了得網自然科學_大學物理（下）

編輯推薦

用於工科中等學時使用的大學物理教材。

內容簡介

本書根據*頒布的“大學物理課程教學基本要求”，結合本校實際，為配合研究型教學編寫。全書共20章，分別講述質點力學、剛體力學、狹義相對論、振動和波、氣體動理論、熱力學基礎、靜電場、靜電場中的導體與電介質、穩恆電流的磁場、電磁感應、麥克斯韋方程組、波動光學和量子物理基礎等方面的內容。

作者簡介

王越簡介 1990年本科畢業於北京工業大學應用物理繫，留校任教至今，博士，教授。長期從事晶體生長和宏觀物性以及功能陶瓷制備的研究。承擔《大學物理》等6門本科生課程和2門碩士生課程。出版《材料物理性能的各向異性》專著1部（化學工業出版社，2007年），發表科研論文30餘篇（其中SCI檢索10篇、EI檢索30篇）、發明專利9件、軟件著作權登記3件。發表教研論文9篇。

目錄

第11章靜電場

11.1電荷

11.2庫侖定律與疊加原理

11.3靜電場與電場強度

11.4電場線與電通量

11.5高斯定理及其應用

第11章靜電場

11.1電荷

11.2庫侖定律與疊加原理

11.3靜電場與電場強度

11.4電場線與電通量

11.5高斯定理及其應用

11.6靜電場的環路定理

11.7等勢面與電勢梯度

第12章靜電場中的導體和電介質

12.1導體的靜電平衡條件

12.2靜電平衡導體上的電荷分布

12.3靜電平衡導體表面附近的電場

12.4靜電屏蔽

12.5靜電場中的電介質

12.6電容和電容器

12.7靜電場的能量

第13章穩恆電流的磁場

13.1電流密度和穩恆電流

13.2基本磁現像

13.3磁場和磁感應強度

13.4畢奧薩伐爾定律

13.5安培環路定理及其應用

13.6洛倫茲力

13.7帶電粒子在磁場中的運動

13.8霍爾效應

13.9安培力

13.10磁場對載流線圈的力矩和磁矩

13.11磁介質的分類

13.12磁介質的磁化

13.13H→的環路定理及其應用

13.14鐵磁質

大學物理（下）

第14章電磁感應與麥克斯韋方程組

14.1電磁感應現像

14.2電動勢

14.3法拉第電磁感應定律

14.4動生電動勢

14.5感生電動勢和感生電場及普遍情況下電場的環路定理

14.6互感和自感

14.7麥克斯韋方程組和電磁波

14.8麥克斯韋方程組

14.9電磁波

第15章光的干涉

15.1相干光的獲得

15.2光程

15.3楊氏雙縫干涉

15.4薄膜干涉

15.5等傾干涉

15.6劈尖干涉

15.7牛頓環

15.8邁克耳孫干涉儀

15.9光源的相干性

第16章光的衍射

16.1光的衍射現像和惠更斯菲涅耳原理

16.2單縫的夫瑯禾費衍射

16.3光學儀器的分辨本領

16.4光柵衍射

16.5X射線的衍射

第17章光的偏振

17.1自然光和偏振光

17.2起偏和檢偏馬呂斯定律

17.3反射和折射時的偏振布儒斯特定律

17.4雙折射現像

17.5波片

第18章波粒二像性

