了得網自然科學_醫藥高等數學學習輔導（第3版）

編輯推薦

《醫藥高等數學學習輔導(第3版全國高等醫藥院校規劃教材)》(作者楊松濤、錢微微)是《醫藥高等數學》(第4版)的配套教材，相應地也有10章。每章包括三大部分：一、內容提要與基本要求；二、習題解答(該章習題的解答過程)；三、增補習題解答(增補一些有代表性，有適當難度的習題)；書的*後編入一些院校有代表性的試卷。本輔導教材有利於學生對高等數學的概念與理論的理解，有利於對運算和方法的掌握，幫助學生在學好高等數學的同時培養自己分析解決問題的能力，也有利於教師的教學工作。

內容簡介

醫藥高等數學學習輔導（第3版）是普通高等教育“十二五”規劃教材、全國高等醫藥院校規劃教材《醫藥高等數學》（第4版）的配套教材，也是醫藥高等數學學習輔導（第3版）的第3版。全書分10章，函數微積分、空間解析幾函數微積分、微分方程與無窮級數。《醫藥高等數學》側重於理論，醫藥高等數學學習輔導（第3版）側重於理論知識的歸納總結、各類各層次習題的分析與解法，它有利於學生對高等數學的概念與理論的理解，有利於培養學生歸納總結、分析解決問題的能力，有利於學生對運算和方法的掌握，也有利於溝通教與學兩個教學環節。

醫藥高等數學學習輔導（第3版）可供高等醫藥院校各專業層次的學生使用。

作者簡介

楊松濤、錢微微、傅爽、王蘊華、鐘志強、曹敏、邵建華、路遠芳、胡靈芝、黃浩

第3版編寫說明
第一章函數與極限
第二章導數與微分
第三章導數的應用
第四章不定積分
第五章定積分及其應用
第六章空間解析幾何
第七函數微分學
第八函數積分學
第九章微分方程
第十章無窮級數
醫藥高等數學試題及答案

在線試讀

一、內容提要與基本要求
本章介紹了函數的概念、性質與表示法；數列的極限、函數的極限；函數的增量；函數的連續性．函數是高等
數學中研究的主要對像，極限方法是高等數學的主要方法．極限是從量變認識質變，從近似認識精確，從有限認
識無限的一種數學方法．本章必須掌握下面幾方面的內容：
1.正確理解函數的概念、性質，會求函數的定義域，能將復合函數分解為若干簡單函數．
2.正確理解函數的極限，能用ε-δ定義刻畫函數的極限，理解xl→imx0
f（ x）是否存在與f（ x）在x0 是否有定義
無關，了解極限的一些性質．
3.熟練掌握極限運算法則，正確理解並熟練應用兩個重要極限lxi→m0 sinx
x ＝ 1 ，xli→m∞ 1 + 1
x
x
＝ e ．
4.了解無窮小量、無窮大量，掌握函數的極限與無窮小量的關繫．
5.正確理解函數y ＝ f（ x）在x0 點處連續的概念，會判斷函數的連續性與間斷點，了解初等函數的連續
性，掌握閉區間上連續函數的性質．
二、習題一解答
1.判斷下列各對函數是否相同，並說明理由：
（1） y ＝ x + 1 與y ＝ x2 - 1一、內容提要與基本要求

