了得網工業技術_水動力及水環境模擬方法與應用

內容簡介

《水動力及水環境模擬方法與應用》針對自然水體的水動力與水環境特征，圍繞岸邊污染混合區、大型水庫水溫分層、湖泊水庫的富營養化、過壩水流的溶解氣體超飽和、復雜河網的物質傳輸等水環境問題，模擬了水流動力條件的變化規律；在此基礎上，分析了相關的物理輸移和生化反應過程，建立了水環境模擬的數學模型，預測了水溫、營養鹽、葉綠素、溶解氧等重要環境要素的時空變化，探究了它們在不同條件下的發展趨勢。

《水動力及水環境模擬方法與應用》基礎理論嚴謹，模擬方法高效，並在三峽水庫、太湖、洞庭湖、三亞河等重要水域得到廣泛應用，可作為水動力學和水環境領域的研究生、研究人員和工程技術人員的參考書。

作者簡介

無

《水科學前沿叢書》出版說明
序
前言
第1章緒論
1.1 自然水體環境及數值模擬
1.2 自然水體的流動特點及環境特征
1.2.1 河流的流動特點及環境特征
1.2.2 湖泊的流動特點及環境特征
1.2.3 水庫的流動特點及環境特征
1.3 基本控制方程和常用數值方法
1.3.1 水流及物質輸移擴散的基本方程
1.3.2 常用數值離散方法
參考文獻
第2章岸邊污染混合區及環境容量《水科學前沿叢書》出版說明
序
前言
第1章緒論
1.1 自然水體環境及數值模擬
1.2 自然水體的流動特點及環境特征
1.2.1 河流的流動特點及環境特征
1.2.2 湖泊的流動特點及環境特征
1.2.3 水庫的流動特點及環境特征
1.3 基本控制方程和常用數值方法
1.3.1 水流及物質輸移擴散的基本方程
1.3.2 常用數值離散方法
參考文獻
第2章岸邊污染混合區及環境容量
2.1 岸邊排污的基本概念
2.2 污染混合區預測模型
2.2.1 深度平均二維模型
2.2.2 斜分層三維模型
2.3 三峽水庫岸邊污染混合區的模擬預測
2.3.1 涪陵磷肥廠污水排放模擬預測
2.3.2 萬州江段污水排放模擬預測
2.4 三峽水庫岸邊水環境容量計算
2.4.1 主要排污口的允許排污負荷的計算
2.4.2 三峽水庫排污口的適宜布局
2.4.3 岸邊水環境容量及變化分析
參考文獻
第3章大型水庫的水溫模擬
3.1 水庫水溫分層和常用判據
3.1.1 水體分層現像
3.1.2 水庫分層類型及判據
3.1.3 溫度分層對水體運動的影響
3.2 水庫水溫模型
3.2.1 垂向一維水溫模型
3.2.2 三維水溫模型
3.2.3 水面熱交換
3.3 密雲水庫的水溫模擬
3.3.1 參數的率定和模型選擇
3.3.2 1998~2007年水溫的變化
3.3.3 氣候變化對水溫分布的影響
3.4 三峽水庫水溫模擬分析
3.4.1 水庫氣像條件及特征分析
3.4.2 實測水溫資料分析
3.4.3 蓄水前後水溫數值模擬
參考文獻
第4章水體富營養化的動力過程
4.1 水體富營養化及其判別方法
4.1.1 富營養化的危害
4.1.2 水體富營養化的形成機理
4.1.3 富營養化的判別方法
4.2 藻類生長的生態動力學模型
4.2.1 控制方程
4.2.2 模型的生態流程結構
4.2.3 模型的生化反應項方程
4.3 太湖水體富營養化的模擬與分析
4.3.1 太湖的水環境特征
4.3.2 五裡湖的模擬與分析
4.3.3 太湖的模擬與分析
4.3.4 太湖富營養化進程的空間變化
4.4 小江開縣段水體富營養化的預測分析
4.4.1 富營養化初步分析及模擬工況設計
4.4.2 富營養化模擬結果及分析
4.4.3 小江開縣段水體富營養化的防治建議
參考文獻
第5章閘壩洩流的溶解氣體超飽和
5.1 洩流水體溶解氣體超飽和現像的機理分析
5.1.1 摻氣水流及氣體傳輸
5.1.2 溶解氣體超飽和的發生機理
5.1.3 壩下水體溶解氣體含量的影響因素
5.2 洩流水體的溶解氣體預測模型
5.2.1 水流模擬的VOF模型
5.2.2 溶解氣體傳輸模型
5.3 三峽大壩下遊溶解氣體超飽和模擬與分析
5.3.1 近壩水域溶解氧變化特性分析
5.3.2 大壩下遊溶解氧主要影響因素分析
5.3.3 三峽工程深孔摻氣水流模擬
5.3.4 溶解氧飽和度的模擬
參考文獻
第6章河網地區水動力與水環境模擬
6.1 河網水動力與水環境模擬概述
6.2 河網一維水動力模型
6.2.1 河網水動力控制方程組及數值離散
6.2.2 汊點水動力連接條件處理
6.2.3 河網中結構物的處理
6.2.4 離散方程組的集成與求解
6.2.5 河網水動力模型的驗證
6.3 復雜河網一維水質模型
6.4 三亞河水環境容量計算
6.4.1 三亞河概況
6.4.2 三亞河網水流-水質模型驗證
6.4.3 三亞河水環境容量分析及水質預測
6.5 洞庭湖區河湖繫統水動力模擬
6.5.1 洞庭湖區概況
6.5.2 洞庭湖區水深平均二維水動力模型
6.5.3 一維和二維水動力模型的連接
6.5.4 洞庭湖河湖繫統水動力模型驗證
6.5.5 洞庭湖區枯水期水動力特征
參考文獻
附錄虛擬調蓄面積的推導過程

