第1章 笛卡兒坐標繫 1
1.1 一維數學 1
1.2 二維笛卡兒空間 4
1.2.1 示例：假設的Cartesia城市 5
1.2.2 任意二維坐標空間 6
1.2.3 使用笛卡兒坐標指定二維中的位置 10
1.3 三維笛卡兒空間 11
1.3.1 新增維度和軸 12
1.3.2 在三維中指定位置 13
1.3.3 左手與右手坐標空間 13
1.3.4 本書中使用的一些重要約定 16
1.4 一些零散的基礎知識介紹 17
1.4.1 求和與求積的表示法 17
1.4.2 區間符號 18
1.4.3 角度、度數和弧度 19
1.4.4 三角函數 20
1.4.5 三角函數的恆等式 23
1.5 練習 25
第2章 矢量 29
2.1 向量和其他無聊東西的數學定義 29
2.2 矢量的幾何定義 32
2.3 使用笛卡兒坐標指定矢量 33
2.3.1 作為位移序列的矢量 34
2.3.2 零矢量 35
2.4 矢量與點 36
2.4.1 相對位置 36
2.4.2 點與矢量之間的關繫 37
2.4.3 一切都是相對的 38
2.5 負矢量 40
2.5.1 正式線性代數規則 40
2.5.2 幾何解釋 41
2.6 標量和矢量的乘法 42
2.6.1 正式線性代數規則 42
2.6.2 幾何解釋 43
2.7 矢量的加法和減法 43
2.7.1 正式線性代數規則 44
2.7.2 幾何解釋 45
2.7.3 從一點到另一點的位移矢量 47
2.8 矢量大小 47
2.8.1 正式線性代數規則 47
2.8.2 幾何解釋 48
2.9 單位矢量 49
2.9.1 正式線性代數規則 50
2.9.2 幾何解釋 50
2.10 距離公式 51
2.11 矢量點積 52
2.11.1 正式線性代數規則 52
2.11.2 幾何解釋 53
2.12 矢量叉積 60
2.12.1 正式線性代數規則 60
2.12.2 幾何解釋 61
2.13 線性代數恆等式 63
2.14 練習 64
第3章 多個坐標空間 71
3.1 為什麼需要多個坐標空間？ 71
3.2 一些有用的坐標空間 73
3.2.1 世界空間 73
3.2.2 對像空間 74
3.2.3 相機空間 75
3.2.4 直立空間 75
3.3 基矢量和坐標空間轉換 77
3.3.1 雙重視角 78
3.3.2 指定坐標空間 85
3.3.3 基矢量 86
3.4 嵌套坐標空間 93
3.5 針對直立空間的再解釋 94
3.6 練習 95
第4章 矩陣簡介 99
4.1 矩陣的數學定義 99
4.1.1 矩陣維度和表示法 100
4.1.2 方形矩陣 100
4.1.3 作為矩陣的矢量 101
4.1.4 矩陣轉置 102
4.1.5 矩陣與標量相乘 103
4.1.6 兩個矩陣相乘 103
4.1.7 矢量和矩陣相乘 106
4.1.8 行與列矢量 108
4.2 矩陣的幾何解釋 109
4.3 線性代數的宏大圖景 113
4.4 練習 115
第5章 矩陣和線性變換 121
5.1 旋轉 122
5.1.1 在二維中的旋轉 122
5.1.2 圍繞主軸的三維旋轉 122
5.1.3 圍繞任意軸的三維旋轉 124
5.2 縮放 126
5.2.1 沿主軸縮放 127
5.2.2 任意方向的縮放 128
5.3 正交投影 130
5.3.1 投影到主軸或主平面上 131
5.3.2 投影到任意線或平面上 132
5.4 反射 133
5.5 錯切 134
5.6 組合變換 135
5.7 變換的分類 136
5.7.1 線性變換 137
5.7.2 仿射變換 138
5.7.3 可逆變換 138
5.7.4 保持角度的變換 139
5.7.5 正交變換 139
5.7.6 剛體變換 140
5.7.7 變換類型總結 140
5.8 練習 141
第6章 矩陣詳解 143
