第1章 雞兔同籠：矩陣與線性方程組的關繫 1
1.1列算式解雞兔同籠問題 2
1.1.1《孫子算經》中記載的解法 2
1.1.2小學課堂上的解法 2
1.2用方程的思想求解雞兔同籠問題 2
1.2.1一次方程組求解雞兔同籠問題 2
1.2.2解方程組的方法更程序化 3
1.2.3什麼是線性方程組 4
1.3用數的表格——“矩陣”表示線性方程組 4
1.3.1用數字表格簡化表示線性方程組 4
1.3.2一種新的數學符號——矩陣誕生了！ 5
1.4用矩陣方法求解線性方程組 7
1.4.1用矩陣表示線性方程組的解題過程 7
1.4.2矩陣的一種運算——初等行變換 7
1.4.3矩陣的初等行變換與方程組的等價變換 8
1.5用矩陣解決升級版雞兔同籠問題 9
1.5.1升級版雞兔同籠問題——獸禽問題 9
1.5.2更難的問題——王婆賣瓜問題 10
1.5.3王婆賣瓜問題的思考——出現多個解時，怎麼選擇？ 11
1.6怎麼喫健康——定制健康食譜 12
1.6.1定制食譜步：確定攝入量 13
1.6.2定制食譜第二步：選定食物，建立線性方程組 13
1.6.3定制食譜第三步：求解線性方程組 14
1.6.4定制食譜後一步：選擇一組合適的食物搭配 15
1.6.5什麼是規劃問題 16
1.7我們的生活離不開線性方程組 17
第2章 數字遊戲：好玩的矩陣 18
2.1矩陣就是數字公寓 19
2.1.1矩陣的尺寸 19
2.1.2數字公寓的門牌號 20
2.2把矩陣翻轉一下，會怎麼樣？ 21
2.2.1怎樣翻轉矩陣 21
2.2.2翻轉後不變的方陣 23
2.3各種特殊的方陣 24
2.3.1三角矩陣就是數字三角形 24
2.3.2對角矩陣 25
2.4幻方遊戲你玩過嗎？ 26
2.4.1幻方是中國人的發明 26
2.4.2利用矩陣求解一個三階幻方 28
2.4.3三階幻方的特點 30
2.4.4利用矩陣求解[n]階幻方的思路 31
2.5數獨也是矩陣遊戲 32
2.5.1令歐拉著迷的拉丁方陣 32
2.5.2數獨遊戲 34
2.5.3用分塊矩陣的思想填寫數獨矩陣 35
第3章 經營水果店：經營管理中的矩陣 38
3.1用矩陣加法計算總銷量 39
3.1.1總銷量計算問題 39
3.1.2矩陣的加法不能隨便做 40
3.1.3用矩陣的減法找回丟失的報表 42
3.1.4矩陣的加、減法與實數的加、減法 43
3.1.5幻方矩陣的加法 44
3.2用數乘矩陣解決銷量、損耗量問題 45
3.2.1利用數與矩陣的乘法運算制定銷量計劃 45
3.2.2促銷打折、水果損耗量計算中的矩陣運算 46
3.2.3數乘矩陣的進一步探究 47
3.2.4數乘矩陣運算的運算規律 48
3.2.5幻方矩陣的數乘 50
3.3用矩陣乘法進行更復雜的經營管理 50
3.3.1阿明的精品水果禮盒業務 50
3.3.2用矩陣乘矩陣算賬 51
3.3.3簡單的矩陣乘法 53
3.3.4矩陣乘法真好用！ 54
3.3.5單位矩陣是沒有美顏功能的素顏相機 55
3.4矩陣乘法的顯微鏡底下看線性方程組 55
3.4.1線性方程組的真面目 55
3.4.2橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同 56
3.5矩陣乘法中的座位號是不可以交換的！ 57
3.5.1交換位置，可能就玩不到一起了！ 57
3.5.2為什麼矩陣乘法不滿足交換律？ 59
3.5.3什麼樣的矩陣乘法滿足交換律？ 60
