給地球稱重

我們的同事麥克·西摩在奧格莫爾海邊度假的時候做了一個有意思的觀察。站在水邊的泥灘裡，享受著咸咸的海水輕拍在他稍微曬傷的雙腳上帶來的清涼時，麥克發現有一個浮標看上去正好停靠在布裡斯托爾海峽的海平面上，這個發現足以給地球的大小來一個大致的測量。作為一名休假中的物理學家1，麥克決定開始收集必要的信息。他邁開沾滿泥的雙腳，轉身朝岸上走去，小心翼翼地避開沙灘上堅硬的貝殼，來到一家商店，買了一張地圖。地圖告訴他，那個所謂的仙女浮標，離他在沙灘上的觀察點大約有4千米的距離。如圖3.1所示，他的觀察點由一個紅×表示。在一張餐巾紙背面上的速算草稿（圖3.2）讓他得出地球的半徑大約是5000千米。實際值約是6400千米。可能你會覺得麥克僅僅在對奧格莫爾海邊地區做了一個小小的觀察就推算出了地球的大小，這很了不起。同樣，你也可能會對他算出的結果有20%的偏差而嗤之以鼻。

以上計算方法是建立在到浮標的距離就是到地平線的距離的假設前提下的。麥克的視力水平決定了浮標和地平線的重合率有多高。一個普通視力的人在40米開外剛好能看清一小枚硬幣，對應著0.03度的角分辨率。這意味著麥克可以把浮標看成是地平線，即便地平線和浮標有稍許偏離。因此他能肯定地說，從他到地平線的距離就在他視力分辨率決定的兩個端值之間，這個不確定情況他應該在計算中加以注明。計算2揭示，由於受到視力的限制，麥克應該得出地球半徑是在2000千米到36000千米之間。而他的計算結果和真實數值如此接近，完全是一個巧合。

推算一個結果的不確定性往往和結果本身一樣重要。隻有當我們知道自己的無知，纔能更好地運用自己的知識。在工程學和醫學領域，對不確定性的深刻理解往往生死攸關。在政治領域，過於自信是常態，不確定性往往被看作弱點，其實它在決策過程中起著非常重要的作用。從這個角度看，科學給我們上了一堂重要的關於謙遜的課。

麥克那個案例中，雖然他的測量不準確，但對地球的大小還是給出了一個大致的概念。想要得出更好的結果，麥克需要提高他眼睛的分辨率，我們可以使用一個長焦相機來做到這一點。幸運的是，麥克的爸爸鮑勃是一位攝影發燒友，也住在奧格莫爾海邊。真是無巧不成書。我們問鮑勃是否願意到沙灘上為我們拍一些仙女浮標的照片，他欣然同意。照片見圖3.3。

鮑勃拍照期間，海浪比較大，這可能是個好事兒，因為這樣一來，我們就不需要操心大氣效應引起的光折射。光折射往往在風平浪靜的日子更容易發生：我們能看到大氣效應在這裡不是個問題，因為照片上的圖像很清晰。鮑勃調整了相機的高度，所以圖片中能顯示浮標正好停在地平線上（調低相機會把浮標推向地平線後方；升高相機會把浮標拉到地平線前方）。圖中照片是在1.3米的高度拍攝的。相機的位置是由GPS決定的，仙女浮標的位置來源於領港公會3的官方記錄。浮標和相機的距離是4.15千米。根據這組更加精確的數字，算出地球的半徑是6600千米。使用相機大大降低了使用肉眼的不確定性。現在主要的不確定性在於很難查明相機高於海浪的具體高度。10釐米的高度差距能導致地球半徑500千米的偏差，這個保守估算的不確定性，我們應該在鮑勃測算中標注一下。

當然，要測量地球的半徑還有很多更好的辦法——但這並不是重點。重點是，這個例子很好地印證了隻要一點好奇心驅使的簡單觀察，加上一些仔細的思考，就能夠得出有趣的結論。我們懷疑，在奧格莫爾海邊測量出地球大小的，麥克和他爸爸是世界頭一名。我們還得到了一個非常有價值的量化不確定性的教訓：如果我們不清楚自己無知的程度，就很容易得出錯誤的結論。

