了得網計算機/網絡_工程數學基礎 [美]托馬斯·J. 彭斯 [美] 因德瑞克·S.威奇

編輯推薦

人工智能時代的到來，利用計算建模和仿真技術計算和解決工程與科學問題已成為主流，為了更好地設計算法和利用計算軟件，需要研究人員和軟件使用者對數學的了解比過去更多。在機器計算占據主導地位的時代，本書為研究生和研究生水平的工程師和科學工作者提供了所需的“必不可少的、根本的”數學基礎。以教科書形式繫統地、循序漸進地介紹數學知識，而不是隻給研究生列出參考文獻，這在研究生教學中值得推廣。

內容簡介

本書適用於擁有工程學或物理科學專業的本科學位或廣泛課程並希望加深對應用數學基本主題的理解的學生。書中介紹的方法構成了工程和物理科學分析的核心。讀者將學習研究中需要的解決方案、技術和方法。例如，他們將能夠了解用於解決技術問題的各種科學軟件包背後的基礎知識（例如，描述復雜結構的固體力學的方程式或短期天氣預報和長期天氣預報的流體力學方程式氣候變化），這對於成功使用此類法規至關重要。詳細而眾多的工作問題有助於確保對應用數學進行清晰而有節奏的介紹。每章末尾的計算挑戰性問題為學生提供了動手學習的機會，並有助於確保對概念的掌握。

作者簡介

托馬斯·J. 彭斯（Thomas J. Pence），密歇根州立大學機械工程繫教授，擁有密歇根州立大學工程力學學士學位和加州理工學院應用力學碩士和博士學位。他的研究興趣包括解析建模和計算建模、高形變固體等。他是美國國家理論和應用力學委員會成員，Journal of Elasticity、 International Journal of Solids and Structures和Journal of Mechanics of Materials and Structures期刊的編委會成員。

因德瑞克·S.威奇曼（Indrek S. Wichman），密歇根州立大學機械工程繫教授，擁有紐約州立大學石溪分校工程力學學士學位、弗吉尼亞理工大學工程力學碩士學位，以及普林斯頓大學機械與航空航天工程碩士和博士學位。他在密歇根州立大學任教三十多年，獲得了兩項教學獎，並開發或合作開發了五門課程，包括本書對應的課程——工程分析。

