了得網自然科學_概率統計引論

內容簡介

本書內容包括*事件與概率、*變量及其概率分布、*變量的數字特征、大數定律與中心極限定理、統計學的基本概念、參數估計、假設檢驗、回歸分析與相關分析、方差分析以及Excel在概率統計中的應用等。全書結構體繫合理，應用背景豐富，思想方法突出，例題習題講究，並對一些問題介紹了相關的發展方向和Excel解決方案。

本書可作為高等學校數學專業和統計學專業的本科生教材或相關專業的研究生教學參考書，也可作為科研人員和工程技術人員的查閱手冊。

目錄
前言
主要符號表
第1章隨機事件與概率
1.1 隨機事件及其運算
1.1.1 必然現像與隨機現像
1.1.2 隨機試驗和樣本空間
1.1.3 隨機事件的關繫和運算
1.2 排列與組合
1.2.1 排列組合的基本模式
1.2.2 多項組合
1.3 隨機事件的概率
1.3.1 古典概率
1.3.2 統計概率目錄
前言
主要符號表
第1章隨機事件與概率
1.1 隨機事件及其運算
1.1.1 必然現像與隨機現像
1.1.2 隨機試驗和樣本空間
1.1.3 隨機事件的關繫和運算
1.2 排列與組合
1.2.1 排列組合的基本模式
1.2.2 多項組合
1.3 隨機事件的概率
1.3.1 古典概率
1.3.2 統計概率
1.3.3 幾何概率
1.4 概率的公理化定義及概率的性質
1.4.1 概率的公理化定義——概率空間
1.4.2 概率的性質
1.5 條件概率
1.5.1 條件概率的定義和性質
1.5.2 有關條件概率的三個公式
1.6 事件的獨立性
1.6.1 兩個事件的獨立性
1.6.2 n個事件的相互獨立性
1.6.3 事件獨立性的應用
1.6.4 獨立試驗序列概型
習題一
第2章隨機變量及其概率分布
2.1 隨機變量
2.1.1 直觀背景及定義
2.1.2 隨機變量的分布函數
2.2 離散型隨機變量及其概率分布
2.2.1 離散型隨機變量的概念及概率分布列
2.2.2 常見離散型隨機變量及分布列
2.3 連續型隨機變量及其概率密度函數
2.3.1 連續型隨機變量的概念及概率密度函數
2.3.2 常見連續型隨機變量及其概率密度函數
2.4 多維隨機變量及其分布
2.4.1 二維隨機變量及其分布函數
2.4.2 二維離散型隨機變量
2.4.3 二維連續型隨機變量
2.4.4 n維隨機變量
2.5 隨機變量的獨立性,條件分布
2.5.1 相互獨立的隨機變量
2.5.2 條件分布
2.6 隨機變量的變換及其分布
2.6.1 一個隨機變量函數的分布
2.6.2 二維隨機變量函數的分布
2.6.3 χ²分布、t分布、F分布
習題二
第3章隨機變量的數字特征
3.1 隨機變量的數學期望
3.1.1 離散型隨機變量的數學期望
3.1.2 連續型隨機變量的數學期望
3.1.3 數學期望的一般定義
3.1.4 隨機變量函數的數學期望
3.1.5 數學期望的性質
3.2 隨機變量的方差
3.2.1 方差的定義
3.2.2 方差的性質及切比雪夫不等式
3.3 常用概率分布的期望和方差
3.3.1 常用離散型隨機變量的期望和方差
3.3.2 常用連續型變量的期望和方差
3.4 多維隨機變量的數字特征
3.4.1 協方差和相關繫數
3.4.2 多維隨機變量的期望和協方差矩陣
3.5 其他常用數字特征
3.5.1 矩(moment)
3.5.2 變異繫數
3.5.3 偏態繫數
3.5.4 峰態繫數
3.5.5 分位數
3.5.6 中位數
3.6 條件數學期望
習題三
第4章大數定律與中心極限定理
4.1 特征函數
4.1.1 特征函數的概念
4.1.2 特征函數的性質
4.1.3 特征函數和分布函數之間的關繫
4.2 隨機變量序列的兩種收斂性
4.2.1 依概率收斂
4.2.2 依分布收斂、弱收斂
4.3 大數定律
4.3.1 大數定律的一般形式
4.3.2 切比雪夫大數定律
4.3.3 辛欽大數定律
4.4 中心極限定理
4.4.1 中心極限定理的一般概念
4.4.2 獨立同分布情形的中心極限定理
4.4.3 獨立不同分布情形的中心極限定理
習題四
第5章統計學的基本概念
5.1 導言
5.1.1 統計學的任務
5.1.2 統計學的應用
5.1.3 學習建議
5.2 總體與樣本
5.2.1 總體與樣本的概念
5.2.2 無限總體與有限總體
5.2.3 樣本的二重性和樣本分布
5.3 樣本數據及其分布的描述
5.3.1 數據的類型
5.3.2 頻數與頻率
5.3.3 累加頻數和累加頻率
5.3.4 直方圖
5.3.5 莖葉圖
5.3.6 經驗分布函數
5.4 統計量和抽樣分布
5.4.1 統計量
5.4.2 正態總體抽樣分布
5.4.3 次序統計量及其分布
習題五
第6章參數估計
6.1 點估計
6.1.1 矩估計
6.1.2 極大似然估計
6.2 評價估計量的準則
6.2.1 無偏性
6.2.2 有效性
6.2.3 均方誤差
6.2.4 相合性
6.2.5 穩健性(robustness)
6.3 小方差無偏估計量
