前言符號說明第1章拓撲線性空間與賦準範空間...........................................1
1.1拓撲線性空間..........................................................1

1.2 度量線性空間與賦準範空間............................................6

1.3 賦準範空間的例子....................................................11

1.4 開映射定理與閉圖像定理.............................................18

1.5評注與參考資料.......................................................25第2章p-凸集與p-凸泛函...................................................26

2.1線性空間中集合的p-凸性.............................................26

2.2拓撲線性空間中的p-凸集.............................................33

2.3p-凸泛函..............................................................37

2.4評注與參考資料.......................................................47第3章局部p-凸空間........................................................48

3.1局部p-凸空間.........................................................48

3.2局部p-凸空間的運算性質.............................................51

3.3局部p-凸空間中的分離定理與Krein-Milman定理.................... 54

3.4局部p-凸空間中的Hahn-Banach定理................................ 60

3.5評注與參考資料.......................................................64
第4章局部有界空間.........................................................65

4.1有界集合..............................................................65

4.2 局部有界空間.........................................................67

4.2.1 集合凹性模.......................................................68

4.2.2 空間凹性模.......................................................72

4.2.3局部有界空間的可賦p-範性........................................ 73

4.3 局部有界萬有空間....................................................79

4.3.1賦p-範空間lp 的充分大性.........................................80

4.3.2可分賦p-範空間類Sp的萬有空間.................................. 82

4.4 局部擬凸空間.........................................................93

4.4.1局部擬凸空間.....................................................93

4.4.2可分局部擬p-凸空間族的萬有空間................................ 100

4.5 Orlicz 空間的局部有界性............................................101

4.6評注與參考資料......................................................107第5章拓撲錐與局部p-凸空間的共軛錐....................................109

5.1凸錐.................................................................109

5.2 擬平移不變拓撲錐與局部生成拓撲錐................................ 112

5.3 賦範拓撲錐..........................................................117

5.4共軛錐(Xp., UA)與(Xp., .·.)........................................119

5.5共軛錐Xp.中的一致有界定理....................................... 124

5.6評注與參考資料......................................................130第6章Lebesgue空間lp與Lp(μ)(0

6.1 lp 與Lp(μ)的局部凸性..............................................131

6.1.1 Lp(μ)與lp 的局部凸性..........................................131

6.1.2 lp的共軛空間的表示定理(0.p<1)..............................138

6.1.3 真閉弱稠子空間的存在性.........................................139

6.2 lp 與Lp(μ)的局部q-凸性...........................................140

6.3實空間lp 與Lp(μ)的共軛錐的次表示定理.......................... 146

6.3.1實數列空間lp 的共軛錐的次表示定理..............................147

6.3.2空間lp 的q-共軛錐(lp).q的次表示定理............................ 150

6.3.3實函數空間Lp(μ)的共軛錐的次表示定理.......................... 151

6.4 lp(X)與Lp(μ,X)的共軛錐的次表示定理........................... 157

6.4.1向量值序列空間lp(X)的共軛錐的次表示定理...................... 158

6.4.2向量值函數空間Lp(μ,X)的共軛錐的次表示定理................... 163

6.5評注與參考資料......................................................175第7章Hardy空間.........................................................177

7.1 Hp 的基本構造與性質...............................................178

7.1.1邊界值函數......................................................180

7.1.2Blaschke分解...................................................182

7.1.3 平均收斂到邊界值函數...........................................186

7.1.4 Hp 到Lp(T ) 的嵌入.............................................189

7.2 Hp(0

7.3 Hp(1 . p< ∞) 的共軛空間的表示定理..............................196

7.3.1 零化子..........................................................196

7.3.2 Hp(1 . p< ∞) 的共軛空間的表示定理............................198

7.4 Hp(0

7.5評注與參考資料......................................................205
附錄積分凸性及其應用......................................................207

A.1 積分凸性的定義.....................................................207

A.2集合的.-凸性.......................................................208

A.3泛函的.-凸性.......................................................212

A.4.-端點定理及其應用................................................216
參考文獻.......................................................................219
索引...........................................................................222

