了得網自然科學_Copulas函數及其在水文中的應用

內容簡介

Copulas函數及其在水文中的應用吸收了國內外關於Copulas函數理論和應用的前沿研究進展，繫統地總結了作者近年來和相關科研課題的研究結果。全書注重循序漸進，理論聯繫實際，繫統研究了Copulas函數應用的關鍵技術問題。主要包括單變量概率分布、多變量概率分布、Copulas函數及其特性、對稱Archimedean Copulas函數及其應用、非對稱Archimedean Copulas函數及其應用、Plackett Copulas函數及其應用、meta-elliptic Copulas函數及其應用、Pair-Copulas函數及其應用和一些實用計算算法，書中並附有大量的計算實例。

Copulas函數及其在水文中的應用可供水文學及水資源、農業水土工程、水利水電工程、環境科學、氣像科學、經濟管理和統計等專業的高年級本科生、研究生以及相關領域教學、科研與工程技術人員使用。

前言
第1章單變量概率分布
1.1 幾種常見的單變量分布和參數估算方法
1.1.1 正態分布類
1.1.2 Γ分布類
1.1.3 極值分布類
1.1.4 Wakeby分布類
1.1.5 Logistic分布類
1.2 幾種常見的偏態非對稱分布
1.2.1 偏態正態分布
1.2.2 偏態t分布
1.2.3 偏態拉普拉斯分布
1.2.4 偏態Logistic分布
1.2.5 偏態均勻分布前言
第1章單變量概率分布
1.1 幾種常見的單變量分布和參數估算方法
1.1.1 正態分布類
1.1.2 Γ分布類
1.1.3 極值分布類
1.1.4 Wakeby分布類
1.1.5 Logistic分布類
1.2 幾種常見的偏態非對稱分布
1.2.1 偏態正態分布
1.2.2 偏態t分布
1.2.3 偏態拉普拉斯分布
1.2.4 偏態Logistic分布
1.2.5 偏態均勻分布
1.2.6 偏態指數冪分布
1.2.7 偏態貝塞爾函數分布
1.2.8 偏態皮爾遜Ⅱ分布
1.2.9 偏態皮爾遜Ⅶ分布
1.2.10 偏態廣義t分布
1.3 單變量分布的擬合度檢驗
1.3.1 χ²檢驗法
1.3.2 其他檢驗法
1.3.3 擬合度檢驗應用實例
第2章常見的幾種多變量概率分布
2.1 多變量聯合分布及其條件概率和重現期
2.1.1 多變量聯合分布定義
2.1.2 多變量聯合分布重現期計算
2.1.3 多變量聯合分布的經驗頻率計算
2.2 常見的幾種多變量概率分布
2.2.1 二維Gamma分布
2.2.2 二維Gumbel Mixed(GM)分布
2.2.3 二維Gumbel logistic(GL)分布
2.2.4 二維Nagao-Kadoya指數(BVE)分布
2.2.5 d維正態分布N(μ;Σ)
2.2.6 d維student t分布N(μ;Σ)
第3章 Copulas函數及其特性
3.1 Copulas定義
3.1.1 Copulas定義
3.1.2 二維Copulas
3.1.3 三維Copulas
3.2 Copulas函數分類
3.3 變量間的相依性度量
3.3.1 均勻分布和邊際概率函數的分布
3.3.2 Kendall τ
3.3.3 Pearson古典相關繫數r_n和Spearman秩相關繫數ρ_n
3.3.4 Chi圖
3.3.5 K圖
3.4 Copulas參數計算
3.4.1 精確極大似然法
3.4.2 邊際函數推斷法
3.4.3 半參數法
3.5 Copulas模擬
3.5.1 CPI Rosenblatt轉換法
3.5.2 Marshal-Olkin法
3.6 Copulas模型選擇與擬合度檢驗
3.7 條件概率分布和條件重現期
3.7.1 二維和三維水文事件的聯合概率分布
3.7.2 基於Copulas的重現期計算
第4章對稱Archimedean Copulas函數及其應用
4.1 對稱Archimedean Copulas定義與特性
4.1.1 對稱Archimedean Copulas定義
4.1.2 對稱Archimedean Copulas特性
4.2 對稱Archimedean Copulas函數類型
4.3 常見的對稱Archimedean Copulas函數形式
4.3.1 Copulas分布和生成函數φ
4.3.2 輔助函數fi(t)
4.4 常見的對稱Archimedean Copulas的識別
4.4.1 二維Copulas的非參數法
4.4.2 Copula參數的極大似然法估算
4.5 對稱Archimedean Copulas的模擬
4.5.1 CPI Rosenblatt轉換法
4.5.2 Marshal-Olkin法
4.6 對稱Archimedean Copulas應用實例
