了得網自然科學_高維數學物理問題的分數步方法

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《高維數學物理問題的分數步方法》可作為信息和計算科學、數學和應用數學、計算物理、物理化學、計算機軟件、計算流體力學、石油勘探與開發、半導體器件、環保等專業的高年級本科生參考書與研究生教材, 也可供相關領域的教師、科研人員和工程技術人員參考.

內容簡介

《高維數學物理問題的分數步方法》主要研究分數步方法在求解多變量數學物理問題中的應用及其數值分析. 前四章是基礎理論部分, 包括：對流-擴散問題分數步數值方法基礎、雙曲型方程的交替方法、拋物型問題的交替方方法和二階橢圓問題交替方向法; 後三章是實際應用部分, 包括：二相滲流驅動問題的分數步方法、多層滲流耦合問題的分數步方法和滲流力學數值模擬中的交替方方法.

第1章對流擴散問題分數步數值方法基礎

1.1對流擴散問題的特征差分方法方法

1.1.1模型問題及其特方法

1.1.2特格式的誤差估計

1.1.3基於線性插值的特征差分方法

1.1.4基於二次插值的特征差分方法

1.1.5拓廣和應用

1.2求解拋物型方程的分數步簡單格式及Four1er分析

1.2.1縱橫追趕格式

1.2.2穩定化校正格式

1.2.3解無混合導數的熱傳導方程的分解格式

1.2.4解有混合導數的熱傳導方程的分解格式

1.2.5算子的近似因子分解格式

1.2.6預估校正格式

1.2.7非齊次邊界條件情形下過渡層邊值的取法

1.3解多維拋物型方程的經濟格式及能量模分析

1.3.1原始問題及差分格式

1.3.2DouglasRachford交替方向法的穩定性

1.3.3PeacemanRachford交替方向法的穩定性

1.4經濟格式與因子化格式的等價性

參考文獻

第2章雙曲型方程的交替方方法

2.1雙曲型方方法的穩定性和收斂性

2.1.1關於連續時間逼近

2.1.2關於離散時間逼近

2.2非線性雙曲型方方法及其理論分析

2.2.1問題1逼近

2.2.2問題11？1l1逼近

2.3非線性雙曲型方程組的穩定性和收斂性

2.3.1格式1的理論分析

2.3.2格式11的理論分析

2.4非線性雙曲型方程組的交替方方法

2.4.1預備知識

2.4.2交替方向的Galerk1n格式

2.4.3誤差分析

2.5線性雙曲型方程的類新型交替方方法

2.5.1預備知識

2.5.2類新的交替方格式

2.5.3誤差估計

2.6二維擬線性雙曲型方程交替方類新方法

2.6.1記號與假設

2.6.2Galerk1n交替方向法的提出

2.6.3Hl模誤差估計

2.6.4L2模誤差估計

2.6.5交替方格式的矩陣實現

2.6.6數值算例

2.7三維擬線性雙曲型方程交替方類新方法

2.7.1記號與假設

2.7.2Galerk1n交替方向法的提出

2.7.3Hl模誤差估計

2.7.4L2模誤差估計

2.7.5變替方格式的矩陣實現

2.7.6數值算例

2.8類三維非線性雙曲型方程交替方方法

2.8.1記號與假設

2.8.2Galerk1n交替方向法的提出

2.8.3Hl模誤差估計

2.8.4L2模誤差估計

2.8.5數值算例

2.9非矩形域上非線性雙曲型方程交替方方法

2.9.1記號與假設

2.9.2Galerk1n交替方向法的提出

2.9.3矩陣形式

2.9.4三層格式的先驗誤差估計

2.9.5四層格式的先驗誤差估計

參考文獻

第3章拋物型問題的交替方方法

3.1對流擴散方程的交替方方法

3.1.1繫數可分離的對流擴散方程的交替方向特方法

3.1.2般繫數的對流擴散方程的交替方向特方法

3.2對流擴散問題的特征修正交替方向變網方法

3.2.1引言

3.2.2特征修正交替方向變網格式

3.2.3收斂性分析

3.2.4應用

3.3對流占優拋物型積分微分方程的交替方向特方法

3.3.1方程模型及特數值分析

3.3.2交替方向特數值分析

