前言

第1章 緒論

    1.1 不確定性的表現

    1.2 不確定判斷知識的範圍

    1.3 不確定模糊集理論的歷史沿革

    1.4 不確定判斷矩陣的核心研究內容

第2章 判斷矩陣相關理論研究

    2.1 判斷矩陣及其標度

    2.2 兩種判斷矩陣的性質

    2.3 判斷矩陣的特征向量排序方法

    2.4 殘缺信息模糊判斷矩陣排序方法研究

    2.5 本章小結

第3章 區間數模糊判斷矩陣理論及相關研究

    3.1 基本概念

    3.2 加性一致性區間數互補判斷矩陣的性質與排序方法研究

    3.3 乘性一致性區間數互補判斷矩陣的性質與排序方法研究

    3.4 不完全信息下的區間模糊數互補判斷矩陣群決策方法

    3.5 本章小結

第4章 三角模糊數互補判斷矩陣理論及相關研究

    4.1 相關概念

    4.2 加性一致性三角模糊數互補判斷矩陣的性質與排序方法

    4.3 乘性一致性三角模糊數互補判斷矩陣的性質與排序方法

    4.4 殘缺三角模糊數互補判斷矩陣排序方法研究

    4.5 本章小結

第5語義判斷矩陣的性質及其應用

    5.語義判斷矩陣的概念

    5.語義判斷矩陣的性質

    5.3 模糊判斷矩語義判斷矩陣的關繫

    5.4 算例分析

    5.5 本章小結

第6章 語義的梯形模糊數互補判斷矩陣排序方法研究

    6.1 梯形模糊數互補判斷矩語義語言判斷矩陣之間的關繫

    6.2 梯形模糊數判斷矩陣的群集結方法

    6.3 算例分析

    6.4 本章小結

第7章 不同模糊偏好矩陣群決策方法

    7.1 一種基於不同模糊偏好形式群體判斷矩語義決策方法

    7.2 不同模糊偏好信息的多專家判斷矩陣的群集結方法

    7.3 本章小結

第8章 直覺模糊判斷矩陣及其相關問題研究

    8.1 相關概念

    8.2 直覺模糊判斷矩陣

    8.3 直覺模糊判斷矩陣的加性一致性

    8.4 直覺模糊判斷矩陣的乘性一致性

    8.5 直覺模糊判斷矩陣的小二乘排序方法

    8.6 直覺模糊判斷矩陣的目標規劃排序方法

    8.7 加性一致性直覺模糊判斷矩陣排序方法

    8.8 殘缺信息直覺模糊判斷矩陣決策方法

    8.9 直覺模糊群決策模型

    8.10 群體判斷矩陣的一致性分析與決策方法

    8.11 本章小結

參考文獻

第1章緒論

現實生活中，專家的經驗與判斷是解決非結構性、定性以及定性與定量結合等

決策問題的一種有效的方法［1，2］。理想的決策過程總是希望個體思維理性、群體

決策默契，以形成一致（consistency or consensus）的精確判斷，在此基礎上進行知

識集成並形成“”決策方案。然而，面對決策環境中大量的復雜不確定性信息，

人類的“有限知識”、“有限理性”，決策專家很難給出“精確的”、“滿足一致性條件

的”、“整體的”判斷信息。專家更願意給出不完全的、不確定的判斷知識；專家

思維隻能滿足一定限度條件的一致性；專家的選擇方案隻能局部而非全局

優。不確定條件下的專家判斷決策理論研究是決策分析領域的重要研究內容。

1.1不確定性的表現

在復雜的大型決策中，決策問題本身和決策客觀環境的復雜性，以及決策專家

主觀判斷的不確定性，專家之間的知識、經驗、能力、偏好等因素的差別使得決策中

的群體與個體知識分別呈現如下特點：知識本身的不確定性，即模糊性、隨機性、灰