6.1 矩陣的行列式 143
6.1.1 關於2×2和3×3矩陣的行列式 143
6.1.2 子矩陣行列式和餘子式 145
6.1.3 任意n×n矩陣的行列式 146
6.1.4 行列式的幾何解釋 149
6.2 逆矩陣 149
6.2.1 經典伴隨矩陣 150
6.2.2 逆矩陣—正式線性代數規則 151
6.2.3 逆矩陣—幾何解釋 152
6.3 正交矩陣 152
6.3.1 正交矩陣—正式線性代數規則 153
6.3.2 正交矩陣—幾何解釋 153
6.3.3 矩陣的正交化 155
6.4 關於4×4齊次矩陣 157
6.4.1 關於四維齊次空間 157
6.4.2 關於4×4平移矩陣 158
6.4.3 一般仿射變換 161
6.5 關於4×4矩陣和透視投影 162
6.5.1 針孔相機 164
6.5.2 透視投影矩陣 167
6.6 練習 168
第7章 極坐標繫 171
7.1 關於二維極坐標空間 171
7.1.1 使用二維極坐標定位點 171
7.1.2 別名 174
7.1.3 關於二維中笛卡兒坐標和極坐標之間的變換 177
7.2 為什麼有人會使用極坐標？ 180
7.3 關於三維極坐標空間 182
7.3.1 圓柱坐標 182
7.3.2 球面坐標 183
7.3.3 在三維虛擬世界中有用的一些極坐標約定 184
7.3.4 球面坐標的別名 186
7.3.5 球面坐標和笛卡兒坐標之間的轉換 189
7.4 使用極坐標指定矢量 192
7.5 練習 193
第8章 三維旋轉 197
8.1 “定向”含義探微 197
8.2 矩陣形式 199
8.2.1 矩陣的選擇 199
8.2.2 方向餘弦矩陣 202
8.2.3 矩陣形式的優點 203
8.2.4 矩陣形式的缺點 204
8.2.5 矩陣形式小結 205
8.3 歐拉角 206
8.3.1 歐拉角約定 206
8.3.2 其他歐拉角約定 208
8.3.3 歐拉角的優點 212
8.3.4 歐拉角的缺點 213
8.3.5 歐拉角小結 217
8.4 軸-角和指數映射表示方式 218
8.5 &nbs數 220
8.5.1 &nbs數表示法 221
8.5.2 這四個數字的意思 222
8.5.3 &nbs數變負 222
8.5.4 數 223
8.5.5 &nbs數的大小 223
8.5.6 &nbs數的共軛和逆 224
8.5.7 &nbs數乘法 225
8.5.8 &nbs數的“差” 228
8.5.9 &nbs數點積 228
8.5.10 &nbs數的對數、指數和標量乘法 229
8.5.11 &nbs數指數 230
8.5.12 &nbs數插值 232
8.5.13 &nbs數的優缺點 236
8.5.14 作為復數 237
8.5.15 &nbs數概要 244
8.6 方法比較 245
8.7 表示方式之間的轉換 247
8.7.1 將歐拉角轉換為矩陣 247
8.7.2 將矩陣轉換為歐拉角 250
8.7.3 數轉換為矩陣 253
8.7.4 將矩陣轉數 255
8.7.5 將歐拉角轉數 259
8.7.6 數轉換為歐拉角 260
8.8 練習 262
第9章 267
9.1 表示技術 267
9.2 直線和光線 269
9.2.1 光線 270
9.2.2 直線的特殊二維表示 271
9.2.3 表示方式之間的轉換 274
9.3 球體和圓形 275
9.4 包圍盒 276
9.4.1 關於AABB的表示方式 277
9.4.2 計算AABB 278
9.4.3 關於AABB與包圍球 279
9.4.4 變換AABB 280
9.5 平面 283
9.5.1 平面方程：平面的隱式定義 284
9.5.2 使用3個點定義一個平面 285
9.5.3 超過3個點的“擬合”平面 286
9.5.4 點到平面的距離 288
9.6 三角形 289