18.1黑體輻射普朗克能量子假設

18.2光電效應愛因斯坦的光子理論

18.3康普頓散射

18.4粒子的波動性

18.5概率波與波函數

18.6不確定度關繫

18.7薛定諤方程

18.8一維無限深方勢阱

18.9隧道效應

第19章原子中的電子

19.1氫原子的量子力學描述

19.2氫原子光譜

19.3電子的自旋

19.4原子的電子殼層結構

19.5激光

第20章固體中的電子

20.1固體的能帶

20.2半導體的導電機制

20.3pn結

參考書目

前言

前言
大學物理是高等院校的一門重要的公共基礎課，它不僅能對學生進行較全面的物理知識教育，而且能對學生進行較繫統的科學方法教育和思維能力訓練，使學生在知識、素質和能力各方面得到協調發展。本教材分上、下兩冊，共有20章。編者的初衷是結合我校實際，兼顧一般院校工科大學本科生，提供一套簡明清晰、難度適中、深入淺出、易教易學的大學物理教材。全書上冊為力學、振動和波及熱學，下冊為靜磁學、波動光學和量子物理基礎。本教材另配有《大學物理練習與思考》提供各章習題及其提要。本書在編寫中力求體現*頒布的“大學物理課程教學基本要求”的精神。在編寫過程中，江少林教授、陳信義教授給予了多次指導，並提供了大量寶貴意見。參加本書編寫工作的教師，大學物理授課經驗都在10年以上。江少林編寫了第1章，劉鳳艷編寫了第2、3、4章，王越編寫了第5、8章，劉敏薔編寫了第6、7章，劉宇星編寫了第9、10章，徐勞立編寫了第11、12章，韓守振編寫了第13章，王代殊編寫了第14章，丁曉紅編寫了第15、16、17章，楊紅衛編寫了第18、19、20章。由於編者水平有限，不當之處，在所難免，敬請同行專家不吝指正。編者在編寫過程中，得到領導和同事們的關心、支持和幫助，在此謹致謝忱！編者
2018年5月前言
大學物理是高等院校的一門重要的公共基礎課，它不僅能對學生進行較全面的物理知識教育，而且能對學生進行較繫統的科學方法教育和思維能力訓練，使學生在知識、素質和能力各方面得到協調發展。本教材分上、下兩冊，共有20章。編者的初衷是結合我校實際，兼顧一般院校工科大學本科生，提供一套簡明清晰、難度適中、深入淺出、易教易學的大學物理教材。全書上冊為力學、振動和波及熱學，下冊為靜磁學、波動光學和量子物理基礎。本教材另配有《大學物理練習與思考》提供各章習題及其提要。本書在編寫中力求體現*頒布的“大學物理課程教學基本要求”的精神。在編寫過程中，江少林教授、陳信義教授給予了多次指導，並提供了大量寶貴意見。參加本書編寫工作的教師，大學物理授課經驗都在10年以上。江少林編寫了第1章，劉鳳艷編寫了第2、3、4章，王越編寫了第5、8章，劉敏薔編寫了第6、7章，劉宇星編寫了第9、10章，徐勞立編寫了第11、12章，韓守振編寫了第13章，王代殊編寫了第14章，丁曉紅編寫了第15、16、17章，楊紅衛編寫了第18、19、20章。由於編者水平有限，不當之處，在所難免，敬請同行專家不吝指正。編者在編寫過程中，得到領導和同事們的關心、支持和幫助，在此謹致謝忱！編者
2018年5月

