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榮獲科技部2016年全國優秀科普作品獎！

“裡程碑書繫”全球版權銷售超過二十個國家和地區，銷量超百萬冊！

數學是一個美妙而瘋狂的學科！《數學之書》一部圖文並茂的編年體數學百科，一卷博古通今的數學歷史，故事性趣味性知識性完美融合！一本書讓您領略科學之王——數學的迷人魅力！

“對我而言，不論是心智的特質、思想的極限，或者是人類相對於浩瀚宇宙所處的環境，都可以用數學來發掘其中永無止境的驚奇奧秘。”——克利福德·皮寇弗

內容簡介

人類什麼時候在繩子上打下*個結？
為什麼*位女數學家會死於非命？
有可能把一個球體的內部翻轉出來嗎？
這些隻是這本插圖精美的書中涉及到眾多引人深思的問題的一小部分。作者皮寇弗為我們展示了數學發展史*重要的裡程碑事件背後的魔力與神奇，包括人類曾經思索過的*古怪的問題前一億五千萬年到*的前沿突破。

數學已經滲入每一個科學領域，並且在生物學、物理、化學、經濟、社會學和工程等方面扮演著無法替代的角色。我們可以用數學說明夕陽色彩分布的情況，也可以用來說明人類的大腦結構，可以幫助我們探索比原子還小的量子世界，也可以幫助我們描繪遙不可及的銀河繫。

人類什麼時候在繩子上打下*個結？

為什麼*位女數學家會死於非命？

有可能把一個球體的內部翻轉出來嗎？

這些隻是這本插圖精美的書中涉及到眾多引人深思的問題的一小部分。作者皮寇弗為我們展示了數學發展史*重要的裡程碑事件背後的魔力與神奇，包括人類曾經思索過的*古怪的問題前一億五千萬年到*的前沿突破。

數學已經滲入每一個科學領域，並且在生物學、物理、化學、經濟、社會學和工程等方面扮演著無法替代的角色。我們可以用數學說明夕陽色彩分布的情況，也可以用來說明人類的大腦結構，可以幫助我們探索比原子還小的量子世界，也可以幫助我們描繪遙不可及的銀河繫。

在現實世界運用的著名計算公式和數學定理背後隱藏著數學家們一生的傳奇故事。跟隨皮寇弗踏上這趟數學之旅，探索數學歷*重要的250個裡程碑事件，從螞蟻計數到*把算盤，從發現電腦創造的碎形到尋找新的維度空間。在這趟旅程中我們還會遇到畢達哥拉斯和歐幾裡得等偉大的思想家，以及近代數學巨擘馬丁·加德納、泰格馬克等等。

作者簡介

科普鬼纔作者克利福德·皮寇弗是一位多產作家，涉獵主題從科學、數學到宗教、藝術及歷史，出版超過四十本書，並被翻譯成數十種語言，暢銷全球。皮寇弗在耶魯大學取得分子生物理化博士學位，在美國擁有四十多項專利，並擔任數本科學期刊的編輯委員。他的研究屢屢見於CNN、《連線》雜志、《紐約時報》等諸多重要媒體。

目錄
簡介數學之美與效用 VII
本書的架構與目的 XI
導讀 XV
001前1.5億年／螞蟻的裡程表
002前3000萬年／靈長類算數
003前100萬年／為質數而生的蟬
004前10萬年／結繩記事
005前1.8萬年／伊尚戈骨骸
006前 3000 年／秘魯的奇普
007前 3000 年／骰子
008前 2200 年／魔方陣
009前 1800 年／普林頓 322 號泥板
010前 1650 年／萊因德紙草書目錄