本章介紹了函數的概念、性質與表示法；數列的極限、函數的極限；函數的增量；函數的連續性．函數是高等

數學中研究的主要對像，極限方法是高等數學的主要方法．極限是從量變認識質變，從近似認識精確，從有限認

識無限的一種數學方法．本章必須掌握下面幾方面的內容：

1.正確理解函數的概念、性質，會求函數的定義域，能將復合函數分解為若干簡單函數．

2.正確理解函數的極限，能用ε-δ定義刻畫函數的極限，理解xl→imx0

f（ x）是否存在與f（ x）在x0 是否有定義

無關，了解極限的一些性質．

3.熟練掌握極限運算法則，正確理解並熟練應用兩個重要極限lxi→m0 sinx

x ＝ 1 ，xli→m∞ 1 + 1

x

x

＝ e ．

4.了解無窮小量、無窮大量，掌握函數的極限與無窮小量的關繫．

5.正確理解函數y ＝ f（ x）在x0 點處連續的概念，會判斷函數的連續性與間斷點，了解初等函數的連續

性，掌握閉區間上連續函數的性質．

二、習題一解答

1.判斷下列各對函數是否相同，並說明理由：

（1） y ＝ x + 1 與y ＝ x2 - 1

x - 1 ；（2） y ＝ lnx2 與y ＝ 2lnx ；

（3） y ＝ f（ x）與x ＝ f（ y）；（4） y ＝ 1 + 1

x2 與y ＝ 1 + x2

x ；

（5） y ＝ 3 x4 - x3 與y ＝ x ? 3 x - 1 ；（6） y ＝ ax 與y ＝ ex?lna ．

解（1）不同． y ＝ x + 1 的定義域為（ - ∞ ，+ ∞ ）， y ＝ x2 - 1

x - 1 的定義域為（- ∞ ，1） ∪ （1 ， + ∞ ）．

（2）不同． y ＝ lnx2 的定義域為（ - ∞ ，0） ∪ （0 ， + ∞ ）， y ＝ 2lnx 的定義域為（0 ， + ∞ ）．

（3）相同．定義域和對應關繫都相同．

（4）不同．對應關繫不同．

（5）相同．定義域和對應關繫都相同．

（6）相同．定義域和對應關繫都相同．

2.設f（ x）＝ x

x + 1 ，求f 1

2 ， f 3

2 ， f 1

x ，［ f（ x）］2 ， f［ f（ x）］， f｛ f［ … f（ x）］｝

n個f

．

解f 1

2 ＝ 1

3 ，f 32

＝ 3

5 ，f 1

x ＝ 1

x + 1 ，［ f（ x）］2 ＝ x2

（ x + 1）2 ．

由於

f［ f（ x）］＝

x

x + 1

x

x + 1 + 1

＝ x

2 x + 1 ，

又

f｛ f［ f（ x）］｝＝

x

2 x + 1

x

2 x + 1 + 1

＝ x

3 x + 1 ，

假定對n ＝ k 均有

f｛ f［ … f（ x）］｝

k個f

＝ x

kx + 1 ，

對於n ＝ k + 1 ，

f｛ f［ … f（ x）］｝

k+ 1個f

＝

x

kx + 1

x

kx + 1 + 1

＝ x

（ k + 1） x + 1 ，

故對於所有的n ，均有

f｛ f［ … f（ x）］｝

n個f

＝ x

nx + 1 ．

3.設f（ x）＝

1 - x2 ， - ∞ ＜ x ≤ 0 ，

- 2x ， 0 ＜ x ＜ + ∞ ，求f（ - 1）， f（0）， f（1）， f［ f（ - 1）］， f［ f（0）］， f［ f（1）］．

解f（ - 1）＝ 0 ，f（0）＝ 1 ，f（1）＝ - 2 ，f［ f（ - 1）］＝ 1 ，f［ f（0）］＝ - 2 ，f［ f（1）］＝ - 3 ．

4.求下列函數的反函數及其定義域：

（1） y ＝ 1 - x2 （0 ≤ x ≤ 1）；（2） y ＝ 2sin3 x x ∈ - π

6 ，π

6 ；

（3） y ＝ 2x

2x + 1 ；（4） y ＝ aln（ bx - c）；

（5） y ＝ ax + b

cx + d （ ad - bc ≠ 0）．

解（1） y ＝ 1 - x2 （0 ≤ x ≤ 1）．（2） y ＝ 1

