1.500餘幅圖片，本書以圖文結合的方式幫助你用Python代碼解決程序設計中的數學問題。

2.300餘個練習，通過邊學邊練，你會發現線性代數和微積分的重要概念躍然紙上、印在腦中。

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數學擁有無窮的力量。它既幫助遊戲開發工程師建模物理世界，也幫助量化金融分析師賺取利潤，還幫助音頻處理工程師制作音樂。在數據科學和機器學習領域，數學知識更是不可或缺的。



有人熱愛數學，將它比作詩歌，為之著迷一生；有人很難領會數學的妙處，受困於“數學焦慮癥”。本書正是為了幫助程序員消除這種焦慮，用自己熟悉的工具，即代碼，重新發現數學之美。



√ 向量幾何和計算機圖形

√ 矩陣和線性變換

√ 微積分的核心概念

√ 仿真和優化

√ 圖像處理和音頻處理

√ 用於回歸和分類的機器學習算法



“這本書循序漸進地介紹了程序員應該掌握的有用的數學概念。”

——Christopher Haupt，Swoogo公司工程副總裁



“這本書嚴謹而簡明地概述了對現代編程起支撐作用的數學知識。”

——Dan Sheikh，BCG Digital Ventures公司工程師



“實用、引人入勝。推薦所有程序員閱讀。”

——Vincent Zhu，RethinkXSocial網站聯合創始人兼CTO



“這本書為需要提高數學技能的程序員建造了一座橋梁，使數學不再那麼神秘、那麼難以理解。”

