了得網自然科學_數學實驗初步（第二版）

內容簡介

《數學實驗初步（第二版）》基於MATLAB軟件繫統地介紹了大學數學中的基本實驗教學內容。《數學實驗初步（第二版）》共分為三個部分：部分介紹MATLAB的基礎功能；第二部分介紹大學數學基本實驗教學內容，涉及線性代數、微積分、常微分方程、數值計算和簡單的優化問題等實驗；第三部分介紹“數學建模”的實驗技術，主要涉及高等數學、概率統計、數值分析和微分方程等課程的軟件實驗。

《數學實驗初步（第二版）》主要作為大學“數學實驗”和“數學建模”課程的教材。對從事使用MATLAB軟件解決實際工程問題的學生、教師和工程技術人員也有參考價值。

作者簡介

肖海軍、張玉媛、楊飛

部分 MATLAB簡介
章 MATLAB的基本功能
節基本運算與函數
第二節集合多個命令於一個M文件
第三節循環
第四節邏輯命令
第五節搜尋路徑
第六節資料的儲存與載入
第二章 MATLAB作圖
節平面繪圖
第二節立體繪圖
第二部分大學數學基本實驗
實驗一函數的極限
實驗二導數及偏導數計算部分 MATLAB簡介
章 MATLAB的基本功能
節基本運算與函數
第二節集合多個命令於一個M文件
第三節循環
第四節邏輯命令
第五節搜尋路徑
第六節資料的儲存與載入
第二章 MATLAB作圖
節平面繪圖
第二節立體繪圖
第二部分大學數學基本實驗
實驗一函數的極限
實驗二導數及偏導數計算
實驗三積分
實驗四方程的近似根與迭代法
實驗五多項式
實驗六矩陣與線性方程組
實驗七數據分析
實驗八曲線擬合與插值
實驗九常微分方程與級數
實驗十有約束條件的規劃問題
第三部分數學建模綜合實驗
實驗一 DEM地形描述誤差問題
實驗二 GPS技術在城市交通狀況實時檢測技術中的應用問題
實驗三核廢料的妥善處理問題
實驗四離散數據網格化問題
實驗五數字濾波分析
實驗六無線電信道通信的吞吐率分析
實驗七節水洗衣機
實驗八車燈線光源的優化設計
參考文獻

在線試讀

章MATLAB的基本功能
節基本運算與函數
在MATLAB下進行基本數學運算，隻需將運算式直接輸入提示符號“衝”之後，再按Enter鍵即可．例如：>>(5*2+1.5-0.8)*10/25按Enter鍵後，顯示結果ans=
4.2800>>MATLAB會將運算結果直接存入一個變量ans，代表MATLAB運算後的答案（answer），並顯示其數值於顯示器的屏幕上．
說明：“衝”是MATLAB的提示符號（prompt），但在PC中文視窗繫統下，由於編碼方式不同，此提示符號常常不顯示，這並不會影響到MATLAB的運算結果．
使用者也可將上述運算式的結果設定給變量x：x=(5*2+1.5-0.8)*10^2/25x=
42.8000此時MATLAB會直接顯示x的值．由上例可知，MATLAB可直接識別一般常用到的加“+”、減“-”、乘“倡”、除“／”的數學運算符號，以及冪運算“＾”．
說明：MATLAB將所有變量均存成double的形式，所以不需經過變量宣告（variabledeclaration）．MATLAB同時也會自動進行記憶體的使用和回收，而不必像C語言那樣，必須由使用者一一指定．這些功能使得MATLAB易學易用，使用者可專心致力於撰寫程序，而不必被軟件枝節問題所干擾．
若不想讓MATLAB每次都顯示運算結果，隻需在運算式後加上分號“；”即可，如下例：y=sin(5)*exp(-0.5*4^2);
若要顯示變量y的值，直接鍵入y後按Enter鍵即可：yy=
數學實驗初步（第二版）
-3.2168e-004在上例中，sin是正弦函數，exp是指數函數，這些都是MATLAB常用到的數學函數．MATLAB常用的基本數學函數及三角函數分別見表1．1和表1．2．
表1．1MATLAB常用的基本數學函數
常用基本函數意義
abs(x)純量的值或向量的長度angle(z)復數z的相角（phaseangle）sqrt(x)開平方real(z)復數z的實部imag(z)復數z的虛部conj(z)復數z的共軛復數round(x)四舍五入至近整數fix(x)無論正負，舍去小數至近整數floor(x)地板函數，即舍去正小數至近整數ceil(x)天花板函數，即加入正小數至近整數rat(x)將實數x化為分數展開rats(x)將實數x化為多項分數表示
常用基本函數意義章MATLAB的基本功能

