了得網自然科學_凝聚態、電磁學和引力中的多值場論

編輯推薦

《凝聚態電磁學和引力中的多值場論/現代物理基礎叢書》編著者哈根·克萊納特。在本理論中多值映射起了十分重要的作用正是由此，我們可以從自由物質的物理定律推導出與規範場耦合的物質的物理定律以及帶撓率的引力理論。本書可作為研究人員、研究生學習掌握相變理論、量子場論、引力理論以及微分幾何的參考書。

內容簡介

凝聚態、電磁學和引力中的多值場論給出了多值場論的基本框架，並通過在不同領域的應用對此理論加以了詳盡的闡述。本理論的一個重要特性是它包含一個新的具有奇異性的規範場。這個規範場為某個曲面上的δ函數，該曲面的形狀是任意的，隻有該曲面的邊界具有物理意義，理論在曲面形變下的不變性可看作是一種新的規範對稱性。
在本理論中多值映射起了十分重要的作用。正是由此，我們可以從自由物質的物理定律推導出與規範場耦合的物質的物理定律以及帶撓率的引力理論。
凝聚態、電磁學和引力中的多值場論可作為研究人員、研究生學習掌握相變理論、量子場論、引力理論以及微分幾何的參考書。

譯者的話
序言
第1章基礎知識
1.1 牛頓力學的伽利略不變性
1.1.1 平移
1.1.2 轉動
1.1.3 伽利略推進
1.1.4 伽利略群
1.2 麥克斯韋方程的洛倫茲不變性
1.2.1 洛倫茲推進
1.2.2 洛倫茲群
1.3 無窮小洛倫茲變換
1.3.1 群變換
1.3.2 群乘積和李代數譯者的話
序言
第1章基礎知識
1.1 牛頓力學的伽利略不變性
1.1.1 平移
1.1.2 轉動
1.1.3 伽利略推進
1.1.4 伽利略群
1.2 麥克斯韋方程的洛倫茲不變性
1.2.1 洛倫茲推進
1.2.2 洛倫茲群
1.3 無窮小洛倫茲變換
1.3.1 群變換
1.3.2 群乘積和李代數
1.4 矢量、張量和標量場
1.4.1 離散洛倫茲變換
1.4.2 龐加萊群
1.5 洛倫茲變換的微分算子
1.6 矢量和張量算子
1.7 有限洛倫茲變換下矢量和張量的行為
1.7.1 轉動
1.7.2 洛倫茲推進
1.7.3 洛倫茲群
1.8 相對論性點粒子力學
1.9 量子力學
1.10 電磁場中的相對論性粒子
1.11 狄拉克粒子和場
1.12 能動張量
1.12.1 點粒子
1.12.2 理想流體
1.12.3 電磁場
1.13 角動量和自旋
1.14 依賴時空的洛倫茲變換
1.14.1 角速度
1.14.2 角梯度
附錄
1A 張量恆等式
文獻與注記
第2章作用量方法
2.1 廣義質點動力學
2.2 相對論性單粒子
2.3 標量場
2.3.1 局域性
2.3.2 洛倫茲不變性
2.3.3 場方程
2.3.4 平面波
2.3.5 作為非相對論極限的薛定諤量子力學
2.3.6 自然單位
2.3.7 哈密頓形式
2.3.8 守恆流
2.4 由作用量的極值導出麥克斯韋方程
2.4.1 電磁場作用量
2.4.2 電磁場的另一種作用量
2.4.3 電磁場的哈密頓量
2.4.4 麥克斯韋理論的規範不變性
2.5 帶電點粒子的麥克斯韋-洛倫茲作用量
2.6 具有電磁相互作用的標量場
2.7 狄拉克場
2.8 量子化
文獻與注記
第3章連續對稱性和守恆定律、Noether定理
3.1 連續對稱性和守恆定律
3.1.1 對稱變換的群結構
3.1.2 實質變分
3.1.3 守恆定律
3.1.4 守恆定律的另外一種推導
3.2 時間平移不變性和能量守恆
3.3 動量和角動量
3.3.1 空間中的平移不變性
3.3.2 轉動不變性
3.3.3 質心定理
3.3.4 由洛倫茲不變性而導致的守恆律
3.4 生成對稱性
3.5 場論
3.5.1 連續對稱性和守恆流
