第1章  MATLAB R2017a軟件基礎 / 001

1.1  MATLAB概述 1

1.1.1  MATLAB與Simulink簡介 1

1.1.2  MathWorks公司官方網站對MATLAB軟件的描述 1

1.1.3  MATLAB的繫統組成 2

1.2  MATLAB基礎知識 3

1.2.1  MATLAB R2017a的主界面 4

1.2.2  MATLAB R2017a的通用命令 4

1.2.3  數據類型 6

1.2.4  運算符 10

1.2.5  軟件層面的數組與矩陣 12

1.3  MATLAB R2017a編程基礎 15

1.3.1  命令行窗口與腳本編輯器 15

1.3.2  變量 15

1.3.3  MATLAB的控制流 17

1.3.4  文件的結構 23

1.3.5  程序調試 25

1.4  可執行程序exe文件的編譯 26

1.5  其他數學軟件簡介 27

1.5.1  Mathematica簡介 27

1.5.2  Maple簡介 27



第2章  初等數學專題概要 / 28

2.1  數學的起源與發展 28

2.1.1  從未開化到文明 28

2.1.2  數制簡介 28

2.1.3  數與量綱的發展簡史 30

2.2  常數與常數運算 32

2.2.1  四則運算及其混合運算 32

2.2.2  用MATLAB進行常數運算 32

2.3  代數式與代數運算 33

2.3.1  MATLAB符號數學計算基礎 33

2.3.2  用MATLAB進行合並同類項 33

2.3.3  用MATLAB去括號 34

2.3.4  用MATLAB進行高次多項式嵌套 34

2.3.5  用MATLAB進行因式分解 34

2.3.6  用MATLAB進行代數式化簡 35

2.3.7  函數求 35

2.3.8  用MATLAB進行有理多項式展開 36

2.3.9  用MATLAB解簡單代數方程 37

2.4  坐標繫與簡單坐標變換 38

2.4.1  直角坐標與極坐標的互化 39

2.4.2  函數表達式的直角坐標與極坐標互化 39

2.5  基本初等函數與函數運算 40

2.5.1  基本初等函數的範疇 40

2.5.2  基本初等函數值的MATLAB計算 40

2.5.3  用MATLAB生成復合函數 40

2.5.4  用MATLAB生成反函數 41

2.5.5  用MATLAB觀察一次函數 41

2.5.6  用MATLAB觀察二次函數 43

2.5.7  用MATLAB觀察三角函數 45

2.5.8  用MATLAB觀察指數和對數函數 47

2.5.9  MATLAB函數圖像發生器 48

2.6  初等統計學概要 50

2.6.1  用MATLAB簡單計算平均數 50

2.6.2  計數原理 51

2.7  數域的擴充與復數 52

2.7.1  無二次方程與虛數的引入 52

2.7.2  用MATLAB進行復數基本運算 52



第3章  高等數學基本問題 / 54

3.1  函數與極限 54

3.1.1  數列與函數極限的概念 54

3.1.2  函數極限的筆算方法簡介 56

3.1.3  函數極限的MATLAB計算 57

3.1.4  連續性與間斷點的概念 58

3.1.5  用MATLAB觀察函數的連續性和間斷點 59

3.1.6  閉區間上的連續函數 60

3.1.7  用MATLAB計算函數的極值和值 61

3.1.8  用MATLAB求函數零點 62

3.2  導數與微分 63

3.2.1  導數的定義與幾何意義 63

3.2.2  筆算求導法則與常用公式 65

3.2.3  顯函數導數的MATLAB求法 65

3.2.4  隱函數求導的筆算方法簡介 67

3.2.5  隱函數導數的MATLAB求法 68

3.2.6  參數方程所確定的函數的導數 70

3.2.7  用MATLAB求參數方程所確定的函數導數 70

3.2.8  微分簡介 71

3.3  微分中值定理與導數的應用 72