簡介數學之美與效用 VII

本書的架構與目的 XI

導讀 XV

001前1.5億年／螞蟻的裡程表

002前3000萬年／靈長類算數

003前100萬年／為質數而生的蟬

004前10萬年／結繩記事

005前1.8萬年／伊尚戈骨骸

006前 3000 年／秘魯的奇普

007前 3000 年／骰子

008前 2200 年／魔方陣

009前 1800 年／普林頓 322 號泥板

010前 1650 年／萊因德紙草書

011前 1300 年／圈叉遊戲

012前 600 年／勾股定理與三角形

013前 548 年／圍棋

014前 530 年／畢達哥拉斯創立數學

兄弟會

015前 445 年／季諾悖論

016前 440 年／月形求積

017前 350 年／柏拉圖正多面體

018前 350 年／亞裡士多德的

《工具論》

019前 320 年／亞裡士多德輪子悖論

020前 300 年／歐幾裡得《幾何原本》

021前 250 年／阿基米德：沙粒、

群牛問題和胃痛遊戲

022前 250 年／圓周率 π

023前 240 年／埃拉托斯特尼篩檢法

024前 240 年／阿基米德不完全正

多面體

025前 225 年／阿基米德螺線

026前 180 年／蔓葉線

027 約150 年／托勒密的《天文學大成》

028 250 年／戴奧芬特斯的《數論》

029 約 340 年／帕普斯六邊形定理

030 約 350 年／巴克沙裡手稿

031 415 年／希帕提婭之死

032 約 650 年／數字 0

033 約 800 年／阿爾琴的《砥礪年輕人

的挑戰》

034 830 年／阿爾花拉子密的《代數》

035 834 年／博羅密環

036 850 年／《摩訶吠羅的算術書》

037 約850 年／塔比親和數公式

038 約953 年／印度數學璀璨的章節

039 1070 年／奧瑪海亞姆的

《代數問題的論著》

040 約1150 年／阿爾薩馬瓦爾的

《耀眼的代數》

041 約1200 年／算盤

042 1202 年／斐波那契的《計算書》

043 1256 年／西洋棋盤上的小麥

044 約1350 年／發散的調和級數

045 約1427 年／餘弦定律

046 1478 年／《特雷維索算術》

047 約1500 年／圓周率 π 的級數公式之

發現

048 1509 年／黃金比

049 1518 年／《轉譯六書》

050 1537 年／傾角螺線

051 1545 年／卡丹諾的《大術》

052 1556 年／《簡明摘要》

053 1569 年／麥卡托投影法

054 1572 年／虛數

055 1611 年／克卜勒猜想

056 1614 年／對數

057 1621 年／計算尺

058 1636 年／費馬螺線

059 1637 年／費馬後定理

060 1637 年／笛卡兒的《幾何學》

061 1637 年／心髒線

062 1638 年／對數螺線

063 1639 年／射影幾何

064 1641 年／托裡切利的小號

065 1654 年／帕斯卡爾三角形

066 1657 年／奈爾類立方拋物線的長度

067 1659 年／維維亞尼定理

068 約1665 年／發現微積分

069 1669 年／牛頓法

070 1673 年／等時曲線問題

071 1674 年／星形線

072 1696年／洛必達的《闡明曲線的無窮

小分析》

073 1702 年／繞地球一圈的彩帶

074 1713 年／大數法則

075 1727 年／歐拉數 e

076 1730 年／斯特靈公式

077 1733 年／常態分布曲線

078 1735 年／歐拉—馬歇羅尼常數

