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前言

第1章  研究時滯動力學繫統Hopf分岔的幾種方法

  1.1 時滯繫統的Hopf分岔：Hassard方法

    1.1.1 引言

    1.1.2 理論與算法

  1.2 泛函微分方程的平均法

    1.2.1 引言

    1.2.2 準備工作

    1.2.3 基本的平均法定理

    1.2.4 補充的定理和引理

  1.3 多尺度方法

    1.3.1 對0(1)的解

    1.3.2 對0(ε)的解

    1.3.3 對0(ε2)的解

  1.4 Poincare-Lindstedt方法

    1.4.1 引言

    1.4.2 準備工作及一些假設條件

    1.4.3 方程的繫統

    1.4.4 漸近展式的形式計算

    1.4.5 漸近有效性證明

    1.4.6 主要定理及補充

  1.5 頻域方法

    1.5.1 引言

    1.5.2 在時滯繫統中退化分岔的條件

    1.5.3 時滯反饋繫統：一般情形

  1.6 帶參數的時滯泛函微分方程的規範形式與應用於Hopf分岔

    1.6.1 帶參數的泛函微分方程的規範形式

    1.6.2 應用於Hopf分岔

第2章  單時滯方程的分岔

  2.1 時滯神經網絡模型

  2.2 單個時滯神經網絡模型

    2.2.1 單個Gopalsam繫統的引入

    2.2.2 Gopalsamy模型的收斂性的充分必要條件

    2.2.3 帶非線性激活函數的單時繫統的Hopf分岔

    2.2.4 一個典型時滯繫統的Hopf分岔

    2.2.5 帶分布時滯Gopalsam方程

  2.3 具有反射對稱性的一階非線性時滯微分方程的分岔

    2.3.1 引言

    2.3.2 線性穩定性分析

    2.3.3 時滯微分方程的中心流形縮減

    2.3.4 Takens—Bogdanov分岔

    2.3.5 具體例子

    2.3.6 結論

  2.4 純量時滯微方程的局部和全局Hopf分岔

    2.4.1 引言

    2.4.2 局部行為

    2.4.3 特征方程

    2.4.4 Hopf分岔和分岔方向

    2.4.5 全局延拓

    2.4.6 數值例子

  2.5 帶兩個時滯的純量時滯微分方程

    2.5.1 引言

    2.5.2 局部穩定性分析

    2.5.3 Hopf分岔

    2.5.4 Hopf分岔的穩定性

第3章  兩時滯繫統的分岔

  3.1 兩時滯繫統的穩定性與分岔

    3.1.1 引言

    3.1.2 線性穩定性分析

    3.1.3 中心流形縮減

  3.2 時滯誘導興奮與抑制神經繫統的周期性

    3.2.1 引言

    3.2.2 時滯誘導繫統失穩

    3.2.3 時滯誘導周期振蕩

    3.2.4 分岔周期解的穩定性

  3.3 帶分布時滯的興奮與抑制神經繫統的全局Hopf分岔

    3.3.1 引言

    3.3.2 線性穩定性分析

    3.3.3 振蕩的局部穩定性

    3.3.4 振蕩的全局分岔

  3.4 模型化神經活動的時滯微分繫統的分岔

    3.4.1 引言

    3.4.2 平衡點與特征方程

    3.4.3 分岔性質

    3.4.4 數值結果

  3.5 帶兩個不同時滯的神經繫統模型的穩定性與分岔

    3.5.1 模型的引入與它的局部線性分析

    3.5.2 無自聯接的神經網絡

    3.5.3 Hopf分岔的方向與穩定性

    3.5.4 用Poincare-Lindstedt方法分析的結果

  3.6 帶多個時滯的兩個耦繫統

    3.6.1 引言

    3.6.2 線性穩定性分析

    3.6.3 分岔分析

    3.6.4 分岔的相互作用

    3.6.5 結論

  3.7 帶分布時滯兩繫統的Hopf分岔

    3.7.1 模型的引入、局部穩定性與Hopf分岔的存在性

    3.7.2 分岔周期解的穩定性

  3.8 帶兩個時滯調和振蕩器的分岔

    3.8.1 引言

    3.8.2 局部穩定性和Hopf分岔的存在性

    3.8.3 Hopf分岔的方向和穩定性

    3.8.4 共振餘維2分岔

  3.9 時滯微分方程中餘維2和餘維3的零奇異性

    3.9.1 引言

    3.9.2 一般方法

    3.9.3 一般的兩維繫統

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第4章  三時滯繫統的分岔

第5章  高階時滯神經網絡模型

第6章  在工程中的其他時滯動態模型

第7章  時滯混沌繫統

參考文獻

第1章研究時滯動力學繫統Hopf分岔的幾種方法

1.1時滯繫統的Hopf分岔:Hassard方法

1.1.1引言

本節討論一般的時滯繫統，即，其中？是一個單參族的線性算子;f是一個非線性函數，將在1.1.2節給出精確的定義，並且描述一個算法，來確定繫統(1-1)從穩定態分岔到小振幅周期解的穩定性？分岔方向？周期和周期解的漸近形式？