在線試讀

第1 章緒論
水是生命之源、生產之要、生態之基。江河湖庫等自然水體不僅給予了人類賴以生存的水源和食物，而且提供了人類發展所必需的物資和能源，具有公認的社會、經濟、生態、科研等方面的突出價值。然而，開放式的自然水體也容易受到人類活動的干擾，影響其正常的使用功能和服務效果，逐漸成為當前環境治理和環境保護的重要對像。自然界中的水體受到重力、風應力、熱動力等的作用，不斷流動和循環，直接影響物質的輸移和生態的變遷，是決定水體內在價值和使用功能的重要特征之一。以計算機高速發展為依托的數值模擬，是當前研究自然水體水動力過程和水環境特征的重要手段，可為敏感水域水環境的治理和保護提供技術支撐。
1.1 自然水體環境及數值模擬
自然水體環境是指江河湖庫等自然界中普遍存在的、人類和其他生物賴以生存和發展的水條件，它由不同組分和不同子繫統組成，各組分和子繫統相互作用構成了一定的網絡繫統（韓守江等， 2000）。水是水環境繫統的核心要素，它通過蒸發、降水、滲透及徑流不斷地進行循環，構成了水環境的基本運動方式；另外，水中還含有各種各樣的化學物質，這些物質除隨水循環進行遷移轉化外，還發生酸堿中和、氧化還原、分解化合等化學反應，以及光合作用、呼吸作用、生長死亡、吸收降解等生物反應。水環境的這些物理、化學、生物運動既遵循固有的變化規律，又存在不確定的變異性，當受到水資源的過度開發、修建水利工程、污水廢水排放等人類活動的高強度干擾時，這種變異的可能性將明顯增強，從而引起所謂的水環境問題。
當前，人類活動所引發的水環境問題大致可以分為兩類：一類是污水廢水的排入所導致的水質惡化問題；另一類是大型水利工程的建設所導致的重要生態要素的巨幅波動問題。隨著社會的發展，人口的增長，生產規模的擴大，人類產生的廢棄物越來越多。
這些物質隨著排污管道或地表徑流進入自然水體，改變水體的表觀，消耗水體內部的溶解氧，甚至產生異味，水生動植物生存環境逐漸退化，嚴重影響水體的生態繫統和使用價值。在自然水體，特別是河流上修建大型水利工程，將極大地改變水體的流動狀態，影響物質、能量的輸移速率，導致水生動植物生存條件的巨大變動。在河流上攔河築壩後，壩後形成體積龐大的水庫，水位上升，流速減緩，水體對污染物的淨化能力下降；水面的風應力和熱動力上升為水流的主要驅動力，容易出現水溫分層現像，下洩水溫顯著降低，影響魚類的生存。在許多情況下，大型水利工程的出現也會加速水質的惡化：水庫，特別是支流水庫的營養鹽濃度過高，較蓄水前的河流更容易出現富營養化現像。第1 章緒論