3.4非矩形區域上非線性拋物型方程組的交替方方法

3.4.1引言

3.4.2拋物型微分方程組的算子分裂格式及誤差估計

3.4.3拋物型積分微分方程組的算子分裂格式及誤差估計

3.4.4初始值的選取

3.5對流擴散型方程的多步Galerk1n格式的交替方向預處理迭代解法02f/

3.5.1頇備知識

3.5.2三維非線性對流擴散問題多步Galerk1n格式的ADP1解法

3.5.3對流占優擴散問題的沿特征方向多步離散Galerk1n法的ADP

解法

3.5.4初始啟動格式

3.5.5算法的擬優工作量估計與比較

參考文獻

第4章二階橢圓問題交替方向法

4.1Po1sson方程的混Rav1artThomas格式

4.1.1引言

4.1.模型

4.1.3三角

4.1.4誤差估計

4.1.5四邊

4.2二階橢圓問題新格式

4.2.1關於和的描述

4.2.2個簡單模型問題的應用

4.2.3漸近誤差估計

4.3二交替方向迭代方法

4.3.1引言

4.3.2在矩形上合適

4.3.3在RTk空間Uzawa型交替方向選代方法

4.3.4ArrowHurw1tz交替方向格式

4.3.5數值實驗的初步結果

4.4三交替方向迭代方法

4.4.1引言

4.4.2個Uzawa交替方向方法

4.4.3對於RT(OJh)空間的特殊分析

4.4.4ArrowHurw1tz交替方向迭代格式

4.4.5數值試驗結果

4.5混交替方向迭代方法的進展

4.5.1引言

4.5.空間的描述

4.5.3Uzawa交替方向方法

4.5.4ArrowHurw1tz交替方向迭代方法

4.5.5虛擬時間步長的選擇

4.5.6數值試驗問題

4.5.7三維模型問趣的計算結果

4.5.8二維問題的數值試驗結果

4.交替方向迭代格式的穩定性和收斂性

4.6.1引言

4.6.2第1種修正ArrowHurw1tz交替方向迭代格式

4.6.3第2種修正ArrowHurw1tz交替方向迭代格式

4.6.4第1種三維ArrowHurw1tz交替方向迭代格式

4.6.5第2種變形三維ArrowHurw1tz交替方向迭代格式

4.7二階橢圓問題的ArrowHurw1tz交替方方法的譜分析

4.7.1引言

4.7.2ArrowHurw1tz交替方向迭代法

參考文獻

第5章二相滲流驅動問題的分數步方法

5.1可壓縮二相滲流問題的分數步特征差分方法

5.1.1分數步特征差分格式

5.1.2收斂性分析

5.1.3推廣和應用

5.2二相滲流問題迎風分數步差分格式

5.2.1引言

5.2.2二階修正迎風分數步差分格式

5.2.3格式1的收斂性分析

5.2.4格式11的收斂性分析

5.3多組分可壓縮滲流問題的分數步特征差分方法

5.3.1分數步特征差分格式

5.3.2L2模誤差估計

5.4三維二相滲流動邊值問題的迎風分數步差分方法

5.4.1引言

5.4.2迎風分數步差分格式

5.4.3收斂性分析

5.4.4應用

5.5三維熱傳導型半導體的分數步特征差分法

5.5.1特征分數步差分格式

5.5.2收斂性分析

5.6半導體的修正分數步迎風差分方法

5.6.1分數步迎風差分方法

5.6.2收斂性分析

參考文獻

第6章多層滲流耦合問題的分數歲方法

6.1多層滲流方程耦合繫統的迎風分數步差分方法

6.1.1二階迎風分數步差分格式

6.1.2二階格式的收斂性分析

6.1.3階迎風分數步差分格式及其收斂性分析

6.1.4應用

6.2非線性多層滲流方程耦合繫統的迎風分數步差分方法

6.2.1引言

6.2.2迎風分數步差分方法

6.2.3收斂性分析

6.3多層非線性滲流耦合繫統的特征分數步差分方法

6.3.1引言

6.3.2問題1的特征分數步差分格式

6.3.3收斂性分析

6.3.4問題11的特征分數步差分格式及分析

6.4三維滲流耦合繫統動邊值問題迎風分數步差分方法

6.4.1引言

6.4.2區域變換

6.4.3迎風差分格式和分析

