第1章緒論/ 1



1.1圖像復原的意義/ 2



1.2圖像復原正則化方法/ 4



1.2.1圖像的退化機制和退化建模/ 4



1.2.2基於變分偏微分方程的正則化方法/ 7



1.2.3基於小波框架理論的正則化方法/ 9



1.2.4基於圖像稀疏表示的正則化方法/ 10



1.2.5基於隨機場的正則化方法/ 12



1.3圖像復原非線性迭代算法/ 13



1.3.1傳統方法/ 13



1.3.2算子分裂方法/ 15



1.3.3分裂算法的收斂性分析/ 23



1.3.4正則化參數的自適應估計/ 24



第2章數學基礎/ 27



2.1概述/ 28



2.2卷積/ 28



2.2.1一維離散卷積/ 28



2.2.2二維離散卷積/ 30



2.3Fourier變換和離散Fourier變換/ 32



2.4Hilbert空間中的不動點理論和方法/ 35



2.4.1Hilbert空間/ 35



2.4.2非擴張算子與不動點迭代/ 37



2.4.3極大單調算子/ 38



2.4.4l1球投影問題的求解/ 39



第3章圖像復原的病態性及保持圖像細節的正則化/ 41



3.1概述/ 42



3.2典型的圖像模糊類型/ 42



3.3圖像去模糊的病態性/ 44



3.3.1卷積方程的離散化和模糊矩陣的病態性分析/
45



    3.3.2基於逆濾波的圖像復原/ 49



3.4Tikhonov圖像正則化/ 53



3.4.1Tikhonov正則化思想/ 53



3.4.2Wiener濾波/ 53



3.4.3約束小二乘濾波/ 54



3.5保持圖像細節的正則化/ 54



3.5.1廣義全變差正則化模型/ 55



3.5.2剪切波正則化模型/ 58



3.6圖像質量評價/ 61



第4章TV正則化圖像復原中的快速自適應參數估計/ 63



4.1概述/ 64



4.2TV圖像復原中的參數自適應估計方法概述/ 65



4.3基於ADMM和偏差原理的快速自適應參數估計/ 66



4.3.1TV正則化問題的增廣Lagrange模型/ 67



4.3.2算法導出/ 70



4.3.3收斂性分析/ 72



4.3.4參數設置/ 77



4.4快速自適應參數估計算法的推廣/ 78



4.4.1等價的分裂Bregman算法/ 78



4.4.2帶有快速自適應參數估計的區間約束TV圖像復原/ 79



4.5實驗結果/ 81



4.5.1實驗1——自適應正則化參數估計的意義/ 82



4.5.2實驗2——與其他自適應算法的比較/ 87



4.5.3實驗3——去噪實驗比較/ 91



第5章並行交替方向乘子法及其在復合正則化圖像復原中的應用/
94



5.1概述/ 95



5.2並行交替方向乘子法/ 96



5.2.1正則化圖像復原目標函數的一般性描述/ 96



5.2.2增廣Lagrange函數與鞍點條件/ 97



5.2.3算法導出/ 99



5.3收斂性分析/ 102



5.3.1收斂性證明/ 102



5.3.2收斂速率分析/ 104



5.4PADMM在廣義全變差/剪切波復合正則化圖像復原中的應用/ 106



5.5實驗結果/ 109



    5.5.1灰度圖像去模糊實驗/ 111



5.5.2RGB圖像去模糊實驗/ 118



5.5.3MRI重建實驗/ 121



第6章並行原始-對偶分裂方法及其在復合正則化圖像復原中的應用/ 123



6.1概述/ 124



6.2並行原始-對偶分裂方法/ 125



6.2.1可臨近分裂的圖像復原目標函數的一般性描述/
125



6.2.2目標函數化的變分條件/ 126



6.2.3算法導出/ 127



6.3收斂性分析/ 130



6.3.1收斂性證明/ 130



6.3.2收斂速率分析/ 132



6.4關於原始-對偶分裂方法的進一步討論與推廣/ 134



6.4.1與並行線性交替方向乘子法的關繫/ 134



6.4.2並行原始-對偶分裂方法的進一步推廣/ 135



6.5PPDS在廣義全變差/剪切波復合正則化圖像復原中的應用/ 139



6.6實驗結果/ 141