在線試讀

第13章穩恆電流的磁場

物體能夠吸引鐵、鎳、鈷等物質的性質稱為物質的磁性。1820年丹麥物理學家奧斯特發現，載流導線周圍的小磁針受到力的作用而發生偏轉，揭示了電流的磁效應。同年，法國物理學家安培提出分子電流的假說，對磁現像的來源作出解釋，認為磁性物質的磁性來源於物質分子內的“分子電流”。在電磁學中，可以認為電流或運動的電荷是磁性的根源。本章中介紹穩恆電流和穩恆電流的磁場的基本規律——畢奧薩伐爾定律、安培環路定理，以及磁介質的主要性質。13.1電流密度和穩恆電流電荷的定向運動形成電流，定向運動的電荷實際上是帶電的粒子如電子、質子、正負離子、半導體中的空穴等，稱為載流子。電流的強弱用電流強度表示。單位時間內通過導體中某截面的電量稱為電流強度，也叫電流。如果在dt時間內通過導體某一截面的電量為dq，則通過該截面的電流為
I=dqdt（13.1）在國際單位制中，電流強度的單位是安［培］，符號為A，1A=1C/s。電流是標量，習慣上把正電荷定向運動的方向稱為電流的方向。電流流過均勻導線時，導線中各點的電流相同。如果電流流經大塊導體時，導體中各點的電流大小和方向可能並不相同，這時要定量描述導體內各點電流的分布情況，需要引入新的物理量——電流密度矢量。導體中某點的電流密度矢量的方向是該點正電荷定向運動的方向，大小等於通過該點單位垂直截面的電流。在大塊導體中各點電流密度的大小和方向不同，構成一個矢量場，即電流場。類似於電場線一樣，可以用電流線來描述電流場，電流線上各點的切線方向為電流密度矢量的方向，即正電荷在該點的定向運動方向，電流線的疏密程度表示該點的電流密度的大小。圖13.1表示一個大塊導體中的電流分布，其中圖13.1(a)表示截面不均勻的導線中電流的分布，流過截面大和截面小部分的電流相同，但在截面大的部分電流密度小而截面小的部分電流密度大。圖13.1(b)為半球形接地電極周圍的電流分布，電流密度隨半徑的增大而減小。
圖13.2表示某導體中電流線的分布，設導體中單位體積內載流子的個數，即載流子的數密度為n，載流子帶電量為q，載流子定向運動的速率為v→，在導體中選dS，其法線方向與v→方向夾角為θ。則在dt時間內流過dS的電量為nqvdtdScosθ，該點的電流密度為

j=nqvdtdScosθdtdScosθ=nqv(13.2)電流密度寫成矢量形式為第13章穩恆電流的磁場

物體能夠吸引鐵、鎳、鈷等物質的性質稱為物質的磁性。1820年丹麥物理學家奧斯特發現，載流導線周圍的小磁針受到力的作用而發生偏轉，揭示了電流的磁效應。同年，法國物理學家安培提出分子電流的假說，對磁現像的來源作出解釋，認為磁性物質的磁性來源於物質分子內的“分子電流”。在電磁學中，可以認為電流或運動的電荷是磁性的根源。本章中介紹穩恆電流和穩恆電流的磁場的基本規律——畢奧薩伐爾定律、安培環路定理，以及磁介質的主要性質。13.1電流密度和穩恆電流電荷的定向運動形成電流，定向運動的電荷實際上是帶電的粒子如電子、質子、正負離子、半導體中的空穴等，稱為載流子。電流的強弱用電流強度表示。單位時間內通過導體中某截面的電量稱為電流強度，也叫電流。如果在dt時間內通過導體某一截面的電量為dq，則通過該截面的電流為
I=dqdt（13.1）在國際單位制中，電流強度的單位是安［培］，符號為A，1A=1C/s。電流是標量，習慣上把正電荷定向運動的方向稱為電流的方向。電流流過均勻導線時，導線中各點的電流相同。如果電流流經大塊導體時，導體中各點的電流大小和方向可能並不相同，這時要定量描述導體內各點電流的分布情況，需要引入新的物理量——電流密度矢量。導體中某點的電流密度矢量的方向是該點正電荷定向運動的方向，大小等於通過該點單位垂直截面的電流。在大塊導體中各點電流密度的大小和方向不同，構成一個矢量場，即電流場。類似於電場線一樣，可以用電流線來描述電流場，電流線上各點的切線方向為電流密度矢量的方向，即正電荷在該點的定向運動方向，電流線的疏密程度表示該點的電流密度的大小。圖13.1表示一個大塊導體中的電流分布，其中圖13.1(a)表示截面不均勻的導線中電流的分布，流過截面大和截面小部分的電流相同，但在截面大的部分電流密度小而截面小的部分電流密度大。圖13.1(b)為半球形接地電極周圍的電流分布，電流密度隨半徑的增大而減小。
圖13.2表示某導體中電流線的分布，設導體中單位體積內載流子的個數，即載流子的數密度為n，載流子帶電量為q，載流子定向運動的速率為v→，在導體中選dS，其法線方向與v→方向夾角為θ。則在dt時間內流過dS的電量為nqvdtdScosθ，該點的電流密度為

