牟言
《熱的解析理論》導讀
漢譯者前言
漢譯本修訂版說明
英譯版序
緒論
章 導言
節  本著者目的的表述
第二節  一般概念的初始定義
第三節  熱傳導原理
第四節  均勻熱運動和線性熱運動
第五節  細稜柱中永恆溫度的規律
第六節  閉空間的加熱
第七節  三維的均勻熱運動
第八節  在已知固體的一個已知點的熱運動的量度
第二章 熱運動方程
節  環中變化的熱運動方程
第二節  實心球中變化的熱運動方程
第三節  實圓柱中變化的熱運動方程
第四節  無窮長實稜柱中變化的熱運動方程
第五節  實立方體中變化的熱運動方程
第六節  固體內熱傳導的一般方程
第七節  與表面有關的一般方程
第八節  一般方程的應用
第九節  一般注記
第三章 無窮矩形固體中的熱傳導
節  問題的表述
第二節  熱理論中使用三角級數的個例子
第三節  對這些級數的若干注記
第四節  通解
第五節  解的結果的有限表達式
第六節  任意函數的三角級數展開
第七節  對實際問題的應用
第四章 環中線性的和變化的熱運動
節  問題的通解
第二節  分離物體之間的熱傳導
第五章 實心球中的熱傳導
節  通解
第二節  對這個解的各種注記
第六章 實圓柱中的熱運動
第七章 實圓柱中的熱運動
第八章 實立方體中的熱運動
第九章 熱擴散
節  無窮直線中的自由熱運動
第二節  無窮固體中的自由熱運動
第三節  無窮固體中的溫度
第四節  積分的比較

節 本著作目的的表述 1 熱的作用服從於一些不變的規律，如果不借助於數學分析就不可能 發現這些規律。我們即將要闡明的這個理論的目的就是要論證這些規律；它 把關於熱傳導的所有物理研究都歸結為其基礎已由實驗所給出的那些積分運 算問題。由於熱的作用永遠存在，它充斥於一切物質和空間之中，它影響工 藝過程，並發生在宇宙的一切現像之中；因此，沒有任何主題比它與工業和 自然科學的進步具有更廣泛的聯繫了。
當熱在一個實體的不同部分之間不均勻地分布時，它傾向於達到平衡， 並且慢慢地從較熱部分傳到次熱部分；同時它在表面耗散，並且耗散在介質 或空間中。作用在物體表面的這種自發輻射傾向於不斷改變它們不同點的溫 度。假定初始溫度已知，那麼，熱傳導的問題就在於確定在一給定時刻一物 體在每一點的溫度是怎樣的。下面的例子將更清楚地弄清這些問題的本質。
2 如果我們使一個直徑很大的金屬環的同一部分受一個熱源持續而均 勻的作用，那麼，靠近熱源的分子將首先被加熱，並且經過一定時間之後 ，這個固體的每一點都將獲得非常接近於它所能達到的溫度。這個極限 溫度或溫度在不同點上是不同的；它隨它們離受熱源直接作用的那一點 愈遠而愈低。
當這些溫度變成永恆不變時，熱源在每一時刻內提供恰好補償在這個環 的外表面的所有點上所耗散的熱量。
如果現在撤掉這個熱源，熱將繼續在這一固體內傳導，但是，在介質和 空間中所失掉的熱，就再也不會像以前那樣由這個熱源提供補償了，因此， 所有溫度都將變化，並且不斷減少，直到它們變得與周圍介質的溫度相等為 止。
3 當溫度永恆不變，並且保留熱源時，如果在環的中周的每一點上作 一個垂直於環平面的縱坐標，它的長度與那一點的固定溫度成正比，那麼， 過這些縱坐標端點的曲線就表示這些溫度的永恆狀態，並且，很容易用分析 來確定這條曲線的性質。應當注意，由於假定與中周垂直的同一個截面的所 有點的溫度明顯相等，所以假定環是很細的。當熱源撤走時，界定這些與不 同點的溫度成正比的縱坐標的曲線，就不斷改變它的形式，問題在於用一個 方程表示這條曲線的這種可變形式，因此，就在於用單個公式概括這一固體 的所有連續狀態。
4 設z是中周上一點m的不變溫度，x是這一點到熱源的距離，即是包含 在點m和對應於熱源位置的點。之間的這段中周弧的長度；z是點m依靠熱源 的恆定作用所能達到的溫度，這一永恆溫度z是距離z的一個函數f（x） 。這個問題的部分在於確定表示這個固體永恆狀態的函數f（x）。
