代數穩定判據

3.7控制繫統穩態誤差的分析及計算

3.7.1穩態誤差的定義

3.7.2繫統類型與穩態誤差

3.7.3給定輸入信號下的穩態誤差計算

3.7.4擾動作用下的穩態誤差計算

3.7.5減少穩態誤差的方法

3.8MATLAB在本章中的應用

本章小結

習題

第4章根軌跡法

4.1引言

4.2根軌跡的基本概念

4.3根軌跡繪制的基本規則

4.4廣義根軌跡

4.5繫統性能的根軌跡法分析

4.5.1根軌跡分析法概述

4.5.2增加開環極點對控制繫統的影響

4.5.3增加開環零點對控制繫統的影響

4.5.4結論

4.6MATLAB在本章中的應用

本章小結

習題

第5章線性繫統的頻域分析法

5.1引言

5.2頻率特性的基本概念

5.2.1頻率特性的定義

5.2.2頻率特性的表示方法

5.3典型環節的頻率特性及特性曲線的繪制

5.4頻域穩定判據及穩定裕量

5.4.1奈奎斯特穩定判據

5.4.2奈奎斯特穩定判據的應用

5.4.3對數穩定判據

5.4.4穩定裕量

5.5頻率特性與控制繫統性能的關繫

5.5.1控制繫統性能指標

5.5.2開環對數幅頻特性與性能指標間的關繫

5.6MATLAB在本章中的應用

本章小結

習題

第6章線性繫統的校正方法

6.1引言

6.2繫統校正的基本概念

6.2.1受控對像

6.2.2性能指標概述

6.2.3繫統校正連接方式

6.2.4基本控制規律

6.3繫統校正裝置

6.3.1超前校正裝置

6.3.2滯後校正裝置

6.3.3滯後超前校正裝置

6.3.4超前校正、滯後校正和滯後超前校正的比較

6.4反饋校正

6.4.1反饋校正的特點

6.4.2反饋校正繫統的設計

6.4.3串聯校正與反饋校正比較

6.5MATLAB在本章中的應用

本章小結

習題

第7章計算機控制繫統概述

7.1引言

7.2計算機控制繫統概述

7.3A/D轉換采樣過程與采樣定理

7.3.1采樣過程

7.3.2采樣定理

7.3.3采樣周期在工程應用中的選擇方法

7.4采樣信號的復現

7.5離散控制繫統的數學模型

7.5.1脈衝傳遞函數的定義

7.5.2開環采樣繫統的脈衝傳遞函數

7.5.3閉環采樣繫統的脈衝傳遞函數

7.6采樣控制繫統的穩定性分析

7.7其他控制繫統簡介

7.7.1過程控制繫統簡介

7.7.2機電一體化繫統簡介

7.8MATLAB在本章中的應用

本章小結

習題

第8章現代控制理論基礎

8.1線性繫統的狀態空間描述

8.1.1狀態空間描述的基本概念

8.1.2線性定常連續繫統狀態空間表達式的建立

8.2線性定常繫統狀態方程的解

8.2.1線性定常齊次狀態方程的解

8.2.2線性定常繫統的狀態轉移矩陣

8.2.3非齊次狀態方程的解

8.2.4線性離散繫統的解

8.3線性定常繫統的可控性和可觀測性

8.3.1可控性和可觀測性的定義

8.3.2線性定常連續繫統的可控性判別

8.3.3線性定常繫統可觀測性判別

8.3.4可控性、可觀測性與傳遞函數矩陣的關繫

8.4線性定常繫統的狀態反饋和狀態觀測器

8.4.1線性定常繫統常用反饋結構

8.4.2狀態反饋與極點配置

8.4.3狀態觀測器

8.5MATLAB在本章中的應用

8.5.1Statespace equations

8.5.2Control design using pole placement

8.5.3Introducing the reference input

8.5.4Observer design

本章小結

習題

附錄A拉普拉斯變換及反變換

附錄Bz變換定義及對照表

附錄C常用校正網絡

附錄DBode圖的繪制規則

附錄E常用MATLAB命令

附錄F自動控制理論中的概念解析

附錄G控制理論術語中英文對照

參考文獻

前言

第2版前言第2版前言
“他山之石，可以攻玉”。隨著中國工程教育改革的發展，借鋻國外先進的工科教學理念，在教學方法、實踐教學和實驗素材等方面實施教學改革，是當前工程教育改革的趨勢所在。雙語教學示範課程建設是提升我國高等教育質量工程的重要舉措之一。從某種意義上講，實施雙語教學，不僅僅是用外語授課、外語交流，更重要的是要借鋻西方發達國家優秀的原版教材, 采用國際上的優秀教學模式、教學思想和體繫, 為學生提供一個國際化的教育大環境, 使學生有機會直接接受具有國際化先進水平的科學教育的影響。《自動控制原理（雙語教材）》自從2013年出版以來，受到讀者的厚愛和關懷，作者對此表示衷心的感謝。版教材考慮到教學內容的難度、學生的英語水平等因素，主要采取中文論述為主，英文為輔的形式，編寫了大量的自動控制相關英文閱讀材料，同時有針對性地設計了英文MATLAB應用實驗，以提高本書作為雙語教材的實用性。在綜合型雙語教學中，教師可以采用母語講授新內容和新概念，采用雙語教學進行概念解析、拓展閱讀和復結。同時，原汁原味的MATLAB應用實驗不僅使得學生需要清楚地了解實驗目的，更要耐心地閱讀英文，完成實驗。設計的實驗內容包括MATLAB基礎應用、控制繫統時域分析、根軌跡法設計、控制繫統頻域分析等主要內容。本書是在版的基礎上加以修改和增訂而成的。這次修訂主要做了如下工作： ①增加了現代控制理論章節，以狀態空間模型為基礎的現代控制理論，是解決多輸入多輸出、非線性和時變繫統的理論基礎，更是控制理論、自適應控制、動態繫統辨識以及智能控制等分支學科的基礎，有必要在自動控制原理課程中作簡要介紹； ②以附錄的形式增加了控制理論術語中英文對照、自動控制理論中的概念解析等內容，有助於學生復習檢索相關內容； ③修訂了全書的習題和文字敘述中的不確切之處，旨在進一步增加本書的可讀性。本書第二版由擺玉龍教授統稿審定，潘強強編寫了第8章，擺玉龍修訂了全書內容。馬真東、陳春梅、陳雪雷、王一朝、王娟、郭鵬飛、魏強、蘇坤、段濟開和常明恆等做了大量的打印和校對工作。在編寫中編者參考了很多優秀教材和著作。編者向本書中的相關編著者和收錄於參考文獻中的各位作者表示真誠的謝意。感謝國家自然科學基金項目（編號： 41461078）、蘭州市科技計劃項目（2015334）和西北師範大學研究生培養與課程改革項目對本書出版的資助。由於作者水平有限，加之時間倉促，錯誤與不妥之處在所難免，懇請讀者批評、指正。