麥克在測量地球時，是遵循著偉人的步伐（如果他沒有站在巨人的肩膀上，還真沒辦法做出他這個測量）。早試圖測量地球大小的有關記錄是亞裡士多前350年所做出的。在他的著作《論天》裡，亞裡士多德認為，“在埃及和塞浦路斯周邊看到的星星，在北方區域是看不到的”，因此地球的範圍“不是那麼大，否則如此微小的地點變化不會帶來那麼明顯的區別”。僅憑這麼一個簡單的觀察，亞裡士多德就排除了地球半徑比從埃及到古時代的北方世界大得多的可能，也就是不會遠超幾千千米。作為有史以來有影響力的科學家之一，他的推斷毫無疑問是對的。這也是數量級估算的一個絕佳的例子。數量級估算是一個快速的算法，準確度並不高。在科學工作中這個方法很重要，因為它隻需要少量的工作就能得出很多重要的觀點。

本章的標題是“給地球稱重”，這個命題似乎比測量地球的半徑要大得多。確實如此。但是有了西摩一家的測量數據，我們就可以通過數量級估算進行計算了。假定地球是一個完美的球體。它的體積是4/3πR3, 即1.2×1021立方米。在沒有其他信息補充的情況下，我們可以假設整個地球可能是一個由花崗岩——常見於地表層的一種大密度岩石——組成的規則球體，或者說是由密度和花崗岩相近的物質構成的。花崗岩的密度是2.8克/立方釐米，這樣我們就知道地球的大概質量是3.4×1024千克。當然，我們無法確定這個答案是否正確，除非我們有別的辦法來給地球稱重。有什麼辦法呢？好像沒有什麼頭緒。讓我們一起來開動腦筋吧。

我們從觀察夜空中行星的運動下手。乍一看這似乎是一個奇怪的出發點，但是它能夠說明很重要的一點。在科學領域，一項研究會對看似毫無關聯的另一領域產生影響，這是很常見的。這也是應該允許和鼓勵科學家們對任何有興趣的事物進行研究的原因之一。大自然萬物都是相互關聯的。大約在1510年，波蘭天文學家尼古拉·哥白尼在他的手稿《短論》中就表達了對托勒密以地球為中心的古典宇宙學說的不滿，該學說形成於約1400年前。“我經常會想，”哥白尼道，“是不是能找到一個更說得通的運轉方式，在完美的運動規則的要求下，既能保持物體自身的一致運動，又允許那些明顯的不規則性。”他說的那些不規則性，指的是從地球上看到的那些行星在幾個星期或幾個月內從地球夜空穿過的偶爾的循環2世紀，托勒密提出了一個復雜的預測行星運轉的理論，看上去很好，但是起碼對哥白尼來說，很難看。在《短論》中，哥白尼認為，月亮圍繞著地球運轉，地球和其他行星圍繞著太陽運轉，而太陽和恆星每天的運動是因為地球本身的繞軸自轉；地球到太陽的距離比到其他恆星的距離要小得多。他還認為，我們看到的行星循環是由地球相對那些行星的運轉導致的。以上這些言論都是正確的。

哥白尼在1543年出版了一部共六卷的著作《天體運行論》，該著作被公認為現代科學的早期奠基著作之一。他提出，假設包括地球在內的行星都是沿著圍繞太陽的軌道運行，每一個行星完成一周公轉的時間不同，那麼行星的復雜運轉便都可以理解了。哥白尼認為那些軌道都是圓周，但是我們現在都知道，那隻是近似。行星的軌道都是略帶橢圓性質的圓形軌跡。地球繞太陽一周需要一年，水星需要88天，而土星則需要29年。哥白尼的太陽中心說很多年一直有爭議，部分原因是這個說法和當時統治多年的地球中心說相違背，駁斥了地球作為宇宙中心的說法，也因為人們感受不到，地球其實是在宇宙中迅速運動的。這種反對的聲音並不可笑，事實上，正是我們無法判斷我們是否在運動，這種疑惑讓後來的愛因斯坦在1905年和1915年發表的狹義相對論和廣義相對論的著作更令人欽佩。稍後關於愛因斯坦，我們會有更多敘述。