079 1736 年／柯尼斯堡七橋問題

080 1738 年／聖彼得堡悖論

081 1742 年／哥德巴赫猜想

082 1748 年／安聶希的《解析的研究》

083 1751 年／歐拉多面體公式

084 1751 年／歐拉多邊形分割問題

085 1759 年／騎士的旅程

086 1761 年／貝氏定理

087 1769 年／富蘭克林的魔術方陣

088 1774 年／小曲面

089 1777 年／布豐投針問題

090 1779 年／三十六位軍官問題

091 約1789 年／算額幾何

092 1795 年／小平方法

093 1796 年／正十七邊形作圖

094 1797 年／代數基本定理

095 1801 年／高斯的《算術研究》

096 1801 年／三臂量角器

097 1807 年／傅立葉級數

098 1812 年／拉普拉斯的《概率分析論》

099 1816 年／魯珀特王子的謎題

100 1817 年／貝索函數

101 1822 年／巴貝奇的計算器

102 1823 年／柯西的《無窮小分析教程概論》

103 1827 年／重心微積分

104 1829 年／非歐幾裡得幾何

105 1831 年／莫比烏斯函數

106 1832 年／群論

107 1834 年／鴿籠原理

108 1843 數

109 1844 年／超越數

110 1844 年／卡塔蘭猜想

111 1850 年／西爾維斯特的矩陣

112 1852 年／四色定理

113 1854 年／布爾代數

114 1857 年／環遊世界遊戲

115 1857 年／諧波圖

116 1858 年／莫比烏斯帶

117 1858 年／霍迪奇定理

118 1859 年／黎曼假設

119 1868 年／貝爾特拉米的擬球面

120 1872 年／魏爾斯特拉斯函數

121 1872 年／格羅斯的《九連環理論》

122 1874 年／柯瓦列夫斯卡婭的博士學位

123 1874 年／十五格數字推盤遊戲

124 1874 年／康托爾的超限數

125 1875 年／勒洛三角形

126 1876 年／諧波分析儀

127 1879 年／瑞提號收款機

128 1880 年／文氏圖

129 1881 年／本福特定律

130 1882 年／克萊因瓶

131 1883 年／河內塔

132 1884 年／《平面國》

133 1888 年／超立方體

134 1889 年／皮亞諾公理

135 1890 年／皮亞諾曲線

136 1891 年／壁紙圖群

137 1893 年／西爾維斯特直線問題

138 1896 年／質數定理的證明

139 1899 年／皮克定理

140 1899 年／莫雷角三分線定理

141 1900 年／希爾伯特的二十三個問題

142 1900 年／卡方

143 1901 年／波以曲面

144 1901 年／理發師悖論

145 1901 年／榮格定理

146 1904 年／龐加萊猜想

147 1904 年／科赫雪花

148 1904 年／策梅洛的選擇公理

149 1905 年／若爾當曲線定理

150 1906 年／圖阨—摩斯數列

151 1909 年／布勞威爾不動點定理

152 1909 年／正規數

153 1909 年／布爾夫人的

《代數的哲學與趣味》

154 1910—1913 年／《數學原理》

155 1912 年／毛球定理

156 1913 年／無限猴子定理

157 1916 年／畢伯巴赫猜想

158 1916 年／強森定理

159 1918 年／郝斯多夫維度

160 1919 年／布朗常數

161 約1920 年／天文數字“Googol”

