導讀：高斯——離群索居的王子 / 5

第 1 章 同餘數概論（第 1～12 條） / 1

第 1 節 同餘的數，模，剩餘和非剩餘（2）

第 2 節 小剩餘 （4）

第 3 節 關於同餘的基本定理 （5）

第 4 節 一些應用 （8）

第 2 章 一次同餘方程（第 13～44 條） / 9

第 1 節 關於質數、因數等的初步定理（10）

第 2 節 解一次同餘方程 （17）

第 3 節 對於給定模求與給定剩餘同餘的數的方法（22）

第 4 線性同餘方程組 （26）

第 5 節 一些定理 （29）

第 3 章 冪剩餘（第 45～93 條） / 37

第 1 節 首項為 1 的幾何數列各項的剩餘構成周期序列 （38）

第 2 節 對於模 p（質數），數列周期的項數是數 p-1 的因數 （40）

第 3 節 費馬定理 （42）

第 4 節 有多少數對應於某個項數為 p-1 的因數的周期 ?? （44）

第 5 節 原根，基和指標  （48）

第 6 節 指標的運算 （49）

第 7 節 同餘方程 xn ≡ A 的根 （51）

第 8 節 不同繫統的指標間的關繫 （59）

第 9 節 適合特殊目的的基數 （62）

第 10 節 求原根的方法  （63）

第 11 節 關於周期和原根的幾條定理 （66）

第 12 節 威爾遜定理 （67）

第 13 節 模是質數方冪  （72）

第 14 節 模為 2 的方冪 （78）

第 4 章 二次同餘方程（第 94～152 條） / 81

第 1 節 二次剩餘和非剩餘（82）

第 2 節 當模是質數時，小於模的剩餘的個數等於非剩餘的個數（84）

第 3 節 合數是不是給定質數的剩餘或非剩餘的問題，取決於它的因數的性質  （86）

第 4 節 合數模（88）

第 5 節 給定的數是給定質數模的剩餘或非剩餘的一般判別法 （94）

第 6 節 給定的數作為剩餘或非剩餘的質數的研究 （95）

第 7 節 剩餘為 -1 （96）

第 8 節 剩餘為 2 和 -2（99）

第 9 節 剩餘為 3 和 -3 （103）

第 10 節 剩餘為 5 和 -5 （106）

第 11 節 剩餘為 7 和 -7 （109）

第 12 節 為一般性討論做的準備（110）

第 13 節 通過歸納法發現的一般的（基本）定理及其推論（116）

第 14 節 基本定理的嚴格證明 （123）

第 15 節 證明條目 114 的定理的類似的方法 （130）

第 16 節 一般問題的解法（132）

第 17 節 以給定的數為其剩餘或非剩餘的所有質數的線性形式（135）

第 18 節 其他數學家關於這些研究的著作（140）

第 19 節 一般形式的二階同餘方程（142）

第 5 章 二次型和二次不定方程（第 153～307 條） / 143

第 1 節 型的定義和符號 （144）

第 2 節 數的表示：行列式（145）

第 3 節 數 M 由型（a，b，c）表示時所屬表達式 ( b2 ac ) -（mod M）的值 （146）

第 4 節 正常等價與反常等價 （150）

第 5 節 相反的型 （152）

第 6 節 相鄰的型（154）

第 7 節 型的繫數的公約數 （155）

第 8 節 一個給定的型變換為另一個給定的型時所有可能的同型變換的關繫  （157）

第 9 節 歧型 （164）

第 10 節 關於一個型既正常又反常地包含於另一個型的情況的定理繫  （165）

第 11 節 關於由型表示數的一般性研究以及這些表示與代換的關繫  （171）

第 12 節 行列式為負的型 （177）

第 13 節 特殊的應用（192）

第 14 節 具有正的非平方數的行列式的型（196）

第 15 節 行列式為平方數的型  （237）

第 16 節 包含在與之不等價的型中的型 （245）

第 17 節 行列式為 0 的型 （250）

第 18 節 二次不定方程的一般整數解 （253）

第 19 節 歷史注釋 （260）

第 20 節 將給定行列式的型進行分類（262）

第 21 節 類劃分為層 （266）

第 22 節 層劃分為族  （270）

第 23 節 型的合成（281）

第 24 節 層的合成（312）

第 25 節 族的合成 （313）