6.4.4迎風分數步差分格式和分析

6.4.5拓廣和實際應用

參考文獻

第7章滲流力學數值模擬中的交替方方法

7.1油氣資源數值模擬的交替方向特征變網格式

7.1.1引言

7.1.2交替方向特征修正變網格式

7.1.3收斂性分析

7.2多組分可壓縮滲流問題特征交替方方法

7.2.1某些準備工作

7.2.2修正特征交替方程序

7.2.3收斂性分析

7.3強化采油特征交替方方法

7.3.1數學模型

7.3.2特征交替方格式

7.3.3收斂性分析~

7.4非矩形域滲流耦合繫統特征修正交替方方法

7.4.1引言

7.4.2某些準備工作

7.4.3特征修正算子分格式

7.4.4收斂性分析

7.4.5拓廣和應用

7.5半導體瞬態問題的變網格交替方向特方法

7.5.1某些預備工作

7.5.2特征修正交替方向變網格式

7.5.3收斂性分析

參考文獻

索引

在線試讀

第1章對流一擴散問題分數步數值方法基礎
在能源、環境、半導體器件數值模擬等科學和技術領域，其數學模型是一類高維對流擴散偏微分方程組的初邊值問題，對這類大規模科學與工程計算來說，其計算節點通常可達數萬甚至數千萬個，數值模擬時間有的需要長達數年、數十年，甚至數千萬年，需用分數步方法來解決這類實際計算問題，這類方法的基礎是Peaceman，Rachford和Douglas（1955年）的工作，隨後一些美國和前蘇聯的數學家的工作拓廣和改進了這個方法，他們是Douglas，Rachford，Baker，Ol1phant，Bagr1norvsk11，Samarck11，Yanenko等，本章介紹這一領域的基礎部分．
本章共4節．1.1節為對流擴散問題的特征差分方法方法．1.2節為求解拋物型方程的分數步簡單格式及Four1er分析．1.3節為解多維拋物型方程的經濟格式及能量模分析．1.4節為經濟格式與因子化格式的等價性．
1.1對流擴散問題的特征差分方法方法
對流占優的擴散方程，因其對流項繫數遠大於擴散項繫數，所以對流項為該方程中的主導項，如果忽略擴散項，則問題“退化”為一階雙曲型方程，孝慮到對流占優擴散問題的雙曲特性，Douglas與Russell於1982年首次將特征線方法應用於對流占優擴散方程[1]，他們將特征線法與Galerk1及有限差分相結合，提出了求解對流占優擴散問題的特方法及特征差分方法，闡明了它們的理論機理，隨後他們與其他學者又將特方法和特征差分方法應用於滲流力學中的多相滲流、半導體器件設計等科學計算問題，取得一繫列研究重要成果[2~4]．
1.1.1模型問題及其特方法
考慮一維對流占優擴散方程的初值問題：
此處，而，是區域上的sobolev空間。還假定
數值求解問題（1.1.1）的特方法的基本思想是，將（1.1.1a）中的一階雙曲項改寫為沿特征方向丁的方向導數，從而將（1.1.1a）改寫為T，x的不含一階空間導數項的熱傳導方程，然後再對該熱傳導方程作Galerk1全離散，即得特格式．
記，則有，而方程（11.1a）可改寫為
注意到，當時，有，從而問題的弱形式是：求可微映射，使，此處第1章對流一擴散問題分數步數值方法基礎

在能源、環境、半導體器件數值模擬等科學和技術領域，其數學模型是一類高維對流擴散偏微分方程組的初邊值問題，對這類大規模科學與工程計算來說，其計算節點通常可達數萬甚至數千萬個，數值模擬時間有的需要長達數年、數十年，甚至數千萬年，需用分數步方法來解決這類實際計算問題，這類方法的基礎是Peaceman，Rachford和Douglas（1955年）的工作，隨後一些美國和前蘇聯的數學家的工作拓廣和改進了這個方法，他們是Douglas，Rachford，Baker，Ol1phant，Bagr1norvsk11，Samarck11，Yanenko等，本章介紹這一領域的基礎部分．

本章共4節．1.1節為對流擴散問題的特征差分方法方法．1.2節為求解拋物型方程的分數步簡單格式及Four1er分析．1.3節為解多維拋物型方程的經濟格式及能量模分析．1.4節為經濟格式與因子化格式的等價性．