第1章拓撲線性空間與賦準範空間
泛函分析的早期成果較多關注內積空間與賦範空間.雖然這兩類空間概括了相當廣泛的客觀對像,但理論發展與應用需求逐漸顯示出僅有內積與範數結構是不夠的,許多問題隻有在拓撲線性空間中纔能得到解決.本章簡單介紹拓撲線性空間、度量線性空間與賦準範空間等基本概念,討論它們之間的相互關繫,並給出若干典型例子,為研究局部p-凸空間理論提供空間背景.有關拓撲線性空間的繫統知識可以參看[30],[31]等專門教程.本章最後給出開映射定理與閉圖像定理等,為後續章節提供理論依據.
1.1拓撲線性空間
本章總設X是數域K(實數域R或復數域C)上的線性空間,用θ表示空素或零泛函,0表示數零.用.表示空集,{x}表示獨點集,用(xn)表示序列.用R+表示非負實數集,在不致混淆時,用∞ 表示+∞. 在拓撲空間中, 用A或clA表示集合A的閉包,A.或intA表示A的內部,.A表示其邊界.若無特別聲明,我們約定映射T:X→Y的定義域是整個X.
定義1.1.1如果線性空間X上存在使加法與數乘運算都連續的拓撲τ,則稱(X,τ)是拓撲線性空間,稱τ為線性拓撲.
用映射的語言來說,τ 是X 上的線性拓撲等價於映射
(1)(x,y)x+y(X×XX),→→
(2)(λ,x)λx(K× XX) 都連續. →→
由加法的連續性可知線性拓撲具有平移不變性,即當Uθ是拓撲線性空間(X,τ)的θ點鄰域基時,對於任何一點x∈ X,集族
Ux = x + Uθ = {x + U : U ∈Uθ} 構成x 的鄰域基. 反過來, 當Ux是x(=.θ)的鄰域基時, 集族
Uθ = {U . x : U ∈Ux} 是θ 點鄰域基. 由此可知線性拓撲可以通過θ點鄰域基來刻畫.
下面給出幾個常用概念. 設X 是線性空間, x,y ∈ X.用
[x,y]={λx+μy:λ,μ.0,λ+μ=1}
表示以x,y為端點的直線段.設A. X.若當|λ| .1時總有λA. A,則稱A是均衡集.稱包含A的最小均衡集為A的均衡包,記為balA.不難驗證
balA=
{λx : x ∈ A}.
|λ|.1
若當x ∈A時總有[θ,x].A,則稱A是星形集.稱包含A的最小星形集為A的星形包,記為starA.不難驗證
starA=[0,1]A.
對於兩個子集A,B.X,當存在δ>0使[0,δ]B. A時,稱A吸收B.如果A吸收空間中每一點,即對任意的x∈ X,存在δ>0使[0,δ]x.A,則稱A具有吸收性.由定義可知集A的吸收性等價於A能吸收X的所有有限子集,這時必有θ∈A.在拓撲線性空間中,當A能被θ點任何鄰域吸收時稱A是有界集.存在有界θ點鄰域的拓撲線性空間稱為局部有界空間.集合的有界性有許多等價定義,每個局部有界空間均可歸入某局部p-凸空間類,我們將在第4章對這些問題進行比較深入地討論.設X,Y是拓撲線性空間.如果存在到上的一一線性映射T:X→Y 使得T 與T .1 都連續,則稱X與Y拓撲同構,簡稱同胚.
下面兩個結論屬於線性拓撲與鄰域基的關繫定理.
定理1.1.1設X是拓撲線性空間,Uθ 是θ 點鄰域基. 則
(b1)對每個U∈Uθ, 存在V∈Uθ 使V + V . U, 其中
V + V = {v1+v2:v1,v2∈ V };
(b2)每個U∈Uθ 均是吸收集;
(b3)對每個U∈Uθ, 存在θ 點均衡鄰域W 使W .U.