第 26 節 類的合成  （317）

第 27 節 對於給定的行列式，在同一個層的每個族中存在相同個數的類 （321）

第 28 節 不同的層中各個族所含類的個數的比較 （322）

第 29 節 歧類的個數  行列式，所有可能的特征有一半不屬於任何正常原始族（338）

第 31 節 對基本定理以及與剩餘為 -1， 2，-2 有關的其他定理的第 2 個證明（339）

第 32 節 對不適合任何族的那一半特征的進一步討論 （342）

第 33 節 把質數分解為兩個平方數的特殊方法 （345）

第 34 節 型討論的題外話  （347）

第 35 節 如何求出這樣一個型，由它加倍可得到給定的屬於主型 （384）

第 36 節 除了在條目 263 和 264 中已經證明其不可能的那些特征外，其他所有的特征都與某個族相對應 ? （386）

第 37 節 把型分解為三個平方數的理論 （388）

第 38 節 費馬定理的證明：任何整數都能分解成三個三角數或者四個平方數 （398）

第 39 節 方程 ax2 by2 cz2＝0 的解  （400）

第 40 節 勒讓德先生討論基本定理的方法 （406）

第 41 節型表示零  （411）

第 42 二次不定方程的有理通解 （414）

第 43 節 族的平均個數 （415）

第 44 節 類的平均個數 （418）

第 45 節 正常原始類的特殊算法：正則和非正則行列式 （423）

第 6 章 前面討論的若干應用（第 308～334 條） / 433

第 1 節 將分數分解成更簡單的分數  （435）

第 2 節 普通分數轉換為十進制數 （437）

第 3 節 通過排除法求解同餘方程 （444）

第 4 節 用排除法解不定方程 mx2 ny2＝A （448）

第 5 節 當 A 是負數時，解同餘方程 x2≡A 的另一種方法 ? （455）

第 6 節 將合數同質數區分開來並確定它們的因數的兩種方法 （459）

第 7 章 分圓方程（第 335～366 條） / 469

第 1 節 討論把圓分成質數份的簡單情況 （471）

第 2 節 關於圓弧 （472）

第 3 節 方程 xn-1＝0 的根的理論（假定 n 是質數）  （476）

第 4 節 以下討論的目的之聲明（478）

第 5 節 Ω 中所有的根可以分為某些類（周期）（480）

第 6 節 關於這些周期的各種定理 （482）

第 7 節 由前面的討論解方程 X＝0  （494）

第 8 節 以 n＝19 為例，運算可以簡化為求解兩個三次方程和一個二次方程  （497）

第 9 節 以 n＝17 為例，運算可以簡化為求解四個二次方程（501）

第 10 節 關於根的周期的進一步討論——有偶數個項的和是實數  （506）

第 11 節 關於根的周期的進一步討論——把 Ω 中的根分成兩個周期的方程  （507）

第 12 節 證明第 4 章中提到的一個定理 （510）

第 13 節 把 Ω 中的根分成三個周期的方程 （512）

第 14 節 把求 Ω 中根的方程化為簡方程 （517）

第 15 節 以上研究在三角函數中的應用  （522）

第 16 節 以上研究在三角函數中的應用（524）

第 17 節 以上研究在三角函數中的應用 （527）

第 18 節 以上研究在三角函數中的應用（532）

附注 （535）

附表 （537）

《算術研究》探討的內容是整數，所以書中少有提到分數及無理數。人們通常把討論如何從一個不定方程的無窮多個解中選出哪些是整數，或至少是有理數（通常是正有理數）解的學問，叫作不定分析或丟番圖分析。本書不是要徹底研究這一學科，而僅是針對這個學科的一個十分特殊的部分；較之於整個學科，大致類似簡化方程和解方程的學問——代數學——與整個分析學的關繫一樣。如同我們把所有關於數量的討論都放在分析學的大標題下一樣，我們把整數（以及分數——在它們由整數所確定的意義下）作為算術學的恰當的研究對像。然而，人們口中常說的算術學，不外乎是計數與計算的學問（用恰當的符號表示數，例如十進制表示法及其運算）。算術學還經常涉及到這樣一些與算術毫無關繫的問題（如對數理論），或者關於所有數量的問題。因此，將前面的內容稱為“初等算術”是恰當的，以便與“高等算術”區別開來。高等算術的研究範圍包括了對整數性質的一般研究。本書將隻討論高等算術。

