了得網自然科學_對偶三角模-三角餘模邏輯及推理

編輯推薦

《對偶三角模-三角餘模邏輯及推理》可作為非經典邏輯、推理及應用研究的學者的參考資料, 也可以作為數學、計算機、智能控制、不確定信息處理等相關專業的碩士研究生和博士研究生的教學參考書.

內容簡介

非經典邏輯及推理的種類和成果頗多, 限於篇幅，《對偶三角模-三角餘模邏輯及推理》總結作者2005 年以來關於概率論、Lawry 的適當測度理論、劉寶碇的不確定理論、模糊集理論與數理邏輯理論的結合研究成果. 根據非經典命題和謂詞的不確定性的各種特征，作者分別提出了相應的邏輯和推理方法, 概括其本質分別稱為*命題的概率邏輯、Vague 命題的Lawry 對偶三角模-三角餘模邏輯，不確定命題和一階不確定謂詞的對偶下-上確界邏輯、模糊命題的三角模-蘊涵邏輯和三角模-蘊涵概率邏輯、*模糊命題的三角模-蘊涵概率邏輯和一階*模糊謂詞的三角模-蘊涵概率邏輯.

第1章  預備知識
  1.1 二值命題演算的基礎知識
  1.2 二值謂詞演算的基礎知識
  1.3 概率論的基礎知識
  1.4 不確定理論的基礎知識
  1.5 概率邏輯、不確定邏輯與模糊邏輯的比較
第2章  隨機命題的概率邏輯與推理
  2.1 RProPL的語言與概率真度
  2.2 概率真度的規律
  2.3 RProPL度量空間
  2.4 RProAPL的公理化方法
  2.5 基於RProPL的推理
第3章  Vague命題的Lawry對偶三角模-三角餘模邏輯
  3.1 引言
  3.2 Lawry的不確定模型
  3.3 同主語同標簽Vague命題的Lawry邏輯
  3.4 Vague命題的Lawry乘-加邏輯和Lawry下-上確界邏輯
  3.5 Vague命題的Lawry三角模-三角餘模邏輯
  3.6 同Vague謂詞命題的概率邏輯
第4章  不確定命題的對偶下-上確界邏輯與推理
  4.1 UProL的語言與不確定命題的真度
  4.2 不確定命題公式真度的規律
  4.3 不確定命題公式的真度的一般計算方法
  4.4 帶有獨立不確定命題集的不確定命題公式真度的計算
  4.5 獨立不確定命題公式真度的公理化及其推理
第5章  一階不確定謂詞的對偶下-上確界邏輯
  5.1 不確定謂詞命題和不確定謂詞公式
  5.2 不確定謂詞公式的真度
  5.3 不確定謂詞公式真度的基本規律
第6章  模糊命題的多值邏輯與推理
  6.1 引言
  6.2 預備知識
  6.3 三角模族T(q,p)-LGN與繫統LGN
  6.4 三角模族T(q,p)-L∏G與繫統LIIG
  6.5 三角模族T(q,p)-L∏GN((g，p)∈[-1,1]×(-∞,0)∪(0,∞)∪(1,0))與繫統L∏GN
  6.6 邏輯繫統MTL(BL)的新的模式擴張繫統GNMTL(GNBL)
  6.7 Fuzzy命題的多維三層邏輯
  6.8 蘊涵算子族及其應用
第7章  隨機模糊命題的三角模-蘊涵概率邏輯與推理
  7.1 模糊邏輯繫統中理論的下真度與相容度
  7.2 模糊邏輯繫統∏和God扣理論的相容度與下真度的計算公式
  7.3 模糊邏輯繫統Luk和L*中理論相容度的計算公式
  7.4 模糊邏輯繫統中有限理論的弱相容度
  7.5 多值命題邏輯公式在有限理論下的a-條件真度
  7.6 命題模糊邏輯繫統中公式的理論可證度
  7.7 模糊邏輯繫統中公式真值函數的特征
  7.8 模糊邏輯繫統中公式真度的特征
  7.9 模糊邏輯繫統中公式真度計算
  7.10 MTL概率邏輯與推理
第8章  一階隨機模糊謂詞的三角模-蘊涵概率邏輯
  8.1 一階模糊謂詞邏輯公式的有限解釋真度和可數解釋真度的理論及其應用
  8.2 一階模糊謂詞邏輯公式的解釋模型真度理論及其應用
  8.3 一階模糊謂詞邏輯公式的區間解釋真度理論
  8.4 一階模糊謂詞邏輯公式的可測集解釋真度理論
  8.5 邏輯有效公式理論及其應用
參考文獻
關鍵詞中英文對照索引