9.6.1 表示法 290
9.6.2 三角形的面積 291
9.6.3 重心空間 293
9.6.4 計算重心坐標 296
9.6.5 特殊點 302
9.7 多邊形 304
9.7.1 簡單多邊形和復雜多邊形 304
9.7.2 凸多邊形和凹多邊形 306
9.7.3 三角剖分和扇形分割 310
9.8 練習 311
第10章 三維圖形的數學主題 313
10.1 圖形工作原理 314
10.1.1 兩種主要的渲染方法 315
10.1.2 描述表面特性：BRDF 320
10.1.3 顏色和輻射度測量簡介 322
10.1.4 渲染方程 327
10.2 關於三維視圖 330
10.2.1 指定輸出窗口 330
10.2.2 像素寬高比 331
10.2.3 視錐體 332
10.2.4 視野和縮放 333
10.2.5 正交投影 336
10.3 坐標空間 337
10.3.1 模型、世界和相機空間 337
10.3.2 裁剪空間和裁剪矩陣 338
10.3.3 裁剪矩陣：準備投影 339
10.3.4 裁剪矩陣：應用縮放並準備裁剪 342
10.3.5 屏幕空間 345
10.3.6 坐標空間概述 346
10.4 多邊形網格 348
10.4.1 索引三角網格 350
10.4.2 表面法線 353
10.5 紋理映射 360
10.6 標準局部照明模型 363
10.6.1 標準照明公式：概述 363
10.6.2 鏡面反射分量 364
10.6.3 漫反射分量 369
10.6.4 環境光和發光分量 371
10.6.5 照明方程：綜合考慮各分量 372
10.6.6 標準模型的局限性 374
10.6.7 平面著色和Gouraud著色 375
10.7 光源 378
10.7.1 標準抽像光類型 378
10.7.2 光衰減 381
10.7.3 關於Doom風格體積光 383
10.7.4 預先計算的照明 386
10.8 骷髏動畫 387
10.9 凹凸映射 394
10.9.1 切線空間 396
10.9.2 計算切線空間基矢量 397
10.10 實時圖形管道 401
10.10.1 緩衝區 408
10.10.2 傳遞幾何體 409
10.10.3 頂點級別的操作 413
10.10.4 裁剪 414
10.10.5 背面剔除 417
10.10.6 光柵化、著色和輸出 418
10.11 一些HLSL示例 420
10.11.1 貼花著色和HLSL基礎知識 420
10.11.2 基礎的每個像素Blinn-Phong照明 422
10.11.3 使用Gouraud著色算法 431
10.11.4 凹凸映射 436
10.11.5 蒙皮網格 439
10.12 深入閱讀建議 443
10.13 練習 444
第11章 力學1：線性運動學和微積分 449
11.1 概述 449
11.1.1 忽略的東西 449
11.1.2 關於宇宙的一些有用的謊言 450
11.2 基本數量和單位 452
11.3 平均速度 455
11.4 瞬時速度和導數 458
11.4.1 極限參數和導數的定義 459
11.4.2 導數示例 463
11.4.3 通過定義計算導數 465
11.4.4 導數的表示法 469
11.4.5 一些求導法則和快捷方式 471
11.4.6 泰勒級數的一些特殊函數的導數 474
11.4.7 鏈式法則 476
11.5 加速度 478
11.6 恆定加速度下的運動 480
11.7 積分 493
11.7.1 積分的例子 495
11.7.2 導數與積分之間的關繫 497
11.7.3 微積分小結 501
11.8 勻速圓周運動 502
11.8.1 平面內的勻速圓周運動 503
11.8.2 三維中的勻速圓周運動 507
11.9 練習 509
第12章 力學2：線性和旋轉動力學 513