6.4 貝葉斯(Bayes)估計
6.4.1 貝葉斯統計的基本思想
6.4.2 貝葉斯公式的概率函數形式
6.4.3 貝葉斯估計
6.5 區間估計(置信區間)
6.5.1 區間估計的概念
6.5.2 區間估計的求法——樞軸量法
6.5.3 單個正態總體參數的區間估計
6.5.4 兩個正態總體參數的區間估計
6.5.5 非正態總體參數的區間估計
習題六
第7章假設檢驗
7.1 基本概念
7.1.1 統計假設與檢驗法則
7.1.2 兩類錯誤
7.1.3 檢驗的功效和顯著性水平
7.2 單個正態總體均值與方差的假設檢驗
7.2.1 已知σ²,檢驗關於μ的假設
7.2.2 σ²未知,檢驗關於μ的假設
7.2.3 檢驗關於σ²的假設
7.3 兩個正態總體均值與方差的假設檢驗
7.3.1 方差已知時均值的檢驗
7.3.2 方差未知但相等時均值的檢驗
7.3.3 方差未知(且不假定相等)時均值的檢驗
7.3.4 方差的檢驗
7.4 成對數據比較檢驗法
7.5 其他分布參數的假設檢驗
7.5.1 指數分布參數的假設檢驗
7.5.2 比例參數的假設檢驗(小樣本檢驗——基於二項分布)
7.5.3 比例參數假設的大樣本檢驗(基於正態分布)
7.5.4 兩個比例參數的的比較檢驗
7.6 分布擬合檢驗
7.6.1 分類數據的χ²檢驗法
7.6.2 總體分布的假設檢驗
7.6.3 列聯表和獨立性檢驗
7.7 兩個重要的非參數檢驗——符號檢驗與秩和檢驗
7.7.1 符號檢驗
7.7.2 秩和檢驗
7.8 檢驗的p值
習題七
第8章回歸分析與相關分析
8.1 相關關繫
8.線性回歸
8.2.1 基本概念
8.2.2 a、b的估計——小二乘法
8.2.3 隨機誤差的方差σ²的估計
8.2.4 關於a、b的統計推斷
8.線性回歸
8.3.線性回歸模型
8.3.2 小二乘估計
8.3.3 回歸方程與回歸繫數的顯著性檢驗
8.4 可線性化的回歸方程
8.4.1 常用的可化為線性函數的回歸函數
8.4.2 多項式回歸
8.5 相關分析
8.5.1 相關與回歸的區別
8.5.2 相關繫數
8.5.3 散點圖
8.6 積差相關繫數——數值型變量間相關性度量
8.6.1 積差相關繫數的概念
8.6.2 相關性檢驗
8.6.3 多個變量的情況
8.7 秩相關繫數
8.7.1 Spearman秩相關繫數
8.7.2 Kendall г相關繫數
8.7.3 多變量Kendall協和繫數
習題八
第9章方差分析
9.1 單因素試驗的方差分析
9.1.1 單因素方差分析的統計模型
9.1.2 統計分析
9.1.3 應用舉例
9.2 雙因素試驗的方差分析
9.2.1 雙因素方差分析的統計模型
9.2.2 統計分析
9.2.3 無重復試驗的方差分析
習題九
第10章 Excel在概率統計中的應用
10.1 Excel簡介
10.1.1 Excel與統計軟件
10.1.2 Excel的分析工具庫
10.2 常見概率分布的計算
10.2.1 二項分布
10.2.2 負二項分布
10.2.3 幾何分布
10.2.4 超幾何分布
10.2.5 泊松分布
10.2.6 正態分布
10.2.7 對數正態分布
10.2.8 指數分布
10.2.9 貝塔分布(均勻分布)
10.2.10 г分布(χ²分布)
10.3 在假設檢驗中使用Excel軟件
10.3.1 Z檢驗——單樣本情形
10.3.2 Z檢驗——雙樣本情形
10.3.3 t檢驗——單樣本情形
10.3.4 t檢驗——兩個樣本的情形
10.3.5 F檢驗——兩總體方差的假設檢驗
10.3.6 χ²檢驗——單個總體方差的假設檢驗
10.3.7 χ²檢驗——獨立性假設檢驗
10.4 方差分析
10.4.1 單因素方差分析
10.4.2 雙因素方差分析——無交互作用
10.4.3 雙因素方差分析——有交互作用
10.5 相關分析與回歸分析
10.5.1 相關分析
10.5.線性回歸分析與預測
10.5.線性回歸分析與預測
習題答案
附表
附表1 二項分布的數值表
附表2 泊松分布表
附表3 標準正態分布函數表
附表4 χ²分布的分位數表
附表5 F分布的分位數表
附表6 t分布的分位數表
附表7 兩樣本秩和雙邊檢驗的臨界值表
附表8 相關繫數臨界值表
參考文獻
表格目錄
1.1 種子發芽統計數據
1.2 英文字母的使用頻率
1.3 英文字母使用統計數據
3.1 常用離散型分布的期望和方差
3.2 常用連續型分布的期望和方差
4.1 常用分布的特征函數
5.1 不光滑焊點頻數、頻率分布表
5.2 螺釘次品數的頻數、頻率分布表
5.3 某月城市A、B交通事故的經濟損失頻數和頻率分布表
5.4 某月城市A、B交通事故的經濟損失累加頻率分布
5.5 100個零件的重量(單位:克)
5.6 100個零件的重量變換後的數據
5.7 頻數和頻率分布表
5.8 兩個車間各40名工人的產量
5.9 容量為3的一個樣本和次序統計量的所有取值
7.1 檢驗的兩類錯誤
7.2 單個正態總體均值的假設檢驗
7.3 單個正態總體方差的假設檢驗
