內容簡介
本書結合Atiyah-Singer 指標理論方面近四十年來湧現的新思想、新技術,以凝練的語言,對流形上幾何、拓撲與分析中若干經典結果,如示性類的陳-Weil理論,等變上同調的Bott 留數公式及更一般的Berline-Vergne 局部化公式,Gauss-Bonnet-陳定理, Poincaré-Hopf 指標公式, Morse 不等式,等等,給出了新穎而“現代”的繫統介紹和處理。此外,本書還介紹了流形上的熱方程理論,並利用熱方程方法證明了Hodge定理和Lefschetz不動點定理,給出了de Rham-Hodge 算子,Hirzebruch 符號差算子及Dirac 算子的局部指標公式;介紹了Quillen 的超聯絡理論,並利用該理論給出了Gauss-Bonnet-陳定理的一個新的證明;還從向量叢上一般聯絡出發,幾何地構造了向量叢的Euler形式與Thom形式。 本書旨在向國內的青年學子和數學工作者介紹Atiyah-Singer 指標理論的一些基礎知識,展示該理論的基本思想與方法在流形的幾何、拓撲與分析中某些問題上的重要應用;可作為數學繫研究生的教學參考資料,也可供相關專業科研人員學習使用。