3.5.4總是可交換的矩陣 61
3.5.5可逆的方陣 61
3.6一個籐上N個瓜——矩陣的連乘 62
3.6.1雖然不滿足交換律，矩陣乘法還是可以靈活計算的 62
3.6.2矩陣有平方嗎？ 63
3.6.3不忘初心的冪等矩陣 64
3.7水果店老板的市場調研 65
3.7.1阿明要在大學城裡開水果店 65
3.7.2預測水果店的市場占有率 66
3.8神出鬼沒的零矩陣 67
3.8.1遇上它們，就成了它們——它們是誰？ 67
3.8.2沒遇上它們，也可能變成它們——神出鬼沒的零矩陣 68
第4章 數碼照片：矩陣與PS技術 70
4.1對計算機來說，照片就是矩陣 71
4.1.1組成數碼照片——像素 71
4.1.2一張黑白照片=一個矩陣 72
4.1.3一張彩色照片=三個矩陣 73
4.2修圖其實是做數學計算題 75
4.2.1美顏App用矩陣運算精修你的照片 75
4.2.2給照片加上濾鏡 76
4.2.3給照片加水印 78
4.3怎樣給照片“瘦身”？ 79
4.3.1壓縮一張照片的數學原理是什麼？ 79
4.3.2隔一行刪一行——簡單的壓縮算法 80
4.3.3矩陣的乘法分解——常用的SVD壓縮算法 80
4.3.4視頻壓縮也是矩陣運算 81
4.3.5壓縮的反操作——照片恢復 81
4.4改變人類生活的人工智能算法離不開矩陣 83
4.4.1人工智能要讓計算機像人類一樣思考 83
4.4.2一個水果店的例子 85
4.4.3人工神經網絡的結構 86
4.4.4神經網絡的必經之路——訓練和學習 87
4.4.5計算機認人和你認人的過程是類似的 88
4.4.6熟能生巧——數百萬次的訓練，纔能做到過目不忘 90
4.4.7深度學習，不僅僅能學認人 92
第5章 計算機繪畫：用矩陣創造藝術 93
5.1意義非凡的平面直角坐標繫 94
5.1.1認識平面直角坐標繫 94
5.1.2坐標繫可以讓函數和方程有“顏” 95
5.1.3用幾何解決雞兔同籠問題 96
5.2計算機繪圖是怎麼做到的？ 97
5.2.1計算機是怎麼畫出一條線段的？ 98
5.2.2計算機是怎麼畫圓的？ 100
5.2.3更好的畫圓思路 102
5.2.4計算機繪制幾何圖形的總體思路 103
5.3字體和藝術字——幾何圖形和線性變換 103
5.3.1不同的字體，計算機是如何顯示出來的？ 103
5.3.2改變字符的字號，計算機是怎麼做的？ 104
5.3.3把一個字符變成斜體的線性變換——剪切變換 106
5.3.4藝術字體中的鏡像變換，其實也是矩陣乘法 108
5.4從心形線到四葉草——旋轉變換的魔力 110
5.4.1怎麼畫心形線和四葉草？ 110
5.4.2旋轉變換的數學原理 112
5.4.3平面幾何圖形的線性變換 113
5.5計算機怎麼制作電影特效？ 114
5.5.1悸動的心——二維動畫特效演示 114
5.5.2海嘯、暴風雪、爆炸的特效，計算機是怎麼做到的？ 115
第6章 加密解密：矩陣與密碼 116
6.1用小學數學運算對銀行卡密碼加密 117
6.1.1設計要求——安全、準確地傳遞信息 117
6.1.2用十以內整數加法設計的加密算法 118
6.1.3用乘法表設計的加密算法 120
6.1.4更復雜的加密算法 121
6.2怎麼加密文字信息？ 121
6.2.1古羅馬戰神凱撒的秘密武器——凱撒密碼 121
6.2.2凱撒密碼的數學原理 122
6.2.3用乘法原理對文字信息進行加密 124