證明由θ+θ=θ及加法運算的連續性可知(b1)成立.(b2)由0x=θ,x∈X及數乘運算tx對連續性可得.為了證明條件(b3),設U∈ U·θ.由0θ=θ以及數乘運算的連續性可知存在θ點鄰域W1及δ>0使當t.δ時tW1·.U.取W=
tW1,則W是θ的均衡鄰域且W. U. . ||
|t|.δ
不難看出, 集A 的閉包可以表示為
A = .{A + U : U ∈Uθ},
1.1 拓撲線性空間3
··
其中Uθ是θ點鄰域繫(基).由此得當V∈Uθ時V .V+V.再由定理1.1.1可得:推論任何拓撲線性空間中總存在由均衡開(閉)集構成的θ點鄰域基.定理1.1.2設X是線性空間,Uθ是X中某含θ的子集族.如果Uθ滿足條
件(b1)～(b3)與(b4)對任意的U1,U2∈Uθ,存在U3∈Uθ使U3.U1.U2,
則存在線性拓撲τ 使Uθ為拓撲線性空間(X,τ)的θ點鄰域基.注滿足條件(b3)意味著對每個U∈Uθ,存在均衡集W ∈Uθ 使W . U. 證明Uθ假設Uθ是X中滿足條件的子集族.考慮滿足以下條件的集合E:對
於任意的x ∈ E, 存在U ∈Uθ 使x + U ∈E.由點集拓撲知識可知這樣的集合全體構成X上唯一拓撲τ,使當x∈ X 時, 集族Ux = x + Uθ 構成τ 下x的鄰域基[20].下面隻要證明加法與數乘運算在(X,τ)中連續即可.設x,y∈ X, U ∈Uθ. 選取V ∈Uθ 使得V + V .U, 則由
(x + V )+(y + V ) .(x+y)+U
可知加法運算連續.為了證明數乘運算連續,設t0∈ K, x0 ∈ X. 對於任意的U∈Uθ及自然數k,由θ. + .. + θ . = θ 與加法運算連續可知, 存在V ∈Uθ 使
···
k
V ++ V . U. ···
. ..k .
由條件(b2),(b3)可知存在均衡吸收單減集列(Vn).Uθ 使
Vn ++ Vn .U,n=1,2,.
······
. ..n .
取n 使|t0|.n.由(b2)可知存在σ∈ (0,1]使σx0∈ Vn+2.對於數域K中的單位球D,當t∈ t0 + σD, x ∈x0+Vn+2時,由Vn+2的均衡性得
(t . t0)(x. x0)∈ σVn+2.Vn+2,
t0(x. x0)∈ nVn+2,
(t . t0)x0∈ (t .t0)σ.1Vn+2. Vn+2.
最後由等式
tx=t0x0+(t. t0)(x.x0)+t0(x. x0)+(t. t0)x0,
以及前面三個式子可知
tx ∈t0x0+Vn+2+nVn+2+Vn+2. t0x0+U.
這就證明了數乘運算同樣連續. .
從定理1.1.2的證明不難看出,條件(b4)保證拓撲τ存在,其他三個條件確保τ是線性拓撲.由此得到:
推論在具有拓撲τ的線性空間X上,τ為線性拓撲的充分必要條件是存在滿足條件(b1)～(b3)的θ點鄰域基Uθ,使x + Uθ 是x 的鄰域基.
由[51]等可知線性拓撲的一個重要特性是分離公理T0～T3相互等價,稱滿足這些公理的拓撲線性空間是Hausdor.空間.由以上分析可知拓撲線性空間(X,τ)為Hausdor.空間的充分必要條件是存在θ點鄰域基Uθ滿足
{U : U ∈Uθ} = {θ}.
設A . X.當[x,y]. A對任意的x,y∈A都成立時,稱A是凸集,即A是凸集的充分必要條件為
λx+(1.λ)y∈A, x, y ∈ A, 0 . λ .1. 
定義1.1.2 拓撲線性空間(X,τ)稱為局部凸的,如果存在由凸集構成的θ點
鄰域基. 