如果我們接受哥白尼的智慧，認為行星是以近似圓周的軌道圍繞太陽運轉，我們就能夠根據地球到太陽的距離，算出它們到太陽的距離。地球內圍的行星，水星和金星，軌道半徑可以通過測量行星與太陽之間的分離角度算出（見圖3.4）。我們會在下一章測量地球外圍的海王星到太陽的距離，需要用到一個數字相機、一個好的三腳架和照片編輯軟件。行星的公轉周期——即它們圍繞太陽轉一圈的時間——也很容易算出來。在圖3.5中，我們通過測量太陽、地球和木星在空中排成一條直線這一個輪回所需要的時間，演示了如何算出木星圍繞太陽一周所需要的時間。

就在哥白尼之後大約半個世紀，德國天文學家約翰內斯·開普勒發現，在行星軌道大小和它們繞太陽公轉一周的時間之間有一個簡單的聯繫。他引用了他的同行、丹麥天文學家和貴族第谷·布拉赫收集的數據，發現軌道周期的平方（縮寫為T2）和軌道半徑的立方（即R3，更確切地說，是一個橢圓軌道的半長軸）是成比例的。這意味著每個行星的T2/R3的比率是一樣的，如表格3.1所示，開普勒還真說對了。

表格3.1 太陽繫行星的軌道參數

行星 時間T（年） 半徑R（參考地球） 時間T2/半徑R3

水星 0.241 0.387 1.00

金星 0.615 0.723 1.00

地球 1 1 1

火星 1.881 1.524 1.00

木星 11.86 5.203 1.00

土星 29.46 9.555 0.99

冥王星 84.02 19.22 0.99

海王星 164.8 30.11 0.99

1687年，艾薩克·牛頓的著作《自然哲學的數學原理》（下文簡稱《原理》）版出版。牛頓在書中提出，開普勒那個經驗主義式的發現是有其內在的物理法則的。大自然中的規律性和模式往往是其內在簡單性的征兆，而這個又是可以通過數學方程算出來的。這個概念對當今的科學家來說並不陌生，但是在17世紀後期，牛頓的發現是革命性的。

框5 開普勒定律

牛頓的萬有引力定律和他的方程F=ma解釋了開普勒定律。在行星軌道是一個正圓形時，這個定律很好理解。在橢圓軌道上，多加一些數學運算也是可以解釋的。以下是人們如何用牛頓定律解釋圓形軌道的。因為F=ma=GMm/R2，所以行星以GM/R2的加速度向太陽加速運行。但是對於勻速旋轉的物體來說，這個加速度也等於v2/R，v是行星的速度。兩個加速度相等，得出ＧＭ/R=v2。但是v和行星圍繞太陽公轉一圈的時間T相關，v = 2πR/T, 因此ＧＭ/R=4π2R2/T2，T2/R3=4π2/（GM），這是不變的。事實上我們所做的運算隻是基本正確。開普勒定律中的質量M應該是M m，因為F對太陽也產生作用力，使它產生加速運動。如果M比m大得多，這個作用就很小，太陽繫中的所有行星都是這個情況。普遍地說，兩個天體會圍繞它們的連線上一點旋轉，該點與M的距離是連線長度的m/(M m)。比如說，兩個質量相等的天體會圍繞它們距離一半的一個點旋轉。

牛頓在他的《原理》中介紹的這種基於定律的數學方法，實際上是現代物理學的奠基石。他演算出開普勒的T2/R3模式其實是萬有引力定律存在的必然結果，萬有引力定律指出，所有質量巨大的物體相互吸引，這個引力和它們的質量成正比，和它們之間距離的平方成反比。對於繞太陽運轉的一個行星來說，這個定律指出，太陽對行星具有作用力F，而F=GMm/R2，這裡M是太陽的質量，m是行星的質量，R是它們中心點之間的距離。G就是現在所說的萬有引力常量，這個數字描述了萬有引力的值。牛頓還介紹了他的第二運動定律，描述了物體——比如說一個行星——如何在受力的情況下運動。牛頓第二運動定律指出，力產生加速度，如方程F=ma。這裡m在我們這個案例中就是行星的質量，a就是加速度。有了這兩個方程，就能夠理解橢圓行星軌道的源頭以及開普勒的T2/R3模式了。框5給出了一個簡單的圓形軌道的具體細節。