j=nqvdtdScosθdtdScosθ=nqv(13.2)電流密度寫成矢量形式為

j→=nqv→=ρv→（13.3）其中ρ為電荷密度。式(13.3)表示載流子帶正電時電流密度的方向與載流子的定向運動方向相同，載流子帶負電時與其定向運動的方向相反，電流密度的大小等於電荷密度與載流子定向運動速度的乘積。

圖13.1大塊導體中的電流分布

圖13.2導體中電流線的分布

按照電流密度矢量的定義，通過空間某點附dS→的電流為

dI=jdScosθ=j→·dS→（13.4）
其中θ為電流密度矢量法向方向的夾角。通過任意曲面S的電流為

I=Sj→·dS→（13.5）
即通過一個曲面的電流等於電流密度矢量在該曲面上的通量。在電流場內任取一閉合曲面S，且規定其外法線方向為正方向，則單位時間內流出該曲面的電量為Sj→·dS→，應該等於此閉合曲面內電量的減少－dqdt，即

Sj→·dS→=－dqdt（13.6）式(13.6)稱為電流的連續性方程，它是電荷守恆定律在電流場中的數學表達形式。在導體內各處電流密度矢量不隨時間變化的電流稱為穩恆電流。對於穩恆電流，通過任意閉曲面S的電流密度矢量的通量必然為零，即

Sj→·dS→=0（13.7）
稱為穩恆條件。因為如果Sj→·dS→不等於零，例如大於零，則有電流流出封閉曲面，即在閉曲面內有正電荷流出，又由於電流是穩恆的，這意味著有電荷源源不斷地從閉曲面內產生，這就違背了電荷守恆定律。在穩恆電流的導體中的任何地方，一些電荷因向前流動而離開的同時，必然有一些電荷移動過來，始終保持電荷的宏觀分布不隨時間變化。由穩恆電流的電荷分布產生的電場稱為穩恆電場。穩恆電場和靜電場有許多相似之處，如都服從高斯定理和環路定理，在穩恆電場中也可以引入電勢和電勢差的概念。但是，導體的靜電平衡條件及由它引出的結論不再適用。如在靜電場中，達到靜電平衡時導體內部場強處處為零，而在穩恆電場中導體內的場強不為零。13.2基本磁現像人們早發現並認識磁現像是從天然磁鐵礦能吸引鐵屑之類的現像開始的。遠在春秋戰國時期，在《管子·地數篇》中就有“上有磁石者，其下有銅金”的記載。東漢時期王充的《論衡》中所描述的“司南勺”被公認為早的磁性指南器具。北宋科學家瀋括在《夢溪筆談》中記載有“方家以磁石磨針鋒，則能指南，然常微偏東，不全南也”。這是早關於磁偏角的記載，比歐洲早400年。現在用的磁鐵一般都是人工制造的，將鐵磁物質放在通有電流的線圈中磁化，就能變成暫時的或永久的磁鐵。磁鐵各部分磁性的強弱並不一樣。將一條形磁鐵放入鐵屑中會發現，在磁鐵的兩端吸引的鐵屑特別多，證明了兩端磁性特別強。磁性特別強的區域稱為磁極。磁鐵有兩極，分別為南極(S極)和北極(N極)，將條形磁鐵用細線自由懸掛，指向地理南方的就是南極(S極)，指向地理北方的就是北極(N極)。磁鐵之間存在著磁力作用，同性磁極相互排斥，異性磁極相互吸引，如圖13.3所示。
在歷史上很長的一段時期裡，電學和磁學的研究一直獨立地發展著。直到19世紀初期，一繫列重要的發現纔打破這個界限，人們開始認識到電和磁之間有著不可分割的聯繫。1820年，丹麥科學家奧斯特發現，在一根直導線周圍放置一枚小磁針，在導線中通有電流時，小磁針將發生偏轉，證明了通電導線對磁鐵有力的作用(圖13.4)，這便是歷史上著名的奧斯特實驗。