考慮當熱源一移開時繼前一個狀態的下一個變化狀態；用t表示自熱源 撤除後所經歷的時間，用v表示t時後點m的溫度值。量v則是距離z和時間￡ 的某個函數F（x，t）；這個問題的目的是要找到這個函數F（x，t），我們 現在僅僅隻知道這個函數的初始值是f（x），因此我們應當有方程f（x）＝ F（x，0）。
5 如果我們把一個形如球或立方體的同質實體放進一種保持恆溫的介 質中，把它持續浸泡很長時間，那麼，它將在它的所有點上都達到與這種流 體相差無幾的溫度。假定取出這一物體，把它轉移到轉涼的介質中去，那麼 ，熱將開始在其表面耗散；這一物體不同點的溫度也會明顯地不同，如果我 們假定它被平行於它的外表面的面分成無窮多個薄層，那麼，在每一時刻， 每一薄層就向包圍它的薄層傳送一定量的熱。如果設想每一分子帶有一個單 獨的溫度計，它表示它在每一時刻的溫度，那麼，這一固體的狀態就時刻由 所有這些溫度計所測得的高度的變化繫統來表示。有必要用解析公式表示這 些連續變化，以便我們能夠在這一給定時刻知道由每一個溫度計所標明的溫 度，並且比較同一時刻內兩個相鄰薄層之間所流過的，以及進入周圍介質的 熱量。
6 如果這一物體是球狀的，並且我們用x表示這一物體某一點到球心的 距離，用t表示自冷卻開始後所經歷的時間，用v表示點m的變化溫度，那麼 容易看出，位於與球心距離相同的點有相同的溫度v。這個量v是半徑-z和時 間t的某個函數F（x，t）；無疑，當我們假定￡為零時，無論z是什麼值，v 都是常數；因為由假定，在取出的一瞬間，所有點的溫度都相同。問題在於 確定那個表示v值的x和t的函數。
7 接下來應該注意，在冷卻期間的每一時刻，一定熱量通過外表面而 逃逸，並進入介質。這個量值不是不變的；它在冷卻開始時。然而，如 果我們考慮半徑為z的內球面的變化狀態，那麼我們容易看到，在每一時刻 肯定有一定熱量穿過那個球面，並且經過這一物體距球心更遠的那一部分。
熱的這一連續流動同它經過外表面的流動一樣，是可變的，並且兩者是可以 相互比較的量；它們的比是其變化值為距離x和歷經時間t的函數的數。有必 要確定這些函數。
8 如果長時間在介質中浸泡所加熱，並且我們想計算其冷卻率的這一 物質，是一個立方體，如果我們取這一立方體的中心為原點，取垂直於各面 的線為軸，用三個直角坐標x，y，z確定每一點的位置，那麼我們看到，在 時間￡之後，點m的溫度v是4個變量x，y，z和t的一個函數。在每一時刻過 這一固體的整個外表面所流出的熱量是變化的，並且可以相互比較；它們的 比是依賴於時間t的一些解析函數，是我們應當確定的表達式。
9 讓我們也考察這樣一種情況：一個充分粗、無限長、其末端受恆溫 作用的矩形稜柱，當它周圍的空氣保持較低溫度時，後達到一個需要確定 的固定狀態。由假定，在稜柱基底的底截面上的所有點都有相同和永恆的溫 度。與熱源有距離的截面則不同；這個平行於基底的矩形面的每一點得到一 固定溫度，但是，這在這同一個截面的不同點上是不一樣的，在離受空氣作 用的面更近的點上，溫度肯定更低一些。我們還看到，由於這一固體的狀態 已經變成恆定的，因此，在每一時刻，有一定的熱量流過一個已知截面，它 們總是相等的。問題在於確定在這一固體的任一已知點上的永恆溫度和在一 個給定時間內，流過其位置已知的截面的總熱量。
10 取稜柱基底的中心為坐標x，y，z的原點，取稜柱本身的軸和垂直 於各底邊的兩條垂線為直角坐標軸：其坐標為x，y，z的點m的永恆溫度v， 是三個變量的函數F（x，y，z）：當我們假定無論y和z取什麼值x均為0時， 由假設，這個函數有一個常數值。如果由一個面積所界定、由相同物質組成 為這一稜柱的這一受熱物體一直保持沸水溫度，並且浸沒在保持溶冰溫度的 大氣中，那麼，讓我們以在一個單位時間內從一個與單位面積相等的面積中 所發出的熱量為一個熱量單位。
