了得網自然科學_經濟數學(第二版)

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編輯推薦

經濟數學（第二版）針對性強，適用於一般本科和高職高專院校經濟管理類專業，內容上側重於數學在經濟學科中的應用。書中例題和習題豐富，並配有教學課件。

內容簡介

《經濟數學》是適用於經濟管理類專業的初等教材，簡單易懂，滿足一般本科院校和高
職高專的教學需要，特別是對那些打算直接就業的學生就更為合適，僅為幫助學生克服經濟
學學習過程中的數學障礙而編寫。
本教材的主要編寫原則是圍繞經濟管理類課程的數學需要進行教學內容的選擇。具體來
說，《經濟數學》包括與今後學習相關的函數在經濟學中的應用、經濟學中的分析方法、微積
分與*化方法、線性代數、概率統計初步和數理統計等內容。
在內容設計上，每一章大概有2/3的內容，用於講解高等數學的基本內容，包括基本概
念、定理、推論及其含義．另有1/3的內容，用於講解本章的數學原理如何進行經濟應用，
是經濟原理數學化，突出講解經濟學原理同數學原理之間的聯繫，為學生在以後的學習中能
夠熟練應用數學工具打下基礎。

作者簡介

目錄

第1章函數和方程式

1．1變量與函數

1線性函數和直線

1二次函數和拋物線

1．4冪函數、指數函數和對數函數

1．5反函數
目錄

第1章函數和方程式

1．1變量與函數

1線性函數和直線

1二次函數和拋物線

1．4冪函數、指數函數和對數函數

1．5反函數

1．6復合函函數

習題

第2章線性方程組

2線性方程組

2．2有兩個以上變量的線性方程組

2．3非線性方程組

2．4經濟模型的完整性和相容性

習題

第3章經濟學中的存量、流量與均衡

3．1存量和流量

3．2與市場有關的一些定義

3．3靜態分析與單一商品流量市場

3．4比較靜態分析和動態分析

3．5穩定均衡和不穩定均衡

習題

第4章結構式和簡化式

4．1單一商品流量市場的擴展

4．2線性方程組的簡化式

4．3一個宏觀經濟的例子

習題

第5章存量—流量市場

5．1存貨投資淨額

5．2存量—流量市場均衡

5．3存量市場模型的簡化式

習題

第6章幾何級數和現金流量貼現

6．1復利

6．2幾何級數

6．3現值

6．4現金流量貼現

習題

第函數的微分

7．1非線性函數的斜率

7函數的極限

7函數的導數

7．4導數的一般法則Ⅰ

7．5導數的經濟應用

7．6導數的一般法則Ⅱ

7．7微分及其數學應用

習題

第8章高階導數

8.1二階導數

8.2平穩點

8.3利潤化

8.4稅收和利潤化

8.5利潤化模型的簡化式和結構式

習題

第函數的積分

9.1記號和術語

9.2積分法則Ⅰ

9.3總函數和邊際函數

9.4積分法則Ⅱ

9.5定積分

9.6定積分的經濟應用

習題

第1函數及其微分法

10函數

10.2偏導數及其基本法則

10.3偏導數與其他條件保持不變假設

10.4生產函數和效用函數

10.5高階偏導數

習題

第11章全微分和全導數

11.1全微分

11.2非線性方程組的簡化式

11.3全導數和隱微分

11.4齊次函數和歐拉定理

習題

附錄：歐拉定理證明

第12章無約束和約束化

12.1無約束化

12.2利潤化回顧

12.3約束化

12.4約束極大值和約束極小值的辨別

習題

附錄函數無約束化的二階條件

第13章動態分析

13.1差分方程

13.2求解差分方程

13.3再論動態流量市場模型

13.4再論簡單的凱恩斯模型

習題

第14章矩陣代數

14.1向量和矩陣

14.2矩陣的基本運算

14.3逆矩陣

14.4行列式

14.5利用逆矩陣求解方程組

14.6再論結構式和簡化式

習題

第15章概率論基本理論

