了得網工業技術_工科泛函分析基礎

編輯推薦

以較少的篇幅講述工科研究生所需的泛函分析基礎知識的教材。

內容簡介

全書主要介紹實分析基礎、距離空間、賦範空間與 Banach空間、內積空間與 Hilbert空間、有界線性算子的基本理論、有界線性算子的譜分析等內容.全書概念簡潔,內容緊湊,在強調泛函分析方法的概括性與應用的普適性的同時,突出數學思維方式的訓練和數學素養的培養,恢復數學自然、生動、充滿活力的本來面目.

作者簡介

孫明正，北方工業大學理學院副教授，北京大學數學科學學院理學博士。已經主編《線性代數精講精練》、《線性代數練習冊》等教材與教輔。

目錄

第1章預備知識

1.1確界與值

1.2數列收斂與實數完備性

1.3函數的連續與函數列的收斂

1.4勒貝格積分簡介
目錄

第1章預備知識

1.1確界與值

1.2數列收斂與實數完備性

1.3函數的連續與函數列的收斂

1.4勒貝格積分簡介

1.5線性空間

1.6映射與算子

1.7常用不等式

習題1

第2章距離空間

2.1距離空間的定義

2.2距離空間中的收斂與連續

2.3可分空間

2.4完備化空間

2.5壓縮映射定理

習題2

第3章巴拿赫空間

3.1賦範線性空間

3.2巴拿赫空間的定義

3.3有界線性算子

3.4算子空間

3.5弱收斂

3.6緊算子

3.7廣義函數與分布空間

習題3

目錄
目錄
第4章希爾伯特空間

4.1內積空間

4.2規範正交基

4.3逼近與投影算子

4.4裡斯定理

4.5內積應用的例子

習題4

第5章巴拿赫空間中的基本理論

5.1延拓定理與共軛算子

5.2一致有界性定理

5.3逆算子定理

習題5

第6章索伯列夫空間

6.1索伯列夫空間W1,20(Ω)

6.2索伯列夫空間Wk,p0(Ω)

6.3弱導數

6.4弱解

習題6

習題答案

參考文獻

前言

前言

高等數學研究的對像是函數，其定義域與值域大多都在實數集R中，例如函數

f： R→R,

前言

高等數學研究的對像是函數，其定義域與值域大多都在實數集R中，例如函數

f： R→R,

定義為

f（t）=t2,t∈［0,1］,

我們研究了這類函數的極限、連續、可導、可積等性質。
泛函分析研究的主要對像是定義域與值域都在無限維空間中的算子（也叫映射），例如算子

T： C（［a,b］）→C1（［a,b］）,

定義為

（Tx）（t）=∫tax（s）ds，x（s）∈C（［a,b］）,

這裡的C（［a,b］）表示在區間［a,b］上連續的所有函數所構成的空間，C1（［a,b］）表示在區間［a,b］上連續且一階導數也連續的所有函數所構成的空間。此時算子T的定義域不再是“數集”，而是“函數集”C（［a,b］），其值域也有同樣的特點。特別地，當算子的值是實數時，稱算子為泛函，“泛函”這兩個字可以理解為“更廣泛的函數”。
為此，本書的主要內容包含兩個方面：一是研究各種不同空間的定義與性質，二是研究定義在這些空間上的算子的性質與應用。
“空間理論”：本書的第1章雖然是預備知識，但本質是研究實數空間及其相應函數的性質，其內容主要來源於高等數學與線性代數課程。雖然讀者都接觸過這些知識點，但是希望大家不要輕易跳過這部分內容，原因之一在於裡面的一些知識點比如極限的εδ定義是我們本書證明的主要工具，希望大家熟練掌握，另一個重要的原因是後面許多新的概念是實數空間中相應知識點的推廣，把實數空間中的內容理解好之後，再學習新的內容就會事半功倍。另外，第1章中還簡單列舉了部分實變函數的內容，比如勒貝格積分及相應的可積函數空間等，這部分內容是高等數學中函數積分的推廣。
前言
前言
“推廣”是泛函分析的一大特點：在第2章中，我們把實數集素的距離概念推廣到一般的距離空間，並用來研究不動點理論，此理論在各類方程解的存在性與性定理中起到了關鍵的作用；第3章是把實數空間中的長度概念推廣到賦範線性空間，在這一章中，我們不但研究一般素的長度（我們改稱為範數），還會重點研究算子的範數，即把算子也看成是某些空素；第4章研究特殊的線性空間——內積空間，在此空間中，我們把實數之間的數量積進行了推廣，從而使得賦範線性空素之間有了夾角，並重點研究了正交（垂直）這一個直觀的性質以及這些內容在逼近論中的應用；第6章的核心內容是如何定義並理解索伯列夫素的導數，為此，本章首先定義了廣義導數，同時從積分的角度又研究了弱導數及其與高等數學中函數的導數的區別與聯繫，並指出廣義導數與弱導數的定義是等價的。在應用中，我們利用弱導數得到了線性橢圓方程弱解的存在性與性，從而把我們定義的新空間與新方法投入到了方程解的存在性這一個廣闊的領域中。我們用下面的圖表把泛函分析中與實數空間中有關聯的知識點進行簡單的對比：