目錄

譯者序

前言

致謝

目錄

譯者序

前言

致謝

第一部分線性代數

第1章線性代數與有限維向量空間2

11矩陣回顧2

12線性無關與線性相關3

13張成和基9

14分解向量空間為直和13

15數量積16

16正交性與格拉姆施密特正交化17

17正交補24

18基變換和正交矩陣29

習題33

第2章線性變換41

21線性變換概念41

22線性變換的基變換46

23投影張量52

24正交投影56

25不變子空間61

251零空間61

252值域62

253一維不變子空間66

習題67

第3章線性變換在方程組中的應用71

31值域的正交補和零空間71

32弗雷德霍姆選擇定理——
第一次審視74

33當A的行列式為0時的

“最佳解”79

331滿足可解性條件79

332不滿足可解性條件80

34正規方程82

35廣義逆——第一次審視85

351與最小二乘數據擬合的

關繫88

352應用：擬合橡膠的應力拉
伸數據89

習題94

第4章特征值的譜99

41特征值和特征向量99

42特征空間104

421對角化105

422應用：彈簧與質量網絡的
振動108

43長方形矩陣和奇異值113

44弗雷德霍姆選擇定理——
第二次審視118

441弗雷德霍姆選擇定理對
Rn→Rm的推廣118

442弗雷德霍姆選擇定理與
奇異值的關繫120

45奇異值分解125

46廣義逆——第二次審視131

461與長方形矩陣的奇異值分解
的關繫133

462應用：濾除線性繫統中
的噪聲136

關於線性代數的進一步閱讀140

習題141

第二部分復變量

第5章復變量的基本概念148

51復數概述及其簡要歷史148

52復數及其運算153

53平面幾何解釋：z平面156

54在復平面上的積分162

55非平面幾何解釋：黎曼球面166

56復分析中的點對代數172

習題177

第6章單復變量的解析函數181

61一些標準復函數181

62復函數映射——第一次審視186

63解析函數192

631導數193

632柯西黎曼方程195

64調和函數198

65在流體力學中的應用：勢流200

651二維穩定流204

652流場中的物體206

66復函數映射——第二次審視：
施瓦茨克裡斯托費爾變換208

661作為坐標變換的映射208

662開映射211

663閉映射215

664變換218

習題225

第7章柯西積分定理233

71解析函數與非解析函數的
積分233

711柯西古薩定理234

712柯西古薩定理對於路徑
積分計算的結果235

72不定積分——原函數240

73柯西積分公式245

74解析函數導數的路徑積分249

75單位圓中的調和函數251

76應用:拉普拉斯逆變換253

77勢流再論：流動流體所施加
的力259

習題270

第8章級數展開和路徑積分278

81泰勒級數278

82洛朗級數282

83留數和留數定理288

84包圍各種極點的路徑積分293

85可以計算實積分的復路徑
積分299

86分支和分支切割304

861分支映射304

862帶分支的積分：橢圓積分311

863帶分支的積分：多項式、
對數和分數冪313

864帶分支的積分：拉普拉斯
逆變換317

87路徑積分的高級主題319

871復傅裡葉變換320

872積分路徑上的奇點：普萊
梅利公式322

873解析延拓327

關於復變量的進一步閱讀333

習題334

第三部分偏微分方程

第9章線性偏微分方程342

91平衡和穩態343

911變量分離、特征值和特征
函數348

912帶參數的邊界值問題和
非平凡解349

92時間相關過程的偏微分方程及
特征值的作用350

93亥姆霍茲方程的特征函

前言

前言
本書的英文書名表明，書中涵蓋的數學題材是“必不可少的、根本的”或“基礎的”。這個說法本身需要澄清。本書討論的數學，對於什麼來說必不可少？為什麼必不可少?對誰必不可少（顯然是工程師和科學家，但這也必須給出解釋）?
要開始回答這些復雜的問題，有必要討論它們最初是如何出現的，以及為什麼會出現。
事實是，在大約1980年到2020年的40年間，利用計算建模和仿真技術解決工程和科學問題的計算機的使用出現了爆炸式增長。計算機還用於其他方面，從娛樂（視頻、手機等）到逮捕逃犯和從事偵探活動（面部識別），到醫療和社會統計方面的大規模數據處理，再到日益金融化和經濟化的日常生活。一句話，現在計算機無處不在。
日益增加的復雜性帶來的一個負面影響是與基礎失去了聯繫。在日常生活中，不會修理自己的汽車或不會更換家裡的供暖、通風和空調繫統被視為無能。一旦計算機能夠解決長期存在的工程難題，留給那些可替代的工程師的還有什麼呢?計算機使得一切都變得很容易。它從不要求休假、獎金或加薪，最重要的是，與現實生活中的工程師不同，它從不犯任何錯誤。此外，如果不需要工程師和科學家，為什麼還要教授工程學和科學？前言
本書的英文書名表明，書中涵蓋的數學題材是“必不可少的、根本的”或“基礎的”。這個說法本身需要澄清。本書討論的數學，對於什麼來說必不可少？為什麼必不可少?對誰必不可少（顯然是工程師和科學家，但這也必須給出解釋）?
要開始回答這些復雜的問題，有必要討論它們最初是如何出現的，以及為什麼會出現。
事實是，在大約1980年到2020年的40年間，利用計算建模和仿真技術解決工程和科學問題的計算機的使用出現了爆炸式增長。計算機還用於其他方面，從娛樂（視頻、手機等）到逮捕逃犯和從事偵探活動（面部識別），到醫療和社會統計方面的大規模數據處理，再到日益金融化和經濟化的日常生活。一句話，現在計算機無處不在。
日益增加的復雜性帶來的一個負面影響是與基礎失去了聯繫。在日常生活中，不會修理自己的汽車或不會更換家裡的供暖、通風和空調繫統被視為無能。一旦計算機能夠解決長期存在的工程難題，留給那些可替代的工程師的還有什麼呢?計算機使得一切都變得很容易。它從不要求休假、獎金或加薪，最重要的是，與現實生活中的工程師不同，它從不犯任何錯誤。此外，如果不需要工程師和科學家，為什麼還要教授工程學和科學？
面對這種情況，我們會問一個更直接相關的問題:在一個機器計算占據主導地位的時代，我們的工程師和科學家（假設他們仍然是不可少的）需要什麼樣的數學頭腦?這個問題的一個略微不同的版本是:我們的學生在數學基本原理方面應該打下多少基礎？我們不得不注意到，隨著預先設計好的商業軟件程序變得普遍可用，編寫自己的代碼的需求似乎已經消失了。因此，我們有理由提出更多問題:如果某種解總是可計算的，那麼是否還有必要擔心數學算法和建模假設的一致性?是否值得人們花時間去問這個數學問題的適定性？