15.1隨機事件

15.2概率及其計算

15.3條件概率與乘法公式

15.4總和概率

習題

第16章隨機變量及其分布

16.1隨機變量

16.2離散型隨機變量的分布函數

16.3連續型隨機變量的分布函數

16.4一些常用的分布函數

習題

第17章數學期望與方差

17.1數學期望

17.2方差

17.3常用分布函數的數字特征

17.4數學期望和方差的經濟應用

17.5正態分布

習題

第18章數理統計基礎知識

18.1隨機抽樣與隨機樣本

18.2參數估計

18.3假設檢驗

習題

附錄

附表A1泊松概率分布表

附表A2標準正態分布表

參考文獻

前言

前言
本書自2010年出版以來，許多高校師生給予了認可，特別得到了學生的支持，對書中的內容和習題提出了寶貴的意見和建議。
考慮到具體應用的需要，本次主要進行了以下修訂：
一是內容上的調整與合並，考慮到知識點上的連續性，把版中的第16章並入第15章，把第19章並入第18章，整本書從原來的20章縮減為18章；
二是增補了一部分思考題和習題，以實現邊學邊練，強化知識點與練習之間的對應性。
本書的修訂由吳艷玲主持，具體分工如下：國福麗，第1~5章；魏楓，第6~9章；吳艷玲，第10~15章；劉小寧，第16~18章。後由吳艷玲負責總撰、定稿。
我們堅持一貫的觀點，經濟數學應該是高等數學與經濟問題的有機結合，簡化後的數學仍然能夠有效地應用於經濟分析之中。由於水平的限制和時間的關繫，書中尚有不足之處，祈望讀者和同學一如既往地關注本書，並不吝賜教。
編者前言
本書自2010年出版以來，許多高校師生給予了認可，特別得到了學生的支持，對書中的內容和習題提出了寶貴的意見和建議。
考慮到具體應用的需要，本次主要進行了以下修訂：
一是內容上的調整與合並，考慮到知識點上的連續性，把版中的第16章並入第15章，把第19章並入第18章，整本書從原來的20章縮減為18章；
二是增補了一部分思考題和習題，以實現邊學邊練，強化知識點與練習之間的對應性。
本書的修訂由吳艷玲主持，具體分工如下：國福麗，第1~5章；魏楓，第6~9章；吳艷玲，第10~15章；劉小寧，第16~18章。後由吳艷玲負責總撰、定稿。
我們堅持一貫的觀點，經濟數學應該是高等數學與經濟問題的有機結合，簡化後的數學仍然能夠有效地應用於經濟分析之中。由於水平的限制和時間的關繫，書中尚有不足之處，祈望讀者和同學一如既往地關注本書，並不吝賜教。
編者
2018年4月於哈爾濱

在線試讀

第1章函數和方程式
1．1變量與函數

在給定的問題中，不變的、保持一定值的量叫作常量(constant)。例如，在光速測量中，假定實驗是精確的，就會發現，無論測量是在何時何地進行的，光速都是3×108m/s，因此，我們稱之為常量。
相反地，由於某種原因而變化的、取不同值的量叫作變量(variable)，一般用字母x、y、z等表示。我們經常把經濟現像抽像為經濟變量。比如說失業水平，不同國家的失業水平有不同的數據，一個國家連續幾年的失業水平也是變化的。在經濟分析中的常量與變量具有不同特性，往往要強調條件。
經濟分析中的變量一般有兩類，一類是數量型變量，如工資、價格、儲蓄、消費、失業率等，另一類是性質型變量，如季節、性別、區域、好壞等，經常通過賦值的方法將這些變量納入經濟分析中，性質型變量有時也稱為虛擬變量。

經濟分析中應盡量選取數量型變量。在經濟分析中，由於變量數量較多，為了區分變量，往往選擇特定的字母來表示變量，如需求用字母d表示，價格用字母p來表示，工資率用字母w來表示，等等，以防止混淆。
變量之間彼此聯繫。我們考慮問題的過程中，不僅是一個變量，可能有幾個變量，要研究的是這些變量之間有什麼關繫。例如，去銀行存錢，假設1年定期整存整取的年利率為3．05%，則存款本金x與一年到期時的利息y之間的對應關繫如表1．1所示。