3.5.2 另一種推導
3.5.3 局域對稱性
3.6 正則能動張量
3.6.1 電磁學
3.6.2 狄拉克場
3.7 角動量
3.8 四維角動量
3.9 自旋流
3.9.1 電磁場
3.9.2 狄拉克場
3.10 對稱的能動張量
3.11 內部對稱性
3.11.1 U(1)對稱性和電荷守恆
3.11.2 內部對稱性破缺
3.12 生成量子場的對稱變換
3.13 相對論性質點的能動張量
3.14 電磁場中帶電質點的能動張量
文獻與注記
第4章靜磁場中的多值規範變換
4.1 電流分布的矢勢
4.2 磁場的多值梯度表示
4.3 由多值規範變換產生磁場
4.4 磁單極
4.5 多值規範變換導致的粒子間最小磁耦合
4.6 多值標量場與單值矢量場的等價性
4.7 電流和磁單極的多值場論
文獻與注記
第5章超流和超導中的多值場論
5.1 超流相變
5.1.1 構型熵
5.1.2 無質量激發的起源
5.1.3 渦旋密度
5.1.4 配分函數
5.1.5 相互作用能的連續統推導
5.1.6 物理躍變曲面
5.1.7 超流的正則表述
5.1.8 湯川環線氣體
5.1.9 超流規範場
5.1.10 無序場論
5.2 超導體中的相變
5.2.1 金茲堡-朗道理論
5.2.2 超導的無序場論
5.3 序參量與無序參量的對比
5.3.1 ⁴He超流
5.3.2 超導
5.4 超導相變級數與三重臨界點
5.4.1 漲落區域
5.4.2 一級相變還是二級相變
5.4.3 具有渦旋線的超導體的配分函數
5.4.4 一級相變情形
5.4.5 二級相變的渦旋線起因
5.4.6 三重臨界點
5.4.7 無序場論
5.5 渦旋晶格
附錄
5A 超流中的單個渦旋
文獻與注記
第6章超流動力學
6.1 超流的流體力學描述
6.2 第二聲速度
6.3 渦旋電磁場
6.4 一個簡單的例子
6.5 理想量子流體的Eckart理論
6.6 旋轉的超流
文獻與注記
第7章帶電超流動力學及超導
7.1 帶電超流的流體力學描述
7.2 帶電超流的倫敦理論
7.3 在倫敦方程中加入渦旋
7.4 超導的流體力學描述
附錄
7A 超導的激發譜
7B 超導體的金茲堡-朗道理論的特性
文獻與注記
第8章相對論性磁單極與電荷禁閉
8.1 磁單極規範不變性
8.2 電荷的量子化
8.3 電流和磁流間的相互作用
8.4 對偶規範場表述
8.5 磁單極規範固定
8.6 無自旋帶電粒子的量子場論
8.7 磁荷禁閉理論
8.8 磁單極場的二次量子化
8.9 電荷禁閉的量子場論
文獻與注記
第9章從理想晶體到含缺陷晶體的多值映射
9.1 缺陷
9.2 位錯線與伯格斯矢量
9.3 旋錯線與弗蘭克矢量
9.4 位錯與旋錯的相互依賴性
9.5 連續統介質中具有無窮小間斷的線缺陷
9.6 位移場的多值性
9.7 位移場的光滑性和Weingarten定理
9.8 位移場的可積特性
9.9 位錯與旋錯密度
9.10 便於記憶的構造缺陷密度的方法
9.11 缺陷規範不變性
9.12 線缺陷的分叉
9.13 缺陷密度及不相容度
文獻與注記
第10章缺陷的熔解
10.1 比熱
10.2 含缺陷的固體的彈性能
文獻與注記
第11章曲線坐標繫中的相對論力學
11.1 等效原理
11.2 一般坐標繫中的自由粒子
11.3 閔可夫斯基幾何在一般坐標繫中的表述
11.3.1 局域基標架
11.3.2 閔可夫斯基坐標下的矢量場和張量場
11.3.3 一般坐標繫中的矢量和張量場
11.3.4 仿射聯絡及協變導數
11.4 撓率張量
11.5 協變時間導數及加速度
11.6 作為仿射聯絡協變旋度的曲率張量
11.7 黎曼曲率張量
附錄
列維-西維塔張量的曲線坐標形式