編者2018年4月

在線試讀

第5章線性繫統的頻域分析法
5.1引言

在第3章的控制繫統時域分析中，繫統的輸入信號一般是階躍信號或者是斜坡信號。然而，在實際控制繫統中的復雜信號可以表示成不同頻率正弦信號的合成。控制繫統的頻率特性反映了正弦信號作用下繫統響應的性能。應用頻率特性研究線性繫統的經典方法稱為頻域分析法(或頻域特性法)。在經典控制理論中，它的地位等同於時域分析法和根軌跡法，具有如下特點。(1) 頻率特性具有明確的物理意義，可以將繫統參數、繫統結構變化和繫統性能指標統一進行研究。(2) 頻率特性法的計算量較小，一般可采用近似的作圖方法，簡單、直觀，易於在工程技術領域使用。(3) 可以采用實驗的方法求出件的頻率特性，這對於機理復雜或機理不明而難以列寫微分方程的件，具有重要的實用價值。此外，頻域分析法還可以用來設計某些抑制某些頻段帶有嚴重噪聲的繫統。因此，頻域分析法是一種為廣大工程技術人員所熟悉並廣泛應用的有效方法。Reading MaterialIn previous chapters, we examined the use of test signals such as a step and a ramp signal. In this chapter we consider the steady state response of a linear dynamic system to a sinusoidal input test signal. An important advantage of the frequency response method is the ready availability of sinusoidal test signals for various ranges of frequencies and amplitudes. Thus the experimental determination of the frequency response of a system is easily accomplished and is the most reliable and uncomplicated method for the experimental analysis of a system. Useful performance measures based on the frequency response are the system bandwidth and the attenuation characteristics at high frequencies. These measures permit the designer to control the response of a system to undesired noise and disturbances.The steady state response of a stable linear dynamic system to a sinusoidal input signals is an output sinusoidal signal at the same frequency as the input sinusoidal signal. However, the magnitude and phase of the output sinusoidal signal in general differ from those of the input sinusoidal signal, and these differences are functions of the input frequency. We will explore these functional relationships in the following activity.We will also consider different ways of presenting the frequency response data and identify some of the very useful frequency domain performance measures.本章的主要內容： □頻率特性的基本概念□典型環節的頻率特性及特性曲線的繪制□頻域穩定判據及穩定裕量□頻率特性與控制繫統性能的關繫□MATLAB在本章中的應用
第5章線性繫統的頻域分析法
5.1引言

在第3章的控制繫統時域分析中，繫統的輸入信號一般是階躍信號或者是斜坡信號。然而，在實際控制繫統中的復雜信號可以表示成不同頻率正弦信號的合成。控制繫統的頻率特性反映了正弦信號作用下繫統響應的性能。應用頻率特性研究線性繫統的經典方法稱為頻域分析法(或頻域特性法)。在經典控制理論中，它的地位等同於時域分析法和根軌跡法，具有如下特點。(1) 頻率特性具有明確的物理意義，可以將繫統參數、繫統結構變化和繫統性能指標統一進行研究。(2) 頻率特性法的計算量較小，一般可采用近似的作圖方法，簡單、直觀，易於在工程技術領域使用。(3) 可以采用實驗的方法求出件的頻率特性，這對於機理復雜或機理不明而難以列寫微分方程的件，具有重要的實用價值。此外，頻域分析法還可以用來設計某些抑制某些頻段帶有嚴重噪聲的繫統。因此，頻域分析法是一種為廣大工程技術人員所熟悉並廣泛應用的有效方法。Reading MaterialIn previous chapters, we examined the use of test signals such as a step and a ramp signal. In this chapter we consider the steady state response of a linear dynamic system to a sinusoidal input test signal. An important advantage of the frequency response method is the ready availability of sinusoidal test signals for various ranges of frequencies and amplitudes. Thus the experimental determination of the frequency response of a system is easily accomplished and is the most reliable and uncomplicated method for the experimental analysis of a system. Useful performance measures based on the frequency response are the system bandwidth and the attenuation characteristics at high frequencies. These measures permit the designer to control the response of a system to undesired noise and disturbances.The steady state response of a stable linear dynamic system to a sinusoidal input signals is an output sinusoidal signal at the same frequency as the input sinusoidal signal. However, the magnitude and phase of the output sinusoidal signal in general differ from those of the input sinusoidal signal, and these differences are functions of the input frequency. We will explore these functional relationships in the following activity.We will also consider different ways of presenting the frequency response data and identify some of the very useful frequency domain performance measures.本章的主要內容： □頻率特性的基本概念□典型環節的頻率特性及特性曲線的繪制□頻域穩定判據及穩定裕量□頻率特性與控制繫統性能的關繫□MATLAB在本章中的應用