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第1章預備知識
1.1二值命題演算的基礎知識
1.1.1命題變量及其公式
用符號表示簡單陳述句，並且用符號飛?，?，V和→分別表示連接詞“非”“並且”“或者”和“蘊涵”.符號()表示括號.這樣任何非簡單陳述句都可以使用上述符號表示.例如，如果用符號分別表示“小王明天在北京”“小張明天在北京”“小王明天去天安門”和“小張明天去天安門”，則符號^表示非簡單陳述句“若小王明天在北京且小張明天在北京，則他們兩個明天都去天安門類似地，如果和分別表示簡單陳述句“小王是一個大個子”“小張是一個大個子”“小王愛打籃球”和“小張愛打籃球”，則符號表示陳述句“並非小王是一個大個子”，符號表示陳述句“若小王是一個大個子則小王愛打籃球且若小張是一個大個子則小張愛打籃球”.
符號分別可以表示任何命題，因此可以說它們是命題變量.
定義1.1.1設是有限或可數個命題變量集，F(S)是由S產生的型自由代數，即(i)若，則
(ii)若，則；
(iii)F(s素都能由素通過(i)和（ii)的方式產生.
稱F（S素為命題變量公式.
一般用大寫英文字母X，Y，Z 或Xi，X2，表示命題變量公式.若命題變量公式包含命題變量，則它可記作
例如，都是命題變量公式.注意運算順序是先括號，再飛然後是—.
以上沒有用到連接詞A和V，其實它們都可以用飛―表達.規定xVy是的簡寫，x八r是，(x→r)的簡寫.
1.1.2語義理論
定義1.1.2設映射v:F(S)→{0，1}.如果v滿足條件：
(i)對於任一公式；
(ii)對於任二公式X，當且僅當且=0，則稱t;為P(的上的一個賦值，簡稱賦值，記F⑶上的全體賦值之集為注1.1.1為了表達方便，也稱t；(X)為X的賦值，或稱它為X的真值.第1章預備知識

1.1二值命題演算的基礎知識

1.1.1命題變量及其公式

用符號表示簡單陳述句，並且用符號飛?，?，V和→分別表示連接詞“非”“並且”“或者”和“蘊涵”.符號()表示括號.這樣任何非簡單陳述句都可以使用上述符號表示.例如，如果用符號分別表示“小王明天在北京”“小張明天在北京”“小王明天去天安門”和“小張明天去天安門”，則符號^表示非簡單陳述句“若小王明天在北京且小張明天在北京，則他們兩個明天都去天安門類似地，如果和分別表示簡單陳述句“小王是一個大個子”“小張是一個大個子”“小王愛打籃球”和“小張愛打籃球”，則符號表示陳述句“並非小王是一個大個子”，符號表示陳述句“若小王是一個大個子則小王愛打籃球且若小張是一個大個子則小張愛打籃球”.

符號分別可以表示任何命題，因此可以說它們是命題變量.

定義1.1.1設是有限或可數個命題變量集，F(S)是由S產生的型自由代數，即(i)若，則

(ii)若，則；

(iii)F(s素都能由素通過(i)和（ii)的方式產生.

稱F（S素為命題變量公式.

一般用大寫英文字母X，Y，Z 或Xi，X2，表示命題變量公式.若命題變量公式包含命題變量，則它可記作

例如，都是命題變量公式.注意運算順序是先括號，再飛然後是—.

以上沒有用到連接詞A和V，其實它們都可以用飛―表達.規定xVy是的簡寫，x八r是，(x→r)的簡寫.

1.1.2語義理論

定義1.1.2設映射v:F(S)→{0，1}.如果v滿足條件：

(i)對於任一公式；

(ii)對於任二公式X，當且僅當且=0，則稱t;為P(的上的一個賦值，簡稱賦值，記F⑶上的全體賦值之集為注1.1.1為了表達方便，也稱t；(X)為X的賦值，或稱它為X的真值.

注1.1.2為了表達方便，在{0，1}中規定

0=1，nl=0，0—0=0—1=1—1=1，1—0=0，

則{0，1}也稱為卜，4)型自由代數，於是V是賦值當且僅當V:F(S)—{0，1}是同態.