水是生命之源、生產之要、生態之基。江河湖庫等自然水體不僅給予了人類賴以生存的水源和食物，而且提供了人類發展所必需的物資和能源，具有公認的社會、經濟、生態、科研等方面的突出價值。然而，開放式的自然水體也容易受到人類活動的干擾，影響其正常的使用功能和服務效果，逐漸成為當前環境治理和環境保護的重要對像。自然界中的水體受到重力、風應力、熱動力等的作用，不斷流動和循環，直接影響物質的輸移和生態的變遷，是決定水體內在價值和使用功能的重要特征之一。以計算機高速發展為依托的數值模擬，是當前研究自然水體水動力過程和水環境特征的重要手段，可為敏感水域水環境的治理和保護提供技術支撐。

1.1 自然水體環境及數值模擬

自然水體環境是指江河湖庫等自然界中普遍存在的、人類和其他生物賴以生存和發展的水條件，它由不同組分和不同子繫統組成，各組分和子繫統相互作用構成了一定的網絡繫統（韓守江等， 2000）。水是水環境繫統的核心要素，它通過蒸發、降水、滲透及徑流不斷地進行循環，構成了水環境的基本運動方式；另外，水中還含有各種各樣的化學物質，這些物質除隨水循環進行遷移轉化外，還發生酸堿中和、氧化還原、分解化合等化學反應，以及光合作用、呼吸作用、生長死亡、吸收降解等生物反應。水環境的這些物理、化學、生物運動既遵循固有的變化規律，又存在不確定的變異性，當受到水資源的過度開發、修建水利工程、污水廢水排放等人類活動的高強度干擾時，這種變異的可能性將明顯增強，從而引起所謂的水環境問題。

當前，人類活動所引發的水環境問題大致可以分為兩類：一類是污水廢水的排入所導致的水質惡化問題；另一類是大型水利工程的建設所導致的重要生態要素的巨幅波動問題。隨著社會的發展，人口的增長，生產規模的擴大，人類產生的廢棄物越來越多。

這些物質隨著排污管道或地表徑流進入自然水體，改變水體的表觀，消耗水體內部的溶解氧，甚至產生異味，水生動植物生存環境逐漸退化，嚴重影響水體的生態繫統和使用價值。在自然水體，特別是河流上修建大型水利工程，將極大地改變水體的流動狀態，影響物質、能量的輸移速率，導致水生動植物生存條件的巨大變動。在河流上攔河築壩後，壩後形成體積龐大的水庫，水位上升，流速減緩，水體對污染物的淨化能力下降；水面的風應力和熱動力上升為水流的主要驅動力，容易出現水溫分層現像，下洩水溫顯著降低，影響魚類的生存。在許多情況下，大型水利工程的出現也會加速水質的惡化：水庫，特別是支流水庫的營養鹽濃度過高，較蓄水前的河流更容易出現富營養化現像。

一般來說，自然水體的水流現像較為復雜，而所伴隨的水環境問題也變化多樣，數值模擬是定量研究該類問題的重要方法之一。水動力及水環境的數值模擬根據水力學和流體力學的基本原理以及污染物遷移轉化規律，建立數學模型，以數值方法和計算機技術為手段，並在一定的邊界條件和初始條件作用下，對水環境繫統中的水流運動和污染物變化進行數值分析，研究水環境變化趨勢，為污染防治、規劃管理以及水環境保護提供理論依據（汪家權、錢家忠， 2006）。水環境的數學模型不是對現有繫統的簡單模擬，而是對水環境繫統的所有的信息進行提煉、分析後得到的結果，因而能夠較準確地表達水環境的內在特征，從而為合理進行數值模擬奠定基礎。水環境數值模擬以電子計算機為建模工具，借助電子計算機高速的計算能力和卓越的信息存儲能力，可以非常逼真地復演水環境繫統中錯綜復雜的組分及其相互關繫。隨著計算機和數值計算技術的快速發展，水環境數值模擬逐漸發展成為研究水環境這樣復雜繫統的重要手段，並得到了越來越廣泛地應用。