節基本運算與函數

在MATLAB下進行基本數學運算，隻需將運算式直接輸入提示符號“衝”之後，再按Enter鍵即可．例如：>>(5*2+1.5-0.8)*10/25按Enter鍵後，顯示結果ans=

4.2800>>MATLAB會將運算結果直接存入一個變量ans，代表MATLAB運算後的答案（answer），並顯示其數值於顯示器的屏幕上．

說明：“衝”是MATLAB的提示符號（prompt），但在PC中文視窗繫統下，由於編碼方式不同，此提示符號常常不顯示，這並不會影響到MATLAB的運算結果．

使用者也可將上述運算式的結果設定給變量x：x=(5*2+1.5-0.8)*10^2/25x=

42.8000此時MATLAB會直接顯示x的值．由上例可知，MATLAB可直接識別一般常用到的加“+”、減“-”、乘“倡”、除“／”的數學運算符號，以及冪運算“＾”．

說明：MATLAB將所有變量均存成double的形式，所以不需經過變量宣告（variabledeclaration）．MATLAB同時也會自動進行記憶體的使用和回收，而不必像C語言那樣，必須由使用者一一指定．這些功能使得MATLAB易學易用，使用者可專心致力於撰寫程序，而不必被軟件枝節問題所干擾．

若不想讓MATLAB每次都顯示運算結果，隻需在運算式後加上分號“；”即可，如下例：y=sin(5)*exp(-0.5*4^2);

若要顯示變量y的值，直接鍵入y後按Enter鍵即可：yy=

數學實驗初步（第二版）

-3.2168e-004在上例中，sin是正弦函數，exp是指數函數，這些都是MATLAB常用到的數學函數．MATLAB常用的基本數學函數及三角函數分別見表1．1和表1．2．

表1．1MATLAB常用的基本數學函數

常用基本函數意義

abs(x)純量的值或向量的長度angle(z)復數z的相角（phaseangle）sqrt(x)開平方real(z)復數z的實部imag(z)復數z的虛部conj(z)復數z的共軛復數round(x)四舍五入至近整數fix(x)無論正負，舍去小數至近整數floor(x)地板函數，即舍去正小數至近整數ceil(x)天花板函數，即加入正小數至近整數rat(x)將實數x化為分數展開rats(x)將實數x化為多項分數表示

常用基本函數意義

符號函數（signumfunction）當x＜0時，sign（x）＝-1；sign(x) 當x＝0時，sign（x）＝0；

當x＞0時，sign（x）＝1rem(x,y)求x除以y的餘數gcd(x,y)整數x和y的公因數lcm(x,y)整數x和y的小公倍數

exp(x)自然指數ex pow2(x)2的指數2x log(x)以e為底的對數，即自然對數或ln（x）log2(x)以2為底的對數log2（x）log10(x)以10為底的對數log10（x）

表1．2MATLAB常用的三角函數

常用三角函數意義

sin(x)正弦函數

cos(x)餘弦函數

tan(x)正切函數asin(x)反正弦函數acos(x)反餘弦函數atan(x)反正切函數atan2(x,y)四像限的反正切函數

常用三角函數意義

sinh(x)雙曲正弦函數cosh(x)雙曲餘弦函數tanh(x)雙曲正切函數asinh(x)反雙曲正弦函數acosh(x)反雙曲餘弦函數atanh(x)反雙曲正切函數

MATLAB中，變量也可用來存放向量或矩陣，並進行各種運算，如下例的行向量（rowvector）運算：

x=［2352］;

y= 2*x+1

y= 5 711 5

說明：MATLAB的變量命名的規則為，①首字符必須是英文字母；②字母間不可留空格；③MATLAB6．0多隻能有31個字母，MATLAB會忽略多餘字母．

在MATLAB中可以隨意更改、增加或刪除素，例如：y(3)=2%更改素y=

5 7 2 5

y ( 6) = 10 y= 5 7 2 5 0 10 %加入素

y(4)=［］y=572010 %刪除素

在上例中，MATLAB會忽略所有在百分比符號“%”之後的文字，因此百分比之後的文字均可視為程序的注解（comments）．MATLAB亦可取出向量素或一部分來做運算，例如：x(2)*3+y(4)%取出x的素和y的素來做運算ans=

9y(2:4)-2%取出y的第二至素來做運算ans=

50 -2

在上例中，2:4代表一個由2，3，4組成的向量，同樣的方法可用於產生公差為1的等差數列，例如：x=7:16

x=

78910111213141516若不希望公差為1，則可將所需公差直接置於7與16之間，例如：x=7:3:16%公差為3的等差數列x=7101316事實上，在MATLAB中可利用linspace來產生任意的等差數列，例如：x=linspace(4,10,6)

%等差數列:首項為4,末項為10,項數為6x=

4.0000 5.20006.40007.60008.800010.0000

數學實驗初步（第二版）

若對MATLAB函數用法有疑問，可使用help來尋求在線幫助（on?linehelp）：helplinspaceLINSPACELinearlyspacedvector.

