了得網自然科學_隨機動力繫統引論

編輯推薦

內容簡介

《*動力繫統引論》介紹了幾種典型*過程及其*積分的定義與性質，繫統講述了高斯過程、分數布朗運動和Levy過程驅動的*偏（常）微分方程解生成的*動力繫統的理論，詳細給出了*吸引子、測度吸引子、大偏差原理和*不變流形的研究方法和主要結論，後介紹了*分數階偏微分方程解的存在性和遍歷性研究結果。

《*動力繫統引論》可作為高校*動力繫統理論研究和應用及相關專業的研究生教材或教師參考書，亦可供從事相關理論研究的科技工作者閱讀。

前言

第1章隨機過程與隨機積分

1.1 隨機過程與條件期望

1.2.Wiener過程及其隨機積分

1.3 Levy過程及其隨機積分

1.4 分數布朗運動及其隨機積分

1.5 附錄：Nuclear算子和Hilbert-Schmidt算子
前言

第1章隨機過程與隨機積分

1.1 隨機過程與條件期望

1.2.Wiener過程及其隨機積分

1.3 Levy過程及其隨機積分

1.4 分數布朗運動及其隨機積分

1.5 附錄：Nuclear算子和Hilbert-Schmidt算子

參考文獻

第2章隨機動力繫統

2.1 動力繫統概述

2.2 可測動力繫統

2.3 遍歷理論

2.4 動力繫統及整體吸引子

2.5 過程簇與非自治動力繫統

2.6 隨機動力繫統

2.7 多值隨機動力繫統

參考文獻

第3章高斯噪聲驅動的Navier-Stokes方程的動力學

3.1 基本概念和假設

3.2 加性高斯噪聲驅動的隨機Navier-Stokes方程

3.3 噪聲模型與可測動力繫統的生成

3.4 隨機Navier-Stokes方程解的存在性與性

3.5 隨機Navier-Stokes方程生成隨機動力繫統

3.6 乘性高斯噪聲驅動的隨機Navier-Stokes方程

參考文獻

第4章 Levy過程驅動的隨機發展方程

4.1 Q穩定Levy噪聲及相應Ornstein-Uhlenbeck變換

4.2 Levy過程驅動的常微分方程生成隨機動力繫統

4.3 Poisson噪聲驅動的隨機阻尼波方程解的存在性

4.4 Levy過程驅動的非Lipschitz繫數的隨機發展方程

4.5 Levy過程驅動的隨機Burgers方程的動力學

4.6 Levy時空白噪聲驅動的分數階偏微分方程

4.7 一般Levy噪聲驅動的隨機偏微分方程的隨機吸引子

參考文獻

第5章分數布朗運動驅動的隨機發展方程

5.1 加性分數布朗運動驅動的隨機微分方程

5.2 乘性分數布朗運動驅動的隨機微分方程的隨機吸引子

5.3 乘性分數布朗運動驅動的隨機發展方程的不穩定流形

參考文獻

第6章隨機偏微分方程的大偏差原理

6.1 大偏差原理

6.2 乘性高斯噪聲驅動的Navier-Stokes方程的大偏差原理

6.3 加性Levy噪聲驅動的Navier-Stokes方程的大偏差原理

6.4 分數布朗運動驅動的隨機微分方程的大偏差原理

參考文獻

第7章隨機偏微分方程的測度吸引子

7.1測度吸引子的概念及其存在性

7.2 半線性隨機發展方程的測度吸引子

7.3 隨機Navier-Stokes方程的測度吸引子

7.4 具有Stratonovich導數形式Navier-Stokes方程的測度吸引子

參考文獻

第8章隨機分數階偏微分方程

8.1 分數階微積分基礎

8.2 分數階Langevin方程

8.3 高斯噪聲驅動的隨機分數階Burgers方程

8.4 Levy過程驅動的隨機分數階Burgers方程

8.5 分數布朗運動驅動的隨機分數階偏微分方程

參考文獻

在線試讀

第1章隨機過程與隨機積分
本章先介紹隨機變量與隨機過程、條件期望等基本概念，然後分別介紹Wiener
過程及其隨機積分，L?evy及其隨機積分和分數布朗運動及其隨機積分，後給出
Nuclear算子和Hilbert-Schmidt算子的定義及其性質.
x1.1隨機過程與條件期望