牛頓給我們帶來的科學上的突飛猛進怎麼說都不過分，我們也完全能用此書所有餘下的筆墨來探索牛頓法則的各項結論。但在這一章裡，我們是有一個具體目標的，我們想要給地球稱重4，在這個背景下，牛頓的定律給我們提供了非常重要的信息。它們把物體的運動（比如說月球圍繞某個行星運動或者某行星圍繞太陽運動），通過萬有引力定律，與促成此運動的物體質量關聯起來。這對於物理學家來說，是非同小可的。

在牛頓之前，這些因素之間是沒有可知的關聯的。牛頓的所有定律都是“普適的”，也就是說，它們不僅適用於月球、行星和恆星，它們應該是對“所有的物體”“在任何地點”都適用的。這也是一個非同小可的言論，因為它意味著有這樣一個共同框架，它不僅能解釋宇宙中行星的運動，也能解釋地球上炮彈的飛行和鐘擺的擺動等運動。我們想要說什麼，大概你已經明白了。

我們再來看看一個球體的自由落體運動。這個怎麼用牛頓定律解釋呢？讓球加速落到地面的作用力是F=GMm/r2，這裡M是地球的質量，m是球的質量，r是地球中心到球體中心的距離。球體對這個作用力的應答可以由牛頓第二運動定律得出，即F=ma。一點簡單的代數知識就能夠告訴我們地球引力對球體產生的加速度；a=GM/r2。用一把尺子和一塊表，我們就能夠測出球體落地的加速度（數值接近9.8m/s2），我們知道r=6370km，這樣就能算出質量和萬有引力常量：GM=4.0×1014m3/s2。

再來看看月球繞地球的運轉軌道。我們能測出月球到地球的平均距離5 R（385000千米），以及月球的公轉周期T（27.3天）。牛頓的萬有引力定律用我們從框5中得出的方程：T2/R3=4π2/（GM），把這些值和地球的質量相關聯。在球的自由落體運動中，我們有一種方法得出GM的量，而這次我們用的是天文學的觀察角度，得出同樣的答案GM=4.0×1014m3/s2。這兩種不同的方法得出同樣的答案，是因為牛頓的定律是普適的，它們為宇宙更深層的物理結構提供了解碼信息。

知道了GM的數值，我們就能進一步算出地球的質量（M）或者萬有引力常量（G），但是我們需要知道二者之一的值。所以我們需要測出G或者M的值，這個很不容易，因為引力是非常非常弱的。從理論上講，測量地球質量的一個簡單方法就是測量一條懸掛的錘線被吸引到置於旁邊的大質量物體的力，見圖3.6。如果我們放一個質量為1000噸，半徑為近3米的大鉛球，讓球體中心與3米外一個懸掛物體保持水平，錘線就會與垂直方向以極小的0.16角秒6（1角秒等於1角度的1/3600）的角度被吸引向鉛球體。然而，理論雖然簡單，實際操作起來卻不容易，而且價格不菲：這麼大的一個鉛球用當今的貨幣需要花掉約一百萬英鎊。

1774年由內維爾·馬斯基林和1798年由亨利·卡文迪許分別進行的兩個經典試驗，首次對G做出了準確的演算。在牛頓出版他的地心引力理論之後一個世紀纔有人能夠準確測出G值，由此可見測量的難度之高。我們在這裡用詞很小心，因為由於歷史的原因，馬斯基林和卡文迪許都沒有實際引用G值，他們都隻是對測量地球的重量感興趣。從一名物理學家的角度看，這一點關繫都沒有，因為隻要你算出了其中一個值，另一個值就可以輕易用一個數學算式算出來。