文獻與注記
第12章缺陷誘導的撓率和曲率
12.1 多值無窮小坐標變換
12.2 非完整坐標變換示例
12.2.1 位錯
12.2.2 旋錯
12.3 仿射空間的微分幾何特性
12.3.1 度規和仿射聯絡的可積性
12.3.2 局域平行
12.4 具有曲率和撓率的仿射空間中的回路積分
12.4.1 平行矢量場的回路積分
12.4.2 坐標的回路積分
12.4.3 閉合破損及伯格斯矢量
12.4.4 針對曲率的另一個回路積分
12.4.5 宇宙晶體中的平行
12.5 曲率和撓率張量的比安基恆等式
12.6 黎曼時空中的一些特殊坐標繫
12.6.1 測地坐標繫
12.6.2 正則測地坐標
12.6.3 諧和坐標
12.6.4 det(g_μν)=1的坐標
12.6.5 正交坐標繫
12.7 R_μνλ^κ和S_μν^λ的獨立分量個數
12.7.1 二維情形
12.7.2 三維情形
12.7.3 四維及更高維情形
文獻與注記
第13章嵌入引起的曲率和撓率
13.1 常曲率時空
13.2 基矢
13.3 撓率
文獻與注記
第14章多值映射原理
14.1 點粒子的運動
14.1.1 具有曲率的空間中的經典作用量原理
14.1.2 有撓空間中的自平行軌跡
14.1.3 自旋的運動方程
14.1.4 梯度撓率的特性
14.2 由嵌入而得的自平行軌跡
14.2.1 自平行的特殊作用
14.2.2 高斯的最小約束原理
14.3 可看作自平行軌跡的麥克斯韋-洛倫茲軌道
14.4 由撓率而得Bargmann-Michel-Telegdi方程
文獻與注記
第15章引力場方程
15.1 不變作用量
15.2 能動張量與自旋密度
15.3 對稱能動張量和缺陷密度
文獻與注記
第16章整數自旋的最小耦合場
16.1 黎曼-嘉當空間中的標量場
16.2 黎曼-嘉當空間中的電磁學
文獻與注記
第17章半整數自旋粒子
17.1 局域洛倫茲不變性與非完整坐標
17.1.1 狄拉克作用量的非完整像
17.1.2 標架場
17.1.3 局域慣性繫
17.1.4 標架和多值標架場的區別
17.1.5 中間坐標基底下的協變導數
17.2 黎曼-嘉當空間中的狄拉克作用量
17.3 裡奇恆等式
17.4 耦合的另一種形式
17.5 矢量場的不變作用量
17.6 局域洛倫茲不變性的驗證
17.7 包含自旋物質的場方程
文獻與注記
第18章協變守恆定律
18.1 自旋密度
18.2 能動張量密度
18.3 守恆律的協變導數
18.4 具有整數自旋的物質
18.5 守恆律與比安基恆等式的關繫
18.6 由能動守恆而得粒子軌跡
文獻與注記
第19章自旋物質引力的規範理論
19.1 局域洛倫茲變換
19.2 局域平移變換
文獻與注記
第20章引力中撓率的隱失特性
20.1 源於撓率的局域4費米子相互作用
20.2 引力不需要撓率
20.3 標量場
20.4 修正的能動守恆律
20.4.1 梯度撓率情形下的解
20.4.2 與標量場相耦合的梯度撓率
20.4.3 一種新的標量積
20.4.4 自相互作用希格斯場
20.5 小結
文獻與注記
第21章引力的絕對平行理論
21.1 愛因斯坦作用量的撓率形式
21.2 施瓦氏(Schwarzschild)解
文獻與注記
第22章呈展引力
22.1 宇宙晶體中的引力
22.2 源於閉合Friedmann宇宙中物質和輻射漲落的引力
文獻與注記
索引
《現代物理基礎叢書》已出版書目

在線試讀

第1 章基礎知識
Basic research is what I am doing
when I don't know what I am doing.