性等；判斷信息的不精確性，即知識本身的不確定性必然導致判斷信息的不精確

性。從某種意義講，這些不精確信息是對復雜決策問題的客觀的認識和分析；個

體判斷的有限性，即個體判斷是“有限理性的”，個體主觀判斷總有偏見，決策個體

總有偏好，思維總有誤差；群體判斷的復雜性與衝突性，即通過克服群體知識之間

的衝突、不一致以及個體知識的有限性，達成共識。上述不確定的表現，一言以蔽

之——“不熟悉導致不確定”（波拉克——《不確定的科學與不確定的世界》）。

1.2不確定判斷知識的範圍

判斷知識的不確定性表現為知識的不完全性與“直覺”性：判斷知識的不完全

性表現為決策參數的不完備性、部分決策數據的殘缺性。“直覺”性表現為：區間值

模糊知識（Zadeh）用連續的隸屬度範圍；三角形模糊知識用隸屬度、隸屬

度及可能度；梯形模糊知識用可能區間、可能區間；語言判斷知識以自

然語言評價（如優、良、中、差等）作為顯性判斷，以明確數（crispnumber）或區間模

糊數或三角模糊數或梯形模糊數為隱性知識；直覺模糊判斷知識（Atanassov）用隸

屬度、非隸屬度和猶豫度三個離散的信息對決策問題進行直觀判斷與理性選擇。

1.3不確定模糊集理論的歷史沿革

1965年，Zadeh［3］提出了模糊集理論，開創了定性問題定量分析的新時代。

1975年，Zadeh［4］又提出了區間值模糊集擴展理論，將普通意義上的模糊隸屬度推

廣至一個不確定的區間。在專家決策領域，不確定知識表達由明確數偏好逐漸發

展到區間偏好如區間值、三角值、梯形值以及自然語言模糊數。1982年，“The

Control Problem of Grey System”一文在北荷蘭出版公司發表，標志著灰色繫統理

論［5，6］的誕生。灰色決策理論用灰數偏好表達專家的決策知識。1986年Atanass-

ov［7］提出了直覺模糊集，是經典模糊理論的推廣，也是區間值模糊集擴展理論的推

廣。國外學者統稱區間偏好、灰數偏好、直覺模糊判斷知識為“直覺”知識［8］。“直

覺”知識表達方式實質上是思維判斷的一種直覺行為。1989年，Atanassov和

Gargov［9］建立了直覺模糊集與區間值模糊集之間的關繫。判斷知識的不確定性

隨著模糊集理論的發展而不斷創新：明確數判斷→區間數判斷→三角模糊數判斷

→梯形模糊數判斷→自然語言判語義判斷→直覺模糊判斷。

1.4不確定判斷矩陣的核心研究內容

一致性偏好是理性選擇的基礎。然而，通過大量的實例說明，在復雜、不確定

決策中，非一致性更容易發生。決策、福利經濟學等領域中，一致性與非一致性偏

好長達50年的爭論產生了如阿羅（Arrow）、阿馬蒂亞·森（Amartya）以及費施伯

恩（Fishburn）等為代表的社會選擇理論、群決策理論。基於“直覺”判斷知識進行

決策的一致性研究是判斷知識融合與決策方案優選選擇的基礎；“直覺”判斷在模

擬人類決策思維方面的特點又使得該理論容許不一致性在一定範圍內、一定條件

下的存在。判斷知識的不完全性、不確定性很難對應現實生活的“”決策方案。

利用軟計算技術集成所允許的不精確性、不確定性和部分真實性的判斷信息，得到

易處理、低求解成本和融合實際的“滿意”或“近似”解，是專家“直覺”判斷決策方案

的理想選擇。

本書從基礎理論角度出發，以模糊集及其拓展理論為研究論域，探討不確定模

糊區間判斷知識的定量化理論與方法；研究不確定判斷知識的一致性理論，研究不

確定判斷知識的判斷信息的集成方法，研究“滿意”方案選擇建模與智能算法。從

應用角度出發，利用實際案例驗證理論研究的合理性與可行性，規範理論研究的應

