第 I 部分  建模、計算機和誤差分析
第1章  數學建模、數值方法和問題
求解 3
1.1  一個簡單的數學模型 4
1.2  工程與科學中的守恆定律 9
1.3  本書所涉及的數值方法 11
1.4  案例研究：自由落體 12
習題  14
第2章  Python基礎 24
2.1  Spyder/IPython運行環境 25
2.2  賦值 26
2.2.1  標量 26
2.2.2  數組、向量和矩陣 27
2.2.3  下標和下標的範圍 30
2.2.4  arange、linspace和logspace函數 30
2.2.5  字符串 31
2.3  數學運算 33
2.4  使用內置函數 37
2.5  制圖 41
2.6  其他資源 47
2.7  案例研究：探索性數據分析 48
習題  51
第3章  Python編程 57
3.1  Python腳本文件 58
3.1.1  Python腳本 58
3.1.2  Python函數 59
3.1.3  變量作用域 61
3.2  輸入和輸出 63
3.3  結構化編程 66
3.3.1  決策流程 66
3.3.2  關於參數的更多信息 70
3.3.3  循環 71
3.4  嵌套和縮進 76
3.5  帶有函數名稱參數的Python函數 79
3.5.1  lambda函數 79
3.5.2  函數-函數 80
3.5.3  參數傳遞 83
3.6  案例研究：蹦極者的速度計算 85
習題  88
第4章  舍入和截斷誤差 100
4.1  誤差 100
4.1.1  準確度和精確度 101
4.1.2  誤差定義 101
4.1.3  迭代計算的計算機算法 104
4.2  舍入誤差 106
4.2.1  計算機中數字的表示法 106
4.2.2  計算機中數字的算術運算 111
4.3  截斷誤差 113
4.3.1  泰勒級數 113
4.3.2  泰勒級數式的餘數 116
4.3.3  使用泰勒級數估計截斷誤差 118
4.3.4  數值微分 118
4.4  總數值誤差 122
4.4.1  數值微分的誤差分析 122
4.4.2  數值誤差的控制 125
4.5  錯誤、模型誤差和數據不確定性 125
4.5.1  錯誤 125
4.5.2  模型誤差 126
4.5.3  數據不確定性 126
習題  126
第Ⅱ部分  求根和最優化
第5章  求根：交叉法 133
5.1  工程和科學應用中的求根問題 133
5.2  圖形和試錯法 134
5.3  交叉法和初步猜測 137
5.4  二分法 140
5.5  試位法 146
5.6  案例研究：溫室氣體和雨水 148
習題  152
第6章  根：開型法 159
6.1  不動點迭代 160
6.2  韋格斯坦法 164
6.3  牛頓-拉夫遜法 168
6.4  正割法 174
6.5  布倫特法 175
6.5.1  逆二次插值法 175
6.5.2  布倫特法的算法 177
6.6  Python SciPy函數：brentq 179
6.7  多項式 180
6.8  案例研究：管道摩擦 183
習題 188
第7章  優化 198
7.1  背景介紹 199
7.2  一維優化 201
7.2.1  黃金分割搜索 201
7.2.2  拋物線插值 207
7.2.3  Python的SciPy函數：
minimize_scalar 208
7.3  多維優化 210
7.4  案例研究：平衡和最小勢能 212
習題  214
第Ⅲ部分  線性方程組
第8章  線性代數方程與矩陣 226
8.1  矩陣代數概述 227
8.1.1  矩陣符號 228
8.1.2  矩陣運算規則 229
8.1.3  用矩陣形式表示線性代數方程 237
8.2  用Python求解線性代數方程 238
8.3  案例研究：電路中的電流和
電壓 240
習題 243
第9章  法 249
9.1  求解少量方程 249
9.1.1  圖解法 250
9.1.2  行列式和克萊默法則 251
9.1.3  消除未知數法 253
9.2  樸素法 254
9.2.1  Python函數：gaussnaive 256
9.2.2  運算計數 258
9.3 &nbs 260
9.3.1  Python函數：gausspivot 261
9.3.2  用法求行列式 262