表1．1利息y與本金x的關繫

第1章函數和方程式
1．1變量與函數

在給定的問題中，不變的、保持一定值的量叫作常量(constant)。例如，在光速測量中，假定實驗是精確的，就會發現，無論測量是在何時何地進行的，光速都是3×108m/s，因此，我們稱之為常量。
相反地，由於某種原因而變化的、取不同值的量叫作變量(variable)，一般用字母x、y、z等表示。我們經常把經濟現像抽像為經濟變量。比如說失業水平，不同國家的失業水平有不同的數據，一個國家連續幾年的失業水平也是變化的。在經濟分析中的常量與變量具有不同特性，往往要強調條件。
經濟分析中的變量一般有兩類，一類是數量型變量，如工資、價格、儲蓄、消費、失業率等，另一類是性質型變量，如季節、性別、區域、好壞等，經常通過賦值的方法將這些變量納入經濟分析中，性質型變量有時也稱為虛擬變量。

經濟分析中應盡量選取數量型變量。在經濟分析中，由於變量數量較多，為了區分變量，往往選擇特定的字母來表示變量，如需求用字母d表示，價格用字母p來表示，工資率用字母w來表示，等等，以防止混淆。
變量之間彼此聯繫。我們考慮問題的過程中，不僅是一個變量，可能有幾個變量，要研究的是這些變量之間有什麼關繫。例如，去銀行存錢，假設1年定期整存整取的年利率為3．05%，則存款本金x與一年到期時的利息y之間的對應關繫如表1．1所示。

表1．1利息y與本金x的關繫

x
500
1000
2000
5000
10000
20000
y
15．25
30．5
61
152．5
305
610

表1．1中的例子反映了在同一過程中兩個相互依賴的變量，當其中一個變量取一個值時，按一定的規則，另一個變量有確定的值與之對應，變量之間的這種“同步的”聯繫，就是函數關繫，即給定其中一個變量的值，就肯定能夠得出另一個變量的確定的值時，我們稱一個變量是另一個變量的函數，記為

y=f(x)(1．1)

式(1．1)是“y是x的函數”這種關繫的一種簡記。簡記形式所代表的具體函數形式是不明確的，任何一個英文字母或希臘字母的變形，都可以用來表示“y是x的函數”。例如：

y=a(x)，y=φ(x)

其中，x習慣地稱為自變量，y稱為因變量(即y因x而決定)。x的變化範圍稱為函數的定義域，記為D； y的變化範圍稱為函數的值域，記為Z； f為自變量與因變量的對應規則。例如：

y=2x2 3x(1．2)

式中，y和x的關繫是：當x任取一個值時，y就會得出一個確定的值。例如，當x=2時，就有y=2×22 3×2=14；同樣，當x=－5時，y=35； x=2000時，有y=8006000。因此，y是x的函數，式(1．2)描述了這種函數關繫。
在式(1．2)中，給出一個x的值，就有一個相對應的y值。當然，函數可以采取多種不同的具體形式。例如：

y=x3(1．3)

y=10x－5(1．4)

式(1．3)和式(1．4)都給出了從x值求出y值的規則。按照這一規則，表1．1中利息與存款本金相對應的函數關繫為

y=0．0305x

1．1考慮如下函數關繫：
(a) y=8x2－5x 3； (b) y=5x 10； (c) y=(2x 3)3 。

求x取以下不同值時的y值： (i)x=2； (ii)x=－3。
1．2若z=6t4 3t2 10，求當t=4和t=-6時的z值。
函數是經濟數學的主要研究對像。我們經常把經濟現像之間的聯繫抽像為函數關繫。用數學方法描述經濟問題時經常要建立函數關繫。例如，失業率上升時，工資率下降；可支配收入增加時，家庭的消費支出上升；商品價格上漲時，需求量降低。當這些聯繫“同步地”變動時，變量之間存在函數關繫。因此，掌握函數對於學好經濟理論起著至關重要的作用。
但在數學中可能存在y和x的非單值對應關繫，如：

y=±x(1．5)

若x=9時，則有y=3或y=－3，這樣y的值就不是的。式(1．5)不是我們剛剛定義過的函數，在本書中，我們不討論如式(1．5)中的關繫。
表示函數關繫，常用的方法有兩種：
一種是解析法，即用一個數學公式來表示，如y=f(x)。在經濟分析中，經常用解析法來表示經濟變量之間的聯繫，如其他條件不變時，商品的需求量是自身價格的函數，可以把兩個變量之間的關繫寫成

d=f(p)或d=d(p)(1．6)