5.2頻率特性的基本概念
5.2.1頻率特性的定義
一般來講，在正弦輸入信號的作用下，繫統輸出的穩態分量稱為頻率響應。而繫統的穩態輸出隨頻率變化(ω由0變到∞)的特性，稱為該繫統的頻率特性。

圖521RC電路圖
如前所述，頻率特性的研究需要將輸入信號由第3章中的階躍信號轉換為正弦信號。考慮如圖521所示的RC電路，設RC電路的初始條件為零，其傳遞函數為G(s)，輸入信號r(t)=Asinωt，則有
G(s)=C(s)R(s)=1Ts 1(521)
式中，T=RC為時間常數。
根據正弦信號的拉普拉斯變換有
R(s)=Aωs2 ω2=Aω(s jω)(s-jω)(522)
所以可得到輸出
C(s)=G(s)R(s)=1Ts 1·Aω(s jω)(s-jω)(523)
對式(523)進行拉普拉斯反變換，可得
c(t)=AωT1 ω2T2e-tT A1 ω2T2sin(ωt-arctanωT)(524)
由式(524)可見，式中項是輸出的瞬態分量。當時間t→∞時，瞬態分量趨於零，所以上述電路的穩態響應可以表示為
c(t)=A1 ω2T2sin(ωt-arctanωT)