設（-；F；P）是概率空間.對任意的A2F，記A的補集為Ac，1A為集合A
的特征函數.本節內容取自於文獻[4]，[21]和[22].
定義1.1.1設（E；E）是一個可測空間.稱任意可測映射X：-E為一個
E-值隨機變量，或E上素（隨機變量）.
記L（X）（?）=P±X?1（?）：=P（2-：X（）2?）；?2E為隨機變量X的分
布，即E素的分布.
定義1.1.2記I是時間變量區間（連續時間情形時，I是非負實數R+，或有
限區間[0；T]；離散時間情形時，I是非負整數Z+=f0；1；…g的子集），記I上的
Borel?-域為B（I）.稱E上素的任意簇X=（X（t）；t2I）為E上的隨機
過程，或者為E-值的隨機過程.
定義1.1.3對於任意的k2N，E值隨機過程X的有限維分布是在乘積空
間Ek上的前向測度PX
i1；…；ik，其中
PX第1章隨機過程與隨機積分

本章先介紹隨機變量與隨機過程、條件期望等基本概念，然後分別介紹Wiener

過程及其隨機積分，L?evy及其隨機積分和分數布朗運動及其隨機積分，後給出

Nuclear算子和Hilbert-Schmidt算子的定義及其性質.

x1.1隨機過程與條件期望

設（-；F；P）是概率空間.對任意的A2F，記A的補集為Ac，1A為集合A

的特征函數.本節內容取自於文獻[4]，[21]和[22].

定義1.1.1設（E；E）是一個可測空間.稱任意可測映射X：-E為一個

E-值隨機變量，或E上素（隨機變量）.

記L（X）（?）=P±X?1（?）：=P（2-：X（）2?）；?2E為隨機變量X的分

布，即E素的分布.

定義1.1.2記I是時間變量區間（連續時間情形時，I是非負實數R+，或有

限區間[0；T]；離散時間情形時，I是非負整數Z+=f0；1；…g的子集），記I上的

Borel?-域為B（I）.稱E上素的任意簇X=（X（t）；t2I）為E上的隨機

過程，或者為E-值的隨機過程.

定義1.1.3對於任意的k2N，E值隨機過程X的有限維分布是在乘積空

間Ek上的前向測度PX

i1；…；ik，其中

PX

i1；…；ik（S）：=Pf2-j（Xi1（）；…；Xik（））2Sg：

定義1.1.4對任意的t2I，濾子是任意非減的?域Ft?F構成的集族.如

果

Ft=Ft+：=\\s>t

Fs；8t2I；

則稱（Ft）是右連續的.如果（Ft）是一個右連續的濾子，並包含F中的所有P測

度為0的集合（零測集），則稱（Ft）是正則濾子組（-；F；（Ft）；P）為濾子概

率空間.稱E-值的隨機過程X關於濾子（Ft）是適應的，如果對每個t2I，X（t）

都是Ft-可測的.

附注1.1.1對任意的濾子（Ft），濾子（Ft+）是右連續的.設X是給定E-

值隨機過程，則（FX

t）表示由X生成的濾子，即對每個t2I，FX

t：=?（X（s）：s2

I；s6t），即使得所有X（s）；s2I；s6t都可測的小的?-域.F

X

t表示

包含FX

t及F的所有零測集的小?-域.則濾子（F

X

t+）是正則的，且X關於濾

子（F

X

t+）是適應的.

定義1.1.5稱E-值的隨機過程X是可測的，如果X是一個從I￡-到E

上的可測映射，其中在I￡-上考慮乘積?-域B（I）￡F.

定義1.1.6設PI為可料集的?-域，即包含所有形如（s；t]\\I￡A集合的

I￡-子集的小的?-域，其中s；t2I，s
（E；E）的隨機過程X是可料的，如果X是從I￡-到E上的可測映射，其中在

I￡-上考慮?-域PI.

附注1.1.2如果Y是連續的，且關於Ft；t2[0；T]是適應的，則它是可料

的.進一步，連續性可以減弱為左連續.事實上，定義Ym：

Ym（t；）=Xk>1

Ym；k（t；）；

其中，對t2（（k?1）2?m；k2?m]，

Ym；k：=Y（（k?1）2?m；）；

則fYmg是可料的，由過程Y的左連續性可知，fYmg必定收斂到Y.因此過程Y

也是可料的.