第5章非對稱Archimedean Copulas函數及其應用
5.1 高維Archimedean Copulas的構造
5.1.1 完全嵌套Archimedean構造(FNAC)
5.1.2 部分嵌套Archimedean構造(PNAC)
5.1.3 廣義嵌套Archimedean構造(GNEAC)
5.1.4 層次Archimedean Copulas的密度函數推導
5.1.5 嵌套Archimedean Copulas模擬與參數估算
5.1.6 Pair-Copula構造
5.2 完全嵌套Archimedean Copula的參數計算
5.3 Pair-Copula應用實例
第6章 meta-elliptic Copulas函數及其應用
6.1 meta-elliptical Copulas函數
6.1.1 d維對稱elliptical類分布
6.1.2 二維對稱elliptical類分布
6.2 meta-Gaussian Copulas
6.2.1 d維meta-Gaussian Copula的密度和分布函數
6.2.2 d維meta-Gaussian Copula的偏導數
6.2.3 二維meta-Gaussian Copula
6.2.4 三維meta-Gaussian Copula
6.2.5 meta-Gaussian Copula模擬
6.3 meta- student t Copulas
6.3.1 d維meta-student t Copula的分布函數和密度函數
6.3.2 d維meta-student t Copula的偏導數
6.3.3 二維meta-student t Copula
6.3.4 三維meta-student t Copula
6.3.5 meta-student t Copula模擬
6.4 參數估算
6.4.1 邊際分布
6.4.2 參數估算
6.5 meta-elliptical Copula應用實例
6.5.1 干旱單變量分布
6.5.2 干旱單變量分布的擬合度檢驗
6.5.3 相依性度量
6.5.4 Copulas參數估算
6.5.5 meta-Gaussian Copula擬合度檢驗
6.5.6 干旱變量的聯合分布
第7章 Plackett Copulas函數及其應用
7.1 二維Plackett Copula
7.1.1 二維Plackett Copula定義
7.1.2 二維Plackett Copula模擬
7.1.3 二維Plackett Copula參數估算
7.2 三維Plackett Copula
7.2.1 三維Plackett Copula的交乘比率ψUVW定義
7.2.2 三維Plackette Copula參數估算
7.3 Plackett Copula應用實例
7.3.1 資料處理
7.3.2 水文干旱特征變量獨立性檢驗
7.3.3 水文干旱特征變量邊際分布
7.3.4 水文干旱特征變量邊際分布參數計算
7.3.5 水文干旱特征變量邊際分布擬合度檢驗
7.3.6 水文干旱特征變量相依性度量
7.3.7 二維Plackett Copula參數估算
7.3.8 三維Plackett Copula參數估算
7.3.9 三維Plackett Copula條件概率分布
第8章 Copulas函數的尾部相關性
8.1 尾部相關繫數
8.2 幾種常用Copulas函數的尾部相關繫數
8.2.1 Archimedean Copulas
8.2.2 二維Plackett Copula
8.2.3 二維Gaussian Copula和student t Copula
8.3 Copulas函數的尾部相關繫數估算
8.3.1 尾部相關繫數估算的非參數估算
8.3.2 門限值k選擇
8.4 Copulas函數的尾部相關繫數應用實例
8.4.1 資料來源
8.4.2 洪峰流量和洪量的聯合分布概率計算
第9章基於Copula函數的多變量洪水頻率計算
9.1 洪水特征變量的提取與邊緣分布計算
9.1.1 洪水變量的邊緣分布
9.1.2 假設檢驗
9.2 Copula函數的參數估計
9.3 Copula函數的選擇
9.4 洪水變量聯合概率分布及條件概率分布分析
第10章渭河流域干旱特征分析研究
10.1 干旱特征變量的提取與邊緣分布計算
10.1.1 渭河流域概況
10.1.2 干旱特征變量的提取
10.1.3 干旱特征變量的邊緣分布
10.2 干旱特征變量聯合分布參數計算
10.2.1 變量相依性
10.2.2 三維對稱性Copula參數估計及擬合優度評價結果
10.2.3 三維非對稱性Copula參數估計及擬合優度評價結果
10.2.4 三維Gaussian Copula參數估計及擬合優度評價結果
參考文獻

