第1章復數與復變函數1



1.1復數及其運算1



1.2復平面上的曲線和區域5



1.函數的基本概念、偏導數和全微分8



1.4復變函數的極限和連續性14



1.5復數的應用16



本章主要內容21



習題1 22







第2章解析函數25



2.1解析函數的概念25



2.2函數解析的充要條件27



2.3初等函數30



2.4解析函數的應用35



本章主要內容42



習題2 43







第3章復變函數的積分47



3.1*對坐標的曲線積分47



3.2復函數積分的概念和性質55



3.3柯西積分定理59



3.4柯西積分公式和解析函數的高階導數公式63



3.5解析函數與調和函數的關繫67



3.6復變函數積分的應用68



本章主要內容71



習題3 73







第4章復級數76



4.1*實數項級數76



4.2復數項級數81



4.3冪級數82



4.4泰勒級數87



4.5洛朗級數91



4.6復級數的應用95



本章主要內容100



習題4 102







第5章留數及其應用106



5.1函數的孤立奇點106



5.2留數109



5.3留數的應用113



本章主要內容121



習題5 123







第6章傅裡葉變換126



6.1傅裡葉積分126



6.2傅裡葉變換132



6.3傅裡葉變換的性質138



6.4傅裡葉變換的卷積142



6.5傅裡葉變換的應用145



本章主要內容152



習題6 154







第7章拉普拉斯變換157



7.1拉氏變換的概念157



7.2拉氏變換的性質161



7.3拉氏變換的卷積166



7.4拉氏逆變換168



7.5拉氏變換的應用172



本章主要內容182



習題7 185







*第8章Z變換188



*8.1Z變換的定義和性質188



*8.2Z變換的應用190



本章主要內容194



習題8 195







*第9章數學實驗198



*9.1數學實驗1198



*9.2數學實驗2200



*9.3數學實驗3204



*9.4數學實驗4206







附錄Ⅰ傅裡葉變換簡表214



附錄Ⅱ拉普拉斯變換簡表218







部分習題參考答案222

前言



本書版自2012年3月出版至今，已歷時六年，經多年教學實踐和檢驗，得到廣大讀者和任課教師的認可，在一定程度上滿足了當時的教學需要。



為了適應21世紀我國高等教育改革與發展的需要，滿足應用型本科院校培養面向生產、建設、管理、服務線的應用型人纔對數學教育的要求；從全面素質教育的高度，將數學建模思想、數學軟件MATLAB及工程實際問題融入工程數學教學中，編者在版基礎上修訂編寫了本書。



本書在保持版風格的基礎上，力求與時俱進，滿足應用型人纔培養的要求，新增了以下內容。



（1）在內容的安排上，堅持以學生基本素質與工程技術應用能力的培養為主導，強調學用結合、學做結合和學創結合的人纔培養模式。在每一章新增了本章內容在實際中的應用一節。向學生傳授一套完整地、科學地解決實際問題的方法，使學生初步掌握用工程數學解決實際問題的能力。



（2）新增了Z變換一章。介紹了Z變換及其在離散控制繫統中的應用。舉例介紹了利用Z變換求解差分方程和離散控制繫統中的傳遞函數問題。



（3）新增了數學實驗一章。本章采用MATLAB這一數學計算軟件進行數學實驗，介紹了如何使用MATLAB實現復變函數中的各種運算，如何利用MATLAB作復變函數的圖形及利用MATLAB進行積分變換。舉例介紹了利用MATLAB對動態電路仿真分析，讓學生初步掌握用MATLAB解決實際問題的方法，從而培養學生數學應用能力和科學計算能力，使學生能夠更好地適應將來的工作和科研環境。



書中的一部分內容能直接應用於解決實際問題，另一部分內容為讀者今後進一步學習有關課程或實際應用方面提供一定的基礎。原書版附錄Ⅰ自測題部分，本次改版刪除，如果有院校教學需要，自測題及其答案可免費使用，請發郵件至cipedu@163.com索取。



本書第二版由劉國志教授修訂編著，承苗晨教授、宋岱纔教授、侯景臣教授、丁洪生教授、劉鳳智教授和魯鑫、李印、王玉紅老師對書稿進行了審閱，他們提出了很多寶貴意見，在此表示衷心的感謝。



書中不足之處，誠懇地希望讀者批評指正。







編著者



營口理工學院



2018年4月











版前言



本書是為了適應新世紀我國高等教育迅速發展的需要，滿足新時期高等教育人纔培養拓寬口徑、增強適應性對數學教育的要求，按照*《高等教育面向21世紀教學內容和課程體繫改革計劃》的精神和要求，針對工科數學是高校非數學類專業所有大學生應當具有的素質，又考慮到不同專業和不同層次的要求深淺不同、內容多少各異的實際情況，在歷年主講該課使用的教材及自編講義基礎上改編而成的。全書較繫統地介紹了復變函數與積分變換的基本理論和基本方法。



考慮到復變函數與積分變換是工科數學的一門重要的基礎課，又是高等數學的後續課程；同時考慮到內容的連貫性及便於學生自學，在編寫本書時，注意了下列幾點。



(1)微積分中平行的概念，如極限、連續、微分等，既指出其相似之處，更強調其不同之點，以免初學者疏忽。



(2)對復變函數論中的基本定理和重要定理，如柯西積分定理和留數定理等，從敘述、證明到推廣，均注意了科學性和嚴密性。這不僅反映了復變函數理論本身的繫統性和嚴謹性，同時也可借以鍛煉讀者思考問題和邏輯推理能力。



(3)對於解析函數及復級數這個教學與自學上的難點，考慮到內容的銜接性，為使讀者較易接受，本書函數的偏導數、全微分和對坐標的曲線積分及實數項級數和傅裡葉級數分別插入到第1章、第3章、第4章和第6章內。這樣做可使讀者舉一反三較為繫統地學習。



(4)考慮到不同層次不同程度的學生在學習上的多種需要，配備了大量的例題和習題，增加了訓練基本概念與基本理論的填空題和選擇題，習題大都附有答案或提示，每章後有對主要內容的簡要概括，以供讀者選用，也便於讀者自學。



附錄中提供了三套自測題，可供讀者檢驗自己對知識掌握的程度。



本書由遼寧石油化工大學劉國志教授編著.宋岱纔教授主審，丁洪生教授審查，侯景臣教授和苗晨、趙曉穎對初稿進行了審閱，他們提出了許多寶貴的意見，在此表示衷心感謝。特別是宋岱纔教授不厭其煩，為編者復審了全部稿件，使原稿得到了很大改進，編者對他的這種敬業精神表示敬佩。



但限於編者水平，不妥之處仍然難免，敬請讀者批評指正。







編著者



遼寧石油化工大學理學院



2011年12月