=A|11 jωT|sin(ωt-arctanωT)(525)
以上分析表明，當電路的輸入為正弦信號時，其輸出的穩態響應(頻率響應)也是一個正弦信號，其頻率和輸入信號的頻率相同，但幅值和相位發生了變化，其變化取決於頻率ω：
ejωt=cosωt jsinωt
在式(525)中，若利用數學中的歐拉公式，把輸出的穩態響應和輸入的正弦信號用復數表示，並求出它們的復數比，可以得
G(jω)=C′R′=11 jωT(526)
由式(526)可見，這個復數比不僅與電路參數T有關，還與輸入電壓的頻率ω有關，因此稱為繫統的頻率特性。頻率特性G(jω)仍是一個復數，它可以寫成
G(jω)=|G(jω)|ejφ(ω)=L(ω)ejφ(ω)(527)
其中
L(ω)=|G(jω)|=11 ω2T2φ(ω)=argG(jω)=-arctanωT(528)
(529)
式中，L(ω)=|G(jω)|稱為繫統幅頻特性，表示頻率特性的幅值與頻率的關繫，是輸出與輸入信號的幅值之比。φ(ω)稱為繫統相頻特性，表示頻率特性的相位與頻率的關繫，是輸出與輸入的相位之差。因此，可以由式(525)定義頻率特性為：線性繫統(或環節)在正弦函數的作用下穩態輸出與輸入之比。頻率特性分為幅頻特性和相頻特性。同時，根據式(526)也可以看出，繫統的頻率特性G(jω)與其傳遞函數在結構上很相似，不難證明，頻率特性與傳遞函數之間有著確切的轉換關繫，即
G(s)|s=jω=G(jω)=|G(jω)|ejargG(jω)(5210)
一般在研究繫統的頻率特性時，隻需將傳遞函數中s以jω代換即可。現在來證明這種本質關繫。設閉環傳遞函數為G(s)，則繫統輸出為
C(s)=G(s)R(s)(5211)
當r(t)=Asinωt時，則
R(s)=Aωs2 ω2(5212)
故
C(s)=∑ni=1pis-si Ms jω Ns-jω(5213)
式中，si為閉環特征根(設無重根)； M、N為待定繫數。
M=-A2jG(-jω)(5214)N=A2jG(jω)(5215)
對式(5213)進行拉普拉斯反變換，繫統的正弦函數響應為
c(t)=∑ni=1piesit (Me-jωt Nejωt)(5216)
式(5216)右邊後兩項代表了繫統的穩態響應，項為瞬態響應。對於穩態的繫統，當t→∞時，瞬態響應逐漸消失，繫統終以
css(t)=Me-jωt Nejωt(5217)
做穩態運動。將式(5214)和式(5215)代入式(5217)，則有G(jω)和G(-jω)是共軛復數，並利用數學中的歐拉公式，可推得
css(t)=R|G(jω)|sin(ωt φ)=Csin(ωt φ)(5218)
式中，G(jω)就是令G(s)中的s等於jω所得到的復量； |G(jω)|為復量的模或稱幅值，φ=∠G(jω)是輸出信號對於輸入信號的相位移，它就等於復量G(jω)的相位； C=R|G(jω)| 是穩態響應cs(t)的幅值。因此，對於穩定的線性定常繫統，若傳遞函數為G(s)，當輸入量r(t)是正弦信號時，其穩態響應是同一頻率的正弦信號。此時稱穩態響應的幅值C與輸入信號的幅值R之比C/R=|G(jω)|為繫統的幅頻特性，稱css(t)與r(t)之間的相位移φ=∠G(jω)為繫統的相頻特性,它們都是ω的函數。幅頻特性和相頻特性統稱為頻率特性或頻率響應。在復變函數中，復量G(jω)可以寫成三種形式，分別是指數式、三角式或實部與虛部相加的代數式
G(jω)=|G(jω)|ejφ(ω)=|G(jω)|［cosφ jsinφ］=U(ω) jV(ω)(5219)
式中，U(ω)是G(jω)的實部，又稱實頻特性； V(ω)是G(jω)的虛部，又稱虛頻特性。而相位角φ(ω)為
φ(ω)=∠G(jω)=arctanV(ω)U(ω)，U(ω)>0π arctanV(ω)U(ω)，U(ω)<0(5220)
相位角φ(ω)本來是多值函數，為了方便起見，在計算基本環節的相位角φ(ω)時，一般取-180°<φ(ω)<180°。在頻率特性中，負的相位角稱為相位滯後，正的相位角稱為相位超前。具有負的相位角的網絡稱為滯後網絡，具有正的相位角的網絡就稱為超前網絡。在第6章自動控制繫統校正中，超前網絡和滯後網絡將起到重要的作用。關於頻率特性這裡需要說明以下幾點。(1) 頻率特性不僅是對繫統而言，其概念和定義對於各件也都適用。(2) 頻率特性的概念和定義隻適用於線性定常件，否則不能用拉普拉斯變換求解，也不存在這種特殊的穩態對應關繫。(3) 上述理論的證明是在假定繫統穩定的情況下導出的。若繫統不穩定，輸出響應c(t)終不可能趨於穩態振蕩。然而，從理論上講，c(t)中的穩態分量總是可以分離出來的，所以上述理論同樣適用於不穩定的繫統。(4) 若已知繫統的傳遞函數為G(s)，令s=jω，便可求得相應的頻率特性表達式為G(jω)。盡管頻率特性是一種穩定響應，但動態過程的規律性也全部包含其中，所以它也是控制部件的一種數學模型。5.2.2頻率特性的表示方法當自動控制繫統較為復雜時，其頻率特性的數學解析表達式較為煩瑣，使用起來非常不方便。在工程上常用圖形來表示頻率特性，常用的表示方法有三種：幅相頻率特性圖、對數頻率特性圖和對數幅相圖。Reading MaterialThe frequency response method may be less intuitive than other methods you have studied previously. However, it has certain advantages, especially in reallife situations such as modeling transfer functions from physical data.The frequency response of a system can be viewed two different ways: via the Bode plot or via the Nyquist diagram. Both methods display the same information; the difference lies in the way the information is presented. We will study both methods in this chapter. The frequency response is a representation of the systems response to sinusoidal inputs at varying frequencies. The output of a linear system to a sinusoidal input is a sinusoid of the same frequency but with a different magnitude and phase. The frequency response is defined as the magnitude and phase differences between the input and output sinusoids. In this chapter, we will see how we can use the openloop frequency response of a system to predict its behavior in closedloop. To plot the frequency response, we create a vector of frequencies(varying between zero and infinity)and compute the value of the plant transfer function at those frequencies. If G(s)is the open loop transfer function of a system and ω is the frequency vector, we then plot G(jω)vs.ω. Since G(jω) is a complex number, we can plot both its magnitude and phase(the Bode plot)or its position in the complex plane(the Nyquist plot). More information is available on plotting the frequency response. 1. 幅相頻率特性曲線圖在復平面上，一個復數可以用一個點或者一個矢量來表示。幅相頻率特性曲線圖又稱向量軌跡圖、奈奎斯特圖或極坐標圖。繪制幅相頻率特性曲線圖時，把ω看作參變量，令ω由0變到∞時，在復平面上描繪出G(jω)的軌跡，就是G(jω)的幅相頻率特性曲線。向量的長度表示G(jω)的幅值|G(jω)|,由正實軸方向沿逆時針方向繞原點轉至向量方向的角度稱為相位角，即∠G(jω)。一般要求在軌跡上標出ω值和頻率變化的方向。繪制極坐標圖的根據就是式(5218)。一般而言，手工繪制極坐標圖較為煩瑣。因此，大部分情況下不必逐點準確繪圖，隻要畫出簡圖。具體做法是：找出ω=0及ω→∞時G(jω)的位置，以及另外的一兩個點或關鍵點(如轉折頻率點)，再把它們連接起來並標上ω的變化情況，就形成極坐標簡圖。繪制極坐標簡圖的主要根據是相頻特性φ(ω)，同時參考幅頻特性|G(jω)|。有時也要利用實頻特性和虛頻特性。極坐標圖的優點是在一張圖上就可以較容易地得到全部頻率範圍內的頻率特性，利用圖形可以較容易地對繫統進行定性分析。缺點是不能明顯地表示各個環節對繫統的影響和作用。後續章節中，將專門介紹基於極坐標圖的穩定性判據。一般情況下，會直接給出繫統的極坐標圖，不要求手工繪制。Terms and ConceptsPolar plot is a plot of the real part of G(jω)versus the imaginary part of G(jω).2. 對數頻率特性圖對數頻率特性圖又稱伯德(Bode)圖，其優點是易於繪制，而且容易看出參數變化和結構變化對繫統性能的影響。因此，Bode圖在頻率特性法設計中應用非常廣泛。Bode圖一般由對數幅頻特性和對數相頻特性兩張圖組成。為了能在很寬的頻率範圍內描繪頻率特性，坐標刻度采用對數化的形式。對數幅頻特性圖中的縱坐標為L(ω)=20lg|G(jω)|，其單位為分貝(dB)，采用線性分度，橫坐標采用對數分度，表示角頻率ω。相頻特性圖中的縱坐標表示頻率特性的相角，以度(°)為單位，采用線性分度，橫坐標與對數幅頻特性相同，用對數分度表示角頻率ω。橫坐標用對數分度，就能在極寬的頻率範圍內，更好地表示件的低頻特性與高頻特性。但應該注意，橫坐標表示的頻率一般由我們感興趣的頻率確定。在對數頻率特性中，常用到頻率ω倍數的概念。頻率變化10倍的區間稱為一個十倍頻程，記為decade或簡寫為dec； ω變化至兩倍的區間叫做二倍頻程，記為octave，或簡寫為oct，如圖522所示。

