了得網自然科學_電磁場與電磁波基礎（第二版）

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《普通高等教育電子通信類***特色專業繫列規劃教材：電磁場與電磁波基礎（第2版）》是普通高等學校電子信息類專業基礎課“電磁場與電磁波”的本科生教材，主要介紹宏觀電磁場分布和電磁波傳播、輻射的基本特性及規律，以及電磁場與電磁波工程應用的基本分析和計算方法。

《普通高等教育電子通信類***特色專業繫列規劃教材：電磁場與電磁波基礎（第2版）》內容由矢量分析與場論、靜態場、時變場和電磁場數值方法簡介四部分構成。**部分數學基礎的內容包括第1章矢量分析與場論，介紹了矢量分析的主要概念、定理、公式及其應用，是學習電磁場與電磁波的基本數學工具；第二部分靜態場的內容包括第2章介紹靜電場、第3章介紹恆定電流的電場和磁場、第4章介紹靜態場的解；第三部分包括第5章介紹時變電磁場、第6章介紹平面電磁波、第7章介紹電磁波的輻射、第8章介紹導行電磁波；第四部分是第9章簡要介紹電磁場數值方法。書末附錄給出了重要的矢量公式、常用數學公式以及量和單位。

內容簡介

《電磁場與電磁波基礎（第二版）》繫統介紹了電磁場分布和電磁波傳播、輻射的基本特性及規律，以及電磁場與電磁波工程應用的基本分析和計算方法。《電磁場與電磁波基礎（第二版）》共9章，內容包括矢量分析與場論、靜電場、恆定電流的電場和磁場、靜態場的解、時變電磁場、平面電磁波、電磁波的輻射、導行電磁波和電磁場數值方法簡介。書中列舉了大量例題，每章配有小結和習題。附錄給出了重要的矢量公式、常用數學公式、點電荷密度的δ函數表示，以及量和單位。

《電磁場與電磁波基礎（第二版）》內容精煉、條理清晰、論證嚴謹，突出理論與應用的結合，精心處理本課程內容與後續課程內容的銜接與聯繫，注重知識的繼承性、新穎性和實踐性。

《電磁場與電磁波基礎（第二版）》可作為普通高等院校電子信息、通信類本科生的教材，也可供有關工程技術人員參考。

第二版前言
版前言
第1章矢量分析與場論
1.1 矢性函數
1.2 場的基本知識
1.3 數量場的方向導數和梯度
1.4 矢量場的通量及散度
1.5 矢量場的環量及旋度
1.6 正交曲面坐標繫
1.7 亥姆霍茲定理
小結
習題
第2章靜電場
2.1 庫侖定律電場強度第二版前言
版前言
第1章矢量分析與場論
1.1 矢性函數
1.2 場的基本知識
1.3 數量場的方向導數和梯度
1.4 矢量場的通量及散度
1.5 矢量場的環量及旋度
1.6 正交曲面坐標繫
1.7 亥姆霍茲定理
小結
習題
第2章靜電場
2.1 庫侖定律電場強度
2.2 高斯定理
2.3 靜電場的旋度與電位
2.4 電偶極子
2.5 電介質中的場方程
2.6 靜電場的邊界條件
2.7 導體繫統的電容
2.8 電場能量能量密度
2.9 電場力
小結
習題
第3章恆定電流的電場和磁場
3.1 恆定電流的電場
3.2 磁感應強度
3.3 恆定磁場的基本方程
3.4 矢量磁位
3.5 磁偶極子
3.6 磁介質中的場方程
3.7 恆定磁場的邊界條件
3.8 標量磁位
3.9 互感和自感
3.10 磁場能量
3.11 磁場力
小結
習題
第4章靜態場的解
4.1 邊值問題的分類
4.2 性定理
4.3 鏡像法
4.4 直角坐標中的分離變量法
4.5 圓柱坐標中的分離變量法
4.6 球坐標中的分離變量法
*4.7 復變函數法
*4.8 格林函數法
*4.9 有限差分法
小結
習題
第5章時變電磁場
5.1 法拉第電磁感應定律
5.2 位移電流
5.3 麥克斯韋方程組
5.4 時變電磁場的邊界條件
5.5 時變電磁場的能量與能流
5.6 正弦電磁場
5.7 波動方程
5.8 時變電磁場的位函數
小結
習題
第6章平面電磁波
6.1 無耗介質中的平面電磁波
6.2 導電介質中的平面電磁波
6.3 電磁波的極化
6.4 色散、相速和群速
6.5 均勻平面電磁波向平面分界面的垂直入射
6.6 均勻平面電磁波向多層介質分界面的垂直入射
6.7 均勻平面電磁波向平面分界面的斜入射
6.8 均勻平面電磁波的全透射與全反射
*6.9 等離子體中的電磁波
*6.10 鐵氧體中的電磁波
*6.11 非均勻平面波
小結
習題
第7章電磁波的輻射
7.1 滯後位
7.2 電基本振子的輻射場
7.3 對偶原理與磁基本陣子的輻射場
7.4 天線的電參數
7.5 對稱線天線和天線陣的概念
7.6 面天線的輻射場
7.7 互易定理
7.8 天線的有效面積
7.9 傳輸方程
小結
習題
*第8章導行電磁波
8.1 均勻導波結構的一般理論
8.2 矩形波導
8.3 圓波導
8.4 規則波導的損耗
8.5 同軸線及其高次模
小結
習題
*第9章電磁場數值方法簡介
9.1 有限差分法
9.2法
9.3 時域有限差分法
9.4 矩量法
小結
習題
參考文獻
附錄A 重要的矢量公式
附錄B 常用數學公式
附錄C 點電荷密度的δ函數表示
附錄D 量和單位