一個數學問題是適定的，是指問題有解，而且解唯一；更重要的是解穩定。——譯者注

工程師或科學家是否仍然需要在解決問題的過程中利用嚴格的算法思維，或者他們的角色應該以問題陳述結束?
通過許多誇大言辭、錯誤的陳述和事故，我們意識到，缺乏技術能力和專業知識的後果可能是可笑的，甚至是有害的。橋梁倒塌，飛機墜毀，這說明風洞和其他大型實驗設施仍然需要，實驗分析變得更加精細和準確。因此，出現了一種明顯的監督需求，即職業工程師和科學家能夠對困難的技術問題的“解”提供合格的技術審查。我們有必要問一些古老問題的現代變體:什麼是問題和解決它意味著什麼?我們不得不承認,盡管我們生活在一個技術發展遠遠優於我們的數學發展的時代，但是我們還沒有擺脫數學強加給我們的限制:日常生活對數學的要求和過去一樣多，甚至比過去更多。
隨著現代工程實踐中範圍和重點的變化。我們對機器計算的依賴幾乎無處不在，我們需要新的和不同的方法向工程和自然科學專業的學生介紹基本數學知識。即便如此，前進的道路還是要從長遠地回顧過去那些已解決了的問題開始。這些問題是如何產生的？它們試圖回答什麼問題？解決方案是如何產生的？這些問題為現代數學模型的構建和求解提供了有價值的線索。盡管計算機改變了我們從事數學研究的方式，改變了我們構造解的方式，改變了我們將給定問題的部分與整體相聯繫的方式，但這隻是形式上的改變，而不是內容上的改變。作為一個簡單的例子，讀者可能會反思這樣一個事實:盡管我們不打算丟棄軟件代碼，但是我們會更加小心地用已經建立的數學解決方案來測試它們。當我們擴展這些最初設計來解決更簡單問題的代碼和程序時，這一點就不隻是重要，而是至關重要。人的潛力遠超他的能力範圍，我們在任何時候，隻要有可能，就應尋求縮小這一差距的方法。
當然，前面的討論集中在前兩個問題上，“對於什麼來說必不可少，為什麼必不可少”。
關於“對誰必不可少”，這本研究生入門水平的書的目的是用改善的工具以及經過先例和經驗磨礪的觀點，來敘述最重要的基本數學問題。有抱負的研究生水平的工程師或科技人員應該知道這些問題。因為這種知識是基礎性的，所以它是向上和向外建立的。然而，每一個新的研究對像都有它自己本身的基礎，所以整個組合體可以類比為一個羅馬渡槽：一個由獨立但緊密相連的部分或基礎組成的上層建築。工程科學的數學首先建立在不受近似、估計和漸近影響（偶有例外）的精確數學知識之上。我們相信，雖然有各種各樣的近似和漸近解法來解決工程和應用科學中的不同類別的問題，但在研究生學習的第一年擴展它們的覆蓋面將會本末倒置。
主要特點