9.4  三對角方程組 263
9.5  案例研究：加熱棒模型 265
習題 268
第10章  LU因式分解法 275
10.1  LU分解法概述 275
10.2  LU分解的 276
10.2.1 &nbs的LU分解 279
10.2.2  應用Python的LU分解法 281
10.3  喬裡斯基分解法 282
10.4  Python的np.linalg.solve函數 284
習題 285
第11章  矩陣的逆和條件 287
11.1  矩陣的逆 287
11.1.1  計算逆矩陣 287
11.1.2  刺激-響應計算 289
11.2  錯誤分析和繫統狀態 290
11.2.1  向量和矩陣範數 291
11.2.2  矩陣條件數 292
11.2.3  用Python計算範數和
條件數 293
11.3  案例研究：室內空氣污染 294
習題 297
第12章  迭代法 302
12.1  線性方程組：高斯-賽德爾法 302
12.1.1  收斂性和對角優勢 304
12.1.2  Python函數：gaussseide1 304
12.1.3  松弛 306
12.2  非線性繫統 307
12.2.1  逐次代換法 307
12.2.2  牛頓-拉夫遜法 309
12.2.3  Python SciPy函數：root 313
12.3  案例研究：化學反應 314
習題 316
第13章  特征值 321
13.1  特征值和特征向量——
基礎知識 322
13.2  特征值和特征向量的應用 324
13.2.1  二階微分方程的一階等價
方程 325
13.2.2  特征值和特征向量在微分
方程解中的作用 325
13.2.3  特征值和純振蕩的常微分
方程 326
13.3  物理場景-質量-彈簧繫統 329
13.4  冪法 331
13.5  Python NumPy函數：eig和
eigvals 333
13.6  案例研究：特征值與地震 334
習題 338

第Ⅳ部分  曲線擬合
第14章  直線線性回歸 346
14.1  統計學回顧 347
14.1.1  描述性統計 347
14.1.2  正態分布 351
14.1.3  使用Python進行描述性統計 354
14.2  隨機數和模擬 357
14.2.1  均勻分布中的隨機數 357
14.2.2  正態分布中的隨機數 359
14.3  直線最小二乘回歸 361
14.3.1  “最佳”擬合的標準 362
14.3.2  直線的最小二乘擬合 363
14.3.3  繪制直線的“荒島”法 365
14.3.4  線性回歸誤差的量化 365
14.4  非線性關繫的線性化 370
14.5  計算機應用 375
14.5.1  Python函數：strlinregr 375
14.5.2  Python NumPy函數：
polyfit和polyval 378
14.6  案例研究：酶動力學 379
習題 382
第15章  一般線性回歸和非線性回歸 393
15.1  多項式回歸 393
15.2 &nbs線性回歸 397
15.3  一般線性最小二乘回歸 399
15.4  回歸中的模型建立與選擇 403
15.5  非線性回歸 409
15.6  案例研究：擬合實驗數據 414
習題 417
第16章  傅裡葉分析 424
16.1  用正弦函數進行曲線擬合 425
16.2  連續傅裡葉級數 430
16.3  頻域和時域 432
16.4  傅裡葉積分和變換 435
16.5  離散傅裡葉變換(DFT) 435
16.5.1  快速傅裡葉變換(FFT) 436
16.5.2  Python SciPy函數：fft 437
16.6  功率譜 439
16.7  案例研究：太陽黑子 440
習題 442
第17章  多項式插值法 446
17.1  插值法簡介 447
17.1.1  確定多項式繫數 447
17.1.2  Python NumPy函數：
polyfit和polyval 449
17.2  牛頓插值多項式 449
17.2.1  線性插值 449
17.2.2  二次插值 451
17.2.3  牛頓插值多項式的一般形式 452
17.2.4  Python函數Newtint 454
17.3  拉格朗日插值多項式 455
17.4  逆插值 458