3 arcsin x

2 （ - 2 ≤ x ≤ 2）．

（3） y ＝ log2 x

1 - x （0 ＜ x ＜ 1）．（4） y ＝ 1

b （c + ex

a ）（ - ∞ ＜ x ＜ + ∞ ）．

（5） y ＝ b - dx

cx - a x ≠ a

c ．

5.求下列各題中所給函數構成的復合函數，再指出其定義域：

（1） y ＝ eu ， u ＝ sinx ；（2） y ＝ u - 1 ， u ＝ lgx ；

（3） y ＝ u2 ， u ＝ cosv ， v ＝ x - 1

x2 - 5 x + 6 ；（4） y ＝ au ， u ＝ arctanv ， v ＝ 3 w ， w ＝ t2 - 1 ；

（5） y ＝ arcsinu ， u ＝ 1 + ex

解（1） y ＝ esinx （ - ∞ ＜ x ＜ + ∞ ）．

（2） y ＝ lgx - 1 （10 ≤ x ＜ + ∞ ）．

（3） y ＝ cos2 x - 1

x2 - 5 x + 6 （ - ∞ ＜ x ＜ 2） ∪ （2 ＜ x ＜ 3） ∪ （3 ＜ x ＜ + ∞ ）．

（4） y ＝ aarctan 3 x2 - 1 （ - ∞ ＜ x ＜ + ∞ ）．

（5）由於無論x 取什麼值， u ＝ 1 + ex ＞ 1 ，此時u 值對y ＝ arcsinu 沒有意義．因此， y ＝ arcsinu 與u ＝

1 + ex 不能復合成復合函數．

6.設f（ x）＝

0 ，x ≤ 0 ，

x ，x ＞ 0 ，

g（ x）＝

0 ，x ≤ 0 ，

- x2 ，x ＞ 0 ，求f［ g（ x）］，g［ f（ x）］，f［ f（ x）］，g［ g（ x）］．

解f［ g（ x）］＝ 0 ，g［ f（ x）］＝ g（ x），f［ f（ x）］＝ f（ x），g［ g（ x）］＝ 0 ．

7.下列函數中，哪些是復合函數？如是，它們是怎樣合成的？

（1） y ＝ arccos（5 + x3 ）；（2） y ＝ x3 ? 3x ；

（3） y ＝ cos3 x2 + 1

2 ；（4） y ＝ lg x - 1

x + 1 ；

（5） y ＝ x

3 1 - x2 + 12

arcsinx ；（6） y ＝ lnsin 3 x2 + π

4 ．

解（1）是． y ＝ arccosu ， u ＝ 5 + x3 ．

（3）是． y ＝ u3 ， u ＝ cosv ， v ＝ x2 + 1

2 ．

（4）是． y ＝ lgu ， u ＝ v ， v ＝ x - 1

x + 1 ．

（6）是． y ＝ lnu ， u ＝ sinv ， v ＝ w ， w ＝ 3 x2 + π

4 ．

（2）、（5）題的函數不是復合函數。

倡8.根據極限定義證明（打“ 倡”的是可選題，以下各章同）

（1） nli→m∞

3 n + 1

2 n + 1 ＝ 3

2 （用“ε-N”語言證明）；（2） xli→m∞

1 + x3

2 x3 ＝ 1

2 （用“ε-X”語言證明）；

（3） lxi→m2

（5 x + 2）＝ 12 （用“ε-δ”語言證明）．

證（1）對任意給定的ε＞ 0 ，總存在正整數N ＝ 1

ε ．當n ＞ N 時，

3 n + 1

2 n + 1 - 32

＝ 1

2（2 n + 1）＜ 1

n ＜ ε，

nli→m∞

3 n + 1

2 n + 1 ＝ 32

．

（2）對任意給定的ε＞ 0 ，總存在正數X ＝

3 1

2ε ．當x ＞ X 時，

1 + x3

2 x3 - 1

2 ＝ 1

2 x3 ＝ 1

2 x 3 ＜ 1

2 X3 ＝ ε，

xli→m∞

1 + x3

2 x3 ＝ 1

2 ．

（3）對任意給定的ε＞ 0 ，總存在正數δ ＝ ε

5 ．當0 ＜ x - 2 ＜ δ時，

5 x + 2 - 12 ＝ 5 x - 2 ＜ 5δ ＝ ε，

lxi→m2

（5 x + 2）＝ 12 ．