162 1920 年／安多的項鏈

163 1921 年／諾特的《理想子環》

164 1921 年／超空間迷航記

165 1922 年／巨蛋穹頂

166 1924 年／亞歷山大的角球

167 1924 年／巴拿赫—塔斯基悖論

168 1925 年／用正方形拼出的矩形

169 1925 年／希爾伯特旅館悖論

170 1926 年／門格海綿

171 1927 年／微分分析機

172 1928 年／雷姆斯理論

173 1931 年／哥德爾定理

174 1933 年／錢珀努恩數

175 1935 年／布爾巴基：秘密協會

176 1936 年／菲爾茲獎

177 1936 年／圖靈機

178 1936 年／渥德堡鋪磚法

179 1937 年／考拉茲猜想

180 1938 年／福特圈

181 1938 年／隨機數產生器的誕生

182 1939 年／生日悖論

183 約1940 年／外接多邊形

184 1942 年／六貫棋

185 1945 年／智豬博弈

186 1946 年／ENIAC

187 1946 年／馮紐曼平方取中隨機函數

188 1947 年／格雷碼

189 1948 年／信息論

190 1948 年／科塔計算器

191 1949 年／塞薩多面體

192 1950 年／納什均衡

193 1950 年／海岸線悖論

194 1950 年／囚犯的兩難

195 1952 年／細胞自動機

196 1957 年／加德納的“數學遊戲”專欄

197 1958 年／吉伯瑞斯猜想

198 1958 年／球面翻轉

199 1958 年／柏拉圖撞球臺

200 1959 年／外邊界撞球臺

201 1960 年／紐康伯悖論

202 1960 年／謝爾賓斯基數

203 1963 年／混沌理論與蝴蝶效應

204 1963 年／烏拉姆螺線

205 1963 年／無法證明的連續統假設

206 約1965 年／超級橢圓蛋

207 1965 年／模糊邏輯

208 1966 年／瞬時瘋狂方塊遊戲

209 1967 年／朗蘭茲綱領

210 1967 年／豆芽遊戲

211 1968 年／劇變理論

212 1969 年／托卡斯基的暗房

213 1970 年／高德納與珠璣妙算遊戲

214 1971 年／群策群力的艾狄胥

215 1972 年／HP-35：臺口袋型工程計

算器

216 1973 年／潘洛斯鋪磚法

217 1973 年／藝廊定理

218 1974 年／魔方

219 1974 年／柴廷數 Ω

220 1974 年／超現實數

221 1974 年／博科繩結

222 1975 年／分形

223 1975 年／費根堡常數

224 1977 年／公鑰密碼學

225 1977 年／西拉夕多面體

226 1979 年／池田收束

227 1979 年／連續三角螺旋

228 1980 年／曼德博集合

229 1981 年／怪獸群

230 1982 年／球內三角形

231 1984 年／瓊斯多項式

232 1985 年／威克斯流形

233 1985 年／安德裡卡猜想

234 1985 年／ABC 猜想

235 1986 年／發聲數列

236 1988 年／計算機軟件包 Mathematica

237 1988 年／莫非定律詛咒下的繩結

238 1989 年／蝶形線

239 1996 年／整數數列在線大全

240 1999 年／永恆難題

241 1999 年／完美的魔術超立方體

242 1999 年／巴蘭多悖論

243 1999 年／破解極致多面體

244 2001 年／床單問題

245 2002 年／破解艾瓦裡遊戲

246 2002 年／NP 完備的俄羅斯方塊

247 2005 年／《數字搜查線》

248 2007 年／破解西洋跳棋

249 2007 年／探索特殊 E8李群的旅程

250 2007 年／數理宇宙假說

前言

在此引用物理作為模擬。當海森堡（Werner Heisenberg）擔心一般人可能永遠也無法真正理解原子是怎麼一回事時，波耳（Niels Bohr）顯得相對樂 1920 年，波耳在一封回給海森堡的信中提到：“我認為這是有可能的，但是要配合我們重新認識‘理解’這個詞彙真正意涵的過程。”我們現在使用計算機進行研究的真正原因，是因為我們直觀能力有限，透過計算機實驗實際上已經讓數學家們取得更進一步的發現與洞見，這是在計算機普及以前作夢也想不到的結果。計算機及其繪圖功能，讓數學家們早在有辦法正式完成證明之前，就先看到結果，也開啟了一項全新的數學研究領域，就連電子表格這種簡單的計算機工具，也能讓現代數學家擁有高斯、歐拉（Leonhard Euler）、牛頓等人渴望的數學功力。隨便舉個例子 20世紀90年代末由貝利（David Bailey）跟佛格森（Helaman Ferguson）兩人設計的計算機程序用一條新公式把圓周率 π、log 5和其他兩個常數串在一塊，如同克拉瑞克（Erica Klarreich ）在《科學新知》（Science News）上的報導，隻要計算機能把公式先找出來，事後完成證明的工作就簡單多了，畢竟在完成數學證明的過程中，簡單地知道答案這項工作，通常也是難以跨越的障礙。

我們有時候會用數學理論預測某些要經過好幾年後纔能確認的現像，譬如以物理學家馬克斯韋爾（James Clerk Maxwell）命名的馬克斯韋爾方程式（Maxwell equation）預測了無線電波的存在；愛因斯坦場論方程式（fields equation ）指出重力可以折彎光線及宇宙擴張論。物理學家狄拉克（Paul Dirac）曾說過，今天研究的數學課題可以讓我們偷偷瞄見未來的物理理論，事實上，狄拉克的方程式預測了之後纔陸陸續續發現的反物質（antimatter）存在。數學家羅巴切夫斯基也說過類似的話：“就算再抽像的數學分支，也總有一天會運用在詮釋現實世界的物理現像上。”