式中： d為某種商品的需求量； p為這種商品的價格。同理，在其他條件不變時，經濟中固定資本的投資水平由利率決定，可以寫作

I=f(R)或I=I(R)(1．7)

式中： I為投資； R為利率。例如，我們有如下的I(單位)和R(百分比)的函數關繫：

I=200 10R2(1．8)

即給定R值，可用式(1．8)求出的I值。例如，當利率R=5%時，可得I=200 100.052=420)。同樣，若R=10%，則I=200 100.12=120)。

1．3用解析法表示下列經濟關繫：
(a) 家庭消費支出取決於可支配收入；
(b) 貨幣需求取決於利率；
(c) 平均成本取決於產量。

另一種表示函數的方法是圖示法，即用坐標繫中的曲線反映變量之間的函數關繫。坐標繫由橫軸與縱軸構成。橫軸與縱軸如圖1．1所示，兩個軸的交點稱為原點。變量y值用縱軸表示(稱之為y軸)，變量x值用橫軸表示(稱之為x軸)。在原點之上的y值是正值，在原點之下則是負值；在原點右側的x值是正值，原點左側則是負值。

圖1．1坐標繫

變量x和y的任意一對組合都可通過坐標繫上的一點來表示。例如，x=3,y=-2由圖1．1中的點A表示，A點是從原點出發，沿x軸向右移動3單位，沿y軸向下移動2單位得到的。
習慣上通常把坐標為(3，－2)的點用一個字母A表示。A點所代表的括號中的數字依次是x值和y值。x值被稱為x坐標(橫坐標)，y值被稱為y坐標(縱坐標)。在圖1．1中可以標出更多的點，如B點坐標是(7，4)，即該點的x坐標為7，y坐標為4，它代表x=7，y=4。同樣，在x軸上的點C坐標為(－3，0)，y軸上的點D坐標為(0，5)。

1．4在坐標繫中標出點(-5，-8)，(6，-4)，(0，-6)，(-3，2)，(0，0)，(2，0)。
給定如上的一個坐標繫，就可以畫出我們以前所描述的任何一個函數的圖像。例如，考慮如下函數關繫：

y=x2 3x-4(1．9)

可用函數(1．9)求出與x值所對應的y值。例如，當x=3時，對應的y值為： y=32 3×3-4=14，這對x值和y值可在坐標繫上用點(3，14)表示出來。因此，我們可用函數來找出所有的一一對應的x值和y值，並將它們在坐標繫中表示出來。表1．2中是x取－4~ 4時對應的y值，如圖1．2所示。

表1．2函數y=x2 3x-4的對應值

x
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
x2
16
9
4
1
0
1
4
9
16
3x
－12
－9
－6
－3
0
3
6
9
12
y
0
－4
－6
－6
－4
0
6
14
24

在圖1．2中，將各點用一條平滑的曲線連接，就可得出式(1．9)的圖像。當然，我們隻能畫出函數在x取值範圍內的圖像，其餘的部分無法畫出。當x超過4時，y的變動是不確定的；當x減少到小於－4時，y的變動也是不確定的。然而，從這部分圖像中，可以看出函數的主要特征。當x增加時，y起初減少，而且y是以遞減的速度減少的，直到達到小值，即A點，然後上升。因此，在x=-1.5時，圖像有小值，且該圖像關於小值是對稱的。把x=-1.5代入式(1．9)，可得

y=(-1.5)2 3×(-1.5)-4=-6.25

y的小值為－6．25，A點的坐標為(－1．5，－6．25)。

圖1．2函數y=x2 3x-4的圖像

需要強調的是函數式(1．9)和它在圖1．2中的圖像之間存在緊密聯繫。顯然給定函數中任何一對x和y值，都能通過圖像上的點表示出來；反過來，圖1．2中的任一點一定代表一對滿足函數式(1．9)的x和y值。例如，當x=1.5時，通過式(1．9)可得y=2.75，(1．5，2．75)就是圖1．2中的點B。
任何一對滿足函數式(1．9)的x和y值，都在圖1．2中的曲線上，而任何不在圖1．2中曲線上的點所代表的x和y值也都不滿足函數式(1．9)。例如，圖1．2中的點C坐標為(－2，8)，顯然不滿足函數式(1．9)，因為從式(1．9)中可知，當x=-2時，y=-6。