歐幾裡得在他的《幾何原本》的第七卷以及其後幾卷中以古代學者慣用的方法優美而嚴謹地討論的一些問題，屬於高等算術的範疇，但其討論的內容都是本學科的基礎內容。丟番圖的知名著作致力於研究不定分析問題，他取得了豐富的成果；考慮到這些問題的難度，加上丟番圖處理這些問題時使用的巧妙方法，尤其是當時作者手頭幾乎沒有多少數學工具可以使用，人們因而對作者的獨特思維和熟練手法極其關注。解決這些問題主要是靠靈活的技巧，而不需要掌握深刻的數學原理。由於這些問題非常特殊而不能產生普適的結論，所以，如果說丟番圖的著作開創了新時代，這是因為此書早呈現了代數學所特有的技巧，而不是因為它以新的發現豐富了高等算術。為高等算術做出更多貢獻的是現代的學者們，其中皮耶·德·費瑪，萊昂哈德·歐拉，約瑟夫·拉格朗日以及阿德裡安·馬裡·勒讓德（以及另外少數幾位）開啟了這座科學神殿的大門，並揭示了其中的寶藏是何等豐富。我在此就不一一羅列他們的成果，因為這些成就在勒讓德為歐拉《代數學》所作序中已經列出，在拉格朗日近的著作（我很快就要提到）中也可以找到；在本書合適的位置，我也會引用其中的很多成果。

《算術研究》的目的是介紹我在高等算術領域的研究。由於我五年前就承諾要出版此書，因而書中既有當時就開始的研究，也有後來的研究。為了不讓人詫異為什麼本書幾乎從高等算術的初步知識開始探討，還要重新拾起許多已被其他人積極研究過的成果，我必須解釋，當我 1795 年初開始轉而進行這個領域的研究時，我並不知道現代學者在此領域中的發現，也沒有找到這些發現的方法。當時的情況是這樣的：在忙於其他研究時，我遇到了一個極不尋常的算術定理（如果我沒記錯的話，這就是本書第 108 條所說的那個定理），因為我覺得這條定理如此優美，還因為我懷疑它與更加深刻的結果有關，所以我全身心投入其中，以求能夠理解它背後的原理並取得嚴格的證明。當我成功解決了這個問題後，我被這一類問題深深吸引，愛不釋手。於是，隨著一個結論引出另一個結論，我在拜讀到其他學者的著作之前，就已經完成了本書前四章所介紹的絕大部分內容。，當我有可能拜讀這些天纔人物的著作後，我纔認識到我所深入思考的大部分內容都是早已知道的東西。但是，這隻是更為增加了我的興趣，並讓我努力嘗試沿著他們的足跡進一步發展算術研究，第 5、第 6 和第 7章收錄了這部分研究結果。過了一段時間，我開始考慮發表我的研究成果，並說服自己保留早期研究的成果，這是因為，當時還沒有一本書把其他學者的工作收集在一起，它們分散在一些研究院的學術論文中；其次，很多研究的結論是全新的，且其中大多數結論還是用新方法討論的；後，後期的結論與以前的結論之間有著千絲萬縷的關聯，如果不一開始重提前面的結論，後面的新結論就無法解釋清楚。恰在此時，一部傑出的著作——《數論》問世，其作者是勒讓德。彼時，勒讓德已經在高等算術領域做出了非常大的貢獻。在書中，他不僅把當時所發現的所有結果都收集在一起並加以繫統整理，而且添加了許多他本人的新成果。因為當我注意到這本書時，我的作品的大部分已經交到了出版商的手中，所以我無法在我書中的類似章節參考這本書。但是我感到必須對一些篇章做些補充注釋，我相信這位聲名赫赫的先生能夠理解，不會感到被冒犯。

四年來，《算術研究》的出版遇到了許多困難。在這一段時間裡，我不僅繼續過去已經開始進行的研究（當時為了避免本書篇幅過大，我決定分離出這些研究，準備在另外的地方發表），而且也從事許多新的研究。此外，許多我過去隻是稍有觸及而當時覺得似乎不必詳細討論的問題（例如，第 37 條，第 82 條以及其他若干條），也得到了進一步發展，並產生了一些看來是值得發表的更一般的結論。後，主要由於第 5 章的內容，本書的篇幅變得大大超出我原來的預期，使我隻得削減了初打算寫的不少內容，特別是刪去了整個第 8 章（本書有幾處提到了第 8 章，它討論了任意次代數同餘方程的一般處理）。一旦有可能，我會發表這些內容，它們的篇幅可以輕易地構成與本書篇幅相同的一本書。

在討論幾處難題時，我采用了綜合性證明並省去了結果推導過程。這是為了盡可能地簡潔。第 7 章討論的是分圓理論或分正多邊形理論，雖然與算術無關，但其中的原理完全基於高等算術。幾何學者們也許會因為這個事實感到驚訝，但（我希望）他們會樂於看到由這種處理方法衍生出的新結論。

以上就是我要請讀者注意的一些事情。本書的優劣我不好加以評判。我衷心希望本書能夠取悅那些關心科學發展的人士，不論是為他們提供一直尋找的問題的解法，還是為他們開啟通向新發現的途徑。

卡爾·弗裡德裡希·高斯