新的空間
實數空間中知識點名稱
新的知識點名稱
應用舉例
距離空間
距離
距離（度量）
不動點理論
賦範空間
長度
範數（模）
泛函延拓等基本理論
內積空間
數量積
內積
逼近論
索伯列夫空間
導數
廣義導數（弱導數）
橢圓方程的弱解

“算子理論”：類似於高等數學研究的是定義在實數集上的函數，泛函分析的另一個研究重點是定義在上述空間中的線性算子的性質與應用。本書研究的算子主要包括：線性算子、連續算子、有界算子、無界算子、緊算子、投影算子、共軛算子等。作為算子理論的應用，我們研究了壓縮映射定理、逼近的問題、泛函延拓定理、共鳴定理、逆算子定理（後面這三個定理是第5章的研究內容）以及線性橢圓方程弱解的存在性等。當然，泛函分析的應用遠不止如此，其他重要的理論比如傅裡葉變換、算子的譜理論、變分理論等，因為篇幅有限或者內容過於復雜等原因本書並沒有涉及。另外，需要指出的是，本書中的大部分內容雖然在復數集中都成立，但為了內容的簡練與學習的方便，本書所有的知識點都是在實數集中進行討論。
本書的一個特點是起點低。我們知道學習泛函分析的讀者，既有經過專業訓練的數學繫高年級的學生，也有隻接觸過高等數學、線性代數等基本數學課程的工科類專業的學生，尤其是後者或許都沒有學過泛函分析的基礎課：實變函數。為此，本書的假設讀者為隻是了解高等數學與線性代數的相關知識的非數學類的學生。本書定義與定理的陳述盡量地使用簡單易懂的語言，並盡量與之前的知識點進行比較，以消除讀者對新的知識點的突兀感，讓讀者更容易理解新的概念。舉個例子，在第1章中，我們省略了區間套定理、有限覆蓋定理、集合論、測度論等“隱晦難懂”的內容，隻是用“有理數可數，其長度為零”這一個容易理解的知識點來學習“性質不好”的集合與“性質不好”的函數，並用狄利克雷函數來理解高等數學中的積分與我們新的勒貝格積分的異同。因此，本書的部分內容顯得不是很嚴謹，好在我們給出了大量的參考文獻，部分內容還給出了在參考文獻中的具體頁數，以便有興趣的讀者進行查閱。
本書的另一個特點是用大量的例子（包括反例）去理解新定義的空間與算子，這些例子幾乎都給出了詳細的證明與求解；每一章的後面還附有一定量的練習題，並在書末給出了詳細解答，以便讀者檢驗自己的學習水平與深度。另外，因為本書的目的之一是作為工科類高年級學生或者研究生的教材，所以書中列舉了一些應用方面的例子，比如信號處理中的線性繫統、分布參數控制繫統中的人口演化問題、分布空間、信號的相似性、力學中的對偶性和能量等，這些例子將幫助讀者能夠把泛函分析的知識與自己的專業盡快地結合起來。
“實變函數學十遍，泛函分析心犯寒”，類似的順口溜說明相關知識點確實有一定的難度，但我們堅信隻要讀者找對方法並堅持不懈，一定會從本書中得到很大的收獲。
筆者水平有限，疏漏錯誤難免，敬請讀者和專家們批評指正。
編著者2019年5月