這個算法可以應用於許多時滯繫統，我們將在後面章節中探討其應用？Hassard方法借助中心流形定理討論Hopf分岔和分岔周期解的穩定性，這種方法及其結果等價於平均方法Poincare-Lindstedt方法Fredholm選擇方法，以及隱函數定理方法？它的優點在於，如果不是計算簡單，這種方法至少對研究者來說似乎在概念上更清晰明了？當然，上面提到的每個其他方法都結合了積分流形定理？本節研究時滯繫統從穩定態分岔到周期解，給出確定周期解的漸近軌道穩定性？分岔的方向？周期和周期解的漸近形式？

1.1.2理論與算法

考慮自治繫統，即(1-2)對某個，有，其中？是連續有界單參族的線性算子，即包含非線性項，至少是二次項以上，即

為了簡潔，假設無窮可微，且對於小的盧，廠和L，.解析依賴於分岔參數？實際上，在大多數應用中，對廠有C4的假設，關於L，.對盧有C2的假設即可？

對於繫統(l-2)解的定義及對初值問題光滑解的存在性與性定理，讀者可見文獻？本節的理論依賴於繫統(1-2)中心流形的存在性，在譜假設條件下，中心流形是包含原點的某個局部不變的？局部吸引的二維流形？Chafeec9]在此假設條件下，已經證明存在一個中心流形？

按照Chafeec和Halec的方法，考慮繫統(1-2)的解是素，即解連續映射初值到？如果？，那麼初始值必須滿足恰當的擴展假設，我們僅對周期解感興趣，相應於解z的一個軌道在C中是一條曲線，即一個周期解的軌道是C中的一條閉曲線？

注意在以後討論的每個繫統中，對於所有正的時間，至少對小的初值，解的全局存在性可立即從和的形式中獲得？

轉向線性問題，，由Riesz表示定理，存在一個卵×卵階矩陣值函數，即，使得77的每個分量有有界變差，且對所有聲，有(1-3)

特別地對於譜，作出通常的Hopf假設的譜為(1-4)存在一對復共軛特征值和，使得，且(橫截性假設)(1-5)並且的所素在處有負實部？因此，我們將研究繫統(1-2)當接近0時，從平衡解0的小振幅周期解的Hopf分岔？

正如在Hassard等指出的，繫統(1-2)的分岔周期解由小的參數￡來度量且￡≥0，解Z(f有振幅，周期和具有的非零Floquet指數？這裡在我們的假設下，t和有收斂的展式，即(1-6)其中，盧的符號(正與負)決定分岔的方向，P/的符號(正與負)決定的穩定性，如果p2<0，則是軌道漸近穩定的，如果p2>0，則是不穩定的？

現在證明在展式(1-6)中怎樣獲得它們的繫數，在以後的應用中，我們僅計算和？為此，隻需要函數在處的二階和三階偏導數的值，以及和？在本節的末尾，我們給出計算和的具體公式？

我們改寫式(1-2)為，這裡，且，因為，因此式(1-7)變為

現在設q(0)是A(o)相應於A(O)的特征函數，因此有，的伴隨算子定義為，為了簡化記號，我們記為？

A和A？的域分別為和，為了計算上的方便，我們允許函數在中替，因為是的特征值，是的特征值，且對於某個非零，我們有

正如文獻[9]所述，對於，定義內積為

對於意味著，這裡和是和的分量，那麼，如果，我們有

由下面的條件正規化和，即

當然(1-12)這是因為是A的單重特征值？

現在，對於繫統(1-7)在0處的一個中心流形力是一個局部不變的，在C中吸引兩維流形？如果我們定義(1-13)且(1-14)其中，z，是式(1-7)的一個解，那麼在中心流形(1-15)

實際上，在C中，對於和可是局部坐標，如果，是實的，那麼訓是實的？

我們僅處理實數解z，，容易看到(1-16)中心流形的存在性使我們把式(1-7)變為在Q上單復變量的常微方程？在處，這個方程為(1-17)縮寫形式，上面方程變為

我們的目的是展開為和冪的級數，以便在這些展開式中獲得式(1-6)中和現的繫數？為了能夠展開，我們必須確定式(1-15)中的繫數訓？寫出叫，並利用式(1-17)和式(1-7)有再寫為而(1-19)利用式(1-15)，有

另一方面，在上，有(1-20)從式(1-15)，式(1-17)式(1-20)通過比較，相似項，對於粗值向量，我們可以獲得常微分方程，即(1-21)其中，依賴於繫數，可以利用式(1-21)來計算，因為在每一步所有出現在右邊的訓？已確定？

顯然，和依賴於，不依賴於任何？因為叫是實數，所以？對於某個和某些和，方程(1-21)給出下面解的形式，即(1-22)其中？

一旦確定，微分方程(1.17)對於2是明顯的，且可以寫為(1-23)其中那麼我們可以僅利用Hassard萬法，即(1-24)，(1-25)且(1-26)其中的符號決定分岔方向，p的符號決定分岔周期解的穩定性？

對於解被吸引到中心流形，並且在中心流形上的穩定性由Floquet指數p確定，如果p2<0，則周期解是軌道漸近穩定的;如果p2>0，則周期解是不穩定的？確定了在周期中)項，即進而，分岔周期解由下列公式描述，即(1-27)其中？為一個正參數？

根據式(1-23)中的繫數，那麼出現在式(1-22)中的是，

因此，式(1-27)可以選擇寫為(1-28)

……