圖13.3磁極間相互作用

圖13.4奧斯特實驗示意圖

如圖13.5所示，將一段水平直導線懸掛在馬蹄形磁鐵的兩極之間。通過電流後，導線就會發生移動。這表明，磁鐵對載流導線施加作用力。此外，電流和電流之間也存在相互作用力。如圖13.6所示，將兩條直導線平行地懸掛起來，當導線中通有同方向電流時，它們相互吸引，通有相反方向電流時，相互排斥。

圖13.5磁鐵對電流的作用

圖13.6平行電流之間的相互作用

1822年，法國科學家安培提出了有關物質磁性本質的假說。安培認為，一切磁現像的根源是電流。物質分子內部電子、質子等帶電粒子運動形成微小電流，稱為分子電流。磁鐵內分子電流方向按一定方式排列，磁鐵之間或磁鐵與載流導線之間的相互作用就是這些排列整齊的分子電流之間或分子電流與導線中定向運動電荷之間相互作用的表現。所以，磁力都是運動電荷之間相互作用的表現。13.3磁場和磁感應強度在靜電場中，靜止電荷的相互作用力是通過電場傳遞的。磁力是運動電荷之間的相互作用，類似於電場，磁力是通過磁場傳遞的。運動電荷或電流在空間激發磁場，磁場對置於其間的磁體、運動電荷或電流施加磁力。磁場可以用磁感應強度B→定量描述，磁感應強度是矢量，其大小和方向可以用如下方法定義。
如圖13.7所示，帶電量為q0的正電荷(檢驗電荷)以速度v→通過磁場中一點P。實驗表明，在某一特定方向，檢驗電荷受到的磁力為零，這一方向(或其反向)為磁場的方向(圖13.7（a）)。當檢驗電荷沿其他方向通過P點時，檢驗電荷受到的磁力始終垂直於v→和B→所在平面，磁力的大小與q0和v的乘積成正比。當v→和B→垂直時，受到的磁力，大小為Fm(圖13.7（b）)。比值Fm/(q0v)與q0、v無關。

圖13.7磁感應強度的定義

比值Fm/(q0v)與檢驗電荷所帶電量及檢驗電荷的速度無關，反映了磁場本身的強弱。由此，我們定義磁場中P點磁感應強度的大小為

B=Fmq0v（13.8）
磁感應強度B→的方向與在磁場中小磁針N極所指的方向一致也即是F→m×v→的方向。在國際單位制中磁感應強度的單位是特(斯拉)，符號是T，還有一個常用的單位叫高斯（Gs），與特斯拉的關繫為1Gs=104T。在靜電場中，我們用電場線形像地描繪電場分布。在磁場中，也可以用磁感應線形像地描繪磁場的分布。磁感應線上任一點的切線方向表示磁感應強度的方向，磁感應強度的大小等於垂直磁感應強度方向上單位面積的磁感應線條數，磁感應線較密的地方，磁場較強，磁感應線稀疏的地方，磁場較弱。與靜電場不同的是，磁感應線是閉合曲線，其環繞方向與電流流向滿足右手螺旋關繫。類似於電通量，可以引入磁通量的概念，在磁場中穿過任意曲面S的磁通量定義為

Φ=SB→·dS→（13.9）它等於通過該曲面的磁感線的總條數。在國際單位制中，磁通量的單位是韋［伯］，符號為Wb。由於磁感應線是閉合曲線，所以對磁場中任意閉合曲面，有多少曲線穿入曲面就會有多少條曲線穿出曲面，也就是通過閉合曲面的磁通量必然為零，即

