目錄
章 引言 1
1.1 實數連續統 1
a.自然數繫及其擴充.計數和度量 2
b.實數和區間套 5
c.十進小數.其他進位制 7
d.鄰域的定義 10
e.不等式 10
1.2 函數的概念 14
a.映射—— 圖形 15
b.單連續變量的函數概念的定義.函數的定義域和值域 18
c.函數的圖形表示.單調函數 20
d.連續性 24
e.中間值定理.反函數 34
1.3 初等函數 37
a.有理函數 37
b.代數函數 37
c.三角函數 38
d.指數函數和對數函數 40
e.復合函數.符號積.反函數 41
1.4 序列 44
1.5 數學歸納法 45
1.6 序列的極限 48
a. 48
b. 49
c. 50
d. 52
f.的極限之幾何解釋 53
g.幾何級數 54
h. 55
i. 55
j.其中α>1 56
1.7 再論極限概念 56
a.收斂和發散的定義 56
b.極限的有理運算 57
c.內在的收斂判別法.單調序列 58
d.無窮級數及求和符號 60
e.數e 62
f.作為極限的數π 65
1.8 單連續變量的函數的極限概念 66
a.初等函數的一些注記 70
補篇 72
S1 極限和數的概念 73
a.有理數 73
b.有理區間套序列定義實數 74
*c.實數的順序、極限和算術運算 75
d.實數連續統的完備性.閉區間的緊致性.收斂判別法則 77
e.小上界和下界 80
f.有理數的可數性 80
S2 關於連續函數的定理 82
S3 極坐標 84
S4 關於復數的注記 85
問題 87
第二章 積分學和微分學的基本概念 102
2.1 積分 103
a.引言 103
b.作為面積的積分 104
c.積分的分析定義.表示法 105
2.2 積分的初等實例 108
a.線性函數的積分 108
b.x2的積分 110
c.xα的積分(α是不等於？1的整數) 111
d.xα的積分(α是不等於？1的有理數) 114
e.sin x和cos x的積分 115
2.3 積分的基本法則 116
a.可加性 116
b.函數之和的積分.函數與常數乘積的積分 117
c.積分的估值 118
d.積分中值定理 119
2.4 作為上限之函數的積分—— 不定積分 122
2.5 用積分定義對數 124
a.對數函數的定義 124
b.對數的加法定理 126
2.6 指數函數和冪函數 128
a.數e 的對數 128
b.對數函數的反函數.指數函數 129
c.作為冪的極限的指數函數 130
d.正數的任意次冪的定義 131
e.任一底的對數 132
2.7 x的任意次冪的積分 132
2.8 導數 134
a.導數與切線 134
b.作為速度的導數 139
c.微分法舉例 140
d.一些基本的微分法則 142
e.函數的可微性和連續性 143
f.高階導數及其意義 145
g.導數和差商.萊布尼茨表示法 147
h.微分中值定理 148
i.定理的證明 150
j.函數的線性近似.微分的定義 153
k.關於在自然科學中的應用的一點評述 157
2.9 積分、原函數和微積分基本定理 158
a.不定積分的導數 158
b.原函數及其與積分的關繫 160
c.用原函數計算定積分 162
d.例 164
補篇 連續函數的定積分的存在性 165
問題 168
第三章 微分法和積分法 174
部分 初等函數的微分和積分 174
3.1 簡單的微分法則及其應用 174
a.微分法則 174
b.有理函數的微分法 177
c.三角函數的微分法 178
3.2 反函數的導數 179
a.一般公式 179
b.n 次冪的反函數:n次根 181
c.反三角函數——多值性 182
d.相應的積分公式 185
e.指數函數的導數與積分 187
3.3 復合函數的微分法 187
a.定義 187
b.鏈式法則 188
c.廣義微分中值定理 192
3.4 指數函數的某些應用 193
a.用微分方程定義指數函數 193
b.連續復利.放射性蛻變 193
c.物體被周圍介質冷卻或加熱 195
d.大氣壓隨地面上的高度的變化 195
e.化學反應過程 196
f.電路的接通或斷開 197
3.5 雙曲函數 197
a.分析的定義 197
b.加法定理和微分公式 200
c.反雙曲函數 200
d.與三角函數的其他相似性 202
3.6 值和小值問題 204
a.曲線的下凸和上凸 204
b.值和小值——極值問題.平穩點 206
*3.7 函數的量階 214
a.量階的概念.簡單的情形 214
b.指數函數與對數函數的量階 215
c.一點注記 217
d.在一點的鄰域內函數的量階 217
e.函數趨向於零的量階 218
f.量階的“O”和“o”表示法 218
附錄 220
A.1 一些特殊的函數 221
a.函數 221
b.函數 222
c.函數 222
d.函數 223
e.函數 223