我們看到，在這個矩形稜柱的永恆狀態中，在一個單位時間內，流過垂 直於軸的某一截面的熱量與作為單位的熱量有一個確定的比，這個比對所有 截面來說是不同的：它是這一截面所位於的距離x的函數φ（x）。需要找到 函數φ（x）的一個解析表達式。
11 上述例子足以對我們所談過的不同問題給出一個精確思想。
這些問題的解使我們認識到，就每一種固體物質來說，熱傳導的作用都 依賴於三個基本量，它們是物質的熱容量（capacity for heat），它的自 熱導率*（own conducibility）和外熱導率（exterior conducibility）。
人們已經觀察到，如果同體積不同質的兩個物體有相同的溫度，並且如 果對它們增加相同的熱量，那麼，溫度的增量是不相同的，這兩個增量的比 是它們熱容量的比**。如此，規定熱作用的三個具體要素中的個，就被 嚴格地確定了，並且，物理學家們很早就知道幾種確定它的值的方法。其他 兩個要素就不一樣了；雖然它們的作用經常被觀察到，但是還沒有一個嚴格 的理論能精確地區別、定義和測量它們。
一個物體的固有熱導率或內熱導率（the proper or interior conducibility）表示使熱從一個內部分子傳遞到另一個內部分子的能力。
一個固體的外熱導率或相對熱導率（theexternal or relative conducibility）取決於熱穿過其表面，並從這一物體進入一種已知介質， 或者，從這種介質進入這個固體的能力。這後一種性質或多或少地由表面的 光潔狀態所左右；它也隨這一物體所浸入其中的介質而變化；但是內熱導率 隻隨這一固體的質而變化。
在我們的公式中，這三個基本量由常數來表示，並且這一理論本身指明 適合於測量它們的值的實驗。一旦它們被確定，則與熱傳導有關的一切問題 就都隻取決於數值分析。關於這些特殊性質的知識可能在物理科學的幾種應 用中都直接有用；此外，這種知識也是不同物質的研究和描述的一個要素。
那些忽視它們與自然界主要作用力之一所具有的這些聯繫的知識，將是非常 不完善的。總的說來，由於這一理論可以給以熱的使用為基礎的無數工藝實 踐帶來清晰性和完整性，所以，還沒有任何一種數學理論比它與國民經濟具 有更緊密的聯繫。
12地球溫度問題表明是熱理論的漂亮的應用之一；形成它的一般思想 如下。地球表面的不同部分不等地受到太陽光線的作用；其作用強度取決於 那一地點的緯度；它在一天的過程中和在一年的過程中也有變化，並且受到 其他更不易察覺的不均勻性的影響。顯然，地表的變化狀態與內部溫度的變 化狀態之間存在著一種必然聯繫，它可以由理論導出。我們知道，在地表以 下的某一深度，在一已知地點的溫度無年變：這一永恆的地下溫度隨這一地 點離赤道愈來愈遠而變得愈來愈低。地球外殼的厚度相對於地球半徑無比地 小，因此我們可以不考慮它，而把我們這顆行星看做是一個近球體，它的表 面受到這樣一種溫度的作用，這種溫度在一條給定的緯線的所有點上保持不 變，而在另一條緯線上則不同。由此推出，每一個內分子也有由它的位置所 確定的固定溫度。這一數學問題在於找出任一已知點的固定溫度，以及日熱 在射入地球內部時所遵循的規律。
如果我們考慮在我們居住於其表面之上的地殼本身中所相繼發生的變化 ，那麼，這種溫度的差異性就會使我們更加感興趣。在每一天和在每一年的 期間所反復產生的那些冷暖交替，至今都一直是反復觀察的對像。我們現在 可以計算它們，並且可以從一個一般的理論推導出經驗所教給我們的所有特 殊事實。這一問題可簡化成這樣一個假設：一個巨大球體的每一點都受到周 期性溫度的作用，那麼分析告訴我們，這些變化的強度根據什麼規律隨深度 的增加而減弱，在一給定深度上，年變化或日變化的總量是多少，這些變化 的時期是怎樣的，怎樣從地表所觀測到的變化溫度推出地下溫度的固定值。

……