在線試讀

第1 章矢量分析與場論

矢量分析是場論的基本知識，是研究場以及其他許多學科的一種有用的工具。許多

物理量本身就是矢量，如電場強度和磁感應強度等，采用矢量分析的方法研究這些物理

量無疑是合適的。還有一些物理量本身雖是標量，但描述它們的某些特性的物理量卻是

矢量，所以要研究這些物理量也要用到矢量分析的方法，如某一數量場的變化率

（梯度）就是一個矢量。

1.1 矢性函數

1.1.1 基本概念

設t 為一個數性變量， A 為矢量，如果對於某一區間內的每一個數值t ， A 都以一

個確定的矢量A（ t）與之對應，則稱A 為數性變量t 的矢性函數，記為A ＝ A（ t）。第1 章矢量分析與場論

矢量分析是場論的基本知識，是研究場以及其他許多學科的一種有用的工具。許多

物理量本身就是矢量，如電場強度和磁感應強度等，采用矢量分析的方法研究這些物理

量無疑是合適的。還有一些物理量本身雖是標量，但描述它們的某些特性的物理量卻是

矢量，所以要研究這些物理量也要用到矢量分析的方法，如某一數量場的變化率

（梯度）就是一個矢量。

1.1 矢性函數

1.1.1 基本概念

設t 為一個數性變量， A 為矢量，如果對於某一區間內的每一個數值t ， A 都以一

個確定的矢量A（ t）與之對應，則稱A 為數性變量t 的矢性函數，記為A ＝ A（ t）。

矢性函數A（ t）在直角坐標繫中的三個分量（或投影） Ax （ t）、Ay （ t）、Az （ t）都是

變量t 的函數。則矢性函數A（ t）可表示為

A ＝ Ax （ t） ax + Ay （ t） ay + Az （ t） az （1.1）

其中ax 、ay 、az 分別為x 、y 、z 軸正向的單位矢量。

圖1.1 矢端曲線

模和方向都相同的矢量，不論其起點如何，均認為是

相等的，因此，為了能用圖形直觀地描述矢性函數A（ t）的

變化規律，我們可以把所有的A（ t）的起點都平移至坐標原

點，這樣，當t 變化時， A（ t）的終點M 就描繪出一條曲線

l ，該曲線稱為矢性函數A（ t）的矢端曲線或圖形（圖1.1）。

反之， A ＝ A（ t）或A ＝ Ax （ t） ax + Ay （ t） ay + Az （ t） az 稱為曲

線l 的矢量方程。

A（ t）的端點M 是l 上的一個動點，其坐標x 、y 、z 隨t

的變化規律分別為

x ＝ Ax （ t），y ＝ Ay （ t），z ＝ Az （ t）（1.2）

這就是曲線l 的參數方程。

圖1.2 導數的定義

1.1.2 矢性函數的導數與微分

如圖1.2 所示，設A（ t）＝ Ax （ t） ax + Ay （ t） ay + Az （ t） az 是t 的

矢性函數，且對於任意的t ， A（ t）的起點都在原點，當數性變量t

在其定義域內從t 變到t + Δ t（ Δ t ≠ 0）時，對應的矢量從A（ t）變

化到A（ t + Δ t），則稱Δ A ＝ A（ t + Δ t） - A（ t）為A（ t）對應於Δ t 的

增量。

設矢性函數A（ t）在點t 的某個鄰域內有定義，並設t + Δ t 也

在此鄰域內。如果

Δ A

Δ t ＝ A（ t + Δ t） - A（ t）

Δ t

在Δ t → 0 時其三個分量的增量與自變量增量之比的極限存在，則稱A（ t）在點t 可導，

並稱lim Δ t → 0

Δ A

Δ t ＝ lim Δ t → 0

Δ Ax

Δ t ax + lim Δ t → 0

Δ Ay

Δ t ay + lim Δ t → 0

Δ Az

Δ t az 為A（ t）在點t 處的導數。記為dA

dt 或

A′（ t），即

dA

dt ＝ lim Δ t → 0

Δ Ax

