博耶和梅茲巴赫把數學幾千年的發展濃縮為這本引人入勝的編年史。從希臘人到哥德爾，數學一直輝煌燦爛，名人輩出，觀念的潮漲潮落到處清晰可見。而且，盡管
追蹤的是歐洲數學的發展，但作者並沒有忽視中國文明、印度文明和阿拉伯文明的貢獻。毫無疑問，這本書是（而且在很長時期內將會一直是）一部經典的關於數學
及創造這門學科的數學家們的單卷本歷史著作。

——威廉·鄧納姆（William Dunham）



    當我們讀一本像《數學史》這樣的書的時候，我們得到的是一幅支架結構的圖景，不斷地更高、更寬、更美麗、更宏偉，有一個基礎，此外，如今的這個結構就像將近2600年前泰勒斯得出*早的幾何定理時一樣完美無瑕，一樣起作用。

——艾薩克·阿西莫夫（Isaac Asimoy）



     本書是數學這門學科的一部*有用、*全面的概論之一。

——約瑟夫.W.道本（Joseph W.Dauben）



     既有學術性，又有可讀性，本書可以充當介紹這個課題的一部很好的引論，同時也是一部很好的參考書。

——J.戴維·波爾特（J.David Bolter）

第三卷和第四卷

入們普遍推測，《幾何原本》前兩卷的內容是畢達哥拉斯學派的作品。另一方面，第三卷和第四卷處理圓的幾何學，這兩卷的材料被認為主要取自希俄斯島的希波克
拉底。這兩卷的內容跟今天的教科書中關於圓的定理並無不同。比方說，第三卷的定理1要求作一個圓的圓心；後一個（命題37）類似於宣稱：如果從圓外的一
點作一條切線和一條割線，則切線上的正方形等於整個割線與其圓外線段所構成的矩形。第四卷包含16個命題，大多為現代學生所熟悉，關於圓的內接或外切圖
形。度量角的定理被留到了比例理論確立之後。比例理論

《幾何原本》的13卷當中，受推崇的是第五卷和第十卷——前一卷論述一般比例理論，後一卷論述不可公度量的分類。不可公度量的發現預示了一次邏輯學危
機，使人懷疑那些求助於比例的證明，但通過歐多克索斯所闡述的原理，成功地化解了這場危機。盡管如此，但希臘的數學家們依然傾向於避免使用比例。我們已經
看到，歐幾裡得曾盡可能地擺脫比例，以及像x：a=b：c這樣的長度關繫被看作是面積關繫cx=ab。然而，比例遲早總是需要的，於是，歐幾裡得便在《幾
何原本》的第五卷中解決了這個問題。有些注釋者甚至暗示，整個這一卷（包含25個命題）都是歐多克索斯的作品，但這似乎不大可能。某些定義——例如比的定
義——太含糊不清，以至沒什麼用處。然而，定義4本質上是歐多克索斯和阿基米德的公理：“兩個量當中，如果一個量增加若干倍後大於另一個量，則可以說這兩
個量有一個比。”定義5（比的相等）正是早先講到歐多克索斯對比例的定義時所給出的。

對馬虎的讀者來說，第五卷看上去可能像第二卷一樣多餘，因為這兩卷的內容如今都已經被符號代數中的相應法則所取代。對公理體繫感興趣的更細心的讀者會看
到，第五卷處理了在所有數學中有著根本重要性的論題。它開始的兩個命題，相當於乘法對加法的分配律，以及乘法的結合律：（ab）c=口（6c）。接下來
是“大於”和“小於”法則，以及眾所周知的比例屬性。人們經常宣稱，希臘的幾何代數，在平面幾何中不可能超過二次，在立體幾何中不可能超過三次，但情況實
際上並非如此。一般比例理論允許使用任何次數的乘積，因為一個形如X4=abcd的方程式，相當於像x/a·x/b=c/x-d/x這樣的線段比例的乘
積。

在第五卷中發展出了比例理論之後，歐幾裡得便在第六卷中利用了這一理論，來證明涉及到相似的三角形、平行四邊形或其他多邊形的比和比例的有關定理。值得注
意的是命題3l，它是畢達哥拉斯定理的一般化：“在直角三角形中，對直角的邊上所作的圖形等於夾直角邊上所作與前圖相似且有相似位置的二圖形之和。”普羅
克洛斯把這一擴充歸功於歐幾裡得本人。第六卷還包含了（在命題28和29中）面積應用方法的一般化，因為第五卷中所給出的比例的堅實基礎使得作者如今能夠
隨心所欲地使用相似的概念。第二卷中的矩形現在被平行四邊形所取代，要求把一個與給定直線形相等的平行四邊形置於一條給定線段之上，並不足（或多出）一個
與給定的平行四邊形相似的平行四邊形。這些作圖，就像第二卷命題5和6的作圖一樣，實際上都是二次方程bx=ac±X2的解，受到了判別式不是負數這個條
件的限制（第九卷的命題27暗示了這樣的限制）。