SB→·dS→=0（13.10）式（13.10）稱為磁場的高斯定理，也稱為磁通連續定理,是電磁場理論的基本方程之一,以後我們在第14章可以看到，它適用於任意磁場。磁場的高斯定理反映磁場是無源場，即沒有與電荷對應的單獨的“磁荷”(磁單極子)的存在。近代理論中早已預言磁單極子的存在，但是目前還沒有得到肯定的結果。13.4畢奧薩伐爾定律畢奧(J.B.Biot)和薩伐爾(F.Savart)對載流導體產生的磁場作了大量研究，得激發磁場的規律，拉普拉斯給出其數學表達形式，稱為畢奧薩伐爾定律。
圖13.的磁場

如圖13.8所示,在通有穩恆電流的導線上選取dl&rarr的方向與電流方向一致。真空中Idl→在P點激發的磁場為

dB→=μ04πIdl→×r→r3（13.11）式中r→到P點的位矢，μ0=4π×10－7T·m/A為真空磁導率激發的磁感應強度的大小到場點的距離的平方成反比，磁感應強度的方向Idl→和位矢r→成右手螺旋關繫。
由畢奧薩伐爾定律可以導出運動電荷在空間激發的磁場。以導體中載流子帶正電荷為例，假Idl→的截面積為S，載流子數密度為n，每個載流子所帶電荷為q，並且以漂移速度v→運動，則v→的方向與Idl→方向一致。導體中的電流可表示為I=nqvS內包含載流子數dN=nSdlIdl→產生的磁場dB→由這些載流子產生的磁場疊加而來。將I和dN代入畢奧薩伐爾定律，可得單個運動電荷產生的磁場為

B→=dB→dN=μ04πqv→×r→r3（13.12）式中r→為運動電荷所在位置到場點的位矢。當運動電荷帶正電時，B→的方向與v→和r→方向符合右手螺旋關繫，當運動電荷帶負電時，B→的方向與之反向。利用畢奧薩伐爾定律可以求穩恆電流的磁場。
例13.1求一段直線電流的磁場。如圖13.9所示，導線中通有電流為I。

圖13.9直線電流的磁場

解如圖13.9（a）所示，在載流直線上任Idl→，到P點的位矢為r→′，P點到載流直線的距離為r。由畢奧薩伐爾可知磁場dB→的方向都一致，即垂直於紙面向內。因此在求總磁感應強度B→的大小時，隻需要求dB的代數和即可Idl→在P點產生的磁感應強度的大小為

dB=μ04πIdlsinθr′2由圖13.9中可以看出r′=r/sinθ，l=－rcotθ，dl=rdθ/sin2θ。將r′和dl代入上式，可得

dB=μ0I4πrsinθdθ圖13.9中一段有限長度的載流導線產生的磁場為

B=∫dB=∫θ2θ1μ0I4πrsinθdθ=μ0I4πr(cosθ1－cosθ2)若導線為半無限長，即θ1=π/2，θ2=π，則

B=μ0I4πr(13.13)

若導線為無限長，θ1=0，θ2=π，則

B=μ0I2πr(13.14)
無限長載流直線周圍的磁感應強度B的大小與導線到場點的距離成反比，與電流強度成正比，B→的方向與電流方向成右手螺旋關繫。其磁感應線是在垂直於導線的平面內的一繫列同心圓，如圖13.9（b）所示，圖13.9（c）是用鐵粉顯示的磁感應線的圖形。例13.2求載流圓環軸線上的磁感應強度。圓環的半徑為R，電流為I，如圖13.10所示。

圖13.10圓環電流的磁場

解如圖13.10（a）所示，載流圓環軸線上一點P到環心的距離為a。載流圓環上任Idl→與到P點的位矢r→都垂直，因此產生的磁感應強度dB→的方向不同，大小相等，為

dB=μ0Idl4πr2sinπ2=μ0Idl4πr2產生的磁場dB→分解為平行於z軸和垂直於z軸兩個分量，由電流對稱性分析可知，所有垂直於z軸的磁場分量dB⊥相互抵消，P點的磁場隻需對z軸分量dBz積分。即