6.6.1圖像去模糊實驗/ 142



6.6.2圖像修補實驗/ 154



6.6.3圖像壓縮感知實驗/ 160



6.6.4像素區間約束有效性實驗/ 163



附錄/ 168



附錄1主要變量符號表/ 169



附錄2主要縮略詞說明/ 170



參考文獻/ 172



索引/ 185

由於設備、環境和人為因素的影響，圖像在采集、轉化和傳輸的過程中會不可避免地產生退化現像，而顯著的圖像退化會嚴重影響圖像的後續應用。要改善圖像質量，就需要對退化圖像進行復原。圖像壓縮感知實現了圖像低速采樣和壓縮過程的同步進行，在特定條件下，由采樣數據可以精確重建原始圖像。若將退化圖像或壓縮采樣數據的獲取視為正問題，則圖像復原問題，如圖像去噪、去模糊、修補、超分辨率和壓縮感知重建等，同屬一類圖像反問題，即它們均需從已退化的結果或是不完全的觀測中，盡可能準確地恢復出原始信號。該類問題既有重要的理論研究價值，又有廣泛的工程應用背景。求解這類反問題所面臨的挑戰是退化過程的高度病態性——其逆運算對噪聲高度敏感，甚至逆運算並不存在。



成功進行圖像復原的關鍵在於：構建合理反映圖像先驗信息的正則化模型，並設計準確、簡潔、快速的模型求解算法。近些年信號處理領域興起的算子分裂方法，可以將一個非光滑圖像復原優化問題分解為多個易於求解的子問題加以解決。與此同時，圖像大數據時代的到來，對圖像復原的質量和效率，都提出了更高要求。發展一類自動化程度高、適用於大規模分布式計算的並行算子分裂方法，成為大數據時代圖像復原領域亟待解決的基礎問題。



本書總結了筆者近些年在圖像復原領域的部分研究工作，重點論述了圖像復原中的自適應正則化參數估計、復合正則化策略和目標函數並行求解等若干問題。書中所研究方法雖以圖像去噪、去模糊、修補和壓縮感知重建等復原類問題為例，但也可方便地推廣至圖像分割、高光譜分解、圖像壓縮等圖像處理問題當中。



全書共分為6章，其主要內容可概括如下。



第1章為緒論，簡述了圖像退化機制和退化建模方法，詳細論述了用於圖像復原的正則化方法和非線性目標函數求解算法的研究現狀和發展趨勢。第2章闡述了卷積、離散Fourier變換、Hilbert空間中的不動點理論等基礎理論。第3章以圖像去模糊為例，從特征值分析和圖像逆濾波的角度揭示了圖像退化的病態性根源和影響因素，論證了圖像復原正則化的必要性，以及廣義全變差和剪切波正則化在保持圖像細節方面的有效性。第4章研究了圖像復原目標函數中平衡先驗正則項和觀測數據保真項的正則化參數的自適應估計問題，提出了一種可同時估計正則化參數和復原圖像的快速算法，正則化參數的自適應估計是圖像復原自動實現的重要基礎。實驗結果表明，相比於已有的一些著名算法，所提算法結構簡潔，參數估計更準確，收斂速率更快。第5章研究提出了一種求解復合正則化圖像復原問題的並行交替方向乘子法，證明了其收斂性，並建立了其至差O(1/k)收斂速率。單一類型的正則化易使圖像復原結果偏重某一性質而抑制其他性質，而融合多種圖像先驗模型的復合正則化則導致目標函數難以求解。實驗表明，所提方法為復合正則化圖像復原問題的解決提供了可行途徑，且其適用於分布式計算。作為反問題的圖像復原算法大多涉及算子求逆問題，在處理多通道（如多光譜）圖像時，其執行效率較低，會顯著影響算法的計算效率。第6章針對圖像復原方法中算子求逆環節的消除問題，研究提出了一種並行原始-對偶分裂方法，證明了其收斂性，給出了其收斂條件，並建立了其o(1/k)收斂速率；證明了該算法對於並行線性交替乘子法的包含性，並將其推廣應用到了帶有Lipschitz連續梯度項的優化問題中。實驗表明，相比於並行交替方向乘子法，該方法在附加收斂條件下，單步執行效率更高，更適用於多通道圖像的處理。



在開展相關研究工作和撰寫本書的過程中，筆者有幸得到西安電子科技大學焦李成教授、中科院自動化所模式識別國家重點實驗室的胡衛明研究員、中科院西安光學精密機械研究所的李學龍副所長、華中科技大學桑農教授、火箭軍工程大學的孔祥玉副教授、司小勝副教授、一繫李剛主任等許多專家和領導的指導、支持與幫助，在此表示誠摯的謝意。



衷心感謝國家傑出青年科學基金項目（61025014）、國家自然科學基金項目（61773389）、國家自然科學基金青年項目（61203189）等課題的支持。感謝化學工業出版社的支持和幫助！



筆者感謝相關審稿專家對書稿修改提出的寶貴、中肯的建議。



限於筆者水平，書中不足之處在所難免，敬請讀者批評指正。



著者