1．5畫出函數式y=2x2 7x-4的圖像，x的取值範圍為x=-5到x=2，並找出y的小值。試證明：點(0．5，0)既滿足該函數式又位於曲線之上，而點(2，10)既不滿足函數式也不在曲線上。
注意函數式(1．9)的圖像有兩個點與x軸相交，在x=-4和x=1時，y都等於0。在式(1．9)中，y=0意味著

x2 3x-4=0(1．10)

從此式中可得出x值，求x值的過程叫作解方程式。任一個使方程(1．10)成立的x值都是方程式的解或根。x=-4和x=1是方程(1．10)的解，因為它們是能夠滿足方程式，或者說使方程左右兩邊相等的x值。
由於表達形式所限，圖示法經常用來表示兩個變量之間的函數關繫。在用函數來表示經濟關繫的時候，限定函數的取值範圍是必要的，在經濟分析中函數圖像主要表示在像限中。

1．6利用思考題1．5中所畫出的圖像，解方程式2x2 7x-4=0。
函數的幾何性質
函數y=x2的對應值如表1．3所示。在坐標繫中作出y=x2的函數圖像，如圖1．3所示。

表1．3函數y=x2的對應值

x
－2
－1
0
1
2
y
4
1
0
1
4

圖1．3函數y=x2的圖像

可以看到，在x∈(-∞,0)時，函數圖像呈下降趨勢；在x∈(0, ∞)時，函數圖像呈上升趨勢。這反映了函數的單調性。即，當x在區間(-∞,0)上取值時，隨著x的增大，相應的y值減少，函數y=x2是單調遞減的；當x在區間(0, ∞)上取值時，隨著x的增大，相應的y值也增大，函數y=x2是單調遞增的。
一般地，如果x1,x2∈D，若x1f(x2)，則稱函數f(x)為D上的單調遞減函數。如果函數y=f(x)在區間D上是單調遞增函數或單調遞減函數，那麼就說y=f(x)在區間D上具有單調性。
函數具有單調性是極值的基礎，因此，單調性是經濟分析中常使用的性質之一。例如，在U形的平均成本曲線上，一定存在著令平均成本小的產量水平q*。當實際產量低於q*時，平均成本函數是單調遞減的；當實際產量高於q*時，平均成本函數是單調遞增的。函數y=x2在閉區間內又是一個有界函數。有界性是指，如果對於自變量x所在的某一定義域D範圍內，存在一個正數M，使得在D上的函數值f(x)都滿足|f(x)|≤M，則稱函數y=f(x)在D上有界，或y=f(x)在D上是有界函數。反之，如果不存在這樣的正數M，則稱函數y=f(x)在D上無界，或y=f(x)在D上是無界函數。
一般來說，連續函數在閉區間內具有有界性。例如： y=x2在［－3，0］上有小值0，值9，函數值在0~9變化，是有界的，所以具有有界性。在經濟分析中，有界性常常與單調性聯繫起來用於分析函數的極值問題。
除了單調性、有界性之外，函數的幾何性質還包括奇偶性和周期性等。但這兩種性質在經濟分析中不常出現，在此就不詳加論述了。
1線性函數和直線
經常使用的函函數，即隻有一個自變量和一個因變量的函數，一般表示為y=f(x函數可以采取多種形式，簡函數形式是線性函數，若某函數具有函數關繫

y=mx c(1．11)

則稱該函數為線性的，其中，m和c是任意常數。若m=3,c=4，則有線性函數

y=3x 4(1．12)

表1．4列出了線性函數y=3x 4的對應值。函數圖像如圖1．4所示，顯而易見，其圖像是一條直線。

表1．4線性函數y=3x 4的對應值

x
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
3x
－12
－9
－6
－3
0
3
6
9
12
y
－8
－5
－2
1
4
7
10
13
16