水環境數值模擬具有方便快捷、省時高效、無比例影響、可重復性強等特點，適合復雜水環境問題的分析和預測。首先，水環境數值模型具有較強的通用性，同一模型可以應用於多個不同的實際問題，和物理模型與原型觀測所需耗費的巨大人力物力相比，具有方便高效的特點；隨著計算機升級換代和計算機技術的發展，計算速度越來越快，存儲能力越來越強，數值分析速度和效率不斷提高，數學模型構建耗時將越來越低，所耗費用也將越來越少。其次，水環境數值模型可控性強，即可模擬復雜的水環境繫統，又可分離出單個要素進行細致分析；數值模型的所有條件都是以數值給出，不受實驗條件的限制，可以嚴格控制並方便改變邊界條件和其他條件，故既可模擬長至數百上千公裡的河流水環境問題，也可控制其他因素不受干擾，獨立研究某個因素的影響。後，水環境問題的特點也決定了數值模擬的特殊地位，例如，在對於事故污染、赤潮、水華等環境災害的研究中，人們不可能復演或制造這種災害，而是采用數值模擬的方法獲取相關參數研究水環境繫統的變化規律，以防治災害的發生。

另外，需要指出的是，水環境數值模型也具有局限性，在應用中應注意其應用條件和使用範圍。在條件允許的情況下，對於一些精度要求較高的實際問題，應和物理模型、原型觀測等方法相結合，相互印證、相互補充，可望更準確地解決實際水環境問題。

1.2 自然水體的流動特點及環境特征

江河湖庫是地球表面的重要水域，其水體主要來自陸地表面的自然降水。雨水降落到地球表面順著地面坡度逐漸彙集成集中的水流，沿著地表呈線形凹槽洩水謂之河流，積於湖盆凹地的水體謂之湖泊。河流湖泊的水體除蒸發和滲流外，終將流入大海，影響河口及近海的水環境。河流和湖泊都是天然水域，而水庫則是通過攔河築壩，在大壩後面形成的相對靜止的人工水域。

1.2.1 河流的流動特點及環境特征

河流是陸地水體中重要的組成部分，它在重力作用下，克服各種阻力向下遊運動。水體流動的阻力主要來自河道彎曲、斷面擴大與縮小等邊界幾何形態變化所產生的局部阻力以及因河床表面作用所產生的沿程阻力。糙率是表示河道阻力的主要參數之一，對於天然河流，由於周界形式極其復雜，其糙率的變化也極其復雜；既隨水位的變動而變化，還沿河流縱向隨流程的改變而變化，而且，在同一過水斷面上，主流區水流受到的阻力也小於岸邊或淺灘的水流阻力。重力和流動阻力共同造就了河流復雜的流動結構。

河道水流運動速度較快，並具有明顯的主流區，主流區的水流速度快，而靠近岸邊的水流較慢，主流區通常位於河心，在彎曲的河道，主流區也經常位於河岸的一側。

由於水流速度較快以及復雜地形的影響，天然河道內水的流動多呈紊流狀態，水流每點瞬時流速，不論大小和方向均在不斷地變化，其脈動值在水流動力軸附近小，而以糙率較大的河床和岸邊。河流過水斷面縱向時均流速分布呈對數函數或拋物線函數形式，即河底小，水面或水面以下某深度。天然河道中的水流除沿著流道從上遊向下遊運動外，還伴隨著各種各樣的二次流。二次流是由於過水斷面的形狀的改變或河道彎曲的影響，在水流內部形成的一種較大尺度的漩渦運動。例如，在彎曲河段，由於離心力影響而形成內環流，表面指向凹岸，底部指向凸岸；在直線河段，由於地球自轉偏力、水面底凸凹、水流深淺、流速大小、斷面形狀等因素影響也將會產生相向的或者反向的一組或幾組環流；另外，當出現洪水傳播引起水位劇烈變化時，也會出現過水斷面上水流的橫比降，形成漲落水環流。這些二次流和主流組合成河道中復雜的水流現像。

河流是地球表面淡水資源更新較快的水體，水流從源頭達到河口一般僅需12 ～ 20天，是自然環境中各種物質相互轉換的重要動力之一。河水中的懸浮物質、溶解物質、水生生物及排入的污染物，均隨水流動。河流的許多生物對水中溶解氧含量的高低非常敏感，流動水面與大氣交界面經常相互摻混，復氧條件好，有利於水生生物生長和有機污染物的降解。河水的溫度隨空氣溫度的變化而變化，隻是由於水的比容較大，水溫的變化幅度小於氣溫的變化幅度；另外，河水的溫度沿程升高，其升高幅度與流程近似呈正比。由於水流的速度較大，卵石和礫石河床具有多種附著面及洞穴、裂隙等，使底棲動植物避開急流衝擊，有利於底棲生物和附生植物的生存，而砂和細砂河底對動植物的生存不利。