12.1 牛頓的3個基本定律 513
12.1.1 牛頓的前兩個定律：力與質量 514
12.1.2 慣性參考繫 517
12.1.3 牛頓第三定律 518
12.2 一些簡單的力定律 521
12.2.1 重力 521
12.2.2 摩擦力 524
12.2.3 彈簧力 528
12.3 動量 536
12.3.1 動量守恆 539
12.3.2 質心 540
12.4 衝擊力和踫撞 543
12.4.1 完全非彈性踫撞 545
12.4.2 一般踫撞響應 547
12.4.3 關於Dirac Delta 554
12.5 旋轉動力學 555
12.5.1 旋轉運動學 556
12.5.2 關於二維旋轉動力學 558
12.5.3 關於三維旋轉動力學 565
12.5.4 與旋轉的踫撞響應 568
12.6 實時剛體模擬器 570
12.6.1 物理引擎狀態變量 571
12.6.2 高級概述 576
12.6.3 歐拉積分 581
12.6.4 旋轉的積分 584
12.7 深入閱讀建議 586
12.8 練習 588
第13章 三維曲線 591
13.1 參數多項式曲線 591
13.1.1 參數曲線 592
13.1.2 多項式曲線 592
13.1.3 矩陣表示法 594
13.1.4 兩種簡單的曲線 595
13.1.5 單項式端點 595
13.1.6 速度和切線 596
13.2 多項式插值 598
13.2.1 艾特肯的算法 600
13.2.2 拉格朗日基多項式 603
13.2.3 多項式插值彙總 607
13.3 埃爾米特曲線 608
13.4 貝塞爾曲線 613
13.4.1 關於de Casteljau算法 614
13.4.2 伯恩斯坦基多項式 619
13.4.3 貝塞爾導數及其與埃爾米特形式的關繫 624
13.5 細分 627
13.5.1 細分單項式曲線 628
13.5.2 細分貝塞爾曲線 629
13.6 樣條曲線 631
13.6.1 遊戲規則 633
13.6.2 節點 634
13.7 埃爾米特和貝塞爾樣條曲線 635
13.8 連續性 638
13.8.1 參數連續性 639
13.8.2 幾何連續性 641
13.8.3 曲線平滑度 642
13.9 自動切線控制 642
13.9.1 Catmull-Rom樣條 643
13.9.2 TCB樣條 645
13.9.3 端點條件 649
13.10 練習 650
第14章 後記 653
14.1 接下來做什麼 653
14.2 練習 653
附錄A 幾何測試 655
A.1 在二維隱式直線上的近點 655
A.2 參數化光線上的近點 656
A.3 平面上的近點 657
A.4 圓或球體上的近點 657
A.5 軸向對齊的包圍盒中的近點 658
A.6 相交測試 659
A.7 在二維中兩條隱式直線的交點 659
A.8 在三維中兩條光線的交點 660
A.9 光線和平面的交點 662
A.10 軸向對齊的包圍盒與平面的交點 663
A.11 3個平面的交點 664
A.12 光線與圓或球體的交點 665
A.13 兩個圓或球的交點 667
A.14 球體與軸向對齊的包圍盒的交點 669
A.15 球體與平面的交點 669
A.16 光線與三角形的交點 671
A.17 兩個AABB的交點 676
A.18 光線與AABB的交點 679
附錄B 練習答案 683
B.1 第1章 683
B.2 第2章 684
B.3 第3章 696
B.4 第4章 697
B.5 第5章 701
B.6 第6章 703
B.7 第7章 705
B.8 第8章 710
B.9 第9章 712
B.10 第10章 717
B.11 第11章 719
B.12 第12章 722
B.13 第13章 729
參考文獻 737