LINSPACE(X1,X2)generatesarowvectorof100linearly

equallyspacedpointsbetweenX1andX2.

LINSPACE(X1,X2,N)generatesNpointsbetweenX1andX2.ForN<2,LINSPACEreturnsX2.

SeealsoLOGSPACE,:.

MATLAB的查詢命令help用來查詢已知命令的用法．例如已知inv是用來計算逆矩陣，鍵入helpinv即可得知有關inv命令的用法．若鍵入helphelp則顯示help的用法．

lookfor用來尋找未知的命令．例如要尋找計算逆矩陣的命令，可鍵入look?forinverse，MATLAB即會列出所有和關鍵字inverse相關的指令．找到所需的命令後，即可用help進一步找出其用法．

MATLAB中，符號“'”用於表示向量或矩陣的轉置（transpose），將行向量轉置後，即可得到列向量（columnvector），例如：z=x'

z=

4.

0000

5.

2000

6.

4000

7.

6000

8.

8000

10.0000

不論是行向量或列向量，均可用相同的函數素個數、值、小值

等，例如：

length(z)ans= %素個數

max ( z ) an s= %z 的值

10

mi n ( z ) an s= %z 的小值

4MATLAB中適用於向量的常用函數見表1．3．表1．3適用於向量的常用函數

常用向量函數意義

min(x)向素的小值max(x)向素的值mean(x)向素的平均值median(x)向素的中位數std(x)向素的標準差diff(x)向量x素的差

對向素按從小到大的順序sort(x)進行排序（sorting）

常用向量函數意義

length(x)向素個數norm(x)向量x的歐氏（Euclidean）長度sum(x)向素總和prod(x)向素總乘積

cumsum(x)向量x素總和cumprod(x)向量x素總乘積dot(x,y)向量x和y的內積cross(x,y)向量x和y的外積

MATLAB中，大部分的向量函數也可適用於矩陣．若要輸入矩陣，則必須在每一行結尾加上分號“；”，例如：A=A ［1234;5678;9101112］;

A=123456789101112

同樣地，也可以對矩陣進行各種處理，例如：

A(2,3)=5A= %改變位於第二行,第素值

1 2 3 4

5 6 5 8

9101112B=A(2,1:3)%取出部分矩陣BB=

565A=［AB'］%將B轉置後以列向量並入AA=

1 2 3 45 5 6 5 86 9 10 11 12 5

數學實驗初步（第二版）

A(:,2)=［］A= %刪除第二列(:代表所有列)

1 3 4 5

5 5 8 6

9 11 12 5

A=［A;4321］A= %加入第四行

1 3 4 5

5 5 8 6

9 11 12 5

4 3 2 1

A(［ 1 4］ , : ) = ［］ A= %刪除和第四行(:代表所有列)

5 5 8 6

9 11 12 5

這幾種矩陣處理的方式可以相互疊代運用，產生各種意想不到的效果，就看各位的巧思和創意．

說明：在MATLAB的內核結構中，每一個矩陣都是一個以列為主（columnoriented）的陣列（array）因此對素的存取，可用一維或二維的索引（index）來定址．舉例來說，在上述矩陣A中，位於第二行、第素可寫為A（2，3）（二維索引）或A（6）（一維索引，即將所有直行進行堆疊後的素）．

此外，若要重新安排矩陣的形狀，可用reshape命令，例如：B=reshape(A,4,2)%4是新矩陣的行數,2是新矩陣的列數

B=

58 9 12 56 11 5

說明：A(:)就是將矩陣A每一行堆疊起來，成為一個列向量，而這也是MAT?LAB變量的內部儲存方式．以前例而言，reshape(A,8,1)和A(:)同樣都會產生一個8×1的矩陣．

MATLAB可同時執行數個命令，但需要以逗號或分號將命令隔開，例如：x=sin(pi/4);y=x^3;z=y*15,z=

5.3033

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