河流從源頭到入海口，沿途流經地區復雜，形成很大差異。一般上遊河段落差大、水流急、水侵蝕力強，河底底質多為岩石或礫石，懸浮物和有機質含量低，因此水流清澈，水中溶解氧含量高。而河水中的營養物質主要來自河岸的綠色植物，多為營養粗顆粒。中下遊河段的落差和流速均較上遊平緩，河槽趨於穩定，藻類和其他水生植物也相應增多。下遊河段河底坡降平緩，水面開闊，流速減緩，水中懸浮物、沉積物增多，陽光透入深度減小，水流較混濁，河流復氧能力下降。另外，該河段水生植物減少，營養物質主要來自上遊，再加上沿途流入各種污染物，致使水中溶解氧含量偏低。

1.2.2 湖泊的流動特點及環境特征

湖泊是陸地表面具有一定規模的天然窪地的蓄水體繫，是湖盆、湖水以及水中物質組合而成的自然綜合體。湖泊中的水體在多種因素作用下，產生流動，形成湖流。與河流相比，湖流速度緩慢，水體交替周期較長，而且深受四周陸地生態環境的制約，其水流動力過程具有鮮明的個性和地區性的特點。湖泊的幾何形態在很大程度上決定了湖泊自身的水動力特性，對於大面積的湖泊而言，影響湖流的主要邊界條件是湖泊的表面邊界，而不是湖泊的橫斷面邊界。與海洋相比，湖泊是相對較小的，可以忽略天文潮汐的作用，但對於面積較大的湖泊，需考慮地球自轉科氏力的影響。

根據湖流形成的動力機理，通常將湖流劃分為風生流、吞吐流（傾斜流）及密度流。風生流是由於湖面上的風力所引起的湖水運動，是一種常見的湖流運動形式；吞吐流則是由與湖泊相連的各個河道的出、入流所引起的水流運動；密度流是由於水體受水溫分層等因素作用，水體密度不均勻所引起的水體流動。在絕大多數湖泊水體中，後者的流速量級較前兩者小得多，但在深水湖泊中，密度流也是一種較為常見的湖流流態。風是大型湖泊水體運動的主要動力來源，湖面風能可以引起湖泊表面以下3m 左右的水層內水體的混合，在一些分層湖泊中，風引起的長波運動對恆溫層或斜溫層的混合過程的影響十分顯著。而對於一些滯留時間比較短（小於10 天左右）的湖泊，水體運動過程受湖泊周圍河道吞吐流的影響比較大。實際上，對於大多數湖泊而言，水流運動往往是多因素共同作用的結果，隻是各種流態的強弱有所區別。

水溫、光照強度和營養物質是湖泊重要的環境要素。由於水流緩慢，大多數湖泊存在水溫分層的現像：湖水表面在陽光照射下形成明顯的上層暖水，深層冷水的結構；表層水與深層水之間的過渡層，叫溫躍層。溫躍層內水溫下降較快，通常水深每增加1m 溫度至少下降1 ℃ 。湖泊中的光照主要來自太陽的輻射，水體中的光照強度隨水深增加而逐漸遞減，根據光照強度的不同，以1% 水面日照輻射為界，可以將水體分為光亮層和深底層。和光照不同，水體中的氮、磷等營養成分主要來源於湖底的營養層，因此湖水中營養物質的分布是底層濃度高，表層濃度低。而且水溫分層後，更限制了營養物質從底層向表層的輸移。與湖水的光照強度和營養物質分布相適應，光亮層自養生物占優勢，同時還有自遊生物、漂浮生物及浮遊動物；深底層中因光線弱，異養生物占優勢；沿岸淺水區有豐富的光照和氧氣，水中養分含量高，多生長水生的高等植物和浮遊藻類。

1.2.3 水庫的流動特點及環境特征

水庫是人們按照一定的目的，在河道上建壩或堤堰創造蓄水條件而形成的人工湖泊。水庫的水流緩慢，水體運動及各種物理化學的運動過程基本與天然湖泊相似；但是，水庫多設有底孔、溢洪道、給水管道等洩水建築物，使相當部分水流沿一定方向流動，因此它兼有河流和湖泊的特征。

和天然湖泊類似，水溫分層也是水庫主要的特征之一。水庫的分層結構不僅取決於氣溫、水面風速等氣像條件，水庫的洩流方式也會對水體的水溫結構產生巨大的影響。水庫的出流結構一般位於深水層，如果出口洩出的流量較小，則垂向密度梯度可以產生浮力足以阻止廣泛的垂向運動，這時，水庫的分層結構與天然湖泊類似，主要受氣像條件的影響；出口洩出的流量較大時，水體的斜溫層將會下彎，在洩流孔的高程形成溫度梯度較大的水層。