用途徑。基於“直覺”判斷知識的一致性理論、一致性理論下的決策方案優選研究

是本書研究的重點。

第2章判斷矩陣相關理論研究

AHP（層次分析法）研究的核心問題是構造合理的判斷矩陣［1，2］，在此基礎上

獲取合適的方案排序。判斷一個判斷矩陣構造的是否合理，主要通過判斷矩陣的

性質來檢驗。因此，判斷矩陣的研究實際上要解決兩大主要問題：一是判斷矩陣的

一致性性質及一致性檢驗理論研究；一是建立在此性質基礎上的排序方法研究。

關於這兩方面的研究，目前已經取得了極為豐碩的成果，業已基本成熟，在很多專

著與教材中皆有詳細論述［10～12］。盡管如此，作為本書研究的基礎，還是有必要論

述其中的一些重要基礎研究成果［13～16］，以作為後續章節的理論基礎。

本章的研究內容包括：首先介紹判斷矩陣及其兩種不同的標度形式，在此基礎

上介紹兩種不同的判斷矩陣——互反判斷矩陣、模糊判斷矩陣的性質，本章的第三

節介紹兩種判斷矩陣的特征向量排序方法，本章的第四節介紹殘缺信息下的模糊

判斷矩陣排序方法，對這個內容的研究也是過去20年間本領域中較為活躍的一個

研究課題。需要指出的是，第三節介紹的特征向量方法，也將在後續章節中繼續使

用，這也是在本章中介紹判斷矩陣排序方法的原因之一。

2.1判斷矩陣及其標度

記集合N＝｛1，2，…，n｝，M＝｛1，2，…，m｝。設X＝｛x1，x2，…，xn｝為有限方

案（素）集，其中xi（i∈N）表示第i個決策方案。設決策準則集合為H＝

｛h1，h2，…，hm｝，其中hl（l∈M）表示第l個決策準則。針對某個決策準則hl（l∈

M），決策專家根據自己的經驗、知識對方案集X中的任意兩個方案xi與xj（i，j∈

N）進行兩兩比較判斷，構造出如下形式的判斷矩陣（judgmentmatrix）［1，2］：

其中，aij表示在準則hl（l∈M）下，方案xi相對於方案xj（i，j∈N）的重要（優或劣

等）程度。

由於判斷矩陣表達的是專家主觀思維的一種偏好，因此，在國外文獻中，判斷

矩陣被表述為偏好關繫（preference relation）。決策專家在對方案進行兩兩比較判

斷時，需要遵循一定的判斷標度。目前，常用的判斷標度有兩種，一種是薩蒂

（Saaty）提出的1～9標度法［1］，另一種是模糊標度（0.1～0.9）［17］標度法。前者也

稱為互反型標度，後者也稱為模糊型標度或互補型標度。

1-aij

若判斷矩素以互反型標度給出，我們得到互反型判斷矩陣；若判斷矩

素以模糊型標度給出，我們得到模糊型（互補）判斷矩陣。

則稱R為模糊判斷矩陣，其中rij表示在模糊型素j相對於某一

準則H的重要性程度。

2.2兩種判斷矩陣的性質

互反判斷矩陣與模糊判斷矩陣皆具有良好的性質，這些性質一方面客觀地說

明了構造判斷矩陣的合理性；另一方面，可以驗證決策專家判斷思維的一致性與合

理性。這些性質包括完全一致性、滿意一致性、中分一致性、弱一致性等。

2.2.1互反判斷矩陣的性質

定義2.3［1，17］若互反判斷矩陣A＝（aij）n×n滿足aij＝aikakj（i，k，j∈N），則稱

A為完全一致性互反判斷矩陣。

定義2.4［1，11］若互反判斷矩陣A＝（aij）n×n滿足

（1）當1≤λ≤9時，若aij≥λ，ajk≥λ，則aik≥λ；

（2）當1／9≤λ≤1時，若aij≤λ，ajk≤λ，則aik≤λ。

則稱矩陣A具有中分傳遞性。

定義2.5［11，18］若互反判斷矩陣A＝（aij）n×n滿足

（1）當aik≥1且akj≥1時，有aij≥1；

（2）當aik≤1且akj≤1時，有aij≤1。