3.3.1  微分中值定理簡介 72

3.3.2  幾何與工程實際問題的微分學原理 74

3.3.3  函數的單調性和凹凸性 77

3.3.4  用MATLAB找曲線的拐點 78

3.3.5  漸近線 79

3.3.6  曲率的概念 79

3.4  不定積分 81

3.4.1  不定積分的概念 81

3.4.2  不定積分的筆算求法簡介 81

3.4.3  用MATLAB求函數的不定積分 84

3.5  定積分 85

3.5.1  定積分的概念與性質 85

3.5.2  積分上限函數 87

3.5.3  用MATLAB對積分上限函數求導 88

3.5.4  函數定積分的筆算方法簡介 88

3.5.5  函數定積分與廣義積分的MATLAB計算 90

3.5.6  廣義積分的MATLAB審斂 91

3.5.7  Γ函數簡介 92

3.6  定積分的應用 93

3.6.1  定素法簡介 93

3.6.2  幾何問題的微積分原理 93

3.6.3  工程實際問題的微積分原理 97

3.7  常微分方程 99

3.7.1  常微分方程的概念 99

3.7.2  微分方程的分類與筆算解法簡介 100

3.7.3  用MATLAB解常微分方程（組） 104

3.8  空間解析幾何簡介 106

3.8.1  向量及其簡單運算 106

3.8.2  內積、叉積和混合積的MATLAB計算 108

3.8.3  空間方程的概念 108

3.8.4  平面及其方程 108

3.8.5  空間直線及其方程 109

3.8.6  曲面及其方程 110

3.8.7  空間曲線方程 113

3.8.8  用MATLAB繪制空間方程曲面 114

3.9 函數微分法 116

3.9.1 函數的概念 116

3.9.2 函數的極限 116

3.9.3 函數極限的筆算方法簡介 117

3.9.4 函數極限的MATLAB計算 117

3.9.5 函數的連續性 117

3.9.6  用MATLAB函數的連續性 117

3.9.7  偏導數的概念 118

3.9.8 函數偏導數的筆算求法簡介 120

3.9.9 函數偏導數的MATLAB求法 122

3.9.10  全微分的概念 125

3.9.11  全微分的MATLAB求法 126

3.9.12 函數微分學的幾何應用 126

3.9.13  方向導數及其筆算方法簡介 128

3.9.14  方向導數的MATLAB計算 128

3.9.15  梯度與場論簡介 129

3.9.16 函數梯度的MATLAB計算 130

3.9.17 函數極值的計算方法 131

3.10  重積分 132

3.10.1  二重積分的概念 132

3.10.2  二重積分的筆算方法簡介 133

3.10.3  二重積分的MATLAB計算 136

3.10.4  三重積分的概念 138

3.10.5  三重積分的筆算方法簡介 138

3.10.6  三重積分的MATLAB計算 141

3.10.7  幾何與工程實際問題的重積分原理 141

3.10.8  黎曼積分簡介 145

3.11  曲線積分與曲面積分 146

3.11.1  曲線積分的概念 146

3.11.2  曲線積分的筆算方法簡介 147

3.11.3  曲線積分的MATLAB計算 148

3.11.4  兩類曲線積分的聯繫 150

3.11.5  格林公式及其應用 151

3.11.6  曲面積分的概念 152

3.11.7  曲面積分的筆算方法簡介 154

3.11.8  曲面積分的MATLAB計算 155

3.11.9  兩類曲面積分的聯繫 157

3.11.10  高斯公式及其應用 157

3.11.11  通量與散度 158

3.11.12  曲面上通量的MATLAB計算 160

3.11.13  向量場散度的MATLAB計算 161

3.11.14  斯托克斯公式簡介 162

3.11.15  環流量與旋度 162

3.11.16  向量場環流量的MATLAB計算 163