6.2.4使用統計規律破譯加密算法 125
6.2.5自帶“鑰匙”的加密算法 125
6.3用矩陣乘法加密你的銀行卡密碼 127
6.3.1用矩陣乘法加密數字明文 127
6.3.2這樣加密靠譜嗎？ 128
6.3.3怎麼解密數字信息？ 129
6.3.4解密過程怎麼改進？ 130
6.3.5一些密碼學干貨 131
6.3.6請你來設計一個加密算法吧！ 133
6.4希爾密碼——用矩陣乘法加密文字信息 134
6.4.1怎樣設計希爾密碼的加密矩陣？ 134
6.4.2為你的日記設計希爾加密算法 135
6.4.3怎樣得到希爾密碼的解密矩陣？ 136
6.4.4希爾密碼的破譯 137
6.4.5動態的希爾密碼 137
第7章 互聯網：矩陣的世界 139
7.1用矩陣表示你的社交網絡 140
7.1.1繪制一張微信好友關繫圖 140
7.1.2繪制一張微博好友關繫圖 141
7.1.3你有幾個微信好友？幾個微博粉絲？ 143
7.1.4代表真實社交網絡的矩陣非常大 145
7.2認識一個陌生人，少需要幾個人介紹？ 145
7.2.1通過社交網絡，通過一個中間人認識另一個人 145
7.2.2兩個人相識，多需要幾個中間人？ 147
7.2.3真實世界——全世界任何兩個人相識，隻需要六個人 148
7.3玩“見面分一半”的遊戲，能實現“共同富裕”嗎？ 149
7.3.1財富分布不均衡的人類社會 149
7.3.2實現財富平均分配的一種方法 149
7.4網頁搜索的原理是什麼？ 152
7.4.1網頁搜索結果是隨機排序的嗎？ 152
7.4.2早期的網頁搜索算法 152
7.4.3因一個算法而誕生的高科技公司 153
7.4.4谷歌公司的網頁排序新算法——PageRank算法 153
7.4.5PageRank算法的數學模型 154
7.4.6網頁的得分和用戶打開的個網頁有關繫嗎？ 156
7.4.7網頁的得分和超鏈接關繫圖密不可分 157
7.4.8算法比你還懂你 159
7.5谷歌每天為幾百萬億個網頁排序，計算量大嗎？ 160
7.5.1網頁之間的鏈接關繫圖有多大？ 160
7.5.2網頁之間的鏈接，和人類社會網絡很像 160
7.5.3面對巨大的計算量，該怎麼辦？ 162
7.5.4計算工程分包自動化——MapReduce算法 163
第8章 田忌賽馬：博弈論中的矩陣 165
8.1田忌賽馬與博弈論 166
8.1.1田忌賽馬的故事 166
8.1.2用矩陣表示賽馬結果 166
8.1.3博弈論的發展歷史 168
8.2如果齊王也懂博弈論 168
8.2.1一場賽馬比賽的所有可能結果有哪些？ 168
8.2.2下一次賽馬，田忌還能繼續贏嗎？ 170
8.2.3用矩陣表示博弈雙方的收益 171
8.2.4策略與納什均衡 172
8.3一個“雙輸”的博弈——囚徒博弈 174
8.3.1什麼是囚徒博弈？ 174
8.3.2囚徒困境——為了避免壞的結局，錯過了更好的結局 174
8.3.3現實中的囚徒困境 175
8.3.4囚徒困境可以改變嗎？ 176
8.4一個“雙贏”的博弈——雪堆博弈 177
8.4.1什麼是雪堆博弈？ 177
8.4.2什麼時候不鏟雪？ 179
8.4.3什麼時候鏟雪？ 180
8.4.4歷史故事中的“雪堆博弈” 181
8.5為什麼俗話說“久賭必輸”？ 182
8.5.1一個“看上去公平”的簡單模型 182
8.5.2一個貪心的賭徒 184
8.5.3賭博的潛在不公：莊家的贏面稍大一些 186