7.4 兩個正態總體的均值的假設檢驗
7.5 兩正態總體方差的假設檢驗
7.6 成對紀錄的數據結構
7.7 例7.4.4成對數據的紀錄
7.8 例7.4.5成對數據的紀錄
7.9 例7.4.6成對數據的紀錄
7.10 指數分布參數的假設檢驗
7.11 關於比例參數p的假設檢驗
7.12 例7.6.1中χ²統計量值的計算
7.13 例7.6.2中χ²統計量值的計算
7.14 某種鈾所放射到達計數器上的α粒子數
7.15 某種鈾所放射到達計數器上的α粒子數及其計算結果
7.16 2×3列聯表
7.17 r×s列聯表
7.18 例7.6.4理論頻數E_ij的計算
7.19 甲、乙兩班生產棉條均勻度數據
7.20 當n₁=3,n₂=4時,樣本秩的所有可能取值
7.21 當n₁=3,n₂=4時,樣本秩和的概率分布
7.22 不同顯著性水平下的拒絕域和檢驗結論
8.1 5名學生四項測驗的成績
9.1 一個單因素試驗的結果
9.2 單因素試驗的樣本數據結構
9.3 單因素方差分析表
9.4 某種纖維的縮水率
9.5 纖維縮水率方差分析表
9.6 不同方案生產的產品的廢品率
9.7 廢品率的方差分析表
9.8 兩組雙因素試驗結果
9.9 兩因素試驗的樣本數據結構
9.10 雙因素試驗方差分析表
9.11 不同生產條件制造的硬橡膠的抗牽強度
9.12 硬橡膠抗牽強度的方差分析表
9.13 雙因素方差分析表(不考慮交互作用)
9.14 纖維的縮水率(%)
9.15 纖維的縮水率變換後的數據和計算
9.16 纖維縮水率的雙因素方差分析表
插圖目錄
1.1 韋恩圖(A∪B,A∩B,A-B,A^c分別為圖中陰影部分)
1.2 幾何概率示意圖
1.3 例1.3.12示意圖
1.4 蒲豐投針示意圖
1.5 蒲豐投針概率計算示意圖
1.6 串聯繫統示意圖
1.7 並聯繫統示意圖
1.8 一個開關電路圖
2.1 例2.3.1中密度函數
2.2 例2.3.1中分布函數
2.3 均勻分布的密度函數
2.4 均勻分布的分布函數
2.5 指數分布的密度函數
2.6 指數分布的分布函數
2.7 正態分布的密度函數
2.8 正態分布的分布函數
2.9 不同σ的正態密度函數
2.10 不同μ的正態密度函數
2.11 標準正態密度函數
2.12 標準正態分布函數
2.13 г分布密度函數(β=1,α=1,2,4)
2.14 貝塔分布概率密度函數
2.15 正態和柯西分布的密度函數
2.16 柯西分布和均勻分布的聯繫
2.17 聯合分布函數的幾何意義
2.18 隨機向量在矩形區域取值的概率
3.1 具有三種不同偏度的密度函數
3.2 分位數和上分位數
3.3 連續型隨機變量的中位數
5.1 統計數據的分類
5.2 電路板不光滑焊點的頻率分布
5.3 螺釘次品數的頻率分布
5.4 某月城市A、B交通事故的經濟損失頻率分布
5.5 某月城市A、B交通事故的經濟損失累積頻率分布
5.6 直方圖示意圖
5.7 直方圖的例子
5.8 某電腦公司銷售量數據的莖葉圖
5.9 某電腦公司銷售量數據的擴展莖葉圖
5.10 某兩車間產量的背靠背莖葉圖
5.11 標準正態分布函數和兩個經驗分布函數
6.1 標準正態分位數點
6.2 t分布分位數點
6.3 χ²分布分位點
6.4 F分布分位點
7.1 檢驗的拒絕域和接受域
7.2 參數的真值越接近原假設下的值時,β值(陰影部分面積)就越大
7.3 例7.1.8中兩個檢驗的功效函數
7.4 例7.1.9中一個檢驗的功效函數
7.5 假設(7.2.8)的水平為α的接受域
7.6 假設(7.3.9)的水平為α的接受域和拒絕域
7.7 假設檢驗的p值示意圖
8.回歸函數示意圖
8.2 散點圖
8.3 回歸直線示意圖
8.4 回歸函數置信區間示意圖
8.5 控制求解圖示
8.6 利用數據的一致性說明相關關繫圖示
8.7 完全正相關和完全負相關圖示
8.8 不同形狀的散點圖表示的相關度
8.9 標準化數據的散點圖
8.10 相關繫數為0時兩個變量的散點圖
10.1 Excel的數據分析工具庫
10.2 ZTEST函數做雙邊檢驗
10.3 【Z檢驗:雙樣本平均差檢驗】對話框
10.4 【Z檢驗:雙樣本平均差檢驗】結果
10.5 t檢驗——成對樣本的均值的檢驗結果
10.6 F檢驗——兩總體方差的假設檢驗
10.7 χ²檢驗——獨立性假設檢驗
10.8 【方差分析:單因素方差分析】對話框
10.9 單因素方差分析結果
10.10 【方差分析:無重復雙因素分析】對話框
10.11 無重復雙因素方差分析結果
10.12 【方差分析:可重復雙因素分析】對話框
10.13 可重復雙因素方差分析結果
10.14 【相關分析】對話框
10.15 5個變量的觀測值
10.16 5個變量相關繫數矩陣
10.17 【回歸】對話框
10.18 16個地區廣告費和銷售額
10.19 回歸結果彙總
10.20 回歸分析的殘差和正態概率輸出
10.2線性回歸分析的數據
10.2線性【回歸】對話框
10.2線性回歸彙總輸出