在線試讀

第1 章單變量概率分布
現行水文頻率分析主要采用單變量概率分布.本章在回顧幾種常見單變量分布的基礎上,介紹幾種偏態非對稱分布和它們的參數估算方法.本章約定水文序列為x1,x2,,xn,其中,n為樣本長度;T為重現期,相應的不超越概率為F=1. 1/T ,
???
x.T為對應的設計估計值;βr為r階概率權重矩;br為βr的樣本式計算矩;lr為r階線性矩λr的樣本計算矩;t=l2/l1,tr=lr/l2,r.3;m.1 為樣本均值;m2為樣本方差;m.r 為樣本的r階原點矩;mr為樣本的r階中心矩;Cv為分布離勢繫數(變差繫數);Cs為分布偏態繫數;F(x)和f(x)分別為隨機變量的分布函數和密度函數.
1.1 幾種常見的單變量分布和參數估算方法
1.1.1 正態分布類
1.1.1.1 正態分布
1) 概率密度
f(x)=σ√12π e. 12σ2(x.μ)2 , .∞ 0 (1.15)
2σ2
y
式中,μy和σy分別是x序列取自然對數(y=lnx)後形成序列的均值和標準差.
1.1 幾種常見的單變量分布和參數估算方法3
??
2) 參數估計方法
(1) 矩法
. m2 .σ.2 =ln )2 + 1 (1.16)第1 章單變量概率分布

現行水文頻率分析主要采用單變量概率分布.本章在回顧幾種常見單變量分布的基礎上,介紹幾種偏態非對稱分布和它們的參數估算方法.本章約定水文序列為x1,x2,,xn,其中,n為樣本長度;T為重現期,相應的不超越概率為F=1. 1/T ,

???

x.T為對應的設計估計值;βr為r階概率權重矩;br為βr的樣本式計算矩;lr為r階線性矩λr的樣本計算矩;t=l2/l1,tr=lr/l2,r.3;m.1 為樣本均值;m2為樣本方差;m.r 為樣本的r階原點矩;mr為樣本的r階中心矩;Cv為分布離勢繫數(變差繫數);Cs為分布偏態繫數;F(x)和f(x)分別為隨機變量的分布函數和密度函數.

1.1 幾種常見的單變量分布和參數估算方法

1.1.1 正態分布類

1.1.1.1 正態分布

1) 概率密度

f(x)=σ√12π e. 12σ2(x.μ)2 , .∞
式中,μ為隨機變量的均值,也稱位置參數;σ為標準差,也稱形狀參數.正態分布以x=μ為對稱軸左右完全對稱.