17.5  外推法和振蕩 458
17.5.1  外推法 458
17.5.2  振蕩 461
習題 463
第18章  樣條和分段插值 469
18.1  樣條簡介 469
18.2  線性樣條 471
18.3  二次樣條 477
18.4  三次樣條 478
18.4.1  三次樣條的推導 479
18.4.2  末端條件 482
18.5  Python中的分段插值 483
18.5.1  Python SciPy模塊的interpolate
函數：CubicSpline 485
18.5.2  附加的Python SciPy插值函數：
interp1d和PchipInterpolator 487
18.6  多維插值 488
18.6.1  雙線性插值 489
18.6.2  Python中的多維插值 490
18.7  數據序列的平滑 491
18.7.1  三次樣條平滑 491
18.7.2  LOESS平滑法 494
18.8  案例研究：湖中的熱傳導 499
習題 501

第Ⅴ部分  微積分
第19章  數值積分方程 511
19.1  背景簡介 512
19.1.1  什麼是積分 512
19.1.2  工程與科學中的積分 512
19.2  牛頓-科特斯方程 514
19.3  梯形法則 516
19.3.1  梯形法則的誤差 516
19.3.2  復合梯形法則 517
19.3.3  Python函數：trap 520
19.4  辛普森法則 521
19.4.1  辛普森1/3 法則 521
19.4.2  復合辛普森1/3法則 522
19.4.3  辛普森3/8法則 524
19.5  高階牛頓-科特斯方程 526
19.6  不等段積分 526
19.6.1  Python函數：trapuneq 527
19.6.2  Python函數：trapz和
trap_cumulative 528
19.7  開放式方法 530
19.8  多重積分 531
19.9  案例研究：數值積分的計算 533
習題 536

第20章  函數的數值積分 543
20.1  簡介 543
20.2  Romberg積分 544
20.2.1  Richardson外推 544
20.2.2  Romberg積分算法 546
20.3  高斯求積法 548
20.3.1  待定繫數法 548
20.3.2  兩點高斯-勒讓德公式的推導 550
20.3.3  高點公式 552
20.4  自適應求積法 553
20.4.1  Python函數：quadadapt 553
20.4.2  Python SciPy積分函數：
quad 555
20.5  案例研究：均方根電流 556
習題 559
第21章  數值導數 565
21.1  背景簡介 566
21.1.1  什麼是導數 566
21.1.2  工程與科學的導數 567
21.2  高精度導數公式 568
21.3  Richardson 外推法 571
21.4  不等間距數據的導數 572
21.5  有誤差數據的導數和積分 573
21.6  偏導數 574
21.7  Python數值求導 574
21.7.1  Python NumPy函數：diff 574
21.7.2  Python NumPy函數：
gradient 577
21.8  案例研究：場的可視化 579
習題 580

第Ⅵ部分  常微分方程
第22章  初值問題 594
22.1  概述 595
22.2  歐拉法 595
22.2.1  歐拉法的誤差分析 597
22.2.2  歐拉法的穩定性 598
22.2.3  Python函數：eulode 599
22.3  改進歐拉法 601
22.3.1  Heun方法 601
22.3.2  中點法 604
22.4  Runge-Kutta方法 605
22.4.1  二階Runge-Kutta法 605
22.4.2  經典四階 Runge-Kutta法 606
22.5  方程組 608
22.5.1  歐拉法 609
22.5.2  Runge-Kutta法 610
22.5.3  Python 函數：rk4sys 611
22.6  案例研究：捕食者—獵物
模型和變體 614
習題 618
第23章  自適應方法和剛性繫統 625