定義1.1.7令（X（t）；t2I）是一個E-值的定義在（-；F；P）上的隨機過程.

一個E-值的隨機過程（Y（t）；t2I）稱為是X的修正，如果P（X（t）=Y（t））=1

對任意t2I都成立.

附注1.1.3X的任一修正Y與X具備相同的有限維分布.如果存在X的

一個具備P-a.s.連續軌道的修正Y，則稱X具備一個連續修正（連續隨機過程的

定義參閱定義1.1.12）.如果存在X的一個可測或可料的修正Y，則稱X具備一個

可測或可料修正.

定義1.1.8令（-；F；（Ft）；P）為一個濾子概率空間.稱?：-[0；+1]為關

於濾子（Ft）的停時，如果對任意t2I，f?6tg2Ft.

令?為一個停時.記F?為使得A\\f?6tg2Ft對任意t2I成立的事件

A2F的並，容易驗證F?是一個?-域，並且?關於F?是可測的.以後稱F?為

停時?-域.

令（X；k￠k）是一個Banach空間，B（X）是X上的Borel?-域.（-；F；P）是可

測空間，1是定義在其上的有限測度.

下面介紹定義在Banach空間上的Bochner積分的定義及其性質.

考慮簡單函數類：

f：-Xjf=

nXk=1

xk1Ak；xk2X；Ak2F；16k6n；n2N）：

定義向量空間範數k￠kr />
kfkkfkd1；8f2r />
為使（k一個賦範向量空間，考慮關於k￠k類.

對任意的f2

nXk=1

xk1Ak，不妨設Ak是兩兩不交，定義Bochner積分為

Zfd1：=

nXk=1

xk1（Ak）：

容易驗證，該定義與f的表示無關，而且關於被積函數是線性的.定義映射：

Int：（k；k￠k）；

f7Zfd1：

由於Zfd16Zkfkd1對任意f2注意到Ak是兩兩不交的）.因此該

映射是線性的，並且一致連續.而且可將映射Int拓展到￠k化空

間br />
下面給出.

定義1.1.9函數f：-X稱為是強可測的，如果它是F=B（X）-可測的.

定義1.1.10令16p<1.定義

Lp（-；F；1；X）：=Lp（-；X）

：=?f：-Xjf是強可測的，而且Zkfkpd1<1?

及半範數

kfkLp：=μZkfkpdu?1

p

；f2Lp（-；F；1；X）：

Lp（-；F；1；X）關於k￠kLp的所有等價類組成的空間記為Lp（-；F；1；X）：=Lp（-；X）.

引理1.1.1[4]令E是一個度量為d的度量空間，f：-E是強可測的，並

且f（-）?X是可分的，則存在簡單E-值函數序列fn；n2N，使得對任意2-，

序列d（fn（）；f（））；n2N單調下降趨於0.

證明令E0=fe1；e2；…g是E的可數稠密子集.對m2N，定義

dm（）=minfd（f（）；ek）jk6mg；

km（）=minfk6m：dm（）=d（f（）；ek）g；

fm（）=ekm（）：

顯然fm是簡單函數，這是因為

fm（-）?fe1；e2；…；emg；

而且，由E0的稠密性，序列fdm（）g對任意2-單調下降趨於0.由dm（）=

d（f（）；fm（））即可證得該引理.

推論1.1.1（-；F；1；X）的關於範數k￠kL1的稠密子集.

命題1.1.1令（-；F）是一個可測空間，X是一個Banach空間，則

（1）從-到X上的可測函數類關於逐點收斂封閉，

（2）從-到X上的強可測函數類關於逐點收斂封閉.

證明本命題的證明簡單，請讀者完成證明過程.

推論1.1.2（L1（-；F；1；X）；k￠kL1）是完備的.

定理1.1.1

1（-；F；1；X）；k￠kL1）：

證明由推論1.1.1和推論1.1.2即可得證.

於是，由定理1.1.1可將Bochner積分的定義拓展到空間（-；F；1；X）

上.下面給出Bochner積分的性質.

命題1.1.2（Bochner不等式）令f2L1（-；F；1；X），則

Zfd16Zkfkd1：

證明對f2題成立，然後利用的連續擴張Int：（1；X）

X即可.

命題1.1.3令f2L1（-；F；1；X），則

ZL±fd1=LμZfd1?