B=∫dBz=∫dBsinθ=μ0Isinθ4πr2∫2πR0dl=μ0IR22(R2 a2)3/2由右手螺旋法則可判斷出磁場方向沿z軸正方向。圖13.10（b）為載流圓環磁場分布圖，圖13.10（c）是用鐵粉顯示的結果。

圖13.11圓弧電流

由載流圓環軸線上的磁場可得載流圓環圓心處的磁感應強度的大小為

B=μ0I2R（13.15）
如圖13.11所示一段圓弧電流圓心處磁感應強度大小為

B=μ0I2Rθ2π（13.16）

例13.3求載流直螺線管軸線上的磁場。如圖13.12所示，螺線管的長度為L，半徑為R，單位長度匝數為n，通有電流為I。

圖13.12長直螺線管的磁場

解螺線管在密繞的情況下，螺線管軸線上某點P的磁感應強度可以看做一繫列通電圓環在該點處產生磁場的矢量和。在距離P點長度為l處取長度段，將其看成一個圓環電流，電流大小為

dI=nIdl利用例13.2結論，圓環電流在P點產生的磁感應強度大小為

dB=μ0nIR2dl2(R2 l2)3/2由圖13.12中幾何關繫看出l=Rcotθ，dl=－Rsin2θdθ，所以
dB=－μ0nI2sinθdθ
在P點產生的磁場方向都相同(沿軸線方向)，所以P點的磁感應強度為

B=∫dB=－∫θ2θ1μ0nI2sinθdθ=μ0nI2(cosθ2－cosθ1)磁感應強度的方向與電流方向滿足右手螺旋關繫。若是無限長載流直螺線管，即θ2=0，θ1=π，軸線上任意一點的磁感應強度為

B=μ0nI（13.17）13.5安培環路定理及其應用在靜電場中，電場強度沿任意閉合路徑的線積分為零，說明靜電場是保守場，可以引入電勢的概念。在穩恆電流的磁場中，磁感應強度B→沿任意閉合路徑的線積分(也稱為B→的環流)不一定為零，說明磁場是有旋場。在真空的穩恆磁場內，磁感應強度B→沿任意閉合路徑的線積分，等於真空中的磁導率μ0乘以閉合路徑所包圍的電流的代數和，即

∮LB→·dl→=μ0∑Iin（13.18）這一規律稱為安培環路定理。式（13.18）中Iin是指能夠穿過以L為邊界任意曲面的電流，即電流必須與路徑L鉸連在一起。當電流的方向與路徑L的環繞方向滿足右手螺旋定則時，電流取正號；反之，取負號。

圖13.13閉合路徑包圍電流

安培環路定理可以由畢奧薩伐爾定律嚴格證明，我們隻用長直電流的特例來驗證。
1. 閉合路徑包圍電流如圖13.13所示，假設電流強度為I的長直線電流垂直於紙面，與紙面相交於O點，在紙面內任選閉合路徑L，閉合路徑環繞方向與電流方向滿足右手螺旋法則。在閉合路徑上選一點P，O點到P點的位矢為r→，dl→為L上的。由於長直線電流的磁感應線是在垂直於導線平面內的一繫列同心圓，所以

∮LB→·dl→=∮Lμ0I2πrdlcosθ=∮Lμ0I2πrrdφ=μ0I安培環路定理成立。當閉合路徑與磁感應線不在同一平面時，可將分解為垂直平面分量和平行平面分量，垂直平面分量始終和磁感應強度方向垂直，其點積為零，對於平行平面分量其結果在平面內選取閉合路徑相同。所以，對閉合路徑內包圍電流時安培環路定理成立。