圖1．4線性函數y=3x 4的圖像

無論m和c取何值，式(1．11)的圖像都是一條直線，因此，式(1．11)也稱作直線方程。在畫線性函數圖像時，隻要找到兩點，並用一條直線將這兩點連接起來即可。在式(1．11)中，繫數c是當x=0時y的值。因此，它給出了直線與y軸相交的點。c被稱為截距。c取負值，則意味著直線與y軸的交點位於原點的下方，如圖1．5所示。
式(1．11)中，繫數m是直線的斜率，在圖1．5和圖1．6中，m度量了當x變化1單位時y的變化，此時m等於b/a。

圖1．5負的斜率和截距

圖1．6正的斜率和截距

兩種特殊情況需要注意： ①若式(1．11)中m=0，則圖像是一條水平的直線(也就是斜率為0)，且與y軸交於y=c處； ②如果圖1．5中a=0，m是無窮的，則圖像為一條與x軸垂直的直線。
顯然，除了水平線之外，直線與橫軸交於一點且隻交於一點。例如，在圖1．4中直線y=3x 4與橫軸交於x=-43是方程式3x 4=0的解。因此，線性方程

mx c=0且m≠0(1．13)

有且僅有一個解。

1．7寫出下列直線方程的截距和斜率：
(a) y=6x 8； (b) 2x－3y=8； (c) 7x=2y－5。
線性方程的代數解
在圖1．4中，我們得到一種解方程的方法，即根據函數關繫畫出圖像，然後確定圖像與x軸相交的點。然而這種方法要得到精確的答案需要非常仔細地繪圖，有時運用一點代數知識來求解會更加方便。
求解式(1．13)那樣的線性方程，由於mx c=0，可得

mx=-c(1．14)

因此

x=-cm(1．15)

式(1．15)給出了線性方程(1．13)的一個解。例如，在式(1．12)中，m=3,c=4，解就是x=-43，這和圖1．4中所畫的是一致的。
在求解方程時可以簡化成式(1．14)的形式，求解起來會更加簡單。例如，考慮一個方程式

3(x 5) 2x=7 5(2x-1)(1．16)

將括號乘開並把所有含x的項移到等號左邊，所有常數項移到等號右邊，可得

3x 2x-10x=7-5-15

或

-5x=-13

方程式(1．16)的解為x=135。
提醒注意的是，有一類方程式比較特殊，那就是恆等式。考慮方程式

5(2-x) x=2(3-2x) 4(1．17)

乍看起來，式(1．17)與式(1．16)是相似的。事實上，將括號乘開，可得

-5x x 4x=6 4-10

上式可簡化為

0=0

我們的求解程序顯然不再適用。這是因為式(1．17)實質上不是一個方程式而是一個恆等式。也就是說，無論x取何值時，該式都是成立的。把如式(1．17)這樣的式子定義為

5(2－x) x≡2(3－2x) 4

記號“≡”稱為“恆等於”。恆等式在經濟學中是很普遍的。在經濟分析中，恆等式一般用於以下兩種情況。
種情況，用恆等式來表示某個變量的定義。例如，國內生產總值(GDP)通常是指一定時期內，一個國家或地區所生產的全部終產品和勞務的市場價值的總和。對國內生產總值進行核算時，可以通過將一定時期內社會購買各項終產品的支出加總得出該時期國內生產的終產品的市場價值。具體地，社會對終產品和勞務的支出主要是居民消費、企業投資、政府購買和淨出口。因此，國內生產總值GDP可表示為

GDP≡C I G (X－M)

其中，C表示居民消費； I表示企業投資； G表示政府購買，是各級政府購買商品和勞務的支出； (X－M)表示淨出口(X表示出口，M表示進口)。
第二種情況，用恆等式來表示某種平衡關繫。例如，商品市場達到平衡的條件是全社會對商品的總需求與總供應相等，即AD≡AS，在隻有居民和廠商的兩部門經濟中，總需求表現為居民的消費需求和廠商的投資需求；總供給即各種生產要素收入之和，可轉化為消費與儲蓄兩部分。於是