1774年，皇家天文學家內維爾·馬斯基林教士帶領一個團隊來到蘇格蘭高地的佩思郡，測量一個鉛垂線相對於附近的希哈利恩山的偏轉度。他相當於實施了圖3.6中的實驗，隻不過把1000噸的球換成了一整座山。這樣就放大了錘線的偏轉度，讓測量成為可能。他把星星作為參照點，成功地測出了11.6角秒這個很小的偏轉度（事實上，這個數據是把錘線分別放在山南邊和北邊測出的兩個數據的綜合）。四年後，數學家查爾斯·赫頓對山體進行了仔細勘驗，並運用馬斯基林測出的偏轉度數據，推算了地球的密度。如他所算，地球的密度是水的4.5倍，這要比岩石的密度大得多。假設地球是一個完整的球體，現代測量結果表明，其平均半徑是6370千米，這就為我們得出了地球的質量，4.9×1024千克。

給地球稱重的下一個重大階段，是二十多年後，由纔華橫溢的亨利·卡文迪許在他位於倫敦南部俯瞰克來芬公園的大房子裡實

現的。

卡文迪許是一個古怪而獨立的人，他的穿著很傳統，而且是出了名的孤僻。他是人類偉大的科學家之一——除了我們這裡所說的他的貢獻，他還在化學和電學領域做出了卓越的貢獻。當今，劍橋大學物理繫的卡文迪許實驗室就是以他的名字命名的。1798年，卡文迪許在他的著作《計算地球密度的實驗》中詳細地介紹了他的實驗結果，還有一張他為此發明的一個儀器的草圖。一開始，他就感謝了前劍橋地質學教授約翰·米歇爾教士，米歇爾為這一實驗做了設計並制造了版儀器。然後，還沒來得及做任何測量，米歇爾便於1793年去世了。這個儀器就通過劍橋另一位哲學家牧師弗朗西斯·約翰·海德·渥拉斯頓教士轉到了卡文迪許手中。

實驗的創意很簡單，但是要達到卡文迪許那樣精確的結果，必須要一名優秀的實驗者纔行。在一個木杆兩邊各掛一個小球，木杆本身由一根細金屬絲弔著。然後使兩個大球分別在木杆兩邊向小球靠近。根據牛頓的理論，大球會對小球產生地心引力，因此木杆會產生輕微移動。卡文迪許測出了木杆的移動量，進而算出了大球對小球的作用力7。為了避免外在的阻力，他把儀器放在了一個關閉的房間內。6英尺長的長木杆被弔在圖3.7的F位置。兩個直徑為2英寸的小鉛球用細金屬絲掛在圖中DCB的盒子裡。卡文迪許把兩個望遠鏡T放在以刻度為1英寸的百分之一為單位的像牙秤上。兩個直徑為12英寸的大鉛球W由銅棒掛著（銅棒頂部標r，底部標R），通過一個從室外操作的滑輪繫統操作移動。通過這樣遙控操作儀器，卡文迪許大大改進了米歇爾的原始設計，使儀器盡可能地避免了外部干擾。

這裡講得比較細，因為我們很喜歡這個故事。卡文迪許的實驗在很多方面都是很現代的。它是一個高精密儀器，用來測量兩個大球帶來的極微弱的地心引力——一種不超過一粒沙塵或一顆稻谷重量的作用力。這個實驗的成功取決於卡文迪許的極度細心，觀察得極度準確以及他對不確定性的主要來源的深刻理解。他考慮到了磁力影響，房間裡的溫度變化，懸掛線堅硬度的不同，用來掛重鉛球的銅棒自身帶有的地心引力，空氣的流動，裝鉛球的木盒子和木杆之間的重力吸引，等等。他操作的科學原理和奧格莫爾海邊的西摩父子是一樣的，不同的是他對細節的重視，大自然作為他的研究對像，處處有玄機，想要破解大自然的秘密，對細節的重視是必不可少的。

在他後的分析中，卡文迪許確定，地球的平均密度是水的5.45倍，也就是5.45克/立方釐米。他謹慎地指出：“根據馬斯基林博士的實驗，在希哈利恩山的吸引下，地球的密度是水的4.5倍，這和（我的測量）相差得比我想像的要多。但在更仔細地檢查我的實驗在多大程度上受到我無法測量的不規則性因素影響之前，我不會貿然考慮什麼是決定性的環節。”卡文迪許不急於下結論，但是後來的測量說明，他一語中的。