對所有L2L（X；Y）都成立，其中Y是另一個Banach空間.

證明對f2題成立，然後利用的連續擴張Int：（1；X）

X即可.

設B是一個可分的Banach空間，則對任意B-值的隨機變量，實值函數7

jX（）jB是可測的.一個B-值的隨機變量X是可積的當且僅當

EjXjB：=Z-jX（）jBP（d）<1：

如果EjXj2

B<1，則X是平方可積的.

定義1.1.11設X（）為一給定的可積B-值隨機變量，稱其Bochner積分

EX：=Z-

X（）P（d）

為X（）的期望.

下面的命題給出了隨積變量條件期望的定義.

命題1.1.4[21]設B是一個實值可分的Banach空間，X是定義在概率空間

（-；F；P）上的Bochner可積的B-值隨機變量，G是一個包含在F內的?-域，則

存在的Bochner可積的B-值隨機變量Z，關於G是可測的，且滿足

ZA

XdP=ZA

ZdP；8A2G：

記隨機變量Z為E（XjG），稱為X在給定G下的條件期望.

證明先證明存在性.如果X是簡單函數，則存在x1；x2；…；xN2B和兩兩

不交的集合A1；…；AN2F使得

X=

NXk=1

xk1Ak：

定義

Z=

NXk=1

xkP（AkjG）；

則Z是X的條件期望.進一步地，

jZjB6

NXk=1

jxkjBP（AkjG）=E?NXk=1

jxkjB1AkjG=E（jXjBjG）：

由此利用逼近方法即可證明該命題成立.

再證性.由於~E是一個可分的Banach空間，則存在可區分~E中點的線

性泛函ln2~E¤；n2N.設Z1；Z2是Bochner可積的從-到~E上的G-可測映射，

滿足ZA

XdP=ZA

Z1dP=ZA

Z2dP

對任意A2G成立，則對任意n2N，

ZA

（ln（Z1）?ln（Z2））dP=0

對任意A2G成立.對A：=fln（Z1）>ln（Z2）g和A：=fln（Z1）
此式有ln（Z1）=ln（Z2），P-a.s.，因此

-0：=\
2N

fln（Z1）=ln（Z2）g

是全測集.因為ln；n2N可以區分~E中的點，所以在-0上Z1=Z2.

稱取值在B上的隨機變量族X（n）是一致可積的當且僅當

lim

r1

sup

nZfjX（n）jB>rg

jX（n）jBdP=0：

下面列舉一些條件期望的常用性質.

命題1.1.5令X；Y是B上可積的隨機變量，令a；b2R，G是F的一個子

?-域，

（1）E（aX+bYjG）=aE（XjG）+bE（YjG），P-a.s..

（2）設T是一個從B到另一個實值可分Banach空間B1的連續線性算子，則

E（TXjG）=TE（XjG），P-a.s..

（3）設X是G可測的，3是一個實值可積的隨機變量，並且使得3X可積，則

E（3XjG）=XE（3jG），P-a.s..

（4）設G0是G的一個子?-域，則E（XjG0）=E（E（XjG）jG0），P-a.s..

（5）如果X與G獨立，則E（XjG）=EX，P-a.s..

（6）如果f：RR是凸函數，f（jXjB）可積，則f（jE（XjG）jB）6E（f（jXjB）jG），

P-a.s.特別地，jE（XjG）jB6E（jXjBjG）：

（7）設（X（n））是B上的一致可積的隨機變量序列，X（n）幾乎處處收斂於X，

則E（X（n）jG）E（XjG），P-a.s..

（8）假設（Gn；n2N）是遞增的?-域，滿足G=?（Gn：n2N），即G是包含所

有Gn的小?-域，則E（XjGn）E（XjG），P-a.s..

證明利用測度論的經典方法即可，以（4）為例.設X是一個簡單函數，則存

在x1；x2；…；xN2B和兩兩不交的A1；…；AN2F使得

X=

NXk=1

xk1Ak；

則

E（E（XjG）jG0）=E?E?NXk=1

xk1AkkGkG0

=E?NXk=1

xkP（AkkG）kG0=

NXk=1

xkP（AkjG0）=E（XjG0）：

再利用逼近方法即可證明（4）成立.

在本節後給出幾種連續的定義和性質.

商品搜索

商品分类

【醫學】

【各大出版社】