在這本書裡，讀者們將會踫上許多被認為掌握宇宙之鑰、相當有趣的幾何學家。伽利略（Galileo Galilei）曾說過：“大自然的鬼斧神工不外乎是數學符號寫成的篇章。”克卜勒（Johannes Kepler）曾使用正十二面體之類的柏拉圖正多面體，建構太陽繫的模型。20世紀60 年代的物理學家維格納（Eugene Wigner ）對於“數學在自然科學中具有超乎常理的效用”感到印像深刻；像是E8這種大李群（large Lie Group，參照***頁條目）：探索特殊 E8 李群的旅程 2007 年）—則可能在某一天協助我們創造一統物理學的終極理論。2007 年，瑞典裔的美國宇宙學家泰格馬克（Max Tegmark）發表一篇大受歡迎、談論數理宇宙假說的科學文章，指出我們看到的物理實體其實都是數學結構；也就是說，我們不隻可以用數學描述所處的宇宙，甚至可以說—宇宙本身就是數學。

媒體評論

皮寇弗縝密思維所構成的王國，已超越一般人所認知的現實世界。──《紐約時報》

皮寇弗是當今世上*富原創性與想像力的作者之一。──《趣味數學期刊》

富勒曾經是充滿想像力的代名詞，如今克拉克取而代之，不過，皮寇弗的表現則顯然更勝前人。

──《連線》雜志

任何一個人的心靈都會因為閱讀皮寇弗的著作而更加豐富。

──《2100：太空漫遊》作者、科幻大師克拉克（ArthurC.Clarke）

兩份的阿西莫夫、一份的馬丁·加德納、一份的薩根，加在一起就變成了皮寇弗，他是當代*富娛樂且能刺激思想的作者之一。

──《懷疑論者》雜志總編輯麥克·舍默（MichaelShermer）

在線試讀

數學之美與效用
慧黠的觀察者看過數學家所從事的工作後，大概會認為他們是一群狂熱流派奉獻者，宇宙的神秘鑰匙的追尋者。
─戴維斯（PhilipDavis）與賀須（ReubenHersh），《數學經驗談》（TheMathematicalExperience）一書作者
數學已經滲入每一個需要費盡心思的科學領域，並且在生物學、物理、化學、經濟、社會學跟工程等方面取得無法替代的角色。我們可以用數學說明夕陽色彩分布的情況，也可以用來說明人類的大腦結構。數學幫助我們打造超音速飛機跟雲霄飛車，模擬地球天然資源流轉的方式，進入次原子的量子世界探索，甚至讓我們得以想像遙遠的銀河繫。數學可以說是改變了我們看待宇宙的方式。
在本書中，我希望運用少量數學公式提供一點數學品位，而鼓勵讀者發揮想像力。對大多數讀者而言，這本書所談論的應該不隻是能滿足好奇心卻缺乏實用價，根據美國*實際調查的結果顯示，能夠順利完成高中數學課程的學生升上大學後不論選讀哪一個專業，都能夠展現出比較優秀的學習能力。
數學的實用性讓我們可以建造宇宙飛船，探索所處宇宙的幾何結構。數字也可能是我們跟有智能的外星生物間所采用的種溝通手段。有些物理學家認為掌握更高空間維度和拓樸學（topology，探索形狀與彼此間相互關繫的一門學問），或許有一天當現在這個宇宙處於在極熱或極冷的末日之際，我們就能逃出，在不同的時空環境下安身立命。
數學史上不乏許多人同步有重大發現的例子，就以這本書裡面的莫比烏斯帶（TheMobiusStrip）為例。德國數學家莫比烏斯（AugustMobius）和當時另一位德國數學家利斯廷（JohannBenedictListing）同1858年各自發現莫比烏斯帶（一個隻有單面，神奇的扭曲物體）。這種同步發現的現像就跟英國博學多聞的牛頓（IsaacNewton）與德國數學家萊布尼茲（GottfriedWilhelmLeibniz）各自同時發現微積分的例子相似。這些例子讓我不禁懷疑科學領域為何經常有不同人，在相同時間，獨立發現同一件事情的情況？其他例子還包括英國博物學家達爾文（CharlesDarwin）和華萊士（AlfredWallace）都在相同時間各別提出演化論的觀點，匈牙利數學家鮑耶（JánosBolyai）和俄羅斯數學家羅巴切夫斯基（NikolaiLobachevsky）似乎也是在同一時間各別提出雙曲幾何的想法。數學之美與效用