圖522對數分度
由於幅頻特性圖中縱坐標是幅值的對數20lg|G(jω)|，如果傳遞函數可以寫成基本環節傳遞函數相乘除的形式，那麼它的幅頻特性就可以由相應的基本環節幅頻特性的代數和得到，明顯簡化了計算和作圖過程。此外，幅頻特性圖中往往采用直線代替復雜的曲線，所以對數幅頻特性圖容易繪制。Terms and ConceptsBode plot: The logarithm of the magnitude of the transfer function is plotted versus the logarithm of ω, the frequency. The phase φ of the transfer function is separately plotted versus the logarithm of the frequency. Decibel(dB): The units of the logarithmic gain.Logarithmic magnitude： The logarithmic of the magnitude of the transfer function, usually expressed in units of 20dB.Here, frequency response data are presented as two graphs. In the first, the magnitude ratio(in decibels)is plotted against frequency on a semilog graph sheet. In the second, the phase difference φ(in degrees)is plotted against frequency directly under the 1st graph.Bode magnitude plot for first, and secondorder transfer functions can be approximated by straight line segments in the lower and higher frequency regions. By virtue of the definition of logarithmic gain, we can convert the multiplicative factors in the transfer function into additive factors. Using asymptotic approximations, Bode diagrams can be easily hand sketched on a semilog graph sheet, even for complex transfer functions. One can estimate the transfer function of a system from the Bode magnitude plot.3. 對數幅相圖對數幅相圖是以相角φ(ω)為橫坐標，以對數幅頻L(ω)(dB)為縱坐標繪出的G(jω)曲線。因此它與幅相特性曲線一樣，在曲線適當位置要標出ω的值，並且要用箭頭標出ω增加的方向。用對數幅頻特性及相頻特性取得數據來繪制對數幅相圖是很方便的。對數幅相圖在後續章節中不再作詳細介紹，下面僅以慣性環節G(s)=1Ts 1為例，給出對數幅相圖,如圖523所示。

圖523慣性環節的對數幅相圖
Terms and ConceptsNichols chart: A chart displaying the curves for the relationship between the openloop and closedloop frequency response.In this case, the data set at each frequency is represented by a point in the Magnitude Ratio(in decibels)Phase Difference plane.
5.3典型環節的頻率特性及特性曲線的繪制
在自動控制繫統中，每一個典型環節的頻率特性都可以用52節的三種表示方法來表示。依據前述章節中極坐標圖和Bode圖的優點，復雜自動控制繫統頻率特性的研究可以通過組成它的典型環節來進行。因此，各種典型環節的頻率特性尤為重要。下面分別介紹各種典型環節頻率特性的極坐標圖和Bode圖。1. 比例環節比例環節又稱放大環節，其傳遞函數為
G(s)=K(531)
其頻率特性為
G(jω)=K(532)
則幅頻特性L(ω)和相頻特性φ(ω)分別為
L(ω)=20lgKφ(ω)=0°(533)
顯然，其極坐標圖不隨頻率ω的變化而變化，隻是一個定點K，如圖531所示。同時，其Bode圖如圖532所示。它的對數幅頻特性為幅值等於20lgKdB的一條水平直線，相頻特性為零度線。因此，改變繫統傳遞函數的增益，將使Bode圖中的對數幅頻特性曲線升高或降低某一常量，但不改變相頻特性曲線。

圖531比例環節的極坐標圖

圖532比例環節的Bode圖

2. 積分環節積分環節的傳遞函數為
G(s)=1s(534)
其頻率特性為
G(jω)=1jω=1ωej(-90°)(535)
則
L(ω)=20lg1ω=-20lgωφ(ω)=-90°(536)
當ω→0時，L(0)→∞；當ω→∞時，L(∞)→0,其極坐標圖如圖533所示。同時，由式(536)可知，ω每增加10倍，L(ω)下降20dB，所以積分環節的對數幅頻特性是一條斜率為十倍頻程-20dB的直線，此斜率記為-20dB/dec。對數相頻特性曲線則與ω無關，恆為90°，所以其Bode圖如圖534所示。

圖533積分環節極坐標圖

圖534積分環節Bode圖

特殊情形1：如果n個積分環節串聯，則傳遞函數為
G(s)=1sn(537)
對數幅頻特性為
20lg|G(jω)|=20lg1ωn=-20nlgω(538)
它是一條斜率為∠G(jω)=-n·20dB/dec的直線，並在ω=1處穿越0dB線。因為
∠G(jω)=-n·90°(539)
所以它的相頻特性是通過縱軸上-n·90°且平行於橫軸的直線。特殊情形2：如果一個放大環節K和n個積分環節串聯，則整個環節的傳遞函數和頻率特性分別為
G(s)=Ksn(5310)G(jω)=Kjnωn(5311)
相頻特性如式(539)，對數幅頻特性為
20lg|G(jω)|=20lgKωn=20lgK-20nlgω(5312)
這是斜率為-20ndB/dec的直線，它在ω=nK處穿越0dB線；它也通過ω=1、20lg|G(jω)|=20lgK這一點。3. 慣性環節慣性環節的傳遞函數為
G(s)=1Ts 1(5313)
頻率特性為
G(jω)=1jωT 1=11 ω2T2ej(-arctanωT)(5314)
則
L(ω)=20lg|G(jω)|=-20lg1 ω2T2
φ(ω)=∠G(jω)=-arctanωT(5315)
當ω→0時，L(0)=1，φ(0)=0°，隨著ω增加，L(ω)減小，φ(ω)也減小；當ω→∞時，L(∞)→0，φ(∞)→-90°，其極坐標圖為半圓，如圖535所示。