9.求下列極限：

（1） xl→im- 1

（3 x3 - 5 x + 2）；（2） lim x → 2

x2 + 1

x4 - 3 x2 + 1 ；

（3） lxi→m2

x2 - 3

x - 2 ；（4） lxi→m3

x2 - 2 x - 3

x - 3 ；

（5） lxi→m9

4 x - 3

x - 3

；（6） lhi→m0

（ x + h）3 - x3

h ；

（7） lxi→m0

x + 1 - （ x + 1）

x + 1 - 1

；（8） lxi→m4

2 x + 1 - 3

x - 2

；

（9） lxi→m1

xm - 1

xn - 1 （ m ，n 為自然數）；（10） nli→m∞

2 n + 1

n2 + n

；

（11） xli→m∞

（2 x2 + 1）2

x2 + 3 ；（12） xli→m∞

（2 x + 1）3 （ x - 3）2

x5 + 4 ；

（13） xli→m∞

2 x2 - 6 x + 5

x3 - 8 x2 + 1 ；（14） xl→im+ ∞ eax - 1

eax + 1 （ a ＞ 0）；

（15） nli→m∞

1

n2 + 2

n2 + … + n

n2 ；（16） nli→m∞

（ n + 1 - n）；

（17） xl→im- 1

1

x + 1 - 3

x3 + 1 ；（18） x l→im+ ∞ x x2 + 1 - x ．

解（1） xl→im- 1

（3 x3 - 5 x + 2）＝ 3 xl→im- 1 x3 - 5 xl→im- 1 x + 2 ＝ 4 ．

（2） lim x → 2

x2 + 1

x4 - 3 x2 + 1 ＝ lim x → 2

（ x2 + 1）

lim x → 2

（ x4 - 3 x2 + 1）＝ 3

- 1 ＝ - 3 ．

（3） lxi→m2

x2 - 3

x - 2 ＝ ∞ 因為lxi→m2

x - 2

x2 - 3 ＝ 0 ．

（4） lxi→m3

x2 - 2 x - 3

x - 3 ＝ lxi→m3

（ x - 3）（ x + 1）

x - 3 ＝ 4 ．

（5） lxi→m9

4 x - 3

x - 3

＝ lxi→m9

4 x - 3

（4 x - 3）（4 x + 3）

＝ 1

2 3

．

（6） lhi→m0

（ x + h）3 - x3

h ＝ lhi→m0

（3 x2 + 3 xh + h2 ） h

h ＝ 3 x2 ．

（7） lxi→m0

x + 1 - （ x + 1）

x + 1 - 1

＝ lxi→m0

x + 1（1 - x + 1）

x + 1 - 1

＝ - lxi→m0 x + 1 ＝ - 1 ．

（8） lxi→m4

2 x + 1 - 3

x - 2

＝ lxi→m4

（ 2 x + 12 - 32 ）（ x + 2）

（ x2 - 22 ）（ 2 x + 1 + 3）

＝ lxi→m4

（2 x - 8）（ x + 2）

（ x - 4）（ 2 x + 1 + 3）

＝ lxi→m4

2（ x + 2）

2 x + 1 + 3

＝ 4

3 ．

（9） lxi→m1

xm - 1

xn - 1 ＝ lxi→m1

xm- 1 + xm- 2 + … + 1

xn- 1 + xn- 2 + … + 1 ＝ mn

（ m ，n 為自然數）．

（10） nli→m∞

2 n + 1

n2 + n

＝ nli→m∞

2 + 1

n

1 + 1

n

＝ 2 ．

（11） xli→m∞

（2 x2 + 1）2

x2 + 3 ＝ ∞ ．

（12） xli→m∞

（2 x + 1）3 （ x - 3）2

x5 + 4 ＝ 8 ．

（13） xli→m∞

2 x2 - 6 x + 5

x3 - 8 x2 + 1 ＝ 0 ．

（14） xl→im+ ∞ eax - 1