23.1  自適應Runge-Kutta方法 625
23.1.1  RKF 4/5算法的Python函數：
rkf45 626
23.1.2  求解IVP ODE的Python函數：
SciPy solve_ivp積分函數 630
23.1.3  事件 633
23.2  多步法 636
23.2.1  非自啟動Heun方法 636
23.2.2  誤差估計 638
23.3  剛度 639
23.4  Python 應用：帶繩的蹦極者 644
23.5  案例研究：普林尼的間歇噴泉 646
習題 649
第24章  邊值問題 659
24.1  背景簡介 660
24.1.1  什麼是邊值問題 660
24.1.2  工程和科學中的邊值問題 660
24.2  打靶法 663
24.2.1  導數邊界條件 665
24.2.2  非線性常微分方程的打靶法 667
24.3  有限差分法 669
24.3.1  導數邊界條件 671
24.3.2  非線性 ODE 的有限差分
方法 673
24.4  Python函數：solve_bvp 674
習題 676
—掃封底二維碼下載以下內容—
附錄A  Matplotlib 685
附錄B  三次樣條平滑 705
附錄C  Python內置關鍵字：函數、方法、
操作符、類型 710
附錄D  書中用到的Python函數和腳本 713
參考文獻 715

20世紀60年代，當我們作為學生首次學習使用計算機時，FORTRAN是工程和科學計算的首選語言。在接下來的半個世紀裡，許多語言已被證明可用於實現研究和教學中非常有價值的數值計算；隨著一繫列FORTRAN改進版本的出現，ALGOL、BASIC、Pascal和C/C 等語言都進入了我們的計算工具箱。
這種演變存在的一個缺點是，這些語言中的大多數缺乏完全集成的數值算法庫，無法讓程序員利用大多數工程和科學應用所需的大量“工業實力”算法。
1984年，MathWorks公司通過引入一個完全集成、多範式的數值計算環境和名為MATLAB(MATrix LABoratory)的高級編程語言，彌補了這一缺陷。除了程序編程，MATLAB還允許繪圖、創建用戶界面，以及與其他語言進行交互。但最重要的是，MATLAB及其補充工具箱擁有龐大的內置函數和工具箱，使程序員能應用最先進的數值方法，而不必從頭開發代碼。
雖然MATLAB提供了高質量和功能強大的計算環境，但它的缺點是相對昂貴。盡管對於許多大學等大型組織而言，這通常可以忽略，但我們觀察到，較小的咨詢公司、地方政府、個人甚至像公司這樣的一些大型實體都在考慮減少費用，因此需要一種成本更低的替代方案。
說到Python，Python由Guido van Rossum創建並於1991年首次發布，是一個多範式的開源計算環境，可以隨時訪問強大的數值例程，可供任何個人或組織免費使用。此外，它得到了良好的管理和維護，因此，它正成為越來越受歡迎的MATLAB替代品。
由於Python在工程和科學教育中的應用越來越廣泛，我們決定撰寫這本教科書來支持一個為期一學期的數值方法課程。課程是為那些想要學習和使用數值方法解決工程和科學問題的學生而寫的。因此，這些方法是由問題(而非數學)驅動的，能提供足夠的理論，讓學生能深入了解相關技術及其缺點。
Python為此類課程提供了一個很好的環境，因為它很好地將高級編程語言與強大的內置數值功能相結合，以允許學生以結構化和連貫的風格實現中等復雜的算法，同時其數值能力使學生能夠解決更難的問題，而不必全盤重來。
本書的基本內容、組織和教學方法與其他數值方法教科書類似，特別是，為使本書更容易閱讀，有意保持對話式寫作風格。本書試圖直接與讀者對話，部分目的是成為自學工具，因此，相信它在課堂之外對希望熟練掌握數值方法和Python的專業人士也有價值。
我們努力使本書保留有助於教學的功能，包括廣泛使用實例和工程科學應用，最重要的是，讓解釋簡單實用，以使本書盡可能“對學生友好”。
我們在這裡澄清，本書內容不是深入講授Python程序語言，而且之前不需要有Python方面的經驗。我們提供了足夠的Python編程背景，以方便數值方法的實現，使用歸納法讓學生能夠通過應用及時學習Python的各個方面，並逐漸將這些經驗推廣以提升對語言的熟悉程度；本書提供了許多Python代碼示例，能為學生提供自己的代碼開發模式。我們特意選擇了Spyder集成開發環境，因為它提供一個相對友好的界面，包括許多類似MATLAB的功能，其中包括命令窗口、編輯器、變量資源管理器、調試工具和有用的幫助界面。精通Python的程序員可能會對我們漏掉一些功能感到失望，但我們強調要關注本書的主要目的：通過學習數值方法來增強STEM(科學、技術、工程、數學)學生的能力。