2) 參數估計方法

(1) 矩法

μ.=m.1 (1.2)σ.2 = m2 (1.3)

(2) 極大似然法

1 n

μ.=.xi=m.1 (1.4)

n

i=1

1 n

σ.2 =.(xi. μ.)2 = m2 (1.5)

n

i=1

由式(1.2)～(1.5)可以看出,對於正態分布,采用矩法和極大似然法的計算參數一致.

第1 章單變量概率分布

(3) 概率權重矩法

λ1 = β0 = μ (1.6) σ

λ2=2β1. β0 = √π (1.7)

τ3 = λ3 = 0 (1.8)

λ2

τ4 = λ4 = 30arctan√2. 9=0.1226(1.9)

λ2 π

概率權重矩法的參數估計結果由樣本矩l1和l2表示為μ.=l1(1.10)σ.=√πl2 (1.11)

3) 設計值的推求

不超越概率F對應的標準正態變量u是易於計算的.Abramowitz和Stegun於1965年(RaoandHamed,2000)給出了u的計算公式.

C0+C1W+C2W2

u = W . 1+ d1W + d2W 2 + d3W 3 +ε(P)(1.12)

式中

C0=2.515517,C1=0.802853,C2=0.010328d1=1.432788,d2=0.189269,d3=0.001308當P<0.5時,W由下式計算：W=..2ln(P ) (1.13) 式中, P =1 . F,誤差ε(P)小於4.5× 10.4 .當P>0.5時,P由1. P替換,並且u取相反的符號.設計值x.T可由式(1.14)計算.x.T=μ.+uσ.(1.14)

1.1.1.2 兩參數對數正態分布(ln(2))1)概率密度

f(x)=xσy1 √2π exp .. [ln x . μy]2 . , x> 0 (1.15)

2σ2

y

式中,μy和σy分別是x序列取自然對數(y=lnx)後形成序列的均值和標準差.

1.1 幾種常見的單變量分布和參數估算方法3

??

2) 參數估計方法

(1) 矩法

. m2 .σ.2 =ln )2 + 1 (1.16)

y

(m.1σ.2

μ.y=lnm.1 . 2 y (1.17)

(2) 極大似然法

1 n

μ.y=.lnxi=m.1y (1.18)

n

i=11n

σ.y 2 = . (ln xi . μ.y)2 =m2y(1.19)

n

i=1

式中, m.1y 和m2y分別為x樣本取自然對數後形成序列的均值和方差.

(3)概率權重矩法.設erf(x)為誤差函數,F(x)為正態分布函數.

/2

y

λ1 =eμy+σ2 (1.20)

y

λ2 =eμy+σ2/2erf(σy/2)(1.21)

其中erf(x)=√2 π . 0 x e.μ du=2F(x√2) . 1 (1.22)

2

將樣本線性矩l1和l2代入式(1.20)和(1.21),有.l2.

σ.y=2erf.1 (1.23)l1

σ.2

μ.y=lnl1. y (1.24)

23)設計值的推求標準正態變量u可由式(1.12)計算,則設計值x.T可由式(1.25)和(1.26)推

求.

ln.xT=μ.y+uσ.y(1.25)x.T=eμ.y+uσ.y (1.26)

1.1.2 Γ 分布類

1.1.2.1 指數分布

1)概率密度Γ分布類包括皮爾遜Ⅲ型分布、一參數Γ分布和兩參數Γ分布、對數皮爾遜

第1 章單變量概率分布

Ⅲ型分布(三參數Γ分布)和廣義Γ分布.指數分布是一類特殊的Γ分布,皮爾遜Ⅲ型分布的概率密度函數為

1 x.εf(x)=αβΓ(β)(x . ε)β.1e. , ε
α

式中,α>0為尺度參數;β>0為形狀參數;ε為位置參數.Γ(x)由式(1.28)～(1.33) 定義.