局部凸空間是一類非常重要的拓撲線性空間,拓撲線性空間的絕大部分理論涉及局部凸空間.由定理1.1.1的推論不難看出,任何局部凸空間中都存在由均衡開(閉)凸集構成的θ點鄰域基.下面將要展示的Hahn-Banach定理及其幾何形式是凸分析的關鍵定理之一,其證明可以參看任何一本拓撲線性空間教科書.
定理1.1.3(Hahn-Banach定理[31,p.49])設X是局部凸空間,X0是子空間.則X0上的任何連續線性泛函f0均可延拓為X上的連續線性泛函f.
設F是定義在X上的函數集.若對任意的x,y∈X, x =.y, 存在f ∈ F使f(x)=.f(y),則稱F分離X(中點).用X.表示X上全體線性泛函構成的線性空間,稱為X的代數對偶.當X是拓撲線性空間時用X.表示其上的全體連續線性泛函構成的線性空間,稱為X的對偶或共軛(空間).當X.僅含零泛函θ時稱X.平凡.注意到拓撲線性空間的每個有限維子空間(與某Kn同胚)上的任何線性泛函都連續,故由定理1.1.3立即得到:
定理1.1.4(分離定理)設X是局部凸Hausdor.空間,則其共軛空間X.充分大,足以分離X.
設X 是數域K 上的線性空間, θ =.f ∈ X. , a ∈ K.則稱集合
H = {x ∈ X:f(x)=a}
是X中的超平面;當X是實線性空間時約定其上的線性函數取實值,這時稱Ga=
{x:f(x)a} 是由H確定的兩個半開空間,稱Fa={x :
1.1 拓撲線性空間5
··
f(x).a} 與F a = {x:f(x).a} 是相應的兩個半閉空間. 當A .Fa,B. F a 時稱集合A,B被超平面H分離;當A. Ga,B. Ga時稱A,B被H嚴格分離.由[31,p.24]可知拓撲線性空間中的超平面要麼閉要麼在全空間稠密,H為閉集的充分必要條件是f連續.
以下結論屬於Hahn-Banach定理的幾何形式:
定理1.1.5(隔離定理[31,p.64])設A是實拓撲線性空間X中內部非空的凸子集,B是另一個非空凸子集.如果B.A.=.,則存在閉超平面H分離A與B;當A,B都是開凸集時,存在H嚴格分離A與B.
最後,我們將以非零連續線性泛函的存在定理結束本節.
定理1.1.6設X是拓撲線性空間.
(i)X上存在非零連續線性泛函(或X.非平凡)的充分必要條件是存在非全空間、內部非空的凸子集.