在線試讀

第1 章隨機事件與概率
1.1 隨機事件及其運算
1.1.1 必然現像與隨機現像
在自然界裡，在生產實踐和科學實驗中有許多現像, 我們完全可以預言它們在一定條
件下是否會出現; 或者根據它過去的狀態, 在相同條件下完全可以預言其將來的發展. 我
們把這一類現像稱為確定性現像或必然現像. 例如：同性電荷相互排斥; 在標準大氣壓下
水加熱到100±C時會沸騰; 在射擊時彈道完全由射擊的初始條件決定(假定空氣阻力等可
以忽略). 早期的科學就是研究這類現像, 所用的數學工具如數學分析、幾何、代數、微分
方程等是大家所熟悉的.
然而人們還發現有許多現像, 它們在一定條件下可能出現也可能不出現; 或者知道它
過去的狀態, 在相同的條件下, 未來的發展卻事先不能完全肯定. 我們稱這種類型的現像
為偶然性現像或隨機現像. 例如：拋擲一枚硬幣, 結果可能是正面向上, 或背面向上; 遠距
離射擊較小的目標, 可能擊中, 也可能擊不中; 明年某地七月間的平均溫度事前不能肯定;
當空氣阻力等不能忽略時, 彈道不能根據初始條件完全確定.
在事物的聯繫和發展過程中, 隨機現像是客觀存在的. 但是, 表面上是偶然性在起作
用, 實際上這種偶然性又是由事物內部隱藏著的必然性所決定的. 事實上, 無數的偶然性
表現出某種必然性.
例1.1.1 拋擲質地均勻而對稱的硬幣, 在相同條件下拋擲多次, 正面和背面出現的次
數之比總是近似為1 : 1, 而且拋擲次數越多, 越接近這個比值. 歷史上, 很多學者都做過第1 章隨機事件與概率