Δ t ax + lim Δ t → 0

Δ Ay

Δ t

ay + lim Δ t → 0

Δ Az

Δ t az

＝ d Ax

dt ax + d Ay

dt

ay + d Az

dt az （1.3）

這樣就把一個矢性函數導數的計算轉化為三個標量函數的導數的計算。

A（ t）在t 處的微分用dA 表示，其定義為： dA ＝ A′（ t）dt 。顯然

dA ＝ A′（ t）dt ＝［ A′x （ t） ax + A′y （ t） ay + A′z （ t） az ］dt

＝ A′x （ t）dtax + A′y （ t）dtay + A′z （ t）dtaz

＝ d Ax ax + d Ay ay + d Az az （1.4）

矢性函數的導數有與數性函數導數類似的運算法則，設A ＝ A（ t）， B ＝ B（ t）和u ＝

u（ t）可導，則有：

（1） ddtc ＝ 0 （c 為常矢量）；

（2） ddt（ A ± B）＝ dA

dt ± dB

dt ；

（3） ddt（ kA）＝ k dA

dt （ k 為常數）；

（4） ddt（ uA）＝ du

dtA + u dA

dt ；

（5） ddt（ A ? A）＝ dA

dt ? A + A ? dA

dt ；

（6） ddt（ A × A）＝ dA

dt × A + A × dA

dt ；

（7）復合函數的導數：設A ＝ A（ u）， u ＝ u（ t），則

dA

dt ＝ dA

du ? du

dt

例1.1 計算下列導數：

（1） ddt［ a × （ b × c）］；

（2） ddt a ? da

dt × d2 a

dt2 。

解（1）ddt［ a × （ b × c）］＝ da

dt × （ b × c） + a × ddt（ b × c）

＝ da

dt × （ b × c） + a × db

dt × c + b × dc

＝ da

dt × （ b × c） + a × db

dt × c + a × b × dc

dt

（2） ddt a ? da

dt × d2 a

dt2

＝ da

dt ? da

dt × d2 a

dt2 + a ? ddt da

dt × d2 a

dt2

＝ 0 + a ? d2 a

dt2 × d2 a

dt2 + da

dt × d3 a

dt3 ＝ a ? da

dt × d3 a

dt3

1.1.3 導數的幾何意義

如圖1.3 所示， Δ A

Δ t 是A（ t）的矢端曲線的割線M N 上的一個矢量。當Δ t ＞ 0 時，

其指向與Δ A 一致，指向t 值增大的一方；當Δ t ＜ 0 時，其指向與Δ A 相反，但因此時

Δ A 指向t 減小的一方，故它仍指向t 增大的一方。

圖1.3 導數的幾何意義

當Δ t → 0 時，由於割線M N 繞點M 轉動，其極限位置為M 處（即t 點）的切線，因

為

Δ A

Δ t在M N 上，故當Δ t → 0 時的極限位置也在M 處的切線上，即dA

dt ＝ lim Δ t → 0

Δ A

Δ t是點M 處

（即t 處）的切線上指向t 增大一方的矢量，即導數是矢端曲線在t 處的切向矢量，其指向

對應t 增大的一方。

1.1.4 矢性函數的積分

若B′（ t）＝ A（ t），則稱B（ t）為A（ t）的一個原函數，而全體原函數的集合稱為A（ t）

的不定積分，記為∫A（ t）dt 。

因為常矢量c 的導數c′ ＝ 0 ，故若B（ t）為A（ t）的一個原函數，則A（ t）的全體原

函數為B（ t） + c ，其中c 為任意常矢，所以

∫A（ t）dt ＝ B（ t） + c （1.5）

