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初等數論

內容簡介

《初等數論》是作者結合多年初等數論的教學實踐，根據高校初等數論課程的教學大綱，並充分考慮專業理論知識與學生未來就業的實際需要相結合的需求編寫而成的。其主要內容包括整除理論、不定方程、同餘、數的表同餘方程、平方剩餘與二次同餘方程、原根與指標。《初等數論》例題和習題大部分選自中小學各類數學競賽試題，且每節節後幾乎都附有數學家小故事。

目錄
前言
第1章整除理論 1
1.1 整除的概念和基本性質 1
1.2 帶餘除法 6
1.3 **公因數 10
1.4 *小公倍數 17
1.5 輾轉相除法 21
1.6 素數與合數 26
1.7 算術基本定理 30
1.8 數的奇偶性與平方數 34
1.9 高斯函數[x]及其應用 37
總習題1 43
第2章不定方程 46
2.一次不定方程 46
2.一次不定方程 53
2.3 數學競賽中的不定方程問題的常用解法 58
2.4 勾股數 63
2.5 費馬問題介紹 67
總習題2 69
第3章同餘 72
3.1 同餘的概念及基本性質 72
3.2 剩餘類和完全剩餘繫 76
3.3 簡化剩餘繫與歐拉函數 81
3.4 歐拉定理和費馬小定理 85
總習題3 88
第4章數的表示 90
4.1 實數的進位制及相互轉化 90
4.2 分數化小數 96
4.3 小數化分數 101
4.4 實數的連分數表示 104
4.5 二次無理數與循環連分數 112
總習題4 116
第5同餘方程 118
5.1 一次同餘方程 118
5.2 孫子定理與一次同餘方程組 122
5.3 合數模高次同餘方程 132
5.4 素數冪模的同餘方程 135
5.5 素數模同餘方程 140
總習題5 145
第6章平方剩餘與二次同餘方程 147
6.1 平方剩餘 147
6.2 勒讓德符號，高斯二次互反律 153
6.3 雅可比符號 160
6.4 二次同餘方程的求解 165
總習題6 172
第7章原根與指標 175
7.1 指數及其基本性質 175
7.2 原根存在的充要條件 178
7.3 原根的個數及簡化剩餘繫的構造 183
7.4 指標與二項同餘方程 186
總習題7 190
習題參考答案及提示 192
參考書目 220
附錄1 梅森素數史表 221
附錄2 素數及其*小正原根表(5000以內) 223