圖13.14閉合路徑不包圍電流
2. 閉合路徑不包圍電流如圖13.14所示，閉合路徑L內不包圍電流時，由O點向閉合路徑做兩條切線，將閉合路徑分成L1和L2兩部分。在φ角內任取dφ，在L1和L2上截得dl→1和dl→2，其磁感應強度分別為B→1和B→2，則有

B→1·dl→1 B→2·dl→2=μ0I2πdφ－μ0I2πdφ=0
對於整個閉合路徑L則有

∮LB→·dl→=∫L1B→1·dl→1 ∫L2B→2·dl→2=0對於空間內存在多條載流導線，可以由磁場的疊加原理得到對任意閉合路徑L的環流為

∮LB→·dl→=μ0∑Iin需要注意的是，安培環路定理中B→的環流隻與閉合路徑包圍的電流有關，但是閉合路徑上各點的磁感應強度B→卻是由空間所有電流共同激發，既包括被閉合路徑所包圍的電流，也包括不被閉合路徑所包圍的電流。安培環路定理隻適用於閉合的穩恆電流的磁場，對一段電流的磁場，安培環路定理不成立。

圖13.15例13.4用圖

例13.4如圖13.15所示，求磁感應強度B→沿閉合路徑L的環流。
解對電流I1，按右手螺旋法則，取正號；對電流I2，穿過回路一上一下，電流貢獻為零；對電流I3，按右手螺旋法則，取負號；對電流I4，穿過回路兩次，符號為正，所以，B→的環流為

∮LB→·dl→=μ0(I1－I3 2I4)

利用畢奧薩伐爾定律和磁場的疊加原理可以求出空間各點的磁場，但是計算往往比較復雜。當電流分布具有高對稱性時，選取適當的閉合路徑，可以用安培環路定理簡單求出。
例13.5如圖13.16所示，求無限長圓柱電流的磁場。圓柱的半徑為R，電流為I，均勻分布在圓柱截面上。
圖13.16例13.5用圖

解由於電流具有軸對稱性，所以其磁場分布也具有軸對稱性。先求圓柱體內部磁場。如圖13.16所示，在與圓柱體垂直的平面內，選取以O′為圓心，半徑為r的圓形閉合路徑，路徑上各點磁感應強度B大小相等，方向在路徑的切線方向，積分時的環繞方向與電流方向服從右手螺旋定則。積分回路包圍的電流為

i=IπR2πr2=Ir2R2按照安培環路定理

∮B→·dl→=B·2πr=μ0i=μ0Ir2R2所以圓柱內部磁感應強度的大小為

B=μ0Ir2πR2(r≤R)類似可以求出圓柱體外部的磁場

B=μ0I2πr(r所以無限長圓柱體內部磁場分布與到軸線的距離成正比，外部的磁場分布和電流集中在軸線時無限長載流直導線產生的磁場相同。例13.6如圖13.17所示，求無限大載流平面附近的磁感應強度大小。面電流密度為j(通過與電流方向垂直的單位長度的電流)。

圖13.17例13.6用圖

解根據電流的對稱性可知，磁場方向平行於電流平面且與電流方向垂直，而電流平面兩側磁場方向相反，到電流平面距離相等的各點磁場大小相等。選取如圖13.17所示矩形安培回路，根據安培環路定理，有

∮B→·dl→=B·2d=μ0·jd
B=μ0j2所以，無限大載流平面附近的磁場與到平面的距離無關。例13.7如圖13.18所示，求無限長密繞載流螺線管內、外的磁場。螺線管的電流為I，螺線管上單位長度的匝數為n。

圖13.18例13.7用圖

解在畢奧薩伐爾定律應用中已求得均勻長直螺線管軸線上的磁感應強度為B0=μ0nI，方向由右手螺旋法則判斷，如圖13.18所示。由螺線管的軸對稱性分析可知，螺線管內外的磁場隻有沿軸向分量。(1) 螺線管內磁場根據安培環路定理選取如圖13.18所示的矩形回路L1,有

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