1.1 隨機事件及其運算

1.1.1 必然現像與隨機現像

在自然界裡，在生產實踐和科學實驗中有許多現像, 我們完全可以預言它們在一定條

件下是否會出現; 或者根據它過去的狀態, 在相同條件下完全可以預言其將來的發展. 我

們把這一類現像稱為確定性現像或必然現像. 例如：同性電荷相互排斥; 在標準大氣壓下

水加熱到100±C時會沸騰; 在射擊時彈道完全由射擊的初始條件決定(假定空氣阻力等可

以忽略). 早期的科學就是研究這類現像, 所用的數學工具如數學分析、幾何、代數、微分

方程等是大家所熟悉的.

然而人們還發現有許多現像, 它們在一定條件下可能出現也可能不出現; 或者知道它

過去的狀態, 在相同的條件下, 未來的發展卻事先不能完全肯定. 我們稱這種類型的現像

為偶然性現像或隨機現像. 例如：拋擲一枚硬幣, 結果可能是正面向上, 或背面向上; 遠距

離射擊較小的目標, 可能擊中, 也可能擊不中; 明年某地七月間的平均溫度事前不能肯定;

當空氣阻力等不能忽略時, 彈道不能根據初始條件完全確定.

在事物的聯繫和發展過程中, 隨機現像是客觀存在的. 但是, 表面上是偶然性在起作

用, 實際上這種偶然性又是由事物內部隱藏著的必然性所決定的. 事實上, 無數的偶然性

表現出某種必然性.

例1.1.1 拋擲質地均勻而對稱的硬幣, 在相同條件下拋擲多次, 正面和背面出現的次

數之比總是近似為1 : 1, 而且拋擲次數越多, 越接近這個比值. 歷史上, 很多學者都做過

試驗：Demorgan 擲過2048 次, 得到1061 次正面; Bu?on 擲過4040 次, 得到2048 次正

面; Pearson 擲過24 000 次, 得到12 012 次正面.

例1.1.2 通過研究氣體的性質我們知道, 氣體是由數目眾多的分子構成, 這些分子以

很快的速度做劇烈的運動且相互踫撞而改變其動量和方向, 每個分子的運動狀態是隨機

現像. 而大量的分子運動呈現出的總體現像|| 溫度和壓強卻符合波意耳(Boyle) 定律.

科學的任務就在於, 要從看起來錯綜復雜的偶然性中揭示出潛在的必然性, 即事物的

客觀規律性. 這種客觀規律性是在大量現像中發現的, 我們稱其為統計規律性. 概率論與

統計學是研究和揭示隨機現像的統計規律性的一門學科.

1.1.2 隨機試驗和樣本空間

我們將對自然現像的一次觀察或進行一次科學試驗統稱為試驗(experiment). 如果一

個試驗滿足下述三個條件, 則稱其為隨機試驗(random experiment).

(a) 試驗可以在相同的條件下重復進行;

(b) 試驗的所有可能結果是明確可知的, 並且不止一個;

(c) 每次試驗總是恰好出現這些結果中的一個, 但在一次試驗之前卻不能肯定這次試

驗會出現哪個結果.

以後我們所說的試驗都指隨機試驗.

試驗的每一個可能結果稱為隨機事件(random event), 簡稱為事件(event)，一般用字

母A;B;C; ￠￠￠等表示.

例1.1.3 從0; 1; 2; 3; ￠￠￠ ; 9 十個數字中任意選取一個, 可有十種不同的結果：Ai 表示

“取得一個數是i”, i = 0; 1; 2; ￠￠￠ ; 9. 但還有其他可能的結果. 如B 表示“取一個數是奇

數”, C 表示“取得一個大於6 的數”.

我們把不能或不必再分的事件稱為基本事件(elementary event). 如例1.1.3 中的A0,

A1, A2, ￠￠￠ , A9 都是基本事件. 由若干基本事件組合而成的事件稱為復合事件（compound

event). 如例1.1.3 中的C 由A7;A8;A9 三個基本事件復合而成.

基本事件的全體稱為基本事件空間(elementary event space) 或樣本空間（sample space),

通常用字母- 表示. 如果我們用一個單點集f!g 表示一個基本事件, 則樣本空間就是所

有基本事件素所組成的集合. 我們也稱樣本空間中的素為樣本點.