在線試讀

第1章預備知識

本章首先復習高等數學及線性代數中的一些知識，比如數列與函數的收斂、函數列的一致連續等；其次介紹更一般的積分——勒貝格積分及其性質；後給出線性空間及線性算子的定義及性質。這些知識是本書的基礎，其中一些比如極限的εδ定義是本書常用的證明工具，希望讀者熟練掌握並應用。
本書使用R表示實數集，Q表示有理數集，Z表示整數集，Z 表示正整數集，即Z ={1，2，…}。

1.1確界與值
定義1.1.1設X是實數集R中的非空子集，如果M∈R是X的小上界，即
（1） a∈X，有a≤M，
（2） a∈X，若a≤b，則M≤b，

那麼稱M為X的上確界，記作M=supX=supx∈X{x}。
定義1.1.2設X是實數集R中的非空子集，如果m∈R是X的下界，即
（1） a∈X，有a≥m，
（2） a∈X，若a≥d，則m≥d，

那麼稱m為X的下確界，記作m=infX=infx∈X{x}。
定義1.1.3若集合X的上確界M∈X，則稱M為X的值，記作
第1章預備知識

本章首先復習高等數學及線性代數中的一些知識，比如數列與函數的收斂、函數列的一致連續等；其次介紹更一般的積分——勒貝格積分及其性質；後給出線性空間及線性算子的定義及性質。這些知識是本書的基礎，其中一些比如極限的εδ定義是本書常用的證明工具，希望讀者熟練掌握並應用。
本書使用R表示實數集，Q表示有理數集，Z表示整數集，Z 表示正整數集，即Z ={1，2，…}。

1.1確界與值
定義1.1.1設X是實數集R中的非空子集，如果M∈R是X的小上界，即
（1） a∈X，有a≤M，
（2） a∈X，若a≤b，則M≤b，

那麼稱M為X的上確界，記作M=supX=supx∈X{x}。
定義1.1.2設X是實數集R中的非空子集，如果m∈R是X的下界，即
（1） a∈X，有a≥m，
（2） a∈X，若a≥d，則m≥d，

那麼稱m為X的下確界，記作m=infX=infx∈X{x}。
定義1.1.3若集合X的上確界M∈X，則稱M為X的值，記作

M=maxX=maxx∈X{x}；

若集合X的下確界m∈X，則稱m為X的小值,記作

m=minX=minx∈X{x}。

1.1確界與值

例1.1.4
（1） sup［0,1］=1=max［0,1］,inf［0,1］=0=min［0,1］；
（2） sup(0,1)=1,max(0,1)不存在；
（3） inf(0,1)=0,min(0,1)不存在。

1.2數列收斂與實數完備性

1.2數列收斂與實數完備性
在這一節中,我們復習高等數學中數列的收斂及其性質,並利用柯西數列來理解實數空間的完備化。
1. 數列收斂
定義1.2.1（εδ定義）設{xn}為實數集R中的數列，常數a∈R，如果ε>0，N∈Z ，使得當n>N時，下式成立

|xn－a|<ε,

那麼稱數列{xn}為收斂數列且收斂於a（或者極限為a）；記為xn→a(n→∞)，或者

limn→ ∞xn=a。

定義1.2.2對於R中的數列{xn}，若存在常數M>0使得

|xn|

則稱數列{xn}有界。
注收斂數列的極限必；若數列收斂，則數列有界。這些性質的證明留為課後作業。
定義1.2.3設有R中的數列{xn}，若ε>0，N∈Z ，使得當n,m>N時有

|xn－xm|<ε，

則稱數列{xn}為柯西（Cauchy）數列，也稱為柯西列(基本列)。
例1.2.4證明R中的收斂數列是柯西數列。
證若在R中xn→x(n→∞)，則ε>0，N∈Z ，使得當n,m>N時有

|xn－x|<ε2，|xm－x|<ε2；

根據值的三角不等式，當n,m>N時有

|xn－xm|≤|xn－x| |x－xm|<ε2 ε2=ε，

所以{xn}是柯西數列。證畢
注雖然收斂數列一定是柯西數列，但在一般的集合中柯西數列不一定收斂，這主要由數列所在的集合決定的。比如，數列

1 1nn

作為實數列是一個柯西數列，並且在實數集中收斂到e。但在有理數集Q範圍內，雖然也是一個柯西數列，卻沒有極限，因為eQ。

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