圖535慣性環節的極坐標圖
當繪制其Bode圖時，由於精確的幅頻特性曲線是一條較為復雜的曲線，一般可以采取漸近線法。由式(5315)可以看出： ①當 ω1T(即ωT1)時，慣性環節的對數幅頻特性可近似地表示為
-20lg1 ω2T2≈-20lg1=0(dB)(5316)

②當ω1T(即ωT1)時，幅頻特性近似表示為
-20lg1 ω2T2=-20lgωT(dB)(5317)
因此，慣性環節的對數幅頻特性可近似成兩段直線，ω=1T為轉折頻率，如圖536所示。當ω<1T時，取0dB水平線；當ω>1T時，取-20dB/dec的直線。由式(5315)逐點繪制出對數相頻特性曲線，如圖536所示。由圖536可知，隨著ω的增加，φ(ω)由0°逐漸趨向-90°,並且曲線對-45°點ω=1T具有奇對稱性質。幅頻特性曲線與漸近線圖形如圖536所示。它們在ω=1T附近的誤差較大，誤差值由式(5316)和式(5317)來計算，典型數值列於表531中，誤差發生在ω=1T處，誤差為-3dB。漸近線容易畫，誤差也不大，所以繪制慣性環節的對數幅頻特性曲線時，一般都繪制漸近線。繪漸近線的關鍵是找到轉折頻率1T。低於轉折頻率的頻段，漸近線是0dB線；高於轉折頻率的部分，漸近線是斜率為-20dB/dec的直線。必要時可根據表531或式(5316)對漸近線進行修正以得到精確的幅頻特性曲線。

圖536慣性環節的Bode圖

表531慣性環節漸近線幅頻特性誤差表

ωT0.10.250.40.51.02.02.54.010
誤差/dB-0.04-0.26-0.65-1.0-3.01-1.0-0.650.26-0.04
由表531可見，誤差為3dB。一般情況下，漸近線即可滿足控制繫統的分析與設計。除特殊要求外，不需要繪制精確的頻率特性曲線。4. 一階微分環節一階微分環節的傳遞函數為
G(s)=τs 1(5318)
其頻率特性為
G(jω)=τjω 1(5319)L(ω)=1 ω2τ2
φ(ω)=arctanωτ(5320)
當ω=0時，L(0)=1；當ω→∞時，L(∞)→∞，其極坐標圖如圖537所示。

圖537一階微分環節的極坐標圖
用繪制慣性環節Bode圖的近似方法，繪制出一階微分環節的對數幅頻特性和對數相頻特性如圖538所示。從圖538中可以看出一階微分方程環節與慣性環節的對數幅頻特性和相頻特性以ω軸互為鏡像。

圖538一階微分環節的Bode圖
5. 二階微分環節二階微分環節的傳遞函數為
G(s)=τ2s2 2ξτs 1(ξ<1)(5321)
其頻率特性為
G(jω)=1-τ2ω2 j2ξτω(5322)
則
L(ω)=20lg(1-ω2τ2)2 (2ξωτ)2
φ(ω)=arctan2ξτω1-τ2ω2,ω≤1/τ

180° arctan2ξτω1-τ2ω2,ω>1/τ
(5323)
當ω=0時，L(0)=0，φ(0)=0°；當ω→∞時，φ(∞)=180°；當ω=1τ時，G(j1τ)=j2ξ。圖539所示為二階微分環節的極坐標圖。

圖539二階微分環節的
極坐標圖
同時，當ω1τ時忽略ωT,則
L(ω)=20lg1=0(5324)
當ω1τ時，忽略1和2ξτω，則
L(ω)=20lgτ2ω2=40lgτω(5325)
因此，對數幅頻特性曲線可近似為一折線，在ω<1τ頻率段為0dB線，在ω>1τ頻率段為斜率40dB/dec的斜線。再逐點求值描繪出對數相頻特性曲線，二階微分環節的Bode圖，如圖5310所示。

圖5310二階微分環節的Bode圖
6. 振蕩環節振蕩環節的傳遞函數為
G(s)=1T2s2 2ξTs 1(5326)
式中,1T=ωn>0。式(5326)與欠阻尼二階繫統的傳遞函數相同。其頻率特性為
G(s)=1T2s2 2ξTs 1

G(jω)=1(1-T2ω2) j2ξTω(5327)
則
L(ω)=-20lg(1-T2ω2)2 (2ξTω)2
φ(ω)=
-arctan2ξTω1-T2ω2,ω≤1T

-180°-arctan2ξTω1-T2ω2,ω>1T(5328)
當ω→0時，L(0)=0，φ(0)=0°；當ω→∞時，L(∞)→0，φ(∞)=-180°；當ω=1T時，Gj1T=-j12ξ。如圖5311所示表示不同阻尼ξ值的極坐標圖。