Wernher von Braun （1912?1977）
一本關於多值場論的專著首先必須要對經典力學和單值場理論中的一些基本
概念進行回顧，這將在本書的前三章中予以完成. 對這部分內容已經十分熟悉的讀
者可以直接從第4 章開始.
在關於理論力學的奠基性著作《原理》（Principia）中，牛頓（1642?1727）假定
了絕對時空的存在. 空間由矢量x = （x1；x2；x3）來參數化，而點粒子在其中的運動
由軌跡x（t）來描述，軌跡的分量qi（t）（i = 1；2；3）則確定了粒子沿其軌跡隨時間運
動時的坐標xi = qi（t）. 在牛頓的絕對時空中，一個自由粒子的運動是不帶有任何
加速度的. 數學上，這可由以下微分方程來表達：
?x
（t） ′
d2
dt2 x（t） = 0；（1.1）
其中，點表示對時間求導.
一組N 個帶有質量mn （n = 1；… ；N）的點粒子xn（t）會受到萬有引力的作
用，這使得它們的運動方程變為第1 章基礎知識
Basic research is what I am doing
when I don't know what I am doing.
Wernher von Braun （1912?1977）
一本關於多值場論的專著首先必須要對經典力學和單值場理論中的一些基本
概念進行回顧，這將在本書的前三章中予以完成. 對這部分內容已經十分熟悉的讀
者可以直接從第4 章開始.
在關於理論力學的奠基性著作《原理》（Principia）中，牛頓（1642?1727）假定
了絕對時空的存在. 空間由矢量x = （x1；x2；x3）來參數化，而點粒子在其中的運動
由軌跡x（t）來描述，軌跡的分量qi（t）（i = 1；2；3）則確定了粒子沿其軌跡隨時間運
動時的坐標xi = qi（t）. 在牛頓的絕對時空中，一個自由粒子的運動是不帶有任何
加速度的. 數學上，這可由以下微分方程來表達：
?x
（t） ′
d2
dt2 x（t） = 0；（1.1）
其中，點表示對時間求導.
一組N 個帶有質量mn （n = 1；… ；N）的點粒子xn（t）會受到萬有引力的作
用，這使得它們的運動方程變為
mn?xn（t） = GN Xm6=n
mnmm
xm（t） ? xn（t）
jxm（t） ? xn（t）j3 ；（1.2）
其中，GN 為牛頓萬有引力常數
GN ? 6:67259（85）￡ 10?8cm3=（g ￠ s2）: （1.3）
1.1 牛頓力學的伽利略不變性
以上提到的絕對時空的參數化方案並不是唯一的，坐標的選擇其實有很大的
自由.
1.1.1 平移
坐標值x 總可以通過下面給出的坐標平移而加以改變
x0 = x ? x0: （1.4）
很明顯，平移後的軌跡x0n（t） = xn（t） ? x0 同樣滿足運動方程（1.2）. 對於時間平移
t0 = t ? t0；（1.5）
這些方程同樣是正確的，亦即，軌跡
x0（t） ′ x（t + t0）（1.6）
滿足方程（1.2）. 牛頓方程（1.2）的這種性質被稱作時空中的平移對稱性.
另一種對此不變性的等價的闡述則是保持坐標繫不動，同時將物理繫統在時空
中做一個整體的移置，將所有的粒子移動到新的位置x0 = x+x0 和時間t0 = t+t0.
在這種情況下，運動方程同樣不變. 以上兩種對同一物理體繫的再參數化方案是等
價的，第一種稱為被動對稱變換，第二種稱為主動對稱變換. 可以任選一個對體繫
的對稱性進行討論. 本書中，我們將根據實際情況選用主動式或者被動式變換進行
討論.
1.1.2 轉動
對於更多的將不同方向坐標值進行線形組合的變換，運動方程同樣是不變的.
例如，對於轉動：
x0i = Ri
jxj ；（1.7）
其中，Ri
j 是轉動矩陣
Ri
j = cos μ ±ij + （1 ? cos μ） ^μi ^μj + sin μ 2ijk ^μk ；（1.8）
其中，^μi 表示轉軸的單位方向矢量. 此矩陣滿足正交關繫
RTR = 1: （1.9）
在方程（1.7）中，重復指標j 意味著從1 到3 的求和，這就是所說的愛因斯坦求和
約定，本書中將全部采用此種約定. 對於變換而言，轉動同樣可用於被動情形和主
動情形.