在線試讀

第1章整除理論
數論是研究整數性質的一個數學分支，其中整數的整除理論是初等數論的基礎，其他內容都與之有著直接或間接的聯繫。它是對在小學就學過的整數的算術運算作抽像的、繫統的總結，看起來似乎簡單，但是它的內涵卻十分深刻。它也是中小學數學競賽和公務員考試中所考查的有關初等數論知識的主要部分。本章主要內容包括整除的概念和基本性質、帶餘除法、**公因數與*小公倍數、輾轉相除法、素數與合數、算術基本定理、數的奇偶性與平方數以及高斯函數[x]及其應用，其中**公因數和算術基本定理是整除理論的核心內容，帶餘除法和輾轉相除法是整除理論的重要工具。
1.1 整除的概念和基本性質
我們知道，兩個整數的和、差、積仍然是整數，但是用不為零的整數去除另一個整數所得的商卻不一定是整數，為此，我們引入整數的整除的概念，並由此給出其性質及應用。
定義1.1.1 設 (Z表示整數集合)，且，如果存在整數c，使得a=bc，則稱a被b整除或b整除a，記為，並稱a是b的倍數，b是a的因數(或約數)。如果不存在整數c，使得a=bc成立，則稱a不能被b整除或b不整除a，記為。
顯然每個非零整數a至少有因數，稱它們為a的平凡因數，a的其他因數，稱為a的非平凡因數。
由整除的定義和乘法運算性質立即可以推出整除的以下性質。
定理1.1.1 設a，b，則下面的結論成立。
(i) 若，則；
(ii) 若，且，則 (整除的傳遞性)，
(iii) 若，且，則對任意整數 m，n，有，一般地，若，則對任意整數，有(整除的線性性)，
(iv) 若，且，則，反之也成立，
(v) 若，且，則，若，且，則，若，且，則。
請讀者自證。
注意由整除的定義可知，為了證明，設法將a分解為b與另一個因數的乘積是其中的基本方法之一，因此一些常見的代數式的分解公式對證明整數的整除具有一定的幫助。如
(Ⅰ) 設n是正整數，則
(Ⅱ) 設n是正奇數，則在上式中以-b代換b得
(Ⅲ) 設n是正偶數，則
例1 證明：能被1001整除。
證明由分解公式 (Ⅲ)，有，所以，1001=103+1整除
例2 證明：若，且，則。
證明由，有n=5k，由可知。又由，可知，即，因此有。所以n=35t，即。
例3 設p，q都是正奇數，且p-1=q+1，證明：
證明由分解公式 (Ⅰ)，有，由分解公式 (Ⅱ)，有
再由有限個奇數的乘積仍是奇數，奇數個奇數的和、差也是奇數，因此和都是奇數，於是。上述兩式相加並結合p-1=q+1得所以.
例4 設正整數m 的十進制表示為：證明：
證明 (i) 由及，有，對於所有的，有，從而由整除的線性性可知3整除上式右端，因此，由此進一步得到。
(ii) 由，有，再由分解公式 (Ⅱ)，(Ⅲ) 可知，i為正奇數，j為正偶數，於是由整除的線性性有，再由及整除的傳遞性有，由此進一步推出：
(iii)，(iv) 可分別類似於 (i)，(ii) 證得。
注意一個十進制整數被另一個正整數整除的條件 (如本節例4)，稱為 “整除的數字特征”。此類問題在數學競賽和公務員考試中經常出現，現將常見的整除數字特征歸納如表1.1.1。
表1.1.1
華羅庚小傳
華羅庚 (1910~1985)，出生於江蘇省金壇縣。數學家，中國科學院院士，美國國家科學院外籍院士。他是中國解析數論、矩陣幾何學、典型群、自守函數復變函數論等多方面研究的創始人和開拓者，他為中國數學的發展做出了無與倫比的貢獻，被譽為 “中國現代數學之父”。美國著名數學家貝特曼著文稱：”華羅庚是中國的愛因斯坦，足夠成為全世界所有著名科學院的院士。”
華羅庚少年時期因家境貧困，初中畢業後無法繼續上學，棄學回家幫助其父經營小店，他隻能利用業餘時間自修數學。這時華羅庚已對數學產生了強烈的興趣，而不能全力從事小店工作，他的父親對此很反感，多次要撕掉他的 “天書”。他18歲時不幸染上傷寒，臥床半年，從此左腿落下殘疾。但是，華羅庚不悲觀，不氣餒，頑強發奮，刻苦自學，20歲時，就在《科學》上發表了關於代數方程式解法的文章，受到當時清華大學數學繫主任熊慶來的重視，被邀請到清華大學工作. 在清華大學，華羅庚勤奮好學，隻用了一年時間，就把大學數學繫的全部課程學完了，同時開始了對數論的研究，卓有成就。
華羅庚一生熱愛祖國。新中國誕生時，他正在美國伊利諾伊大學任教，是終身教授. 出於對祖國的熱愛和對民族強烈的責任感，他致信留美同學：“為了抉擇真理，我們應當回去；為了國家民族，我們應當回去；為了為人民服務，我們也應當回去為我們偉大祖國的建設和發展而奮鬥！”1950年，華羅庚毅然回到祖國，以極大的熱情參與國家的建設和科學事業的復興。他領導中國科學院數學研究所，推動中國近代數學的研究和發展，培養了許多數學人纔，使中國多個數學領域的研究領先於國際水平。在長期的科學研究中，盡管有時身處逆境，他總是精神振奮，全然不顧自己身殘，以赤子之心，忘我工作，“滄海不捐一滴水，洪爐陶冶砂成金，四化作尖兵”“橫刀哪顧頭顱白，躍馬緊傍青壯人，不負黨員名”，他詩如其人，一生都以極大的熱情報效國家。
1985年6月12日，他在訪問日本期間因突發心髒病不幸逝世。為了紀念他，1986年中國數學學會等單位開展了以 “華羅庚”名字命名的全國性少年數學競賽活動，其中**影響力的是“華羅庚金杯”少年數學邀請賽，至今已舉辦了20餘屆，以弘揚他熱愛祖國和獻身科學的精神。
習題1.1
1. 設，證明：
2. 證明：若整繫數方程有整數根，則必有。並由此判斷以下方程有無整數根，若有整數根，則求出所有整數根。
(1) x2+x+2=0，(2) x3-x2-4x+4=0。
3. 證明：若，且，則。
4. (第3屆“華羅庚金杯”復賽) 173A是一個四位數。數學老師說：”先後用3個數字代替a，所得到的3個四位數，依次可以被9，11，6整除。“ 問：這3個數字的和是多少？
5. (第5屆“華羅庚金杯”初賽) 李明1995年的年齡是他出生那年的年份的數字之和。問：李明1995年多少歲？
6. 一個三位數能被3整除，去掉它的末位數後，所得的兩位數是17的倍數，這樣的三位數中，**的是幾？
7. (1992年小學數學奧林匹克競賽) 一個整數乘13後，積的*後三位數是123，那麼這樣的整數中*小的是幾？
8. 設，證明：的充分必要條件是。
9. 設是整繫數多項式. 證明：若，則。
10. 證明：能被19整除。
1.2 帶餘除法
1.1節我們討論了兩個整數之間的整除的性質，事實上對任意兩個整數，a未必能被b整除。為此本節將介紹整數的除法算法——帶餘除法，它是初等數論的證明中*重要、*基本、*常用的工具。
定理1.2.1 (帶餘除法) 設a，b是兩個整數，則存在**的一對整數q和r，使得(1.2.1)特別地，當且僅當r=0。
證明作整數序列，則a必位於上述序列中的某相鄰兩項之間，即存在一個整數q，使得成立.從而有，令。因此，當b>0 時，有a=qb+r，當b< 0時，有a=(-q)b+r。總之，q，r是存在的。
下面證明q，r也是**的。
設q1，r1也滿足式(1.2.1)，即，則有，(1.2.2)
於是b(q-q1)=r1-r，由此得到，但，故必有r1-r=0，即r=r1。
代入式(1.2.2) 得q=q1，**性得證。
定義1.2.1 稱式(1.2.1) 中的q是a被b除的不完全商，r是a被b除的餘數，也稱為*小非負餘數。
此外，帶餘除法還有以下更靈活的形式。
推論1.2.1 設a，b，d是給定的整數，則存在**的一對整數q，r，使得(1.2.3)
證明對整數a，d和b，由定理1.2.1可知，存在**的一對整數q，使得，從而，令，於是a=bq+r，且
由q，的**性可知q，r也是**的。
注意由推論1.2.1可得到另外兩種常見的餘數：
(1) 當時，取，當時，取，則此時式(1.2.3)成為

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