本書通過介紹如何解決數值問題來增強學生的能力。我們相信，熱愛工程和科學、問題解決、數學和編程的學生，最終會成為更好的專業人士，如果本書能夠激發人們對這些主題的熱情和欣賞，我們認為這種努力是成功的。
McGraw Hill提供的個性化學習工具
讀者可根據需要訪問mhhe.com/collegesmarter(800.331.5094)來獲取McGraw Hill公司提供的一些在線服務。
proctorio
 
由connect中的proctorio托管的遠程監考和瀏覽器鎖定功能，通過啟用安全選項和驗證學生的身份，提供了對評估環境的控制。
這些服務與connect無縫集成，使教師能限制瀏覽器活動、記錄學生活動以及驗證學生是否在完成自己的作業。
及時而詳細的報告讓教師對潛在的學術誠信問題一目了然，從而避免個人偏見，支持基於證據的主張。
  隨時隨地閱讀  使用McGraw-Hill的免費ReadAnywhere應用程序，在方便的時候閱讀或學習。ReadAnywhere可用於iOS或Android智能手機或平板電腦，讓用戶訪問McGraw-Hill工具，包括eBook和SmartBook 2.0或connect中的自適應學習作業。用戶可在離線狀態下記筆記、突出顯示和完成作業。當你使用WiFi訪問打開應用程序時，所有工作都將同步。使用你的McGraw Hill connect用戶名和密碼登錄，隨時隨地開始學習！
Tegrity：全天候講座  connect中的Tegrity是一個工具，通過自動捕獲每堂課，使課堂時間全天候可用。通過簡單的一鍵啟動和停止過程，可以一種易於搜索的格式捕獲所有計算機屏幕和相應的音頻。
學生可在PC、Mac、iPod或其他移動設備上通過易於使用、基於瀏覽器的界面來重播任何課程的任何部分。
教育工作者知道，學生能看到、聽到和體驗到的課堂資源越多，學習效果就越好。事實上，研究證明了這一點。Tegrity獨特的搜索功能可幫助學生在需要的時候，在整個學期的課堂錄音中高效地找到他們需要的東西。有了Tegrity，還可通過減輕學生對筆記的擔憂來提高專注度和課堂參與度。在connect中使用Tegrity將使你更有可能看到學生的臉，而不是他們的頭頂。
connect中的Test Builder  Test Builder是一個基於雲的工具，可在connect中提供。使教師能夠格式化測試，這些測試可以在學習管理繫統中打印、管理，或作為測試庫的Word文檔導出。Test Builder提供了一個現代化的、精簡的界面，無須下載。
Test Builder允許你：
● 從特定標題訪問所有測試庫內容。
● 通過強大的過濾選項，輕松定位最相關的內容。
● 操縱問題的順序或重排問題和/或答案。
● 將問題固定到測試中的特定位置。
● 確定你對算法問題的首選處理方式。
● 選擇布局和間距。
● 添加說明並配置默認設置。
Test Builder提供了一個安全的界面，以更好地保護內容，並允許及時更新內容。
寫作作業  在connect和connect Master中，Writing Assignment(寫作作業)工具提供了一種學習體驗，幫助學生提高書面溝通技能並加深對概念的理解。作為一名教師，你可以更有效地分配、監控和提供寫作反饋，並給出評分。
用你的方式寫書  McGraw-Hill的由Create提供支持的內容集是一個自助網站，它使教師能夠利用McGraw-Hill的全面、跨學科內容創建定制課程材料和電子書。從我們的高質量教科書、文章和案例中選擇你想要的，快速輕松地將其與自己的內容相結合，並利用其他受版權保護的第三方內容，如案例和文章。內容可以最適合你的課程的方式安排，你還可添加課程名稱和信息。為你的課程選擇最佳格式：彩色打印、黑白打印或電子書。電子書可以包含在你的connect課程中，也可在免費的ReadAnywhere應用程序中使用，用於智能手機或平板電腦訪問。完成定制後，你將在幾分鐘內收到一份免費的數字副本供查看！訪問McGraw Hill Create——www.mcgrawhillcreate.com——從今天開始創建！