3.11.17  向量場旋度的MATLAB計算 164

3.12  無窮級數 165

3.12.1  常數項級數的概念和審斂簡介 165

3.12.2  函數項級數的概念和審斂簡介 167

3.12.3  泰勒公式簡介 168

3.12.4  函數的泰勒展開式的筆算方法簡介 169

3.12.5  用MATLAB求函數的泰勒展開式 171

3.12.6  Taylor Tool泰勒分析模塊 172

3.12.7 函數的泰勒公式簡介 173

3.12.8  歐拉公式簡介 174

3.12.9  一致收斂性簡介 174

3.12.10  用MATLAB進行級數求和 175

3.12.11  傅裡葉級數 176

3.12.12  函數展開成傅裡葉級數的筆算方法簡介 178

3.12.13  用MATLAB求函數的傅裡葉級數 181

3.13  常用積分變換簡介 182

3.13.1  傅裡葉變換及其反變換的MATLAB求法 182

3.13.2  快速傅裡葉變換的MATLAB求法 183

3.13.3  拉普拉斯變換及其反變換的MATLAB求法 183

3.13.4  Z變換及其反變換的MATLAB求法 184



第4章  線性代數與矩陣論基本問題 / 186

4.1  行列式 186

4.1.1  行列式的引入與概念 186

4.1.2  四階以內行列式的筆算方法簡介 188

4.1.3  行列式的MATLAB計算 189

4.2  矩陣及其運算 190

4.2.1  線性方程組與矩陣 190

4.2.2  用MATLAB構造特殊矩陣 192

4.2.3  矩陣運算的規則簡介 192

4.2.4  矩陣的運算的MATLAB實現 193

4.2.5  逆矩陣 195

4.2.6  矩陣的筆算求逆簡介 195

4.2.7  逆矩陣和伴隨陣的MATLAB計算 197

4.2.8  克拉默法則 198

4.2.9  分塊矩陣簡介 199

4.3  線性方程組 200

4.3.1  矩陣的初等變換 200

4.3.2  矩陣化行簡形的筆算簡介 201

4.3.3  用MATLAB化矩陣為行簡形 202

4.3.4  矩陣的秩 202

4.3.5  矩陣的筆算求秩 203

4.3.6  用MATLAB求矩陣的秩 203

4.3.7  線性方程組的解 203

4.3.8  線性方程組的MATLAB求解 205

4.4  向量組的線性相關簡介 207

4.4.1  向量組與線性相關 207

4.4.2  向量組的秩 209

4.4.3  線性相關與線性方程組的解 209

4.5  相似矩陣及二次型 209

4.5.1  向量的正交化 209

4.5.2  施密特正交化的筆算簡介 210

4.5.3  正交空間的MATLAB求法 212

4.5.4  方陣的特征值與特征向量 214

4.5.5  特征值與特征向量的筆算簡介 215

4.5.6  特征值與特征向量的MATLAB計算 215

4.5.7  相似矩陣與對角化 216

4.5.8  用相似變換矩陣進行矩陣對角化的筆算簡介 216

4.5.9  相似變換矩陣和矩陣對角化的MATLAB求法 218

4.5.10  二次型標準化 219

4.5.11  二次型標準化的筆算方法簡介 220

4.5.12  二次型標準化的MATLAB實現 222

4.6  線性空間與線性變換簡介 225

4.6.1  線性空間與線性子空間基本概念 225

4.6.2  酉空間與歐氏空間簡介 227

4.6.3  線性變換簡介 227

4.6.4  多維空間的特征值與特征向量 230

4.7  多項式矩陣與Jordan標準形 231

4.7.1  λ-矩陣的概念 231

4.7.2  Smith標準形的筆算求法簡介 231

4.7.3  不變因子與初等因子 232

4.7.4  不變因子與初等因子的筆算簡介 232

4.7.5  Jordan標準形 233

4.7.6  Jordan標準形的筆算求法簡介 234

4.7.7  Jordan標準形與相似變換P矩陣的MATLAB求法 234