1.1對流擴散問題的特征差分方法方法

對流占優的擴散方程，因其對流項繫數遠大於擴散項繫數，所以對流項為該方程中的主導項，如果忽略擴散項，則問題“退化”為一階雙曲型方程，孝慮到對流占優擴散問題的雙曲特性，Douglas與Russell於1982年首次將特征線方法應用於對流占優擴散方程[1]，他們將特征線法與Galerk1及有限差分相結合，提出了求解對流占優擴散問題的特方法及特征差分方法，闡明了它們的理論機理，隨後他們與其他學者又將特方法和特征差分方法應用於滲流力學中的多相滲流、半導體器件設計等科學計算問題，取得一繫列研究重要成果[2~4]．

1.1.1模型問題及其特方法

考慮一維對流占優擴散方程的初值問題：

此處，而，是區域上的sobolev空間。還假定

數值求解問題（1.1.1）的特方法的基本思想是，將（1.1.1a）中的一階雙曲項改寫為沿特征方向丁的方向導數，從而將（1.1.1a）改寫為T，x的不含一階空間導數項的熱傳導方程，然後再對該熱傳導方程作Galerk1全離散，即得特格式．

記，則有，而方程（11.1a）可改寫為

注意到，當時，有，從而問題的弱形式是：求可微映射，使，此處

對問題（1.1.5）作Galerk1全離散，設為取定的時間步長，記在，任取點，先建立的差商離散，為此，過點4沿作直線lA（即過點A之特征線的線性近似）與較於點由圖1.1.1易見

在A點Euler向後差商近似

因此在此時層（1.1.5）可改寫為，此處

設為選定空間，即為分段次多項式空間且具有如下的逼近性質，有，此處。為與無關之常數上，解在（1.1.8）中略去右端第二項，即沿T方向的局部逼近誤差項．將檢驗函數空間換為，問題（1.1.1）的Euler向後特征有限格式定義為：求映射，使得，此處中的初值定義為原初始值的橢圓投影，僅僅是為了誤差分析理論處理上的簡便，也可用其他方式定義醒，如取醒為在中的投影或插值等．

因雙線性泛函在上對稱、正定、有界，線性泛函在H1（R）上有界，由Lax-M1lgram定理知，從（l.l.l0）可以確定初值，同理注意到，可以推出，從（1.1.10）利用u可依次確定，即格式（1.1.10）可解．

從特格式（1.1.10）的構造過程可見，其一個顯著特點是，用沿一階雙曲項特征方向T的導數取代傳統Galerk1n方法中按（1.1.1）沿時間方向￡的導數c籌，用沿丁方向演化的步進數值格式取代沿方向演化的步進格式，特格式在算法構造上就反映了原問題（1.1.1）的解亂“沿特征線傳播”的對流占優性質，且問題（1.1.1）的解亂沿下方向的導數篙蘭遠小於沿t方向的導數筆芋，從作差商離散所產生的局部逼近誤差遠小於從作同一離散所產生的逼近誤差，因而，特格式比Galerk1n格式有更好的精度和數值效果．由於特格式具有解沿特征線方向演化的“迎風”性質，所以它比Galerk1n格式有著更好的穩定性．且可采用比Galerk1n格式更大的時間步長△t．

以後記號M和￡分別表示一般的正常數和小正數，在不同之處有不同的含義．

1.1.2特格式的誤差估計

為對特格式建立L2誤差估計．對問題（1.1.1）的解引進橢圓投影，使得（1.1.11）顯然在．記

從（1.1.8）、（1.1.10）和（1.1.11）可得誤差方程：

由（l.l.l0b），（1.1.11）知：

選定檢驗函數，對於（1.1.12）右端項，估計

注意到標準的向後差商的誤差方程是

類似地，沿特征線有

對此誤差項，取模，經計算可得

這個映射的Jacobi矩陣為

假定，若足夠小，S是可逆的．其行列式．對於固定的t，s顯然映射為自身．因此對於同樣是正確的．因此推出。

於是推出（1.1.12）右端項的估計

現估計（1.1.12）右端第二項，為此寫則有

後考慮

定理1.1.1設，其中在R中均有界，則當△t充分小時，必有（1.1.15）

證明設，則對足夠小，是可逆的，和是的形式．因此

……

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