——Robert Walsh，Excalibur Solutions公司總裁

第 1章 通過代碼學數學1

1.1使用數學和軟件解決商業問題2

1.1.1預測金融市場走勢2

1.1.2尋找優質交易4

1.1.3構建三維圖形和動畫6

1.1.4對物理世界建模8

1.2如何高效學習數學9

1.2.1Jane想學習數學9

1.2.2在數學課本中苦苦掙扎10

1.3用上你訓練有素的左腦11

1.3.1使用正式的語言11

1.3.2構建你自己的計算器12

1.3.3用函數建立抽像概念13

1.4小結14

第一部分 向量和圖形

第2章 二維向量繪圖16

2.1二維向量繪圖16

2.1.1如何表示二維向量18

2.1.2用Python繪制二維圖形20

2.1.3練習23

2.2平面向量運算25

2.2.1向量的分量和長度28

2.2.2向量與數相乘29

2.2.3減法、位移和距離31

2.2.4練習34

2.3平面上的角度和三角學41

2.3.1從角度到分量42

2.3.2Python中的三角學和弧度46

2.3.3從分量到角度47

2.3.4練習50

2.4向量集合的變換57

2.4.1組合向量變換59

2.4.2練習60

2.5用Matplotlib繪圖61

2.6小結62

第3章上升到三維世界63

3.1在三維空間中繪制向量64

3.1.1用坐標表示三維向量66

3.1.2用Python進行三維繪圖66

3.1.3練習68

3.2三維空間中的向量運算70

3.2.1添加三維向量70

3.2.2三維空間中的標量乘法72

3.2.3三維向量減法72

3.2.4計算長度和距離73

3.2.5計算角度和方向74

3.2.6練習75

3.3點積：測量向量對齊78

3.3.1繪制點積78

3.3.2計算點積80

3.3.3點積的示例82

3.3.4用點積測量角度83

3.3.5練習85

3.4向量積：測量定向區域88

3.4.1在三維空間中確定自己的朝向88

3.4.2找到向量積的方向89

3.4.3求向量積的長度91

3.4.4計算三維向量的向量積92

3.4.5練習93

3.5在二維平面上渲染三維對像96

3.5.1使用向量定義三維對像97

3.5.2二維投影98

3.5.3確定面的朝向和陰影99

3.5.4練習101

3.6小結102

第4章變換向量和圖形103

4.1變換三維對像105

4.1.1繪制變換後的對像105

4.1.2組合向量變換107

4.1.3繞軸旋轉對像110

4.1.4創造屬於你自己的幾何變換113

4.2線性變換117

4.2.1向量運算的不變性117

4.2.2圖解線性變換119

4.2.3為什麼要做線性變換121

4.2.4計算線性變換124

4.2.5練習127

4.3小結132

第5章使用矩陣計算變換134

5.1用矩陣表示線性變換135

5.1.1把向量和線性變換寫成矩陣形式135

5.1.2矩陣與向量相乘136

5.1.3用矩陣乘法組合線性變換138

5.1.4實現矩陣乘法140

5.1.5用矩陣變換表示三維動畫141

5.1.6練習142

5.2不同形狀矩陣的含義148

5.2.1列向量組成的矩陣149

5.2.2哪些矩陣可以相乘151

5.2.3將方陣和非方陣視為向量函數152

5.2.4從三維到二維的線性映射投影154

5.2.5組合線性映射156

5.2.6練習157

5.3用矩陣平移向量163

5.3.1線性化平面平移163

5.3.2尋找做二維平移的三維矩陣167

5.3.4在四維世界裡平移三維對像170

5.4小結174

第6章高維泛化176

6.1泛化向量的定義177

6.1.1為二維坐標向量創建一個類178

6.1.3使用同樣的方法定義三維向量179

6.1.4構建向量基類180

6.1.5定義向量空間182

6.1.6對向量空間類測試185

6.2探索不同的向量空間188

6.2.1枚舉所有坐標向量空間188

6.2.2識別現實中的向量190

6.2.3將函數作為向量處理192

6.2.4將矩陣作為向量處理194

6.2.5使用向量運算來操作圖像195

6.2.6練習198

6.3尋找更小的向量空間205

6.3.1定義子空間205

6.3.2從單個向量開始207

6.3.3生成更大的空間207

6.3.4定義“維度”的概念209

6.3.5尋找函數向量空間的子空間210

6.3.6圖像的子空間212

6.3.7練習214

6.4小結220

第7章求解線性方程組222

7.1設計一款街機遊戲223

7.1.1遊戲建模223

7.1.2渲染遊戲224

7.1.3發射激光225

7.1.4練習226

7.2找到直線的交點227

7.2.1為直線選擇正確的公式227

7.2.2直線的標準形式方程229

7.2.3線性方程組的矩陣形式231

7.2.4使用NumPy求解線性方程組233

7.2.6識別不可解方程組234

7.2.7練習236

7.3將線性方程泛化到更高維度240

7.3.1在三維空間中表示平面240

7.3.2在三維空間中求解線性方程組243

7.3.4計算維數、方程和解245

7.3.5練習246

7.4通過解線性方程來改變向量的基253

7.4.1在三維空間中求解255

7.4.2練習256

7.5小結257

第二部分微積分和物理仿真

第8章理解變化率261

8.1根據體積計算平均流速262

8.1.1實現average_flow_rate函數263

8.1.2用割線描繪平均流速264

8.1.3負變化率265

8.1.4練習266

8.2繪制隨時間變化的平均流速266

8.2.1計算不同時間段內的平均流速267

8.2.2繪制間隔流速圖268

8.2.3練習270

8.3瞬時流速的近似值271

8.3.1計算小割線的斜率272

8.3.2構建瞬時流速函數274

8.3.3柯裡化並繪制瞬時流速函數277

8.4體積變化的近似值278

8.4.1計算短時間間隔內的體積變化279

8.4.2將時間分割成更小的間隔280

8.4.3在流速圖上繪制體積變化的圖形280

8.4.4練習283

8.5繪制隨時間變化的體積圖283

8.5.1計算隨時間變化的體積283

8.5.2繪制體積函數的黎曼和285

8.5.3提升近似結果的精確度286

8.5.4定積分和不定積分288

8.6小結290

第9章模擬運動的對像291

9.1模擬勻速運動291

9.1.1給小行星設置速度292

9.1.2更新遊戲引擎，讓小行星運動292

9.1.3保持小行星在屏幕上293

9.1.4練習295

9.2模擬加速295

9.3深入研究歐拉方法296

9.3.1手動計算歐拉方法297

9.3.2使用 Python 實現算法298