A.2 關於函數可微性的注記 224
第二部分 積分法 226
3.8 初等積分表 227
3.法 228
公式.復合函數的積分 228
*公式的另一種推導方法 232
c.例.積分公式 233
3.1法的其他實例 234
3.11 分部積分法 238
a.一般公式 238
b.分部積分的其他例子 239
c.關於f(b) f(a)的積分公式 241
d.遞推公式 241
e.π的沃利斯(Wallis)無窮乘積表示 243
*3.12 有理函數的積分法 245
a.基本類型 246
b.基本類型的積分 247
c.部分分式 248
d.分解成部分分式舉例.待定繫數法 250
3.13 其他幾類函數的積分法 252
a.圓和雙曲線的有理表示法初階 252
*b.R(cos x， sin x)的積分法 255
c.R(cosh x， sin hx)的積分法 256
d.的積分法 256
e.的積分法 256
*f.的積分法 257
g.的積分法 257
h.化為有理函數積分的其他例子 258
i.注記 258
第三部分 積分學的進一步發展 259
3.14 初等函數的積分 259
a.用積分定義的函數.橢圓積分和橢圓函數 259
b.關於微分和積分 262
3.15 積分概念的推廣 262
a.引言.反常積分的定義 262
b.無窮間斷的函數 264
c.作為面積的解釋 265
d.收斂判別法 265
e.無窮區間上的積分 267
f.Γ(伽馬)函數 268
g.狄利克雷(Dirichlet)積分 269
h.變量置換.菲涅爾(Fresnel)積分 271
3.16 三角函數的微分方程 272
a.關於微分方程的初步說明 272
b.由微分方程和初始條件定義的sin x和cos x 272
問題 274
第四章 在物理和幾何中的應用 286
4.1 平面曲線理論 286
a.參數表示 286
b.參數變換 287
c.沿曲線的運動.時間作為參量.擺線的例子 289
d.曲線的分類.定向 293
e.導數.切線和法線的參數表示 300
f.曲線的長度 304
g.弧長作為參數 309
h.曲率 310
i.坐標軸變換， 不變量 315
*j.狹義相對論中的勻速運動 317
k.表示閉曲線內部面積的積分 319
l.質量中心和曲線的矩 325
m.旋轉曲面的面積和體積 326
n.慣性矩 327
4.2 例 328
a.普通擺線 328
b.懸鏈線 329
c.橢圓和雙紐線 330
4.3 二維向量 331
a.用平移定義向量.記號 331
b.向量的加法和乘法 334
c.變向量及其導數和積分 341
d.對平面曲線的應用.方向、速度和加速度 342
4.4 在給定力作用下質點的運動 345
a.牛頓運動定律 346
b.落體運動 347
c.約束在給定曲線上的質點的運動 348
4.5 受到空氣阻力的自由落體運動 350
4.6 簡單的一類彈性振動—— 彈簧的運動 351
*4.7 在給定曲線上的運動 352
a.微分方程和它的解 352
b.沿一曲線下滑的質點 354
c.運動的討論 355
d.普通擺 356
e.圓滾擺 358
*4.8 引力場中的運動 359
a.牛頓萬有引力定律 359
b.繞引力中心的圓周運動 360
c.徑向運動—— 逃逸速度 362
4.9 功和能 363
a.力在運動中所做的功 363
b.功和動能.能量守恆 365
c.兩個質點間的相互引力 366
d.彈簧的拉伸 367
*e.電容器充電 367
附錄 368
*A.1 法包線的性質 368
*A.2 閉曲線包圍的面積.指數 374
問題 377
第五章 泰勒展開式 382
5.1 引言:冪級數 382
5.2 對數和反正切的展開式 384
a.對數函數 384
b.反正切函數 386
5.3 泰勒定理 387
a.多項式的泰勒表示 387
b.非多項式函數的泰勒公式 387
5.4 餘項的表示式及其估計 388
a.柯西和拉格朗日餘項 388
b.泰勒公式的另一種推導法 391
5.5 初等函數的展開式 394
a.指數函數 394
b.sin x，cos x，sinh x，cosh x的展開式 395
c.二項式級數 396
5.6 幾何應用 398
a.曲線的接觸 398
b.關於相對極大值和相對極小值的理論 401
附錄I 401
A.I.1 不能展成泰勒級數的函數的例 401
A.I.2 函數的零點和無限點 402
a.n 階零點 402
b.ν 階無限 403
A.I.3 不定式 403
*A.I.4 各階導數都不為負的函數的泰勒級數的收斂性 406
附錄II 插值法 409
*A.II.1 插值問題.性 409
A.II.2 解的構造.牛頓插值公式 410
A.II.3 餘項的估計 413
A.II.4 拉格朗日插值公式 415
問題 416
第六章 數值方法 420
6.