需要說明的是, 樣本素, 即樣本點, 是抽像的點, 可以是數, 也可以不是數;

而且一個樣本空間至少有兩個樣本點, 僅含兩個樣本點的樣本空間是簡單的樣本空間.

這樣一來, 隨機事件就可以理解為樣本空間的子集, 基本事件就是樣本空間的單點子

集. 如例1.1.3 中的Ai = fig; i = 0; 1; 2; ￠￠￠ ; 9; - = f0; 1; 2; ￠￠￠ ; 9g; B = f1; 3; 5; 7; 9g;C =

f7; 8; 9g.

例1.1.4 考慮擲兩枚骰子的試驗, 則樣本空間由下列36 個點組成：

8>

>>>><>>>>>:

(1; 1); (1; 2); (1; 3); (1; 4); (1; 5); (1; 6)

(2; 1); (2; 2); (2; 3); (2; 4); (2; 5); (2; 6)

(3; 1); (3; 2); (3; 3); (3; 4); (3; 5); (3; 6)

(4; 1); (4; 2); (4; 3); (4; 4); (4; 5); (4; 6)

(5; 1); (5; 2); (5; 3); (5; 4); (5; 5); (5; 6)

(6; 1); (6; 2); (6; 3); (6; 4); (6; 5); (6; 6)

9>

>>>>=>>>>>; 此處結果(i; j) 稱為發生, 是指枚骰子擲出i, 第二枚骰子擲出j. 如果E 是“兩枚骰

子點數之和為7”, 則E = f (1; 6); (2; 5); (3; 4); (4; 3); (5; 2); (6; 1) g.

例1.1.5 投擲一枚硬幣, 直到首次觀測到正面出現為止. 由於正面首次出現可能在第

一次投擲中, 可能在第二次投擲中, 也可能在第三次投擲中, 等等. 當然, 也可能永遠不出

現. 因此, 樣本空間有無窮多個樣本點：- = f正; 反正; 反反正; 反反反正; ￠￠￠ g.

根據樣本空素的個數, 可以將樣本空間分為兩類：可數和不可數. 上述例

1.1.3、例1.1.4、例1.1.5 中的樣本空間都是可數的. 而電子產品壽命的樣本空間ft : t > 0g

以及測量誤差的樣本空間fx : ?1 < x < 1g 都是不可數的. 一般而言, 兩者的數學處理

方式有所不同, 而且處理不可數樣本空間的方法比處理可數樣本空間的方法更為便捷, 前

者同時還可以給出後者(也許實際情況是可數的) 的一個準確的近似.

在具體問題中, 十分重要的是：認清所有的基本事件. 我們強調指出基本事件的“不

能或不必再分”是相對於試驗的目的而言, 並不是的.

例1.1.6 投擲兩枚硬幣觀察所出現的面, 則基本事件有四個：f(正, 正)g, f(正, 反)g,

f(反, 正)g, f(反, 反)g. 如果試驗的目的是為了觀察正面出現的次數, 則基本事件有三

個：f正面未出現g, f正面出現一次g, f正面出現兩次g

1.1.3 隨機事件的關繫和運算

如前所述, 隨機事件是隨機試驗的可能結果, 是相應的樣本空間的子集，因而隨機事

件的關繫和運算實質上是集合的關繫和運算.

首先討論兩個特殊的隨機事件：必然事件和不可能事件. 在一定條件下必然發生的

事件稱為必然事件(certain event); 必然不發生的事件稱為不可能事件(impossible event)．

將必然事件和不可能事件仍然看做隨機事件是為了敘述上的方便. 作為樣本空間的子集,

必然事件和不可能事件分別對應著樣本空間- 本身和空集?. 因而我們仍用- 和? 分

別表示必然事件和不可能事件.

其次需要指出的是, 一個事件A 發生的含義是指, 在試驗中, 出現了A 中所包含的

某一個基本事件.

(一) 事件的包含關繫(containment)

如果事件A 發生必然導致事件B 發生, 則稱事件A 包含於事件B, 或稱事件B 包

含事件A, 記為A μ B. 事件作為樣本點的集合, A 含於B 即為A 是B 的子集. 如在例

1.1.3 中, A1 μ B, A7 μ C.

如果A μ B, 且B μ A, 則稱事件A 和B相等(equality), 記作A = B.