. ∞ y

Γ(y+1)=te.tdt,y+1>0(1.28)

0

Γ(x)具有以下性質：

Γ(1) = Γ(2) = 1 (1.29) Γ .21 . = √π (1.30)Γ(y+1)=yΓ(y),y>0(1.31)Γ(y)=Γ(y+1)/y,y<1(1.32)Γ(k)=(k. 1)!,k為正整數(1.33)

式(1.27)取β=1時即為指數分布

α

f(x)=1e. x.ε , ε
α

2) 參數估計方法

(1) 矩法

α.2 =m2(1.35)ε.=m.1 . α.(1.36)

(2) 極大似然法

α.=n(m.1 . x1) ,x1=min(xi)(1.37)n . 1

1

(3) 概率權重矩法ε.=nxn 1 .. 1 m.(1.38)

α.=2l2(1.39)ε.=l1. 2l2(1.40)

3)設計值的推求x.T=ε.+.αln(T)(1.41)

1.1 幾種常見的單變量分布和參數估算方法5

??

1.1.2.2 兩參數Γ分布(G(2))

1)概率密度兩參數Γ分布式屬一類特殊的皮爾遜Ⅲ型分布,即式(1.27)中的參數ε=0.兩參數Γ分布的概率密度函數為

1

f(x)=xβ.1e.x/α,x>0,α>0,β>0(1.42)

αβΓ(β)

2) 參數估計方法

(1) 矩法

α.=m2 (1.43) m.1

β.= (m.1)2 (1.44) m2

(2) 極大似然法U = ln A . ln G (1.45)

式中, A 為樣本算術平均值; G 為樣本幾何平均值.

n

A =1 .xi=m.1 (1.46)

n

i=1

G=(x1x2xn)1n(1.47)

???

β由式(1.48)和(1.49)計算.對於0.U.0.5772,

β.= 1(0.5000876+0.1648852U. 0.054427U2) (1.48)

U

對於0.5772.U.17.0,

β.= 8.898919+9.059950U+0.9775373U2 (1.49)U(17.7928+11.968477U+U2) A

α.=(1.50)

.

β

(3) 概率權重矩法

t = l2 (1.51)l1

如果0
β.= 1 . 0.3080z(1.52)

z . 0.05812z2 +0.01765z3

第1 章單變量概率分布

如果1/2.t<1,那麼z=1. t, β.可由下式得到：β.= 0.7213z. 0.5947z2 (1.53)1 . 2.1817z+1.2113z2 α.=l1 (1.54)

.

β

3)設計值的推求Fisher和Cornish於1960年(RaoandHamed,2000)給出了當|Cs| <2時兩參數Γ分布KT的計算公式,見式(1.55).

23 2

Cs .u. 1 . Cs2 .u. 7u..Cs3 ..6u4 +14u. 32 .

KT =u ++

23 24 925 405 C4 (9u5 +256u3 . 433u)C5 (12u6 . 143u4 . 923u2 + 1472)

+ s + s

27 4860 28 25515

C6 (3753u7 +4353u5 . 289517u3 . 289717u)(1.55)

s . 210 9185400 式中, u 為F =1 . T 1 非超越概率標準正態分布對應的分位數.設計值x.T可由下式推求：

x.T=α.β.+ KT .α.2β.(1.56)

1.1.2.3 皮爾遜Ⅲ型分布(P-Ⅲ)1)概率密度

x.γ

α

f(x)=αΓ(1 β) .x .αγ .β.1 e. , γ
式中, γ 為位置參數; α> 0 為尺度參數; β> 0 為形狀參數. 2) 參數估計方法

(1) 矩法

β.=(2/Cs)2 (1.58)α.=. m2/β.(1.59)

γ.=m.1 . . m2β.(1.60)

(2)極大似然法.聯立式(1.61)～(1.63)方程求解,可得皮爾遜Ⅲ型分布的極大似然估計參數

nβ 1 n

α . α2 .(xi. γ) = 0 (1.61)

i=1

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