與數性函數的積分類似，矢性函數的積分具有下列性質：

（1）∫［ kA（ t）］dt ＝ k∫A（ t）dt （ k 為常數）；

（2）∫［ A（ t） ± B（ t）］dt ＝ ∫A（ t）dt ±∫B（ t）dt ；

（3）∫u（ t） adt ＝ a∫u（ t）dt （ a 為常矢量）；

（4）∫a ? A（ t）dt ＝ a ?∫A（ t）dt （ a 為常矢量）；

（5）∫a × A（ t）dt ＝ a ×∫A（ t）dt （ a 為常矢量）；

（6積分法：設A（ u）具有原函數B（ u）， u ＝ φ（ t）可導，則B［ φ（ t）］為

A［ u（ t）］ u′（ t）的原函數，即

∫A［ φ（ t）］ φ′（ t）dt ＝ B［ φ（ t）］ + c

（7）分部積分法：

∫A（ t） × B′（ t）dt ＝ A（ t） × B（ t） -∫A′（ t） × B（ t）dt

根據性質（2）、（3），有

∫A（ t）dt ＝ ax∫Ax （ t）dt + ay∫Ay （ t）dt + az∫Az （ t）dt （1.6）

這樣，求一個矢性函數的不定積分，就轉化為求三個數性函數的不定積分。

至於定積分，定義如下：若A（ t）在區間［ T1 ， T2 ］上連續，將整個區間分為n

段，則矢量

ax lim n → ∞ Σ

n

i ＝ 1

Ax （ξi ） Δ ti + ay lim n → ∞ Σ

n

i ＝ 1

Ay （ξi ） Δ ti + az lim n → ∞ Σ

n

i ＝ 1

Az （ξi ） Δ ti （maxΔ ti → 0）

稱為A（ t）在區間［ T1 ， T2 ］上的定積分，記為∫T2

T1

A（ t）dt ，其中T1 ＝ t0 ＜ t1 ＜ … ＜ tn ＝ T2 ，

ξi ∈ ［ ti - 1 ， ti ］。

由上述定義，矢性函數的定積分也歸結為三個數性函數定積分的計算，即

∫T2

T1

A（ t）dt ＝ ax∫T2

T1

Ax （ t）dt + ay∫T2

T1

Ay （ t）dt + az∫T2

T1

Az （ t）dt （1.7）

例1.2 計算定積分∫π

2

0

（ - sinφax + cosφay ）dφ

解∫π

2

0

（ - sinφax + cosφay ）dφ

＝ - ax∫π

2

0 sinφdφ + ay∫π

2

0 cosφdφ

＝ ax cosφ | π

2

0 + ay sinφ | π

2

0

＝ - ax + ay

1.2 場的基本知識

在許多科學問題中，常常需要研究某種物理量（如溫度、密度、電位、力等）在某

一空間區域的分布和變化規律。為此，在數學上引入了場的概念。

1.2.1 場的概念

如果在某一空間裡的每一點，都對應著某個物理量的一個確定的值，則稱在此空間

裡確定了該物理量的一個場。

如教室中每一點都對應一個確定的溫度，則在教室中確立一個溫度場。地球周圍空

間任一點對應一個重力加速度值，在此空間就存在一個重力場。

如果涉及的物理量是數量，則稱此場為數量場；如果是矢量，則稱為矢量場。例

如，溫度場、密度場等是數量場，力場、速度場等為矢量場。

按場中物理量是否隨時間變化，又可分為恆定場和時變場。以後隻討論恆定場，所

得結論也適合於時變場的任一特定時刻。

1.2.2 數量場的等值面

如果拋開具體的物理量，隻關心場的分布規律，則數量場中各點處的數量u 是位置

的函數，在直角坐標繫中， u 是點的坐標x 、y 、z 的函數，即

u ＝ u（ x ，y ，z）

也就是說，一個數量場可以用一個數性函數來表示。場存在的空間即為其定義域。此

後，我們總假定這個函數單值、連續且一階可導。

