★許蓴舫著作暢銷兩個世紀，累計銷量近1000萬冊，創造數學科普讀物奇跡！影響了不計其數的數學愛好者。

★★ 霍建平教授曾無數次向學生、家長推薦許蓴舫著作；

程介明副校長贊譽：許蓴舫的數學叢書是真正的深入淺出。

教育家蔣念：許蓴舫先生編寫的一套關於幾何解題的書，我印像特別深，特別有意思。

★★★《中國幾何故事》趣味貫通數學與文學，科普聯結古代數學與現代讀者，實用和理論完美結合。

★★★★有針對性地解決數學學習中遇到的問題，是數學的提分利器。

★★★★★《中國幾何故事》彙聚了歷代中國數學家的成果，展示了我國在世界數學史上的光

榮地位，是中國數學家勞動生產的智慧結晶。

《中國幾何故事》是著名數學教育家許蓴舫巨著，以故事的形式從幾何知識的起源開篇，介紹了圓周率的沿革，洞淵的勾股測圓術，語言幽默風趣。詳細地講解生活中和學習中測量和解決實際問題的技巧，如：中國三角測量的方法，求積的新貢獻，體積還原和截積術，平面和球面三角學上的創造。不但講透幾何基礎知識，補充必要知識開拓眼界，還運用大量的例題舉一反三，為進一步深入學習幾何創造了條件。

 《中國幾何故事》彙聚了中國數學家自古的卓著成就，內容通俗易懂，沒有高深的理論，是學習幾何的好幫手。

許蓴舫（1906-1965）

我國著名的數學，原名許潤芳，筆名承方，清光緒三十二年出生於江陰顧山鎮南橋堍一個中醫家庭，後定居。1943年，在無錫城區新廟前同仁堂創辦弘毅中學， 自任校長。1944年接辦育纔中學，任校長。1946年任前洲青城中學校長。1947年回道南中學任教導主任。

許蓴舫在普及中國和知識方面作了大量有益的工作，著有數學讀物32種，撰寫論文60多篇，共300多萬字。主要著作有：《古算趣味》 《幾何計算》《數學漫談》《中國數學故事》《中國代數故事》《中國幾何故事》《幾何定理和證明》《幾何作圖》《軌跡》《幾何計算》《實用珠算》。

目    錄

◢ 幾何知識的萌芽               /001

◢ 從勾三股四弦五說起          /008

◢ 中國的三角測量——重差術     /027

◢ 洞淵的勾股測圓術           /049

◢ 圓周率的沿革                 /066

◢ 求積法的新貢獻            /079

◢ 體積還原和截積術          /098

◢ 平面和球面三角學上的創造    /115

從勾三股四弦五說起

一

凡是學過初等平面幾何學的人，都知道一條有關直角三角形三邊關繫的著名定理。這條定理的內容是：“直角三角形的兩條直角邊平方的和，等於斜邊的平方．”過去一般人隻知道這定理是由希臘畢達產斯首先發現前540年），因而把它稱做“畢達哥拉斯定理”（或簡稱“畢氏定理”）。其實我國遠在周代就有商高的“勾三股四弦五”的特例，稍後就有陳子所舉的普遍定理，論起時期來，也是相當早的．因此，我們現在應該正式給這條定理定名，把它稱做“勾股定理”。

商高是周代人。在我國現傳古的一部數學書《周髀算經》裡，記載著商高和周前一千一百餘年）的問答，其中有一段提到了商高所說的勾三股四弦五的重要關繫。古時稱直角三角形的兩條直角邊是勾（較短的一條）和股（較長的一條），斜邊中弦。勾三股四弦五的意義，就是說，如果直角三角形的兩條直角邊的長分別是三和四，那末斜邊的長一定是五（如圖6）。或者反過來說，如果三角形三邊的長成為3:4:5的連比，那麼這個三角形一定是直角三角形（古稱勾股形）。這一個性質是表示直角三角形三邊間相互關繫的一個特例。

勾三股四弦五可能是我國古代勞動人民在生產勞動中的創造，而是從商高口中道出，再經後人把它記錄在書籍裡面的。設想我們的祖先是利用這個關繫來準確地做成直角，並用它做標準去進行測量的。比如古代人民在正午時用一根直立標 竿的短的影子確定了南北方向以後，要想決定東西方向，可以取一根十二尺長的繩，依照三尺、四尺、五尺的三段折成一個三角形。把三尺的一邊放到已經確定的南北方向，那麼四尺的一邊所取的方向就是所求的東西方向．

《周髀算經》在商高和周公的問答之後，又載了陳子和榮方問答的話，陳子告訴榮方測量太陽的高和遠的方法。他假定地面是平面，先用相似形的比例定理求得太陽直下方地面上一點離測者60000裡做勾（如圖7），太陽離地的高80000裡做股（以上兩個數的求法見下篇），然後“勾、股各自乘，並而開方除之”（就是把勾、股 兩個數各平方，然後相加，再開平方），得100000裡，就是從測者到太陽的距離．從這裡，無異是告訴我們公測、股二數平方的和等於弦的平方，這正是一條普遍的勾股定理。

在上例中所設的數——60000，80000，100000，仍是三、四、五的倍數，似乎普遍性還不夠，但是在陳子的其他幾個例子中就完全推到一般了．現在另舉一個例子，其中所求的是太陽在周城（就是周成王所建的都城洛邑，在現今河南洛陽）正東或正西時的直下地和周城的距離。

陳子仍舊假定地面是平面，再把太陽的視運動路線在地面上的射影看作是一個圓ABC（如圖8）。他在周城（D）的平地直立八尺高的標竿，用來測太陽的影子．因為這個標竿是放在周城測望的，所以叫做“周髀”．當夏至天的正午時（太陽在正南方），在太陽光下測得周髀的影子長1尺6寸，而同時在南方或北方相距1000裡的地方，用同法測得的影長就要相差1寸（這個數當然是不夠精確的）。因為在太陽直下方地面上一點（E）如果也直立一根標竿，它一定是沒有影子的（就是影長0寸），於是陳子由兩竿南北相隔1000裡時影長差1寸，算出周城既和日下地影差16寸，其間相距一定是16000裡（這顯然是角比例式1:16=1000：x而得到的）。又人伏在地上望北極星，看見星和竿頂相合時，量得人眼離竿足1丈零3寸，照日影來推算（因為如果北極星的光和太陽光差不多強，能使竿後生影的話，那麼影長顯然就是1丈零3寸），知道地面上位於北極星直下的一點（O）距離周城應該是103000裡（解比例式1:103=1000:x而得）。設北極星在地面上的射影是圓ABC的中心O，太陽在周城正東時的直下地是C，在正西時的直下地是B，那麼從DE=16000裡，OD=103000裡，可算得

AB=2*OE=238000裡，

AC=2*OD=206000裡，

由勾股定理得BC=裡=119197 裡

於是知道太陽在周城正東或正要正理地的直下地，和周城的距離CD或BD大約是

在上例中，由於地面不成平面，南北兩地的距離和影差也就不能成比例，所以得到的結果和實際不符；但是從此卻得到了勾股定理普遍的應用例子。