4.7.8  通過機算的Jordan標準形反求不變因子和Smith標準形 235

4.7.9  Cayley-Hamilton定理和小多項式簡介 236

4.8  矩陣分析及矩陣函數 237

4.8.1  矩陣序列的極限 237

4.8.2  矩陣序列極限的MATLAB計算 237

4.8.3  矩陣級數 237

4.8.4  矩陣級數的MATLAB求和與審斂 238

4.8.5  函數矩陣的極限 239

4.8.6  函數矩陣極限的MATLAB計算 239

4.8.7  函數矩陣的微分和積分 239

4.8.8  函數矩陣的微分和積分的MATLAB求法 240

4.8.9  數量函數關於矩陣的微分 241

4.8.10  數量函數關於矩陣的微分的MATLAB求法 242

4.8.11  向量函數對向量的微分 242

4.8.12  矩陣函數的概念 243

4.8.13  矩陣函數的筆算求法簡介 243

4.8.14  矩陣函數的MATLAB求法 246

4.9  矩陣線性常微分方程 247

4.9.1  線性定常繫統的狀態方程 248

4.9.2  常繫數線性非齊次方程組的筆算求解簡介 249

4.9.3  常繫數齊次線性方程組的MATLAB求解 250

4.9.4  常繫數非齊次線性方程組的MATLAB求解 251

4.9.5  動態微分方程的筆算求解簡介 252

4.9.6  動態微分方程的MATLAB求解 253

4.9.7  轉移矩陣與時變繫統的定解 254

4.9.8  狀態轉移矩陣的筆算求法簡介 255

4.9.9  非齊次時變繫統的定解問題 256

4.9.10  非齊次時變繫統定解的筆算求法簡介 256

4.10  廣義逆矩陣簡介 257

4.10.1  左逆A_L^(-1)與右逆A_R^(-1)的概念 258

4.10.2  廣義逆矩陣A^-的筆算實例 258

4.10.3  廣義逆矩陣的MATLAB計算 258

4.10.4  超定矛盾方程組的小二乘解 259

4.10.5  超定矛盾方程組的MATLAB求解 259

4.10.6  欠定矛盾方程組的小二乘解 260

4.10.7  欠定矛盾方程組的MATLAB求解 260



第5章  概率論與數理統計基本問題 / 262

5.1  用MATLAB生成隨機變量 262

5.1.1  二項分布的概念及其隨機變量的MATLAB生成 262

5.1.2  泊松分布的概念及其隨機變量的MATLAB生成 262

5.1.3  正態分布的概念及其隨機變量的MATLAB生成 263

5.1.4  其他主要分布隨機數的產生 263

5.2  概率分布函數 263

5.2.1  隨機變量的分布函數的概念 263

5.2.2  隨機變量的分布函數的筆算求法簡介 263

5.2.3  函數累積概率值的MATLAB計算 264

5.3  概率密度計算 265

5.3.1  連續型隨機變量及其概率密度的概念 265

5.3.2  概率密度的筆算方法簡介 265

5.3.3  均勻分布的概率密度簡介 266

5.3.4  指數分布的概率密度簡介 267

5.3.5  正態分布的概率密度簡介 267

5.3.6  函數的概率密度的MATLAB求法 268

5.4  隨機變量的數字特征 268

5.4.1  數學期望的定義 268

5.4.2  數學期望的筆算方法簡介 269

5.4.3  數學期望（平均值）的MATLAB計算 269

5.4.4  幾何平均數與調和平均數的概念及MATLAB計算 269

5.4.5  中位數的定義及其MATLAB計算 270

5.4.6  眾數的概念及其MATLAB計算 271

5.4.7  極差的概念及其MATLAB計算 271

5.4.8  方差和標準差的概念 271

5.4.9  方差的筆算簡介 271

5.4.10  方差和標準差的MATLAB計算 272

5.4.11  協方差與相關繫數的定義 272

5.4.12  協方差與相關繫數的MATLAB計算 272