慧黠的觀察者看過數學家所從事的工作後，大概會認為他們是一群狂熱流派奉獻者，宇宙的神秘鑰匙的追尋者。

─戴維斯（PhilipDavis）與賀須（ReubenHersh），《數學經驗談》（TheMathematicalExperience）一書作者

數學已經滲入每一個需要費盡心思的科學領域，並且在生物學、物理、化學、經濟、社會學跟工程等方面取得無法替代的角色。我們可以用數學說明夕陽色彩分布的情況，也可以用來說明人類的大腦結構。數學幫助我們打造超音速飛機跟雲霄飛車，模擬地球天然資源流轉的方式，進入次原子的量子世界探索，甚至讓我們得以想像遙遠的銀河繫。數學可以說是改變了我們看待宇宙的方式。

在本書中，我希望運用少量數學公式提供一點數學品位，而鼓勵讀者發揮想像力。對大多數讀者而言，這本書所談論的應該不隻是能滿足好奇心卻缺乏實用價，根據美國*實際調查的結果顯示，能夠順利完成高中數學課程的學生升上大學後不論選讀哪一個專業，都能夠展現出比較優秀的學習能力。

數學的實用性讓我們可以建造宇宙飛船，探索所處宇宙的幾何結構。數字也可能是我們跟有智能的外星生物間所采用的種溝通手段。有些物理學家認為掌握更高空間維度和拓樸學（topology，探索形狀與彼此間相互關繫的一門學問），或許有一天當現在這個宇宙處於在極熱或極冷的末日之際，我們就能逃出，在不同的時空環境下安身立命。

數學史上不乏許多人同步有重大發現的例子，就以這本書裡面的莫比烏斯帶（TheMobiusStrip）為例。德國數學家莫比烏斯（AugustMobius）和當時另一位德國數學家利斯廷（JohannBenedictListing）同1858年各自發現莫比烏斯帶（一個隻有單面，神奇的扭曲物體）。這種同步發現的現像就跟英國博學多聞的牛頓（IsaacNewton）與德國數學家萊布尼茲（GottfriedWilhelmLeibniz）各自同時發現微積分的例子相似。這些例子讓我不禁懷疑科學領域為何經常有不同人，在相同時間，獨立發現同一件事情的情況？其他例子還包括英國博物學家達爾文（CharlesDarwin）和華萊士（AlfredWallace）都在相同時間各別提出演化論的觀點，匈牙利數學家鮑耶（JánosBolyai）和俄羅斯數學家羅巴切夫斯基（NikolaiLobachevsky）似乎也是在同一時間各別提出雙曲幾何的想法。

有可能解釋同步重大發現的理由，是因為人類在那些時間點對於即將誕生的發現，已經累積足夠的知識，這些想法自然也就瓜熟蒂落地被提出來；可能兩位科學家都受到當代其他研究人員同一篇先導研究論文的影響。另一種帶有神秘色彩的解釋，會從較深層的觀點說明這種巧合。奧地利生物學家卡梅納（PaulKammerer）曾表示：“或許我們可以說，盡管打散、重組的過程在現實世界繁華的表面下與宇宙無垠的千變萬化中不斷重復發生，但是物以類聚的現像也會同時在這些過程中產生”；卡梅納把現實世界的重大事件比喻成海洋波濤的，彼此間看起來各自孤立，毫無瓜葛，不過根據他充滿爭議性的理論，我們其實隻看到上層的波浪，卻沒注意到海面下可能存在某種同步機制，詭譎地把世上各種重大事件串在一起，纔顯現出這種一波又一波的風潮。