AD=C I

AS=C S

這樣，AD≡AS，就可表示為I≡S。也就是說，如果通過金融機構把居民儲蓄全部轉化為投資，就可實現商品市場的平衡。

1．8下列式子中哪些是方程式，哪些是恆等式？並求出方程式的解。
(a) 3(x 4) 2(x－5)=3x； (b) 2x 5(2－x)=2(x 5)－5x；
(c) 3x－5(x－3)=2(2x－3)； (d) 2(x 4) 3(x－1)=4(8 2x) 3(x－1)。
作為簡單的函數形線性函數在經濟分析中得到了廣泛的應用，典型的代表就是需求函數和供給函數。
先來看需求函數。我們可以想像到一種商品在市場上的需求量肯定與它的價格有關繫：價格貴，買的人就少，需求量比較小；價格便宜，買的人就多，需求量比較大。表示需求量與價格之間聯繫的函數就是需求函數： d=d(p)。根據上述分析，可以初步判斷，在其他因素不變的條件下，一種商品的需求量和它的價格之間是呈反方向變動的，這樣，我們就可以用線性函數來表示具體的需求函數，記為

d=d(p)=a－b·p，其中a,b>0(1．18)

線性需求函數表明，一般而言，當一種商品的價格上升時，該商品的需求量將減少。在以價格為縱軸、需求量為橫軸的坐標繫內，需求函數的圖像表現為一條向右下方傾斜的直線，如圖1．7(a)所示。
再來看供給函數。供給，就是企業能夠為市場提供多少商品，當然它也和價格有關繫：商品價格高，企業就增加生產，供給量就比較大；反之，供給量就比較小。我們也可以把這種聯繫簡化為一種函數關繫，稱為供給函數，在其他因素不變的條件下，供給函數可以表示為： s=s(p)。根據上述分析，可以初步判斷一種商品的供給量和它的價格之間是呈同方向變動的，這樣，我們就可以用線性函數來表示具體的供給函數，記為

s=s(p)=－α β·p，其中α,β>0(1．19)

線性供給函數表明，一般而言，當一種商品價格上升時，該商品供給量將增加。在以價格為縱軸、供給量為橫軸的坐標繫內，供給函數的圖像表現為一條向右上方傾斜的直線，如圖1．7(b)所示。

圖1．7線性需求函數和線性供給函數

大家想一想，為什麼需求函數和供給函數的斜率和截距按上述方法設置，有什麼原因呢？
1二次函數和拋物線
如式(1．9)這樣的函數被稱為二次函數。二次函數的一般形式是

y=f(x)=ax2 bx c(1．20)

顯而易見，式(1．9)是式(1．20)的一個特例，此時，a=1,b=3,c=－4。
二次函數的圖像形狀為拋物線，具體形狀取決於參數a：當a＞0時，拋物線開口向上，為U形曲線，類似於圖1．2；當a＜0時，拋物線開口向下，圖像是倒U形的，並且此時函數有一個值而不是小值。例如：

y=-2x2 8x-13(1．21)

式中a=-2，如表1．5和圖1．8所示，在x=2時，該函數有值y=-5。

表1．5函數y=-2x2 8x-13的對應值

x
－2
－1
0
1
2
3
4
5
6
－2x2
－8
－2
0
－2
－8
－18
－32
－50
－72
8x
－16
－8
0
8
16
24
32
40
48
y
－37
－23
－13
－7
－5
－7
－13
－23
－37

圖1．8函數y=-2x2 8x-13的圖像

在圖1．2中出現二次函數與x軸交於兩點的情況，在圖1．8中二次函數曲線與x軸並不存在交點。
根據式(1．20)，可得出二次方程式的形式為

ax2 bx c=0(1．22)

式(1．22)可能有兩個解，也可能沒有解，也就是說，有可能存在兩個x值滿足方程式(1．22)，也可能沒有任何一個x值能使該等式成立。例如，我們知道方程式(1．10)有兩個解，x=-4和x=1。然而，從圖1．8中可推出方程式

-2x2 8x-13=0(1．23)

沒有解，即函數(1．23)的曲線與x軸不相交。
當然，二次方程式(1．22)還有可能隻有的一個解。其實這是兩個解無限靠近，終導致圖形與x軸相切的情形。

1．9在曲線y=-3x2-2x 5上，找到y的值，並解方程式3x2 2x-5=0。

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