5.4.13  MATLAB的數據排序操作 272

5.5  大數定律及中心極限定理簡介 272

5.5.1  大數定律 273

5.5.2  中心極限定理 273

5.6  抽樣分布簡介 274

5.6.1  抽樣分布基本概念 274

5.6.2  χ^2分布簡介 275

5.6.3  學生氏分布簡介 276

5.6.4  F分布簡介 276

5.7  參數估計 277

5.7.1  點估計的概念 277

5.7.2  似然估計和矩估計的筆算方法簡介 279

5.7.3  用MATLAB進行似然估計 280

5.7.4  用MATLAB進行矩估計 280

5.7.5  其他參數估計函數 280

5.7.6  區間估計的概念 281

5.7.7  用MATLAB進行區間估計 282

5.8  線性回歸分析 282

5.8.1  線性回歸的概念 282

5.8.2 線性回歸的小二乘估計 283

5.8.3 線性回歸的MATLAB實現 283

5.8.4 線性回歸的小二乘估計 284

5.8.5 線性回歸的MATLAB實現 285

5.9  MATLAB統計作圖 289

5.9.1  累積分布函數圖形 289

5.9.2  用小二乘法擬合直線 289

5.9.3  繪制正態分布概率圖形 290

5.9.4  樣本數據盒圖 291

5.9.5  參考線繪制 292

5.9.6  樣本概率圖形 293

5.9.7  正態擬合直方圖 294



第6章  數值分析基本問題 / 295

6.1  數值法的由來與算法簡介 295

6.1.1  數值法的由來 295

6.1.2  認識算法及其復雜性 296

6.1.3  算法、程序、代碼、軟件四詞的辨析 296

6.1.4  數值解與解析解的區別與聯繫 296

6.2  誤差及其計算 297

6.2.1  誤差的來源與分類 297

6.2.2  誤差、相對誤差與有效數字 297

6.3  向量範數與矩陣範數 298

6.3.1  向量範數 298

6.3.2  矩陣範數 299

6.3.3  矩陣範數的筆算簡例 299

6.3.4  範數的MATLAB計算 300

6.3.5  矩陣的條件數 300

6.3.6  矩陣的條件數的MATLAB計算 300

6.3.7  病態線性方程組簡介 300

6.4  數據插值 301

6.4.1  插值問題的引入 301

6.4.2 函數插值的概念 302

6.4.3  用MATLAB進行一維插值 303

6.4.4 函數插值的概念 305

6.4.5  用MATLAB進行二維插值 307

6.4.6  用MATLAB進行三維插值 310

6.4.7  用MATLAB進行n維插值 311

6.4.8  常用插值效果類比 312

6.4.9  Runge現像簡介 313

6.5  數據逼近 314

6.5.1  逼近問題概述 314

6.5.2  Chebyshev一致逼近的原理 314

6.5.3  設置自定義函數路徑 315

6.5.4  用MATLAB進行Chebyshev一致逼近 316

6.5.5  平方逼近的原理 317

6.5.6  平方逼近多項式的筆算方法簡介 319

6.5.7  用MATLAB實現函數的平方逼近 320

6.6  曲線與曲面擬合 321

6.6.1  擬合與估計的由來 321

6.6.2  曲線擬合的概念 322

6.6.3  函數的小二乘擬合曲線的筆算簡例 322

6.6.4  含數學模型的線性小二乘曲線擬合 323

6.6.5  含數學模型的非線性小二乘曲線擬合 325

6.6.6  指數模型擬合 326

6.6.7  Kalman濾波簡介 327

6.6.8  Malthus和Logistic人口增長模型簡介 327

6.6.9  曲面擬合的概念 328

6.6.10  小二乘曲面擬合的筆算簡例 329

6.6.11  MATLAB的Curve Fitting曲面擬合工具箱 330

6.7  常微分方程的數值解法 333