主動式轉動可通過改變μ 的正負號從上面所講的被動情形得到. 例如，繞z 軸
的具有轉動矢量^' = （0；0；1）的主動式轉動可由如下正交矩陣給出：
R3（'） =0BB@
cos ' ?sin ' 0
sin ' cos ' 0
0 0 1
1CCA
: （1.10）
1.1.3 伽利略推進
下面一組更進一步的變換
x0i =xi ? vit；（1.11）
t0 =t （1.12）
則會將空間坐標和時間坐標混合在一起. 這稱為純伽利略變換或伽利略推進（Galilei
boost）. 坐標值x0i 和t0 是從以速度v ′ （v1；v2；v3）勻速穿過絕對時空的參考繫中
觀察到的粒子所處的位置和時間. 在主動性描述中，變換x0i = xi + vit 確定了以
速度v 勻速掠過觀察者的物理繫統的坐標值.
1.1.4 伽利略群
將所有的這些變換結合起來
x0i =Ri
jxj ? vit ? xi
0；（1.13）
t0 =t ? t0；（1.14）
就構成了群. 群乘積可由接連執行相應變換來定義. 這樣定義的乘積律很顯然是具
有結合性的，並且素都有. 這組變換式（1.13）和式（1.14）稱作
伽利略群.
所有在其中粒子的運動方程取式（1.2）簡單形式的坐標繫，牛頓稱之為慣
性繫.
1.2 麥克斯韋方程的洛倫茲不變性
當麥克斯韋（1831?1879）在1864 年創立了他的電磁場理論後，牛頓理論就出
現問題了. 麥克斯韋關於真空中電場E（x）和磁通密度或磁感應強度B（x）的方程
r￠ E = 0 （庫侖定律）；（1.15）
r￡ B ?
1
c
@E
@t
= 0 （安培定律）；（1.16）
r￠ B = 0 （磁單極不存在）；（1.17）
r￡ E +
1
c
@B
@t
= 0 （法拉第定律）；（1.18）
可以進一步組合而得到二階微分方程
μ1
c2 @2
t ?r2?E （x；t）=0；（1.19）
μ1
c2 @2
t ?r2?B（x；t）=0: （1.20）
這組方程中很明確地包含了光速
c ′ 299 792 458m=s；（1.21）
並且這組方程在伽利略群（1.14）的作用下並非不變. 事實上，這是與牛頓的絕對時
空存在的假設相矛盾的. 如果光以速度c 在絕對時空中傳播，則它在其他相對於絕
對時空以非零速度運動的慣性繫中必不會如此. 因此，對光速的一個精確的測量就
應該可以挑選出那個絕對的時空. 然而，所有的這方面的實驗嘗試均告失敗. 邁克
耳孫（1852?1931）和莫雷（1838?1923）在1887 年所進行的實驗顯示，在§5 km/s
的誤差範圍內，光沿著平行和垂直於地球運動軌道方向傳播的速度是相同的[1, 2].
這導致Fitzgerald （1851?1901）[3]、洛倫茲（1855?1928）[4]、龐加萊（1854?1912）[5]
以及愛因斯坦（1879?1955）[6] 等設想並認為牛頓關於絕對時空的假設是非物
理的[7].
1.2.1 洛倫茲推進
上述矛盾可以通過對伽利略變換式（1.11）和式（1.12）進行修正以使麥克斯韋
方程在其下也保持不變來解決. 這可由如下坐標變換來實現：
x0i =xi + （° ? 1）vivj
v2 xj ? °vit；（1.22）
t0 =°t ?
1
c2 °vixi；（1.23）
其中，° 是一個依賴於速度的參量
° =
1
p1 ? v2=c2
: （1.24）
變換式（1.22）與式（1.23）被稱為純洛倫茲變換或洛倫茲推進（Lorentz boost）. 參
數° 具有這樣的效應：在以不同速度運動的參考繫內，時間的流逝是不同的. 這對
於保持光速在所有參考繫中均相等是十分必要的.
