譯者序
前言
第1章組合分析1
1.1引言1
1.2計數基本法則1
1.3排列2
1.4組合4
1.5多項式繫數7
1.6方程的整數解個數10
第2章概率論公理20
2.1引言20
2.2樣本空間和事件20
2.3概率論公理23
2.4幾個簡單命題25
2.5等可能結果的樣本空間29
2.6概率：連續集函數37
2.7概率：確信程度的度量41
第3章條件概率和獨立性51
3.1引言51
3.2條件概率51
3.3貝葉斯公式56
3.4獨立事件65
3.5P(·|F)是概率79
第4章隨機變量104
4.1引言104
4.2離散型隨機變量107
4.3期望109
4.4隨機變量函數的期望111
4.5方差114
4.6伯努利隨機變量和二項隨機變量117
4.6.1二項隨機變量的性質121
4.6.2計算二項分布函數123
4.7泊松隨機變量125
4.8其他離散型概率分布134
4.8.1幾何隨機變量134
4.8.2負二項隨機變量136
4.8.3超幾何隨機變量138
4.8.4ζ分布141
4.9隨機變量和的期望142
4.10累積分布函數的性質145
第5章連續型隨機變量164
5.1引言164
5.2連續型隨機變量的期望和方差166
5.3均勻隨機變量169
5.4正態隨機變量172
5.5指數隨機變量180
5.6其他連續型概率分布185
5.6.1Γ分布185
5.6.2韋布爾分布186
5.6.3柯西分布187
5.6.4β分布187
5.6.5帕雷托分布189
5.7隨機變量函數的分布190
第6章隨機變量的聯合分布204
6.1聯合分布函數204
6.2獨立隨機變量210
6.3獨立隨機變量的和219
6.3.1獨立同分布均勻隨機變量219
6.3.2Г隨機變量221
6.3.3正態隨機變量222
6.3.4泊松隨機變量和二項隨機變量225
6.4離散情形下的條件分布226
6.5連續情形下的條件分布228
*6.6次序統計量232
6.7隨機變量函數的聯合分布236
*6.8可交換隨機變量241
第7章期望的性質259
7.1引言259
7.2隨機變量和的期望259
*7.2.1通過概率方法將期望值作為界269
*7.2.2關於值與小值的恆等式270
7.3試驗序列中事件發生次數的矩272
7.4隨機變量和的協方差、方差及相關繫數279
7.5條件期望285
7.5.1定義285
7.5.2通過取條件計算期望286
7.5.3通過取條件計算概率294
7.5.4條件方差298
7.6條件期望及預測299
7.7矩母函數302
7.8正態隨機變量的更多性質309
7.8正態分布309
7.8.2樣本均值與樣本方差的聯合分布311
7.9期望的一般定義312
第8章極限定理335
8.1引言335
8.2切比雪夫不等式及弱大數定律335
8.3中心極限定理337
8.4強大數定律343
8.5其他不等式345
8.6用泊松隨機變量逼近獨立的伯努利隨機變量和的概率誤差界352
8.7洛倫茲曲線354
第9章概率論的其他課題364
9.1泊松過程364
9.2馬爾可夫鏈366
9.3驚奇、不確定性及熵370
9.4編碼定理及熵372
第10章模擬381
10.1引言381
10.2模擬連續型隨機變量的一般方法383
10.2.1逆變換方法383
10.2.2舍取法384
10.3模擬離散分布388
10.4方差縮減技術390
10.4.1利用對偶變量390
10.4.2利用“條件”391
10.4.3控制變量392
附錄A 部分習題答案396
附錄B 自檢習題解答399
索引444

概率論是研究自然科學和社會科學中隨機現像的數量規律的數學分支，它是統計學的理論基石，也是研究統計建模方法、參數估計方法和算法及其理論性質必不可少的重要工具.現如今，概率論的理論和方法已經成為所有科學工作者、工程人員、醫務人員、企業家、金融家乃至政府管理決策人員等進行量化分析的基本工具.概率論和高等數學一樣，已經成為我國高等院校各專業普遍設立的一門基礎課.
本書是一本不可多得的好教材，非常有特色，知識結構繫統性強，應用案例積累深厚，表述深入淺出，盡管關於概率論的教材非常多，但是能出其右者寥寥.本書不僅介紹了概率理論和方法，而且采用了大量生動的例子來說明這些理論和方法是如何應用在實際生活中的，讓讀者在獲得概率論知識的同時，也體會到概率論的應用魅力.書中側重介紹了概率論中基本的概念，如概率、條件概率、期望、貝葉斯公式、大數定律、中心極限定理、馬爾可夫鏈等.同時，書中還提供了大量實踐練習題，分為習題、理論習題和自檢習題三大類.從習題中，讀者也可受益匪淺.本書設定的自學門檻較低，有初等微積分知識的讀者都可以讀懂，是一本非常好的“概率論”入門書.
本書初版於1976年，經過作者幾十年的修改和錘煉，內容得到了極大的豐富，在美國概率論教材中的市場占有率達到55%.當然，這個數字的準確性我們無法驗證，但我們能證明的是，斯坦福大學、華盛頓大學、普度大學、密歇根大學和約翰霍普金斯大學等眾多名校都采用這本書作為“概率論”課程的教材.本書的前幾版都曾引進到國內，頗受國內師生的歡迎，像北京大學數學科學學院的鄭忠國教授就使用本書作為教材授課，這對我國的概率論教學產生了廣泛的影響，我們相信這個版本也一定會受到國內各界的歡迎.
我們在翻譯本書的過程中，參考了第6版和第7版的中譯本，在此對這兩個版本的譯者表示衷心的感謝.特別地，針對第10版英文原著，我們在翻譯過程中對多處內容有針對性地做了相應的修改和增減.另外，北京師範大學數學科學學院的李昕澤、郭菲菲兩位同學為本書的翻譯做了許多深入細致的工作.郭菲菲同學對本書前三章的翻譯提出了許多寶貴意見，李昕澤同學參與了本書後三章的翻譯工作，並提出了許多建設性意見，對此我們表示衷心的感謝.盡管我們盡力提供優秀的作品，但由於譯者的精力和水平有限，難免會存在錯漏之處，敬請有識之士指正!