 本書假定學生有相當於工程或物理學學士的背景知識。這意味學生具有從微積分到偏微分方程的基礎，並熟悉矩陣理論，包括對特征值和特征向量的基本理解。本書還假定讀者已經掌握了常微分方程、偏微分方程，以及特征值的基本知識。這些主題隱含著學生熟悉基本的傅裡葉級數、拉普拉斯變換、矢量分析和符號。所有這些主題在“高級”本科教材以及一些入門水平的研究生教材中都會涉及。例如，在一個典型的本科機械工程技術專業中，初級或高級水平的學生將接觸到熱傳導（偏微分方程）、振動（常微分方程和特征值）和控制理論（線性繫統、拉普拉斯變換）的論述。在其他不同技術領域，如物理或化學的本科生階段，學生將會遇到初級或高級課程的經典力學、統計熱力學、電磁理論和物理化學。這樣的課程不可避免地涵蓋了許多數學方法，我們期望讀者有運用這些方法的基本能力。
 本書分為三個主要部分，每個部分至少有四章。這三部分著重講解了線性代數、復變量和偏微分方程。這些主題的基礎是不同的，但將它們聯繫在一起的紐帶和相互關繫眾多且深刻。為了用數值方法求解問題，必須有扎實的線性代數基礎。數值解的對像是什麼?通常是常微分方程和偏微分方程。復變量可能被認為與這兩個領域不相關，但它在解釋微分方程、積分、導數的意義、黎曼球面的基本概念、柯西黎曼方程，以及在計算積分和評估奇點（並注意它們的性態）過程中學習到的所有技巧方面極具價值。復變量中引入的基本概念可以應用到諸如偏微分方程的幾何研究之類的具體問題上，也可以應用到諸如無窮或-1之類的抽像概念的意義上。
 重點討論弗雷德霍姆選擇定理（Fredholm Alternative Theorem，FAT）及其在求解線性方程組（第一部分）和常微分方程（第三部分）中的意義。
線性方程組與常微分方程是密切相關的，因為常微分方程可以用有限差分作為線性代數方程組來重新計算。然而，FAT提供了一個優秀的研究生水平的機會來發現這些主題之間的更深層次聯繫。此外，FAT對解存在性的限制導致了新的和更廣泛的見解，例如第三部分中描述的修正格林函數的概念。在這裡，學生將會學到先驗的一個明顯的限制，也許是更直接的方法，是對更基本原理（如修正格林函數）的需要的不那麼微妙的表現。最初看似障礙的東西往往標志著通往更基礎理論的入口。
 主題的順序不是“隨機的”（用現在的行話來說）或隨意的。首先研究線性代數，然後研究復變量，最後研究常微分方程和偏微分方程。隨著這些主題的逐步展開，直到第13章結束時，有一個不變的“構想”，前十二章的大部分知識點呈現在136節的最後一個例子中。事實上，詳細的示例可以作為引入和推進理論的工具。雖然其中某些內容由它們的特定公式來看似乎是學科特有的，但實際上，考慮到它們是對基本關鍵數學概念的描述，它們具有普遍性。這一點已經在敘述性討論中說清楚了。除了演示過程和處理以前提出的問題，這些例子還提出了新的問題。這方面的一個例子是在35節中引入廣義逆，它滿足了一個特定的需求，乍一看，它似乎是松散的，但隨後可以看出它是一個重要的基本概念。對先前例子提出的問題後續繼續研究探討是本書的一個重要特點。
 隨著本書的進展，我們試圖以一種新的視角或更大程度的一般性返回去重新研究重要的主題和方法，以此強化基本概念。這也是我們在寫作中所使用的“構想”的一部分。例如，我們首先在線性代數的方程組中方程與未知量數目相等（第3章）的情況下研究弗雷德霍姆選擇定理，然後在方程和未知量數目不等的背景下（第4章）重新研究，再在常微分方程理論（第11章）中重新考慮。教育研究表明，在這樣的安排下，學生更能理解內容的邏輯性和必要性。這種學習方式被稱為“主動檢索”，參見文獻［1］。對先前概念、例子和知識的主動檢索也是這些作者所稱的“交錯多樣實踐”的核心組成部分。這種方法能促進讀者對所學原理的理解、吸收和應用。
 本書可以是一本理想的研究生入門水平的一年課程教材。然而，它也可以作為一個學期的教材——從三個部分的每個部分各抽取一些材料。我們將它作為一個學期課程的教材，包括每個部分的前兩章，或在某些情況下，包括前三章；剩下的材料可以用作個人學習或高級教程。學習完本書，讀者將在工程和應用科學的精確分析方法方面獲得堅實的基礎。之後，如果他們願意，就可以研究全面的漸近方法（級數、積分、WKB理論、最速下降等）以及在Bender和Orszag的優秀且絕不過時的書（文獻［58］）中所呈現的經典近似工程分析技術。諸如相空間的結構、非線性常微分方程和偏微分方程的解、非常大或非常小的參數的影響等課題留給學習更高級別課程的讀者，就像研究數值方法的細節一樣。
 學習的一個重要組成部分是學生在安靜的、沒有手機和電子設備干擾的環境下，沉浸在自己的學習資料中。這種專注有一部分來自閱讀，我們可以稱之為理性的專注。一種更積極的專注形式是把例子都做完。最積極和最有成效的專注形式，也就是真正需要學習的地方，來自做習題。每一章的每一節都有習題。有些習題可用來鞏固課堂所學，而另一些則需要付出相當大的努力。這樣的回報是對所呈現內容的理解有巨大飛躍。每一章的結尾都有“計算挑戰問題”，這通常不僅需要全面掌握學習內容，而且需要有以算法的方式處理先前問題的拓展形式的能力。由此產生的計算挑戰提供了一種實踐理論的方式，它把這裡提出的基本數學與我們生活的計算密集型時代聯繫起來。
 最後，有幾個關於精確工程分析的專題沒有討論。這首先是因為它們在其他更初級的教材中已經被很好地涵蓋了，其次是因為涵蓋這些專題的層次和深度以及大量的例子會使我們的書難以處理。因此，比方說我們不詳細探討變分法，盡管它們出現在我們討論偏微分方程的第三部分中。變分法經常導致非線性常微分方程，這是另一個在這裡沒有陳述的專題。為了強調所涵蓋主題的本質所做的選擇和對所研究專題的精選，本書幾乎普遍側重於應用數學線性問題的精確解。一旦這些主題被理解，學生和研究人員可以學習如何處理非線性方程——通常通過把它們線性化（!），而且幾乎經常是尋找一個參數，以它為中心來構造漸近解。在這個計算時代，主要方法訴諸數值模擬，這就不可避免地涉及線性化。

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