(ii)當X是Hausdor.空間時,若A是θ點凸鄰域,x0∈X\\ A.,則存在θ=f∈ X. 使Ref(x0)=1,Ref(x).1,x∈A,其中Ref(x)表示f(x)的實部..證明(i)當存在θ=.f ∈ X. 時, A = {x : |f(x)| < 1}是凸集, θ ∈A.,且A=X.反過來,當A是X中非全空間、內部不空的凸子集時,取x0∈ X\\A. 當X.是實空間時,由隔離定理1.1.5可知存在非零連續線性泛函f∈ X. 與實數a 使H = {x ∈ X:f(x)=a} 隔離A與{x0},即X. .當X是復空間時,考慮隻


= {θ}.有實數數乘運算,在誘導拓撲下構成的X的實基礎子空間
X0 = {tx : x ∈ X,t ∈ R}.
由隔離定理1.1.5可知存在非零連續實線性泛函g∈ X0.與實數a 使H = {x ∈ X:g(x)=a} 隔離A與{x0}. 這時由
f(x)=g(x). ig(ix),x∈ X
定義的f 就是復空間X上的非零連續線性泛函.
(ii)當X是實空間時,在以上充分性的證明中可以假設A. Fa,x0∈ F a.如果a.0,則由f(x).0,x∈ A 與θ ∈A.可知f(x).0,x∈ X, 即f = θ, 矛盾,說
明a>0,從而F:=f(1 x0) f ∈ X. 滿足要求. 當X 是復空間時,取
G(x)=F(x). iF(ix),x∈ X,
則G ∈ X. 滿足要求. .
1.2度量線性空間與賦準範空間
在上節我們將線性結構與拓撲結構相容的空間稱為拓撲線性空間.本節討論
的度量線性空間是線性結構與度量結構相容的空間.我們先從度量開始討論.定義1.2.1設X是非空集合.如果實函數ρ:X×X → R+滿足(m1)ρ(x,y)=0x=y;
.
(m2)ρ(x,y)=ρ(y,x);
(m3)ρ(x,y).ρ(x,z)+ρ(z,y),則稱ρ是度量,稱(X,ρ)是度量空間,由度量產生的拓撲叫做度量拓撲.當ρ是線性空間X上的度量時,如果由ρ導出的拓撲是線性拓撲,即加法與數乘運算連續,則稱ρ是線性度量,稱(X,ρ)是度量線性空間.
由條件(m1)可知每個度量空間均是Hausdor.空間.隻滿足(m2),(m3)的度量稱為偽度量.在線性空間X上函數定義的線性度量函數定義的Δ-範數密
切相關.定義1.2.2設X是線性空間.若函數.·.: X → R+使(n1).x. =0x=θ;(n2).λx. . .. x.,x ∈ X,λ ∈ K, |λ|.1(均衡性);(n3)lim0 .λnx. =0,x∈ X;
λn
(n4).x →+ y.. C max(.x., .y.), x,y ∈ X, 這裡C 是大於1 的常數, 則稱.·.是Δ-範數,稱(X,.·.)是賦Δ-範空間.當.·.是X上的Δ-範數時,我們用B(r),B(r)分別表示(X,.·.)中半徑為r的開球與閉球,即B(r)={x ∈ X : .x.B(r)={x ∈ X : .x. . r}.
用B 與B分別表示相應的單位開、閉球. 這時可在X 上定義極限
xn 0), (1.1)→ x ..xn . x.→ 0(n→
用τ表示相應的拓撲.性質(n1)等價於τ是Hausdor.拓撲.由條件(n4)可知加法運算連續.均衡性條件(n2)相當於.·.的單調(非減)性,即當|λ1| . |λ2| 時,
.λ1x. . .λ2x..
1.2度量線性空間與賦準範空間7
··
事實上,當λ2=0.時, 由0 ..
λλ21 .
. 1 與均衡性立即可得
.
.λ1..