這本書的寫作目的：

線性代數是大學理工類、經濟管理類專業必修的數學基礎課程，這門課對後續的專業課研修具有重要意義。但由於其知識體繫龐大、概念抽像，給學生的學習帶來不小的挑戰。然而，課堂講授多以抽像的數學概念為主，鮮少涉及這些概念在現實生活中的應用，這使學生對於線性代數的興趣索然。
本書旨在解決這一矛盾，使讀者了解線性代數相關理論在現實世界中的豐富應用，從而激發讀者學習線性代數的興趣和熱情。

筆者的使用體會：

筆者在寧夏科技館（寧夏青少年科技活動中心）舉辦的中學生科普講座中，多次講授本書相關內容，使中學生對數學在現實生活中的應用有了更加直觀的感受，激發了中學生學習數學的興趣和熱情。另一方面，近年來筆者也將本書部分內容應用於大學本科數學課程線性代數的教學過程。課前學生通過了解線性代數在各行各業的具體應用，獲得相關數學概念的直觀體驗。這樣，學生帶著興趣、帶著問題走進線性代數的課堂，使課堂學習充滿了樂趣。

這本書的特色：

本書分別從中國古代數學思想、益智遊戲、企業管理、計算機科學、博弈論等角度出發，介紹了線性代數和矩陣理論中的矩陣運算、線性變換、轉移概率矩陣等數學概念在上述領域的應用。

這本書包括什麼內容：

第1章“雞兔同籠：矩陣與線性方程組的關繫”，從中國古代經典數學問題雞兔同籠入手，介紹了線性方程組及其矩陣表示、初等行變換求解線性方程組的基本方法。並進一步通過健康飲食分析介紹了線性規劃問題。

第2章“數字遊戲：好玩的矩陣”，介紹了方陣、三角矩陣、對角矩陣等數學概念，以及中國古代經典數學遊戲“九宮算”，並進一步介紹了幻方矩陣、拉丁方陣、數獨遊戲與矩陣的關繫。還給出了利用矩陣的初等行變換設計數獨矩陣的方法。

第3章“經營水果店：經營管理中的矩陣”，通過水果店老板阿明在生產經營活動中所遇到的一繫列問題，介紹了矩陣的加法、減法、數乘、乘法、冪等矩陣基本運算。

第4章“數碼照片：矩陣與PS技術”，介紹了矩陣運算在數碼照片的存儲、美化、識別等方面的應用。特別是通過介紹人臉識別算法，對深度學習神經網絡算法做了一個初步介紹。

第5章“計算機繪畫：用矩陣創造藝術”，通過展示計算機繪圖、藝術字體等計算機操作中蘊含的數學原理，介紹了線性變換的概念。並通過制作“悸動的心”的動畫，淺顯地介紹了電影中的計算機特效技術背後的數學原理。

第6章“加密解密：矩陣與密碼”，介紹了早的加密算法——凱撒密碼，並進一步介紹了希爾密碼設計、加密和解密原理。通過介紹希爾密碼，介紹了模m逆矩陣的概念。

第7章“互聯網：矩陣的世界”，從兩個方面介紹了互聯網世界中的矩陣。首先，通過微信、微博等社交網絡的結構，介紹圖論中無向圖、有向圖、鄰接矩陣等概念。然後，介紹了谷歌公司發明的搜索算法——PageRank算法和MapReduce算法背後的數學原理，展示了矩陣理論在搜索算法和並行計算中的應用。

第8章“田忌賽馬：博弈論中的矩陣”，通過中國古代著名的博弈故事“田忌賽馬”展示了矩陣在博弈論中的應用，並進一步介紹了納什均衡的概念、囚徒博弈模型和雪堆博弈模型。後，分析了“久賭必輸”背後的數學原理。

本書讀者對像：

• 對數學感興趣的中學生


• 大學本科生


• 其他對數學有興趣的各類人員

感謝：

本書受到寧夏科技館（寧夏青少年科技活動中心）的資助。