(二) 事件的並(union)

“事件A 與B 中至少有一個發生”這一事件稱為事件A 與B 的並事件, 簡稱為並,

記作A [ B. 作為樣本點集合的事件, A [ B 即為A 和B 的並集. 即

A [ B = f! : ! 2 A 或! 2 Bg:

如在例1.1.3 中, B [C 表示“取出一數或者大於6, 或者是奇數”, 也就是“取得一數為1,

3, 5, 7, 8, 9 中之一數”. 換言之, 隻要取得1, 3, 5, 7, 8, 9 六個數任何一數. 我們都說事件

B [ C 發生了.

(三) 事件的交(intersection)

“事件A 與B 同時發生”這一事件稱為事件A 與B 的交事件, 簡稱為交, 記作

A \\ B(或簡記為AB). 作為樣本點集合的事件, A \\ B 即為A 和B 的交集. 即

A \\ B = f! : ! 2 A 且! 2 Bg:

如在例1.1.3 中, B \\ C 表示“取得一數為7 或9”.

(四) 事件的差(di?erence)

“事件A 發生並且事件B 不發生”這一事件稱為事件A 與B 的差事件, 簡稱為差,

記作A ? B. 作為樣本點集合的事件, A ? B 即為A 和B 的差集. 即

A ? B = f! : ! 2 A 且! =2 Bg:

如在例1.1.3 中, B ? C 表示“取得一數或為1, 或為3, 或為5”.

(五) 互不相容(mutually exclusive) 關繫和對立(complementary) 關繫

如果事件A 與B 不能同時發生, 即AB = ?, 則稱事件A 與B互不相容或不

交(disjoint). 如例1.1.3 中, A1 與C 互不相容. 今後我們說三個或三個以上的事件互

不相容是指兩兩不交(pairwise disjoint).

如果事件A 與B 不能同時發生, 並且必然有一個發生, 即AB = ?, 且A [ B = -,

則稱事件A 與B 互為對立事件，或互為逆事件(inverse event), 記作Ac = B 或Bc = A.

即

Ac = f! : ! =2 Ag:

如例1.1.3 中, 事件B 的逆事件Bc 表示“取得一數為偶數(包括0)”.

作為樣本點的集合, 兩個事件A 與B 互不相容即A 和B 無公共樣本點; 兩個事件

A 與B 互為逆事件即A 和B 無公共樣本點, 並且A 和B 包含了所有的樣本點, 也就是

說A 和Ac 構成了對樣本空間的一個“劃分”(partition).

(六) 兩個事件的對稱差(symmetric di?erence)

“事件A, B 恰有一個發生”這一事件稱為事件A 與B 的對稱差事件, 簡稱為對稱

差, 記作A4B. 作為樣本點集合的事件, A4B 即A 和B 的對稱差集. 即

A4B = (ABc) [ (AcB) = (A [ B) ? (AB):

例1.1.7 設A;B;C 是同一樣本空間的三個事件, 則

(1) 事件“A 和B 發生, C 不發生”可以表示為：A \\ B \\ Cc;

(2) 事件“A、B、C 至少有一個不發生”可以表示為：Ac [ Bc [ Cc = (ABC)c;

(3) 事件“A、B、C 有兩個發生”可以表示為：AB [ BC [ CA;

(4) 事件“A、B、C 至少恰好有兩個發生”可以表示為：ABCc [ ABcC [ AcBC;

(5) 事件“A、B、C 都不發生”可以表示為：AcBcCc.

事實上, 集合論的知識用於解釋事件之間的關繫和運算是非常自然的. 韋恩圖(Venn

diagram) 是一種用來描述事件之間的邏輯關繫的非常有效的幾何表示方法. 樣本空間表

示為平面上一矩形, 表示包含了所有可能的結果, 事件A, B 等表示為包含在矩形之內的

一個個小圓形, 所關心的事件用相應的陰影區域來表示. 事件的關繫和運算可通過韋恩

圖表示, 如圖1.1 所示.

有時我們還需要把事件的並與交運算推廣到可數無窮多個事件的情形. 對可數個事

件A1;A2; ￠￠￠ , 我們規定它們的並

A1 [ A2 [ ￠￠￠ =

1[i=1

Ai

表示“A1;A2; ￠￠￠中至少有一個事件發生”; 規定它們的交

A1 \\ A2 \\ ￠￠￠ =

1\\i=1

Ai

表示“A1;A2; ￠￠￠同時發生”.

上極限和下極限也是概率論中的兩個重要概念. 對可數個事件A1;A2; ￠￠￠ , 我們規定

它們的上極限事件

lim sup

n!1

An =

1\\i=1

1[n=i

An

表示“A1;A2; ￠￠￠中有無窮多個事件發生”; 規定它們的下極限事件

lim inf

n!1

An =

1[i=1

1\
=i

An

表示“A1;A2; ￠￠￠中至多有有限個事件不發生”. 下面解釋它們的意義.