λ2x
.λ1x. = λ2 . .λ2x..顯然條件(n2)也意味著.·. 的對稱性.λx. = .x., |λ|=1.對於任意自然數n>1,由(n4)與單調性(n2)可知.nx. . C.(n . 1)x. . ··· . Cn.1.x.. 於是對於任意的λ ∈ K 與x ∈ X, 當設|λ| . n +1 時, .λx. . .(n+1)x. . Cn.x..(1.2)除滿足極限性質(n3)外,由(1.2)可知Δ-範數.·. 也滿足另一個極限性質lim0 .λxn. =0.(1.3)
xn
→
當|λn| < 1 時, 由.λnxn. ..xn. 可知.·. 也滿足第三個極限性質lim0 .λnxn. =0. (1.4)
λn0,xn
→→
三個極限性質(n3),(1.3)與(1.4)一道刻畫了數乘運算的連續性.這就證明了每個賦Δ-範空間均是Hausdor.拓撲線性空間.
多數文獻(例如[29])將極限性質(1.3),(1.4)作為條件與(n3)一並列入相關定義,但卻缺少均衡性條件(n2).比較而言條件(n2)既簡潔又易驗證,常見經典空間無出其右,這是我們在Δ-範數定義1.2.2中將其列入條件的原因之一;條件(n2)結合(n4)可以導出極限性質(1.3)與(1.4),這是我們對(n2)特別關注的第二個原因.下面例子說明(n2)與(n4)並不蘊涵極限條件(n3).
例1.2.1設X是由滿足
n
.x.= sup .|xn| < ∞ 的全體數列x=(xn)構成的線性空間,則.·.顯然滿足(n1),(n2).由
nnn
.|xn+yn| . .|xn| + .|yn|
可知(n4)成立.但是對於x={1, 1, ···} 與λn=n 1,
n
. 1
lim 0 .λnx.=limsup=1,
λnn0n
→→
即.·.不滿足(n3).定理1.2.1每個賦Δ-範空間都是可度量化的拓撲線性空間.證明設(X,.·.)是賦Δ-範空間.前面我們已經說明了與.·.對應的拓撲
τ 是線性拓撲. 由收斂的定義可以看出集列
Bn = {x : .x.<1/n},n ∈ N
構成(X,.·.) 的零點鄰域基, 且. Bn ={θ}.於是由Urysohn度量化定理[20] 可
n
知(X,.·.)是一個可度量化的拓撲線性空間..定義1.2.3如果線性空間X上的Δ-範數.·.滿足三角不等式(n5).x + y. . .x. + .y., x,y ∈ X,
則稱.·.是準範(數)或F-範(數),稱(X,.·.)是賦準範空間或F.-空間.如果準範.·. 滿足p-絕對齊性
(n.2).λx. = |λ|p.x.,λ ∈ K,其中p是滿足0顯然條件(n.2)蘊涵(n2),(n5)蘊涵(n4),由於這時
.x+ y. . 2max(.x., .y.), x,y ∈ X.
當0稱為均衡的,如果
ρ(λx,θ).ρ(x,θ),x∈ X,λ ∈ K, |λ| . 1.
定理1.2.2在線性空間X上,準範數與具有平移不變性和均衡性的線性度量相互等價.證明當.·. 是X 上的準範時,由
ρ(x,y)=.x . y., x,y ∈ X (1.5)
1.2度量線性空間與賦準範空間9
··
定函數ρ顯然是一個平移不變量度,ρ的均衡性由.·.的均衡性可知,且度量拓撲就是由.·. 經(1.1)定義的線性拓撲τ.
反過來, 當ρ 是X上具有均衡性的平移不變度量時, 定義
.x. =ρ(x,θ),x∈ X, (1.6)
則.·.顯然滿足條件(n1),(n2).由ρ的三角不等式與平移不變性可知
.x + y.=ρ(x+y,θ).ρ(x+y,y)+ρ(y,θ)
=ρ(x,θ)+ρ(y,θ)=.x. + .y.,
即三角不等式(n5)成立.再由ρ是線性度量可知
lim 0 .λnx.=limρ(λnx,θ)=0,
λnλn0
→→
即(n3)同樣成立.這就證明了由ρ經(1.6)定義的.·.是一個準範數.由ρ的平
移不變性可知, .·. 經(1.5)產生的度量就是ρ本身,這就證明了ρ與.·. 相互等價..
與定理1.2.2類似,線性空間上的準半範與具有平移不變及均衡性的偽線性度量相互對應,隻是相應的拓撲不滿足分離公理而已.本書主要采用Δ-範數與準範數敘述線性度量與線性拓撲.兩個Δ-範數等價意味著由它們導出的收斂或拓撲等價.由定義,每個準範都是Δ-範數,下面定理說明每個Δ-範數可以轉化為一個等價準範.
定理1.2.3設.·.是線性空間X上的Δ-範數.取常數C>2使(n4)成立.
則對滿足C=21/p的常數p,由
|||x||| = inf .. .xi.p : . xi = x . ,x ∈ X(1.7)
ii
定義的||| · ||| 是與.·. 等價的準範數.
證明對任意的x1,x2,,xn∈ X,由(n4)可以歸納證明不等式
···
.x1+x2++xn. . max Ck.xk..(1.8)···1.k.n
當n=2時(1.8)顯然.假設當n=m時結論已經證明,則當n=m+1時,
.x1+x2++xm+1.. C max(.x1., .x2++xm+1.)
······.maxCk .xk.,
1.k.m+1
故(1.8)對於任意自然數都成立.由C=21/p>2可知,0H(x)=
...
2n/p, 2(n.1)/p< .x. . 2n/p,n ∈ Z,
0,x=θ.
則對任意的x ∈ X, .x..H(x).21/p(1.9)
.x..
下面歸納證明不等式
.x1++xn.. 21/p(Hp(x1)++Hp(xn))1/p.(1.10)
······
當n=1時(1.10)顯然成立.假設(1.10)對n=m已經證明,且x1,,xm,xm+1∈
X. 不妨設.x1. . .x2. .. .xm+1., 下面分兩種情況進行討論. ··· ···
首先假設集合{H(xi):1.i.m+1} 中數互不相同.設H(x1)=2n/p, 則對任意的2 . i . m+ 1, 至少應有
H(xi).2[n.(i.1)]/p=2(1.i)/pH(x1).
於是
Ci .xi. .CiH(xi).21/pH(x1).21/p(Hp(x1)++Hp(xn))1/p.
···
再由(1.8)即得(1.10).
如果集合{H(xi):1.i.m+1}中有相同數,則存在某個1.j.m使H(xj)=H(xj+1).由定義,存在整數k∈ Z 使
2(k.1)/p<.xj+1. . .xj . . 2k/p
,
於是
.xj+xj+1. .C 2k/p =2(k+1)/p,
·
Hp(xj+xj+1).Hp(xj)+Hp(xj+1).
由歸納假設可得
p. 2
..
(Hp(xi)+Hp(xj+xj+1))
..
.x1++xm+1.
···
i=j,j+1
.2(Hp(x1)++Hp(xm+1)).
···
由歸納原理可知不等式(1.10)成立.