注1.1.3既然F{S)是由S產生的（飛—）型自由代數，則任何映射v0:S^{0，1}都可以擴張為F(S)上的一個賦值，即

(i)對於任一公式

(ii)對於任二公式x

那麼對於任何包含命題變量的公式是函數，稱為X的Boole函數，或真值函數.

注1.1.4由—可知

定義1.1.3若對任意，有即

則稱x為重言式，記作hx.若對任意則稱x為矛盾式。

顯然=0當且僅當十X)=1，所以，若X為矛盾式，則為重言式.因此若X為矛盾式，則記作N，X.

例1.1.1下述三類公式都是重言式.

證明（1)對於任意賦值V，如果t；(X)=1，顯然

如果t;⑷=0，當v{Y)=1時，則

當v{Y)=0時，則

類似地，可證明（2)和⑶.

定義1.1.4設若對任意，有則稱X與Y語義邏輯等價，記作

定義1.1.5設則稱為產生的合取公式，這裡產生的所有

合取公式為，素通過析取連接詞V連接起來的式子稱為析取範式.

例如，和都是析取範式.

定理1.1.1任一包含命題變量的非矛盾式都邏輯等價於一個析取範式

這裡對於任一滿足證明設賦值

因為若，則

反之，若賦值滿足

則對於滿足的任何使得

這說明x邏輯等價於一個析取範式

記X的析取範式為，即.

所以由定理1.1.1知

1.1.3語構理論

1.1.2節說明，可以通過驗證公式X是否是重言式，斷定它是否為真.其實，也可以通過確定FGS)中的某些重言式，定義幾條推理規則和證明將F(S)中的所有重言式都推出來.為此引入公理、推理規則及證明的概念.

定義1.1.6F(S)中的下述重言式稱為公理：

定義1.1.7(分離規則）由公式X—Y與X可推得y.

分離規則也稱為modusponens，簡稱MP.

定義1.1.8—個證明是一個公式序列

這裡對每個，Xi是公理，或者有j 定義1.1.9設從r到x的證明是一個公式序列

這裡xn=X，且對每個是公理或Xier，或者有j使&是

由Xj與xk運用mp而得到的公式，存在從r到x的證明，記作.

定理1.1.2(演繹定理）設.如果.

證明略（參見文獻[1]).

定理1.1.3(三段論（hypotheticalsyllogism)規證明略（參見文獻[1]).

定義l.1.1設x，yef(S).如果，則稱x與y可證等價.

1.1.4可靠性定理與完備性定理

1.1.3節中所列的定義、公理、推理規則和證明目的是把所有的重言式都推出來.事實上，這種目的是可以實現的.

定理1.1_4(可靠性定理）凡定理都是重言式，即若，則.

證明例1.1.1已經證明定義1.1.6中的所有公理都是重言式.隻需證明推理規則保持重言式.若X與X—Y都是重言式，即任意賦值1，顯然.則Y是重言式。

我們還關心任一重言式X是否都能推理規則證明出來，即若hX，則hX是否成立.

定理1.1.5(完備性定理）凡重言式都是定理，即若，則.

證明略（參見文獻[1]).

定理1.1.6設X，yef{S).x與y可證等價當且僅當x與y邏輯等價.

由定理1.1.5知可證等價的性質類同邏輯等價.

1.2二值謂詞演算的基礎知識

命題演算理論提供了哪些命題公式，無論它代表什麼實際的復合命題，它總是真的；哪些命題公式，無論它代表什麼實際的復合命題，它總是假的.再就是它提供了命題公式真的推理方法.然而它卻不能滿足實際的需要.例如，命題的演算理論無法實現下述推理：

(i)每個人都會死的；

(ii)歐拉是人；

(iii)所以歐拉會死的.

可能讀者會想，分別用X，Y和Z表示“每個人”“會死”和“歐拉”，那麼上面的(i)，(ii)和(iii)可以形式化為

這裡是由㈤和⑴運用HS規則得到.然而以上的X，Y和Z都不是命題.因為X和z分別是命題“每個人都會死的”和“歐拉是人”的主語，y是命題“每個人都會死的”和“所以歐拉會死的”的謂語，所以，它不屬於命題演算理論的範疇.因此，為了實現上述推理，命題演算理論推廣為本章的二值謂詞演算理論.在二值謂詞演算理論中，用希臘字母表示謂語，把主語用小寫英文字母放在主語的括號中，即用m表示％具有性質並用符號V表示“對於每一個”，則⑴?(iii)可以形式化為

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