圖5311振蕩環節極坐標圖
同時，①當ω1T時，忽略Tω，則
L(ω)≈-20lg1=0(5329)
②當ω1T時，忽略1和2ξTω，則
L(ω)≈-20lgT2ω2=-40lgTω(5330)
因此，對數幅頻特性曲線可近似為一折線，在ω<1T頻率段，為0dB線；在ω>1T頻率段，是斜率為-40dB/dec的斜線，如圖5312所示，相頻特性曲線需要逐點求值描繪。但它有兩個明顯的特點： ①相頻特性曲線對-90°點有奇對稱性質； ②相頻特性曲線形狀與阻尼比ξ有關。但對任何ξ值都存在：當ω=0時，φ=0°；當ω=1T時, φ=-90°；當ω→∞時, φ=-180°，如圖5312所示。

圖5312振蕩環節的近似Bode圖
在振蕩環節中取不同的ξ，對應不同的特征，如圖5313所示。正如第3章中討論的，當ξ變化時，繫統的動態特性變化主要體現在二階繫統轉折頻率處。當ξ較小時，轉折頻率處的峰值較高，這一點在控制繫統分析與設計中需要密切關注。

圖5313振蕩環節的對數坐標圖
7. 延遲環節延遲環節的傳遞函數為
G(s)=e-τs(5331)
其頻率特性為
G(jω)=e-τjω(5332)
則
L(ω)=-20lg1=0dB
φ(ω)=-τω(弧度)=-57.3°τω(°)(5333)
可見，當ω→∞時, φ(∞)=-∞，而幅值恆為1，其極坐標圖為單位圓，如圖5314所示。延遲環節的對數頻率特性如圖5315所示。其中對數幅頻特性恆為0dB。

圖5314延遲環節的極坐標圖

圖5315延遲環節Bode圖

Terms and conceptsTime delay: A pure time delay, T, so that event occurring at time t at one point in the system occur at another point in the system at a later time, t T.8. 小相位繫統如果一個環節的傳遞函數的極點和零點的實部全都小於或等於零，則稱這個環節是小相位環節。如果傳遞函數中具有正實部的零點或極點，或有延遲環節e-τs，這個環節就是非小相位環節。對於閉環繫統，如果它的開環傳遞函數的極點和零點的實部小於或等於零，則稱它是小相位繫統。如果開環傳遞函數中有正實部的零點或極點，或有延遲環節e-τs，則稱繫統是非小相位繫統。若把e-τs用零點和極點的形式近似表達時，會發現它也具有正實部零點。在一些幅頻特性相同的環節之間存在著不同的相頻特性，其中小相位環節的相位移(相位角的值或相位變化量)小，也容易控制。設繫統(或環節)傳遞函數分母的階次(s的冪次數)是n，分子的階次是m，串聯積分環節的個數是v。對於小相位繫統，當ω→∞時，對數幅頻特性的斜率為-20(n-m)dB/dec,相位等於-(n-m)·90°；當ω→0時，相位等於-v·90°。符合上述特征的繫統一定是小相位繫統。而且，對於開環極點都在左半s平面上且n≥m的繫統，所有具有相同開環對數幅頻特性的繫統，小相位繫統的相位變動是小的。數學上可以證明，對於小相位繫統，對數幅頻特性和相頻特性不是相互獨立的，兩者之間存在著嚴格確定的聯繫。如果已知對數幅頻特性，通過公式也可以把相頻特性計算出來。同樣，通過公式也可以由相頻特性計算出幅頻特性。所以兩者包含的信息內容是相同的。從建立數學模型和分析、設計繫統的角度看，隻要詳細地畫出兩者中的一個就足夠了。由於對數幅頻特性容易畫，所以對於小相位繫統，通常隻繪制詳細的對數幅頻特性圖，而對於相頻特性隻畫簡圖，或者甚至不繪相頻特性圖。
Terms and conceptsMinimum phase: all the zeros of a transfer function lie in the lefthand side of the splane.Nonminimum phase: transfer function with zeros in the righthand splane.9. 一般繫統開環幅相特性曲線對於單位負反饋繫統，其開環傳遞函數G(s)為回路中各串聯環節傳遞函數之積，即
G(s)=G1(s)G2(s)…Gn(s)=∏ni=1Gi(s)(5334)
其頻率特性為
G(jω)=G1(jω)G2(jω)…Gn(jω)=∏ni=1Gi(jω)=∏ni=1Mi(ω)ej∑ni=1φi(ω) (5335)
由式(5335)可得其開環幅頻特性為
L(ω)=∏ni=1Mi(ω)(5336)
開環相頻特性為