則稱矩陣A具有滿意一致性。

性質2.1［11］完全一致性互反判斷矩陣A＝（aij）n×n滿足中分傳遞性、滿意一

致性。

互反判斷矩陣的這種滿意一致性表現為決策方案之間優劣關繫的一種傳

遞性：

定義2.5′若互反判斷矩陣具有滿意一致性，則決策者針對方案集X＝｛x1，

x2，…，xn｝優劣關繫的判斷值具有傳遞性，即存在方案優劣排序鏈xu1≥xu2≥…≥

xun，其中xui表示方案集中按照方案優劣關繫排在第i位的方案；反之，若存在某

個方案優劣排序循環鏈xui1≥xui2≥…≥xuik≥xui1，其中ui1，ui2，…，uik為｛1，2，…，

k｝，k≤n的一個置換，則稱決策者針對方案集X＝｛x1，x2，…，xn｝優劣關繫的判斷

值不具有傳遞性，即互反判斷矩陣不具有滿意一致性。

此外，互反判斷矩陣還具有其他重要的性質，有興趣的讀者可以參閱文

獻［1］，［2］，［11］，這些性質不是本書介紹的重點，因此不再詳述。

2.2.2模糊判斷矩陣的性質

模糊判斷矩陣的判斷標度在0.1～0.9，這種判斷較1～9標度更符合人們的

思維習慣。國內外學者［20，21］針對模糊判斷矩陣性質的研究，給予了較多的關注。

例如，中分傳遞性、滿意一致性、嚴格強一致性（restricted max-max transitivity）、

嚴格弱一致性（restricted max-min transitivity）等，模糊判斷矩陣這些豐富的性質

在數學表現形式上更能反映決策者的思維狀態。

關於模糊判斷矩陣完全一致性的定義有兩種：

定義2.6［22，23］若模糊判斷矩陣R＝（rij）n×n滿足rij＝rik-rjk+0.5，i，j，k∈

N，i≠j≠k，則稱R為加性（完全）一致性模糊判斷矩陣。

定義2.7［23］若模糊判斷矩陣R＝（rij）n×n滿足rikrkjrji＝rijrjkrki，i，j，k∈N，i

≠j≠k，則稱R為乘性（完全）一致性模糊判斷矩陣。

事實上，這兩種完全一致性皆來源於互反判斷矩陣的完全一致性，即通過數學

映射關繫，將互反判斷矩陣的完全一致性轉化為兩種不同的完全一致性模糊判斷

矩陣。

引理2.1［23］設A＝（aij）n×n為互反判斷矩陣，R＝（rij）n×n為模糊判斷矩陣，則

當模糊標度為0.1~0.9時，有

引理2.2［23］完全一致性互反判斷矩陣與加性一致性模糊判斷矩陣、乘性一

致性模糊判斷矩陣可以分別通過公式（2.1）和公式（2.2）互相轉換。

定義2.8［11］設R＝（rij）n×n為模糊判斷矩陣，對任意的i，j，k∈N，i≠j≠

k，有

（1）若0.5≤λ＜1，當rij≥λ，rjk≥λ時，則rik≥λ；

（2）若0＜λ≤0.5，當rij≤λ，rjk≤λ時，則rik≤λ。

則稱矩陣R具有中分傳遞性。

定義2.9［11］設R＝（rij）n×n為模糊判斷矩陣，對任意的i，j，k∈N，i≠j≠

k，有

（1）若rij≥0.5，rjk≥0.5，則rik≥0.5，

（2）若rij≤0.5，rjk≤0.5，則rik≤0.5。

則稱矩陣R具有滿意一致性。

模糊判斷矩陣的這種滿意一致性表現為決策方案之間優劣關繫的一種傳

遞性。

定義2.9′若模糊判斷矩陣具有滿意一致性，則決策者針對方案集X＝｛x1，

x2，…，xn｝優劣關繫的判斷值具有傳遞性，即存在方案優劣排序鏈xu1≥xu2≥…≥

xun，其中xui表示方案集中按照方案優劣關繫排在第i位的方案；反之，若存在某

個方案優劣排序循環鏈xui1≥xui2≥…≥xuik≥xui1，其中ui1，ui2，…，uik為｛1，2，…，