第1章數學模型與數學建模概述

1．1數學模型的基本概念

1．1．1模型

1．1．2數學模型

1．1．3數學模型的分類

1．1．4數學模型與數學

1．2數學建模及其方法

1．2．1數學建模

1．2．2數學建模的方法

1．3數學建模的一般步驟

1．3．1模型準備

1．3．2模型假設

1．3．3模型建立

1．3．4模型求解

1．3．5模型分析

1．3．6模型檢驗

1．3．7模型應用

第2章初等模型

2．1函數模型

2．1．1加油站價格競爭模型

2．1．2椅子平衡模型

2．2數列模型

2．2．1出租車調配模型

2．2．2競爭捕食者模型

2．3比例模型

2．3．1劃艇成績模型

2．3．2商品包裝規律模型

2．4方程模型

2．4．1嫌疑犯判斷模型

2．4．2雙層玻璃功效模型

2．5概率模型

2．5．1電梯運行模型

2．5．2名額分配模型

第2章習題

第3章線性規劃模型

3．1線性規劃概述

3．1．1問題引入

3．1．2線性規劃模型的一般形式

3．1．3線性規劃問題的解

3．1．4線性規劃問題求解方法

3．1．5線性規劃問題求解案例

3．1．6線性規劃模型案例

3．1．7靈敏度分析

3．2整數線性規劃問題概述

3．2．1整數線性規劃問題的一般形式

3．2．2整數線性規劃問題解的特點

3．2．3分枝定界法

3．301型整數規劃問題概述

3．4投資收益和風險模型

3．4．1問題提出

3．4．2模型分析

3．4．3模型建立

3．4．4模型求解

第3章習題

第4章非線性規劃模型

4．1非線性規劃概述

4．1．1非線性規劃問題實例

4．1．2線性規劃與非線性規劃的區別

4．2無約束非線性規劃問題

4．2．1無約束非線性規劃問題的解法

4．2．2梯度法

4．2．3Newton法

4．2．4變尺度法

4．2．5MATLAB求無約束極值問題

4．3帶約束非線性規劃問題

4．3．1二次規劃

4．3．2罰函數法

4．3．3MATLAB求約束極值問題

4．4奶制品加工問題模型

4．4．1問題提出

4．4．2問題分析

4．4．3模型建立與求解

4．4．4革新項目研究

4．4．5模型討論

第4章習題

第5章統計方法與分析

5．1常見隨機變量的分布

5．1．1離散型隨機變量分布

5．1．2連續型隨機變量分布

5．1．3其他連續型分布

5．2描述統計 

5．2．1統計量及數據分布特征

5．2．2Python統計可視化

5．3推斷統計

5．3．1參數估計與假設檢驗

5．3．2方差分析

5．3．3回歸分析

5．3．4聚類分析

5．3．5Python示例

第5章習題

第6章微分方程模型

6．1微分方程的基本概念與求解

6．1．1常微分方程的解析解

6．1．2常微分方程的數值解

6．2微分方程建模方法

6．3微分方程建模案例

6．3．1傳染病模型

6．3．2人口預測模型

6．4Python程序求解示例

第6章習題

第7章差分方程模型

7．1差分方程的概念與求解

7．1．1基本概念

7．1．2常繫數線性齊次差分方程的解法

7．1．3常繫數線性非齊次差分方程的解法

7．1．4差分方程的遞推解法

7．1．5差分方程的平衡點及穩定性

7．2差分方程建模案例

第7章習題

第8章圖與網絡模型

8．1圖與網絡的基本概念

8．2最短路問題

8．2．1Dijkstra算法

8．2．2Floyd算法與BellmanFord 算法

8．2．3Python示例

8．3最小生成樹問題

8．3．1Prim算法與Kruskal算法

8．3．2Python示例

第8章習題

第9章數學建模競賽與論文寫作

9．1全國大學生數學建模競賽概述

9．1．1全國大學生數學建模競賽背景

9．1．2全國大學生數學建模競賽進程和評獎標準

9．1．3全國大學生數學建模競賽題目

9．2數學建模競賽論文寫作要求

9．2．1數學模型結構

9．2．2數學建模論文書寫原則與格式

9．3數學建模競賽論文講評選讀

9．3．1案例1： 爐溫曲線的數學模型與求解

9．3．2案例2： 機場的出租車問題

參考文獻

數學科學的作用和地位日益受到人們的重視，這主要源於它的應用。各行各業都在運用數學，或是建立在數學基礎之上。“數學無處不在”已成為不可爭辯的事實。特別是在知識經濟時代，經濟全球化和計算機技術的迅猛發展，以及數學理論與方法的不斷擴充使得數學的應用越來越深入。數學與計算機技術結合，已形成一種可實現、可應用、可推廣的數學技術。數學建模就是聯繫數學和實際問題的橋梁。

本書結合國內外數學建模及數學軟件的最新研究成果，總結了編者多年來數學建模教學和競賽指導中積累的經驗，從引領、指導、推廣和應用的角度彙集了一些典型數學模型，從數學建模思維的角度闡釋數學建模的原理、方法和過程，引領學生學習和欣賞數學模型，學會運用MATLAB、Python等現代數學軟件解決實際問題。本書語言精練，深入淺出，注重基礎，可讀性強，強調現代數學軟件及數值方法在數學建模中的重要應用。

本書的編寫遵循數學建模的基本原理，精選了一些典型數學模型案例，注重講解數學建模的基本框架和方法。全書共9章，主要涉及數學模型與數學建模概述、初等模型、線性規劃模型、非線性規劃模型、統計方法與分析、微分方程模型、差分方程模型、圖與網絡模型及數學建模競賽與論文寫作，附加贈送MATLAB、Python軟件入門知識和使用簡介電子資源。本書主要具備以下特點。

(1) 以案例教學的形式，介紹數學建模的內容、方法和步驟，提升學生綜合素質和能力。

(2) 以“問題—建模—求解”為主線，強調數學語言的表述和數學模型的符號表達。

(3) 介紹常用的數學建模軟件，引導學生樹立運用數學軟件解決實際問題的意識。

(4) 介紹全國大學生數學建模競賽，精選了專家講評論文，使學生在學習建模的同時，了解並做好參加全國大學生數學建模競賽的準備。

(5) 配備了相關模塊作業。

希望本書可以使更多的讀者了解數學建模、熱愛數學建模、應用數學建模。本書的編寫和出版，得到了清華大學出版社的大力支持，在此表示衷心的感謝。

由於編者水平有限，書中難免存在不足和錯誤，懇請同行專家和讀者批評指正。

編者

2023年7月