6.7.1  微分方程及其數值計算概述 333

6.7.2  解數值微分方程的常用算法簡介 334

6.7.3  顯式常微分方程初值問題的MATLAB求解 337

6.7.4  隱式常微分方程初值問題的MATLAB求解 339

6.7.5  延遲微分方程的MATLAB求解 340

6.7.6  含邊界條件的常微分方程的MATLAB求解 342

6.7.7  工程常用的常微分方程簡介 344

6.8  偏微分方程的數值解法 345

6.8.1  偏微分方程及其定解問題概述 346

6.8.2  偏微分方程（組）數值解的MATLAB求法 346

6.8.3  MATLAB中的二階偏微分方程求解函數簡介 348

6.8.4  數學物理方程及其推導簡介 352

6.8.5  麥克斯韋方程組簡介 353

6.8.6  薛定諤方程簡介 354

6.9  關於《數值分析》中其他問題的一些說明 355

6.10  未來接口——認識泛函 355

6.11  世界的本質淺談 356



第7章  CASIO fx-991CN X（中文版）函數科學計算器簡介 / 358

7.1  電子計算器的認識與分類 358

7.1.1  算術計算器 358

7.1.2  科學計算器 358

7.1.3  圖形編程計算器 359

7.1.4  行業計算器 359

7.2  CASIO fx-991CN X函數科學計算器功能簡介 359

7.2.1  計算器型號的意義 359

7.2.2  CASIO官方旗艦店對fx-991CN X產品的描述 359

7.2.3  CASIO fx-991CN X的重要功能與算法介紹 360

7.3  美國德州儀器TI Nspire CX CAS彩屏圖形計算器簡介 361



附錄  MATLAB R2017a常用指令與函數速查 / 362



參考文獻 / 368



後記 / 369

MATLAB是一個用於設計人工智能模型和人工智能驅動的數學繫統。這個強有力的數學工具，受到萬千數學家、工程師的信賴，其程序代碼簡單易懂，可以勝任初等數學、高等數學、線性代數、矩陣論、概率論與數理統計、數理方程、數值分析等眾多數學學科的復雜計算工作。其強大的繪圖功能可以輸出2維、3維圖像，並可以用顏色表示第4維、用時間表示第5維，可以適用於各類科學學科的繪圖任務。除基礎數學計算外，該繫統還可勝任深度學習、計算機視覺、信號處理、金融分析、機器人科學和控制繫統等領域的研發設計。MATLAB的工具箱經過繫統地開發、嚴格地測試，並有全面的幫助文檔，可以給用戶提供人性化的GUI，方便操作，且輸出信息的豐富。

通過對MATLAB數學軟件的研究，可以使數學專業人員和各工程領域的專業人士進行高效的數學計算、分析、設計，甚至邁向生產，在很大程度上淘汰筆算，為科學研究和工程計算提供強大動力。對於學校教育，MATLAB軟件有望使學生深入理解數學問題、培養數學學習興趣，開啟一種數學學習新方法，甚至開啟數學教育新方法。

後，函數科學計算器和圖形編程計算器相當於一臺手持式計算機，可以實現專業的數學計算，某些特定的型號也可以實現某些行業要求的特定計算，適合數學工作者和專業技術人員在沒有電子計算機的場合使用。

本書第 1 章講解MATLAB2017a的軟件基礎知識，該章可能略微枯燥，理論多、實例少，但是卻是讀者順利學習本書的前提。第 2 章講初等數學重要專題，順帶對數學史和物理量進行簡要地科普，本章是作者認為一個完備的數學教育應該具有的內容。第 3章到第 6 章為高等數學及以上部分，理論結合實例詳細講解大學本科和碩士階段可能會接觸的每一種題型的計算機輔助求解方法，在較大程度上淘汰繁瑣難懂的筆算，開啟一種數學學習新方法。第 7 章以一款真正的科學計算器，卡西歐某型號函數科學中文計算器為主，介紹了當今手持計算器的發展、分類。

本昊、曾紅編著。

由於時間有限，書中難免有一些不足之處，懇請廣大讀者給以批評指正。如有需要與作者探討的問題，可發郵件至273389314@qq.com。



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