9.4用更小的時間步執行歐拉方法300

9.5小結305

第10章 使用符號表達式306

10.1用計算機代數繫統計算精確的導數309

10.2.1將表達式拆分成若干部分310

10.2.3使用Python語言實現表達式樹311

10.2.4練習313

10.3符號表達式的應用315

10.3.1尋找表達式中的所有變量317

10.3.3表達式展開319

10.3.4練習321

10.4求函數的導數323

10.4.1冪的導數324

10.4.2變換後函數的導數324

10.4.3一些特殊函數的導數326

10.4.4乘積與組合的導數327

10.4.5練習328

10.5自動計算導數330

10.5.1實現表達式的導數方法330

10.5.2實現乘積法則和鏈式法則332

10.5.4練習334

10.6符號化積分函數335

10.6.1積分作為反導數335

10.6.2SymPy庫介紹336

10.6.3練習337

10.7小結338

第11章 模擬力場339

11.1用向量場對引力建模339

11.2引力場建模342

11.2.1定義一個向量場343

11.2.2定義一個簡單的力場344

11.3把引力加入小行星遊戲345

11.3.1讓遊戲中的對像感受到引力346

11.3.2練習349

11.4引入勢能350

11.4.1定義勢能標量場351

11.4.2將標量場繪制成熱圖352

11.4.3將標量場繪制成等高線圖354

11.5.1用橫截面測量陡度354

11.5.2計算偏導數356

11.5.3用梯度求圖形的陡度357

11.5.4用勢能的梯度計算力場359

11.5.5練習361

11.6小結364

第12章 優化物理繫統365

12.1測試炮彈模擬器367

12.1.1用歐拉方法建立模擬器368

12.1.2測量彈道的屬性369

12.1.3探索不同的發射角度370

12.1.4練習371

12.2計算射程373

12.2.1求炮彈射程關於發射角的函數373

12.2.2求射程376

12.2.3確定值和小值378

12.2.4練習379

12.3增強模擬器381

12.3.1添加另一個維度381

12.3.2在炮彈周圍建立地形模型383

12.3.4練習386

12.4利用梯度上升優化範圍388

12.4.1繪制射程與發射參數的關繫圖388

12.4.2射程函數的梯度389

12.4.3利用梯度尋找上坡方向390

12.4.4實現梯度上升392

12.4.5練習395

12.5小結399

第13章 用傅裡葉級數分析聲波400

13.1聲波的組合和分解401

13.2用Python播放聲波402

13.2.1產生第 一個聲音402

13.2.2演奏音符405

13.2.3練習406

13.3把正弦波轉化為聲音406

13.3.1用正弦函數制作音頻406

13.3.2改變正弦函數的頻率408

13.3.3對聲波進行采樣和播放409

13.3.4練習411

13.4組合聲波得到新的聲波412

13.4.1疊加聲波的樣本來構造和弦412

13.4.2兩個聲波疊加後的圖形413

13.4.3構造正弦波的線性組合414

13.4.4用正弦波構造一個熟悉的函數416

13.4.5練習419

13.5將聲波分解為傅裡葉級數419

13.5.1用內積確定向量分量420

13.5.2定義周期函數的內積421

13.5.3實現一個函數來計算傅裡葉繫數423

13.5.4求方波的傅裡葉繫數424

13.5.5其他波形的傅裡葉繫數424

13.5.6練習426

13.6小結428

第三部分機器學習的應用

第14章 數據的函數擬合431

14.1衡量函數的擬合質量433

14.1.1計算數據與函數的距離434

14.1.2計算誤差的平方和436

14.1.3計算汽車價格函數的代價440

14.2探索函數空間441

14.2.1繪制通過原點的直線的代價442

14.2.2所有線性函數的空間443

14.2.3練習445

14.3使用梯度下降法尋找擬合線445

14.3.1縮放數據445

14.3.2找到並繪制擬合線446

14.3.3練習447

14.4非線性函數擬合448

14.4.1理解指數函數的行為448

14.4.2尋找擬合的指數函數451

14.5小結453

第15章 使用logistic回歸對數據分類455

15.1用真實數據測試分類函數456

15.1.1加載汽車數據457

15.1.2測試分類函數458

15.1.3練習458

15.2繪制決策邊界460

15.2.1繪制汽車的向量空間460

15.2.2繪制更好的決策邊界461

15.2.3實現分類函數462

15.2.4練習463

15.3將分類問題構造為回歸問題464

15.3.1縮放原始汽車數據464

15.3.2衡量汽車的“寶馬性”465

15.3.3sigmoid函數467

15.3.4將sigmoid函數與其他函數組合468

15.3.5練習470

15.4探索可能的logistic函數471

15.4.1參數化logistic函數472

15.4.2衡量logistic函數的擬合質量472

15.4.3測試不同的logistic函數474

15.4.4練習475

15.5尋找logistic函數477

15.5.1三維中的梯度下降法477

15.5.2使用梯度下降法尋找擬合478

15.5.3測試和理解logistic分類器479

15.5.4練習481

15.6小結483

第16章 訓練神經網絡484

16.1用神經網絡對數據進行分類485

16.2手寫數字圖像分類486

16.2.1構建64維圖像向量487

16.2.2構建隨機數字分類器488

16.2.3測試數字分類器的表現489

16.2.4練習490

16.3設計神經網絡491

16.3.1組和連接492

16.3.2神經網絡數據流492

16.3.3計算激活值495

16.3.4用矩陣表示法計算激活值498

16.4用Python構建神經網絡499

16.4.1用Python實現MLP類500

16.4.2評估MLP502

16.4.3測試MLP的分類效果503

16.4.4練習504

16.5使用梯度下降法訓練神經網絡504

16.5.1將訓練構造為小化問題505

16.5.3使用scikit-learn自動訓練507

16.6使用反向傳播計算梯度509

16.6.1根據後一層的權重計算代價509

16.6.2利用鏈式法則計算後一層權重的偏導數510

16.6.3練習512

16.7小結513

附錄A準備Python（圖靈社區下載）

附錄BPython技巧和竅門（圖靈社區下載）

附錄C使用OpenGL和PyGame加載和渲染三維模型（圖靈社區下載）

附錄D數學符號參考（圖靈社區下載）