φ(ω)=∑ni=1φi(ω)(5337)
從上面兩個式子可以看出：繫統的開環幅頻特性等於各串聯環節的幅頻特性之積；繫統的開環相頻特性等於各串聯環節的相頻特性之和。在繪制開環幅相特性時，根據特殊的ω值，計算得到繫統在該點的坐標值，將各點連成曲線，即為該繫統的開環幅相頻率特性曲線。當繪制概略開環幅相曲線時，根據穩定性判別的條件，幅相曲線應能體現繫統開環頻率特性的起點、終點、與負實軸的交點、與單位圓的交點以及總的變化趨勢，繪制步驟如下。(1) 開環傳遞函數按典型環節分解
G(s)H(s)=Ksv∏li=1Gi(s)(5338)
其中，K為繫統的開環增益，v為繫統所含積分環節(v>0)或微分環節(v<0)的個數，Gi(s)(i=1,2，…,l)為其他典型環節。(2) 確定幅相曲線的起點和終點。幅相曲線的起點為G(j0 )H(j0 )，終點為G(j∞)H(j∞)。(3) 確定幅相曲線與負實軸的交點。開環幅相曲線與負實軸的交點是判定繫統閉環穩定的重要因素。設ωg為交點對應的頻率，則有
∠G(jωg)H(jωg)=(2k 1)πk=0,±1,±2，…(5339)
或
Im［G(jωg)H(jωg)］=0(5340)
應該注意的是，後一個方程的解中含有與正實軸的交點所對應的頻率。由交點頻率可求得與負實軸的交點為(Re(G(jωg)H(jωg)),0)或(G(jωg)H(jωg),0)。(4) 根據上述確定的特征點，結合開環頻率特性的變化趨勢作圖。若開環傳遞函數具有虛極點±jωp，則幅相曲線反映ω在ωp附近變化時，開環幅相曲線的變化情況。由於ω→ωp時，|G(jωp)H(jωp)|→∞，因此應確定φ(ω-p)和φ(ω p)，並由此作圖。【例531】設繫統的開環傳遞函數為
G(s)H(s)=10(Ts 1)s(s-10)T>0試繪制開環繫統的大致幅相頻率特性曲線。解：繫統的頻率特性為
G(jω)H(jω)=10(jωT 1)jω(jω-10)
幅相頻率特性分別為
|G(jω)H(jω)|=10ω2T2 1ωω2 100
∠G(jω)H(jω)=arctanωT-90°-180°-arctanω10
計算得到特殊的ω點及其坐標值為
ω=0,|G(jω)H(jω)|=∞,∠G(jω)H(jω)=-270°
ω=∞,|G(jω)H(jω)|=0,∠G(jω)H(jω)=-90°
曲線與實軸的交點為
G(jω)H(jω)=-10ω(10T 1) j10(Tω2-10)ω(ω2 100)=U(ω) jV(ω)
式中,U(ω)與V(ω)分別為開環繫統的實頻和虛頻特性。

圖5316幅相頻率特性曲線圖
令V(ω)=0，解得ω=10T。將ω=10T代入U(ω)，得幅相頻率曲線與實軸的交點為-T。於是可得幅相特性曲線如圖5316所示。
下面定性地討論繫統開環頻率特性曲線的一些特點。G(jω)可表示為
G(s)=Ksv∏m1k=1(τks 1)·∏m2l=1(τ2ls2 2ξlτls 1)∏n1i=1(Tis 1)·∏n2j=1(T2js2 2ξjTjs 1)
=bmsm bm-1sm-1 … b1s b0ansn an-1sn-1 … a1s a0 (5341)
1) 極坐標曲線的起點極坐標的起點是當ω→0時G(j0 )在復平面的位置。由式(5341)得
limω→0G(jω)=limω→0K(jω)v=limω→0Kωv∠-v×90°(5342)
所以，對於不同的v值，特征曲線的起點將來自極坐標的不同方向，如圖5317所示。□ 0型繫統，v=0，G(jω)特性曲線起始於點(K,0)處。□Ⅰ型繫統，v=1，G(jω)特性曲線起始於-90°處(負虛軸的∞處)。□Ⅱ型繫統，v=2，G(jω)特性曲線起始於-180°處(負實軸的∞處)。□Ⅲ型繫統，v=3，G(jω)特性曲線起始於-270°處(正實軸的∞處)。□當v>3時，按照上面的規律重復分析。2) 極坐標曲線的終點因為limω→∞G(jω)=0∠-(n-m)×90°，因此可以得到極坐標曲線趨向於坐標原點的規律，如圖5318所示。

圖5317開環頻率特性曲線的起始點

圖5318開環幅相頻率特性的終點

10. 開環對數頻率特性的繪制同開環幅相頻率特性一樣，通過將開環傳遞函數分解為各個典型的環節，可方便地得到繫統開環對數頻率特性曲線。對於單位負反饋繫統，其開環傳遞函數G(s)為回路中各串聯環節傳遞函數之積，即
G(s)=G1(s)G2(s)…Gn(s)=∏ni=1Gi(s)(5343)
其頻率特性為
G(jω)=G1(jω)G2(jω)…Gn(jω)=∏ni=1Gi(jω)=∏ni=1Mi(ω)ejni=1φi(ω) (5344)
其開環對數頻率特性為
L(ω)=20lg|G(jω)|=20lg|∏ni=1Gi(jω)|=20∑ni=1lg|Gi(jω)|(5345)φ(ω)=∑ni=1φi(ω)(5346)
從中可以看出：繫統的開環對數頻率特性等於各串聯環節的幅頻特性之代數和；相頻特性等於組成繫統的各典型環節的相頻特性之代數和。在繪制對數幅頻特性圖時，可以用基本環節的直線或折線漸近線代替精確幅頻特性，然後求它們的和，得到折線形式的對數幅頻特性圖，這樣就可以明顯地減少計算和繪圖工作量。必要時可以對折線漸近線進行修正，以便得到足夠精確的對數幅頻特性。任一段直線漸近線可看成是特殊斜率的幅頻特性，則有G(jω)=ki/sn，因此任一段漸近線的方程為20lg|G|=-20nlgω 20lgki，lgω前的繫數是斜率。在求直線漸近線的和時，用到下述規則：在平面坐標圖上，幾條直線相加的結果仍為一條直線，和的斜率等於各直線斜率之和。繪制開環對數幅頻特性圖可采用下述步驟。(1) 將開環傳遞函數寫成基本環節相乘的形式。(2) 計算各基本環節的轉折頻率，並標在橫軸上。好同時標明各轉折頻率

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