對於上極限事件, 有

! 2

1\\i=1

1[n=i

An ()8 i 2 N; ! 2

1[n=i

An () 8 i 2 N; 9ni > i; 使得! 2 Ani

()! 2 A1;A2; ￠￠￠中無窮多個:

類似地, 對於下極限事件, 有

! 2

1[i=1

1\
=i

An ()9i 2 N; ! 2

1\
=i

An () 9i 2 N; 8 n > i; 都有! 2 An

()!至多不屬於A1;A2; ￠￠￠中的有限個:

由於“A1;A2; ￠￠￠中至多有有限個事件不發生”顯然蘊含了“A1;A2; ￠￠￠中有無窮多個事

件發生”, 因而有如下關繫：

lim inf

n!1

An μ lim sup

n!1

An:

不難驗證事件間的運算滿足如下運算律：

(1) 交換律(commutative law) A [ B = B [ A; A \\ B = B \\ A;

(2) 結合律(associative law) A[(B [C) = (A[B)[C; A\\(B \\C) = (A\\B)\\C;

(3) 分配律(distributive law) A \\ (B [ C) = (A \\ B) [ (A \\ C),

A [ (B \\ C) = (A [ B) \\ (A [ C);

(4) 對偶律(duality law 或DeMorgan's law) 對有限或無窮多個Ai, 都有

3[i

Ai′c

=\\i

(Ai)c; 3\\i

Ai′c

=[i

(Ai)c;

(5) A ? B = A \\ Bc = A ? (AB);

(6) (Ac)c = A; Ac = - ? A.

1.2 排列與組合

正確計數對於計算概率十分重要, 本節就先講一些有關計數的基本知識. 本節內容

是初等數學中排列與組合的回顧與提高.

計數問題往往比較復雜, 我們在處理時通常要附加一些約束. 解決復雜計數問題的

方法是將它分解成若干簡單、易於計算的子問題, 然後再利用已知的規則將子問題整合

起來. 而上述過程的步通常都基於如下兩條計數原理.

(1) 乘法原理如果某件事情需要經過k 個步驟完成, 步有m1 種方法, 第二步

有m2 種方法, ￠￠￠ , 第k 步有mk 種方法, 那麼完成這件事共有m1 ￡m2 ￡￠￠￠￡mk 種方

法.

乘法原理是將一個復雜問題看成幾個子問題的串聯, 特征是分步. 譬如, 甲地到乙地

有3 條路可走, 乙地到丙地有2 條路可走, 那麼從甲地經乙地到丙地共有2 ￡ 3 = 6 條路

可走.

(2) 加法原理如果某件事情可由k 類不同途徑之一去完成, 類途徑中有m1 種

完成方法, 第二類途徑中有m2 種完成方法, ￠￠￠ , 第k 類途徑中有mk 種完成方法, 那麼

完成這件事共有m1 + m2 + ￠￠￠ + mk 種方法.

加法原理是將一個復雜問題看成幾個子問題的並聯, 特征是分類. 譬如, 甲地到乙地

有3 類交通工具可選：汽車、火車和飛機. 而汽車有5 個班次, 火車有3 個班次, 飛機有

2 個班次, 那麼從甲地到乙地共有5 + 3 + 2 = 10 個班次可供選擇.

1.2.1 排列組合的基本模式

排列與組合都是解決“從素中任取r(6 n素”的取法計數問題. 主要區

別在於前者講素的次序, 後者不考慮次序.

一般地, 從n 素中取出r(6 n素, 按照一定的順序排成一列, 叫做從n

素中取出r(6 n素的一個排列(permutation 或arrangement). 從n 個不同
<素中取出r(6 n素的所有不同排列的個數叫做從n 素中取出r(6 n) 個
<素的排列數, 用符號Pr

n(或Ar

n) 表示, 且有

Pr

n = n!

(n ? r)! :

從n 素中取出r(6 n素合成一組, 叫做從n 素中取出r(6 n)

的個數叫做從n 素中取出r(6 n素的組合數, 用符號Cr

n (或?n

r￠) 表示, 且

有

Cr

n = n!

r!(n ? r)!

= Pr

n

r! :

顯然, 利用組合本身的意義解釋(當然也可以直接推導), 可以驗證如下組合恆等式：

Cr

n = Cn?r

n ; (1.2.1)

Cr

n+1 = Cr

n + Cr?1

n ; (1.2.2)

Cr

n+m = C0

nCr

m + C1

n Cr?1

m + ￠￠￠ + Cr

n C0

m; (1.2.3)

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