圖1.4 數量場的定義

在數量場中，使函數u 取相同數值的所有點所組成

的曲面稱為該數量場的等值面（圖1.4）。如溫度場的等

溫面，電場的等位面等。

顯然，數量場的等值面方程為

u（ x ，y ，z）＝ c （常數）（1.8）

給定不同的常數c ，就得到不同的等值面。如圖1.4 ， c

取遍所有可能的值時，這族等值面就充滿數量場所在的空間，而且這族等值面兩兩互不

相交。因為數量場中的每一點M0 （ x0 ， y0 ， z0 ）都有一個等值面u（ x ， y ， z）＝ u（ x0 ，

y0 ， z0 ）通過，而且函數u 為單值，故一個點隻能在一個等值面上。

例1.3 求數量場u ＝（ x + y）2 - z 通過點（1 ， 0 ， 1）的等值面。

解等值面方程的一般形式為

u ＝（ x + y）2 - z ＝ c

因為點（1 ， 0 ， 1）在等值面上，其坐標必滿足該方程，則

c ＝ u（1 ，0 ，1）＝（1 + 0）2 - 1 ＝ 0

故要求的等值面方程為

（ x + y）2 - z ＝ 0 或z ＝（ x + y）2

與三維數量場的等值面對應，在函數u（ x ， y）所表示的平面數量場中，具有相同

數值的所有點所連成的曲線稱為此數量場的等值線。其方程為

u（ x ，y）＝ c （ c 為常數）（1.9）

如地形圖上的等高線等。

數量場的等值面或等值線，可以幫助我們直觀地了解場中物理量的分布狀況和變化

情況。

1.2.3 矢量場的矢量線

矢量場中的場矢量A ，是場中點的位置的函數。在直角坐標繫中，即為x 、y 、z 的

函數

A ＝ A（ x ，y ，z）

或

A ＝ Ax （ x ，y ，z） ax + Ay （ x ，y ，z） ay + Az （ x ，y ，z） az

其中Ax 、Ay 、Az 以後一般都假定為單值、連續且一階連續可導。

為了直觀地描述矢量場的分布情況，引入矢量線的概念：在其上每一點處，它都與

該點的場矢量A 相切的曲線，稱為該矢量場的矢量線。如靜電場中的電力線，磁場中

的磁力線等。

下面討論在矢量場A ＝ A（ x ， y ， z）已知時，如何求其矢量線方程。

圖1.5 矢量場的矢量線

設（ x ， y ， z）為矢量線上任一點，其矢徑為r ＝ x ax +

yay + zaz ，它的微分為dr ＝ dxax + d yay + d zaz 。由圖1.5 可

見，當Δ t → 0 時， dr 為r 的矢端曲線在該點處的切線方向上

的矢量，根據矢量線的定義，它必與該點處的場矢量A ＝

Ax ax + Ay ay + Az az 共線，則必有

dx

A x

＝ dy

A y

＝ dz

A z

（1.10）

這就是矢量線所滿足的微分方程，解之即得矢量線族。

例1.4 求矢量場A ＝ x y2 ax + x2 y ay + z y2 az 的矢量線方程。

解矢量線方程應為

dx

x y2 ＝ dy

x2 y

＝ d z

z y2

由dx

x y2 ＝ dy

x2 y得

xdx ＝ ydy

兩邊積分得

y2 ＝ x2 + c′1 或x2 - y2 ＝ c1

由dx

x y2 ＝ d z

z y2 得

dx

x ＝ d z

z

兩邊積分得

ln z ＝ ln x + c′2 ＝ ln x + lnc2 或z ＝ c2 x

所以，矢量線方程為

x2 - y2 ＝ c1

z ＝ c2 x

1.3 數量場的方向導數和梯度

1.3.1 方向導數

由1.2.2 節可知，數量場u ＝ u（ M）的分布情況，可以借助於等值面或等值線來了

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