譯者
2021年10月

“我們看到，概率論實際上隻是將常識歸結為計算，它使我們能夠用理性的頭腦精確地評價憑某種直覺感受到的、往往又不能解釋清楚的見解……引人注意的是，概率論這門起源於對機會遊戲進行思考的科學，早就應該成為人類知識中重要的組成部分……生活中那些重要的問題絕大部分其實隻是概率論的問題.”著名的法國數學家和天文學家拉普拉斯侯爵(人稱“法國的牛頓”)如是說.盡管許多人認為，這位對概率論的發展作出過重大貢獻的著名侯爵說話誇張了一些，但是概率論已經成為幾乎所有科學工作者、工程師、醫務人員、法律工作者和企業家手中的基本工具，這是一個不爭的事實.實際上，有見識的人們不再問：“是這樣嗎?”而是問：“有多大的概率是這樣?”

一般方法和數學水平

本書是概率論的入門教材，適用於具備初等微積分知識的數學、統計、工程和其他學科(包括計算機科學、生物學、社會科學和管理科學)的學生.書中不僅介紹了概率論的數學理論，而且通過大量例子展示了這門學科的廣泛應用.

內容和課程計劃

第1章闡述了組合分析的基本原理，它是計算概率的有用的工具.

第2章介紹了概率論的公理體繫，並且闡明了如何應用這些公理進行概率計算.

第3章討論概率論中極為重要的兩個概念，即事件的條件概率和事件的獨立性.通過一繫列例子說明：當部分信息可利用時，條件概率就會起作用；即使在沒有部分信息時，條件概率也可以使概率的計算變得容易.利用“條件”計算概率這一極為重要的技巧還將出現在第7章，在那裡我們用它來計算期望.

第4～6章引入隨機變量的概念.第4章討論離散型隨機變量，第5章討論連續型隨機變量，第6章討論隨機變量的聯合分布.在第4章和第5章中討論了兩個重要概念，即隨機變量的期望值和方差，並且對許多常見的隨機變量求出了相應的期望值和方差.

第7章進一步討論了期望值的一些重要性質.書中引入了許多例子，解釋如何利用隨機變量和的期望等於隨機變量期望的和這一重要規律來計算隨機變量的期望值.該章中還有幾節介紹條件期望(包括它在預測方面的應用)和矩母函數.該章後一節介正態分布，同時給出了來自正態總體的樣本均值和樣本方差的聯合分布的簡單證明.

在第8章我們介紹了概率論的主要理論結果.特別地，我們證明了強大數定律和中心極限定理.在強大數定律的證明中，我們假定隨機變量具有有限的四階矩，因為在這種假定之下，證明非常簡單.在中心極限定理的證明中，我們假定萊維連續性定理成立.在該章中，我們還介紹了若干概率不等式，如馬爾可夫不等式、切比雪夫不等式和切爾諾夫界.在該章後一節，我們給出用有相同期望值的泊松隨機變量的相應概率去近似獨立伯努利隨機變量和的相關概率的誤差界.

第9章闡述了一些額外的論題，如馬爾可夫鏈、泊松過程以及信息編碼理論初步.第10章介紹了統計模擬.

與以前的版本一樣，在每章末給出了三組練習題——習題、理論習題和自檢習題.自檢習題的全部解答在附錄B給出，這部分練習題可以幫助學生檢測他們對知識的掌握程度並為考試做準備.

第10版的特色

第10版繼續對教材進行微調和優化，除了大量的小修改使得教材更加清晰外，本版還包括了很多新的或更新的練習題和正文內容，內容的選擇不僅因為它們本身具有趣味性，更是為了用它們來建立學生對概率的直覺.第3章的例4n和第4章例5b就是這個目標的好例證，例4n計算NCAA籃球錦標賽獲勝概率，例5b介紹友誼悖論還新增了帕雷托分布（565節）、泊松極限結果（85節），以及洛倫茲曲線（87節）相關內容.