將純洛倫茲變換用四維矢量表示法寫出來會比較方便. 引入4-矢量xa（指標a
取值0；1；2；3），
xa =0BBBB@
ct
x1
x2
x3
1CCCCA；
（
1
.
2
5
）
我們可將式（1.22）和式（1.23）重新寫為如下形式：
x0a = ¤a
bxb；（1.26）
其中，¤a
b 是如下4 ￡ 4- 矩陣：
¤a
b ′0@
° ?°vi=c
?°vi=c ±ij + （° ? 1）vivj=v21A : （1.27）
注意，對於重復指標a；b；c；… = 0；… ；3，我們依然采用了愛因斯坦求和約定. 這
個矩陣¤a
b 滿足贗正交關繫[請對照式（1.9）]
¤T
a
c gcd ¤d
b = gab；（1.28）
其中，gab 是閔可夫斯基度規
gab =0BBBB@
1
?1
?1
?1
1CCCCA
: （1.29）
由方程（1.28）可以給出這樣的結果，即由閔可夫斯基度規定義的兩個4-矢量
xa 和ya 的標量積
xy ′ xagabyb （1.30）
在洛倫茲變換下是不變的.
為了驗證方程（1.28）這一關繫，我們引入一個被稱作快度（rapidity）的無量綱
矢量3，它指向速度v 的方向並且具有由下式決定的長度3 ′ j3j：
cosh 3 = °；sinh 3 = °v=c: （1.31）
我們同時定義三維空間的單位矢量
^3 ′ 3=3 = ^v ′ v=v；（1.32）
於是
3 = 3 ^3 = arctanhv
c
^v
: （1.33）
這樣一來，洛倫茲變換式（1.27）的矩陣¤a
b 就取如下形式：
¤a
b = Ba
b（3） ′
0BBBBB@
cosh 3 ?sinh 3 ^31 ? sinh 3 ^32 ? sinh 3 ^33
?sinh 3 ^31
? sinh 3 ^32 ±ij + （cosh 3 ? 1） ^3i ^3j
?sinh 3 ^33
1CCCCCA
: （1.34）
符號Ba
b（3）強調此變換為推進. 贗正交性質（1.28）可由恆等式^32 = 1 和cosh2 3 ?
sinh2 3 = 1 直接導出.
對於物理繫統的主動式變換，上述變換需要倒轉過來. 例如，對於具有指向
z- 方向的快度3 = 3（0；0；1）的主動式推進，它的贗正交矩陣為
¤a
b = B3（3） =0BBBB@
cosh 3 0 0 sinh 3
0 1 0 0
0 0 1 0
sinh 3 0 0 cosh 3
1CCCCA
: （1.35）
1.2.2 洛倫茲群
式（1.34）中的洛倫茲推進可通過轉動擴展並構成洛倫茲群. 在4 ￡ 4 - 矩陣表
示中，轉動矩陣（1.8）具有如下分塊形式：
¤a
b（R） = Ra
b ′
0BBBB@
1 0 0 0
0
0 Ri
j
0
1CCCCA
: （1.36）
很容易驗證這些矩陣滿足關繫式（1.28），這裡它變成了正交關繫式（1.9）.
對於繞z 軸並具有轉動矢量^' = （0；0；1）的主動式轉動（1.10），其四維形式由
如下正交矩陣給出：
¤b
a = R3（'） =0BBBB@
1 0 0 0
0 cos ' ?sin ' 0
0 sin ' cos ' 0
0 0 0 1
1CCCCA
: （1.37）
轉動矩陣（1.37）和推進矩陣（1.35）的區別主要在於用三角函數取代了雙曲函
數. 同時，當考慮到度規（1.29）中的時間和空間部分取相反正負號，換位後會有一
個正負號的轉換.
當把所有可能的洛倫茲推進和轉動依次結合的組合集合起來，就形成了一個
群，稱作洛倫茲群.
1.3 無窮小洛倫茲變換
連續群――轉動群和洛倫茲群――的變換規律可以十分方便地用無窮小變
換形式寫出. 通過將許多無窮小變換依次組合起來的方式，我們總是可以從其中重

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