eax + 1 ＝ xl→im+ ∞

1 - 1

eax

1 + 1

eax

＝ 1 （ a ＞ 0）．

（15） nli→m∞

1

n2 + 2

n2 + … + n

n2 ＝ nli→m∞

n（ n + 1）

2 n2 ＝ 1

2 ．

（16） nli→m∞

（ n + 1 - n）＝ nli→m∞

1

n + 1 + n

＝ 0 ．

（17） xl→im- 1

1

x + 1 - 3

x3 + 1 ＝ xl→im- 1

x2 - x + 1 - 3

x3 + 1 ＝ xl→im- 1

（ x + 1）（ x - 2）

（ x + 1）（ x2 - x + 1）＝ - 1 ．

（18） x l→im+ ∞ x x2 + 1 - x ＝ x l→im+ ∞ x x2 + 1 - x x2 + 1 + x

x2 + 1 + x

＝ xl→im+ ∞

x

x2 + 1 + x

＝ xl→im+ ∞

1

1 + 1

x2 + 1

＝ 1

2 ．

10.下列函數在給定條件下，哪些是無窮小？哪些是無窮大？

（1） 1 + 2 x2

x （ x → 0）；（2） sinx

x （ x → ∞ ）；

（3） lgx （ x → 0+ ）；（4） 2 x + 5 （ x → - ∞ ）；

（5） x + 1

x2 - 4 （ x → 2）；（6） 1 - cos2 t （ t → 0）．

解（2），（6）為無窮小；（1），（3），（4），（5）為無窮大．

11.x2 ， x2 - 1

x3 ，e- x 何時是無窮大？何時是無窮小？

解x → ∞ 時， x2 → ∞ ， x2 - 1

x3 → 0 ；

x → + ∞ 時，e- x → 0 ；

x → - ∞ 時，e- x → ∞ ；

x → ± 1 時， x2 - 1

x3 → 0 ；

x → 0 時， x2 → 0 ， x2 - 1

x3 → ∞ ．

12.x → 1 時，下列函數中哪個是1 - x 的高階無窮小？哪個是1 - x 的等階無窮小？

（1）（1 - x） 3

2 ；（2） 1 - x

1 + x ；（3） 2（1 - x）．

解（1）因為lxi→m1

（1 - x） 3

2

1 - x ＝ lxi→m1

（1 - x） 1

2 ＝ 0 ，所以當x → 1 時，（1 - x） 3

2 較1 - x 為高階無窮小．

（2）因為lxi→m1

1 - x

1 + x

1 - x ＝ lxi→m1

1

1 + x ＝ 1

2 ，所以當x → 1 時，1 - x

1 + x 與1 - x 是同階無窮小．

（3）因為lxi→m1

2（1 - x）

1 - x ＝ lxi→m1

2

1 + x

＝ 1 ，所以當x → 1 時，2（1 - x）與1 - x 等價，即2（1 - x） ~ （1 - x）．

13.設有函數

f（ x）＝

（ x + a）2 - a2

x ， x ＜ 0 ，

x - 2 ，0 ＜ x ≤ 1 ，

x2 - 5 x + 4

x2 + x - 2 ， x ＞ 1 ．

（1）求xl→im- ∞ f（ x），xl→im+ ∞ f（ x）；（2） a 為何值時，lxi→m0 f（ x）存在；

（3）求lxi→m1 f（ x）．

解（1） x l→im- ∞ f（ x）＝ x l→im- ∞

（ x + a）2 - a2

x ＝ x l→im- ∞

x2 + 2 ax

x ＝ x l→im- ∞

（ x + 2 a）＝ - ∞ ，

x l→im+ ∞ f（ x）＝ x l→im+ ∞

x2 - 5 x + 4

x2 + x - 2 ＝ 1 ．

（2）因為

lim x → 0 + f（ x）＝ lim x → 0 +

（ x - 2）＝ - 2 ，

lim x → 0 - f（ x）＝ lim x → 0 -

（ x + a）2 - a2

x ＝ lim x → 0 -