易法拉（GeorgesIfrah）在《數目溯源》（TheUniversalHistoryofNumbers）一書中談論馬雅數學時，順便論及了這種同步情況：

我們因此又再一次地見證到，散居在廣大時空環境的下互不認識的人……也會有非常類似甚至是一模一樣想法。……有些例子的解釋；是因為他們接觸了另一群不一樣的人並受到對方的影響，……真正的有效解釋是因為前面提過的深層文化融合：智人（Homosapiens）這種生物的智力具有共通性，把世界各個角落統整串連的潛力非常可觀。

古代的希臘人深深受到數目字的吸引。在這個不停變動世界的艱困年代，會不會隻有數目字纔是恆常不變的？對於源自一門古希臘學派、畢達哥拉斯理念的追隨者而言，數目字是具體不變、和緩永恆的—比所有朋友更值得信賴，卻不像阿波羅或宙斯般讓人無法親近。

本書中有很多條目都跟整數有關，聰穎的數學家艾狄胥（PaulErdos）醉心於數論——有關於整數課題—的研究，他經常能輕易使用整數提出問題，盡管問題的陳述很簡單，但是每一題卻都是出了名的難解。艾狄胥認為如果有任何數學問題提出後經過一個世紀依然無解的話，那一定是個跟數論有關的問題。

有很多宇宙萬物可以用整數表達之，譬如用整數描述菊花花瓣構成的方式、兔子的繁衍、行星的軌道、音樂的合弦，以及素間的關繫。德國代數學家暨數論大師克羅內克（LeopoldKronecker）曾經說過：“隻有整數來自於上帝，其他都是人造的。”這句話也暗示整數是一切數學的主要根源。

自從畢達哥拉斯的年代以來，按照整數比例演奏出的音樂，就相當受歡迎，更重要的是，在人類理解科學的演進過程中，整數也扮演著相關關鍵的角色，像是法國化學家拉瓦節（AntoineLavoisier）就是依照整數比調配組成化素，顯示出原子存在的強烈證1925年，激態原子放射出一定整數比的光譜波長，也是當時發現原子結構的一項證據。幾乎按照整數比呈現的原子量，顯示原子核是由整數個數的相似核子（質子跟中子）所組成，與整數比的誤差則促成同位素素的變形體，擁有幾乎一樣的化學特性，隻在中子數的個數上有所差異）的發現。

純同位素（pureisotope）原子量無法完全以整數比呈現的微小差異，確認了愛因斯坦（AlbertEinstein）著名方程式E＝mc2是成立的，也顯示出生產原子彈的可能。在原子物理領域隨處可見整數的存在。整數關繫是組成數學基本的一股勢力—或者引用高斯（CarlFriedrichGauss）的說法：“數學是所有科學的女王——而數論則是數學中的天後。”

用數學描述宇宙這門學科成長迅速，但是，我們的思考方式跟語言表達能力卻還有待好好加強。我們一直發現或創造出新的數學，但是，我們還需要用更先進的思維纔能加以理解。譬如近這幾年已經有人針對數學史上幾個著名問題提出證明，可是，他們的論證方式非常冗長又復雜，就連專家們也都沒辦法確定這些論證是否正確。數學家哈裡斯（ThomasHales）將一篇幾何學論文投稿到世界數學雜志《數學年刊》（AnnalsofMathematics）後，整整花了五年的時間等待專家審查意見——專家們後的結論是找不到這篇論文哪裡有錯，建議該期刊加以發表，可是必須加上免責聲明——他們無法肯定這個證明是對的！另一個例子來自數學家德福林（KeithDevlin），他在《紐約時報》（NewYorkTimes）刊出的文章中承認：“數學已經進展到一個相當抽像的程度，甚至就連專家有時都無法理解的研究課題到底在講什麼。”如果就連專家都有這樣的困擾，想要把這些信息傳遞給普羅大眾當然更是困難重重，我們隻好竭盡所能，盡力而為。雖然數學家們在建構理論、執行運算這些方面很在行，不過他們在融會貫通、解說傳達先進觀念的能力恐怕還是有所不足。

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