和湖泊相比，水庫的徑流量較大。流進水庫的河水溫度幾乎總是與水庫的表層水溫不同，因此密度也不同，在流進水庫時，河道水流將推動水庫中停滯在它前面的水體，形成異重流。根據入流水體與水庫水體密度的比值，水流穿過水庫中的流動方式有三種：如果進流水體較暖，則沿水面流動；如果進流較冷則潛入庫底沿原河道作淹沒流動；如果入流水體的密度與水庫中某一層水體密度相等時，則入流水體會離開河底水平侵入水庫，形成中間流（Ahlfeld et al.， 2003）。

水庫的分層結構和大壩的洩流方式對水庫的營養物質產生影響。水庫中水體的污染物主要來自於庫底，水體上層營養物質的濃度一般小於底層，如果采用表層的洩流方式，則營養物質容易在水庫內聚集，營養物質逐漸升高；而如果采用底層的洩流方式，營養物質則流到下遊，庫內的營養物質會逐漸減少，對於保證水庫的水質有利。

1.3 基本控制方程和常用數值方法

水動力及水環境數值模型的構建主要包括數學建模、數值求解兩部分：數學建模基於水環境繫統的分析，並引入某些假設和簡化，采用符號、公式等數學的語言對其運動變化規律進行表述；數值求解采用數值計算的方法，將所建立的連續的、復雜的數學模型用大量空間點上物理量的變化來近似，並通過計算得到模型的數值解。

1.3.1 水流及物質輸移擴散的基本方程

水體流動以及水中物質隨水流的遷移是水環境繫統的基礎物理運動。所有水體運動均可以采用Navier-Stokes 方程表示，而對於湖泊、河流、水庫、近海等水體，其垂向尺寸遠小於水平尺寸，可將控制方程簡化為淺水方程；物質隨水流的運動變化可以采用輸移擴散方程進行表述。

1.水流運動的淺水方程

描述不可壓縮流體運動的Navier-Stokes 方程與連續方程通過時間平均得到雷諾時均方程，其表達式采用張量表示為雷諾應力，它代表紊動對時均流動產生的影響。雷諾方程並不封閉，為了解決雷諾方程的封閉問題， Boussinesq 將雷諾應力和黏性應力進行比擬，將雷諾應力與時均流速建立聯繫，其表達式為式中， νt 為紊動黏性繫數，通過紊流模型求得，有關紊流模型請參考餘常昭（1990）的討論。

河流、湖泊、水庫等的流動具有以下特點： ① 流動水平方向上的特征尺度遠遠大於垂直方向上的特征尺度。② 垂直方向上的特征流速遠遠小於水平方向上的特征流速（Jin ， 1993）。根據量級分析，在垂直方向上主要由壓力和重力保持平衡，垂直方向的動量方程可以簡化為靜水壓強方程。為表述簡單，省略變量時均值上的短橫線，並采用圖1.1 的坐標繫，垂直方向上的動量方程簡化為式中， ζ ＝ ζ（x1 ， x2 ， t）為自由面水位； pa 為自由水面的大氣壓強。自由水面沿時空發生變化，利用Leibnitz 積分公式， x1 方向上的壓強梯度表示為這樣，用自由水面的坡度來代替水平方向上的壓強梯度，並忽略自由水面大氣壓強的變化，式（1.6）等號右邊的第二項不計。將式（1.6）代入式（1.1）中的水平方向的動量方程，並忽略黏性應力項，得到式中， i ＝ 1 ， 2 ； j ＝ 1 ， 2 ， 3 ； f i 為科氏力，在北半球f1 ＝ 2 Ωsinφu2 ， f2 ＝ - 2 Ωsinφu1 ，其中Ω 為地球自轉角速度， φ 為當地的緯度。

沿垂直方向對連續方程進行積分，得式中， i ＝ 1 ， 2 ； H ＝ H（x1 ， x2 ），表示以x3 ＝ 0 為基準面的水深，它隨時間的變化忽略不計。自由水面上垂向流速的表達式為同樣，水體底部邊界上的垂向流速表達式為u3 （x1 ，x2 ，- H ，t）＝ - ui?H?xi（i ＝ 1 ，2）（1.10）將式（1.9）和式（1.10）代入式（1.8），並運用Leibnitz 積分公式，得到自由面水位的計算表達式

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