（ x + 2 a）＝ 2 a ，

所以

a ＝ - 1 時，lxi→m0 f（ x）存在．

（3）因為

lim x → 1 + f（ x）＝ lim x → 1 +

x2 - 5 x + 4

x2 + x - 2 ＝ lim x → 1 +

（ x - 1）（ x - 4）

（ x - 1）（ x + 2）＝ - 1 ，

lim x → 1 - f（ x）＝ lim x → 1 -

（ x - 2）＝ - 1 ，

所以

lxi→m1 f（ x）＝ - 1 ．

14.已知xli→m∞

x2 + 1

x + 1 - ax - b ＝ 0 ，試確定a ，b的值．

解xli→m∞

x2 + 1

x + 1 - ax - b ＝ xli→m∞

（1 - a） x2 - （a + b） x - b + 1

x + 1 ．

因為極限存在，所以1 - a ＝ 0 ，即a ＝ 1 ，從而

原式＝ xli→m∞

- （1 + b） x - b + 1

x + 1 ＝ - （1 + b）．

由給定條件知- （1 + b）＝ 0 ，所以b ＝ - 1 ．

15.求下列極限：

（1） lxi→m0 sin3 x

sin4 x ；（2） lxi→m0 tan3 x

sin5 x ；

（3） xli→m∞ xsin 1

x ；（4） lxi→m0 xsin 1

x ；

（5） lxi→mπ sinx

π - x ；（6） lhi→m0

1 - cos2 x

xsinx ；

（7） nli→m∞

2n sin a

2n （ a ≠ 0）；（8） lxi→m0

x + 2sinx

x + sinx ；

（9） xl→im- ∞ x sin 1

x2 ；（10） xli→m∞ 1 + k

x

x

；

（11） lxi→m0 1 + x

2

x - 1

x ；（12） lxi→m0

（1 + 2tanx）cotx ；

（13） lxi→m0

（cosx） 1

1 - cosx ；（14） xli→m∞

x + 3

x

x + 2

．

解（1） lxi→m0 sin3 x

sin4 x ＝ lxi→m0

sin3 x

3 x ? 3 x

sin4 x

4 x ? 4 x

＝ 3

4 lxi→m0

sin3 x

3 x

sin4 x

4 x

＝ 3

4 ．

（2） lxi→m0 tan3 x

sin5 x ＝ lxi→m0

sin3 x

3 x ? 3 x

cos3 x

sin5 x

5 x ? 5 x

＝ 3

5 ．

（3） xli→m∞ xsin 1

x ＝ xli→m∞

sin 1

x

1

x

＝ 1 ．

（4）因為lxi→m0 x ＝ 0 ，而sin 1

x 為有界函數，即sin 1

x ≤ 1 ，所以

lxi→m0 xsin 1

x ＝ 0

（5） lxi→mπ sinx

π - x ＝ lxi→mπ sin（π - x）

π - x ＝ 1 ．

（6） lxi→m0

1 - cos2 x

xsinx ＝ 2 lxi→m0 sin2 x

xsinx ＝ 2 lxi→m0 sinx

x ＝ 2 ．

（7） nli→m∞

2n sin a

2n ＝ nli→m∞

sin a

2n

a

2n

? a ＝ a（ a ≠ 0）．

（8） lxi→m0

x + 2sinx

x + sinx ＝ lxi→m0

1 + 2 sinx

x

1 + sinx

x

＝ 3

2 ．

（9） xl→im- ∞ x sin 1

x2 ＝ xl→im- ∞

- sin 1

x2

1

x2

＝ - 1 ．

（10） xli→m∞

1 + k

x

x

＝ xli→m∞

1 + k

x

x

k k

＝ ek ．

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