直到去世前，那位用希哈利恩實驗數據測出地球重量的數學家查爾斯·赫頓一直對卡文迪許更為精準的測量保持非常懷疑的態度，1801年，受到赫頓的鼓勵，蘇格蘭哲學家和數學家約翰·普萊費爾對希哈利恩山進行了又一輪岩石勘測。1811年，他把赫頓原來的數據提高到了4.71。1823年，就在赫頓去世的前兩年，也是卡文迪許去世11年後，赫頓在自己的著作《論地球的平均密度》一文中明確提出：“經過極其仔細和謹慎的研究，從精確度的角度來看，大山實驗明顯比小球實驗要可靠得多。”他居高臨下地評價卡文迪許的實驗為“精致有意思的小實驗”，對“繁冗的機器制造出的”和“復雜的數學公式計算”出的真實性嗤之以鼻。

然而，卡文迪許是正確的。當今，對地球平均密度的精確的測量結果是5.515，這和卡文迪許的結果隻相差1.2%。卡文迪許的實驗鉛球確實是小，但他對細節的關注和沉穩的雙手彌補了一切。

這個故事還有一段有趣的後話。2007年，一位名叫約翰·斯莫爾伍德的石油天然氣勘探專家用現代技術方法重新勘測了希哈利恩山的地質情況和山體構成。他因查爾斯·赫頓於1821年發表的一篇文章的言論而深受刺激，在那篇文章中，赫頓斷言：“地球的密度非常接近，但不會高於水的5倍。”赫頓還發出挑戰：“任何人有異議，歡迎重新研究計算，看你能否在我的計算中找到漏洞。”斯莫爾伍德真的那麼做了。在他之後發表在《蘇格蘭地質學雜志》的文章中說明，根據馬斯基林的原始測量數據得出的地球的具體密度為5.48，精確度上下0.25。

我們已經展示了卡文迪許發表的關於地球密度的研究數據，該數據對應的地球質量是5.90×1024千克。當今的數據是5.97×1024千克。由此可見卡文迪許的偉大智慧。如果大家還記得西摩父子在海邊的測量數據，加上我們說地球是一個完整的花崗岩球體的假設，由此得出的地球質量是3.4×1024千克。在沙灘上的一天沒有白過！

事實上，我們有比“僅僅”測量地球質量更好的事兒。因為我們現在知道了地球質量，我們就能夠算出引力常量G=4.0×1014

m3/s2/5.97×1024kg=6.7×10-11m3/s2/kg。算出了G，我們就找到了寶，因為這意味著我們能夠測量任何物體的質量，隻要在它周圍有圍繞它旋轉的物體。比如說，我們知道地球圍繞太陽公轉的周期是T=365.25天，距離半徑是R=150百萬千米。我們就能演算出（應用框5的公式）太陽比地球重330,000倍。我們還可以以此類推。

木星有很多衛星，亮的一顆是伽利略於1610年發現的。通過觀察它們的軌道，我們測出木星的質量是1.898×1027千克，是一個質量為地球的318倍的巨形氣體團。我們還可以觀察在射頻頻譜上發光的圍繞遙遠星繫運轉的氣體雲團，這樣就能夠算出那些星繫的質量。仙女座星繫是離銀河繫近的星繫，它是太陽質量的1.5萬億倍，其中隻有很小的一部分以星體的形式出現，從而使我們可以見到。因此，有天文學家認為，浩瀚的宇宙中存在著不可見的暗物質，可能以一種尚待發現的新亞原子顆粒結構存在，彌漫在星繫中。現在，通過對宇宙進化和宇宙微波背景輻射的研究（我們在後面會詳細闡述），已經有很多獨立證據證明了暗物質的存在。但我們要在這裡指出，暗物質是運用牛頓定律和我們對G的理解發現的。而且，可能奇怪的一點是，在銀河繫的中心射手座方向，有一個密集緊湊的天體，被一群稱作S星的星體以的軌道環繞。依據牛頓定律，該天體的質量是太陽質量的400多萬倍。天文學家們認為這個外星體是一個超大黑洞，距離地球26000光年，吞噬著星繫中心區雲團的灰塵和氣體，同時向星繫發射輻射。

牛頓定律是我們的財富。它們是早發現的大自然的萬有定律。有了它們，我們纔有可能站在奧格莫爾海邊的沙灘上，去發現那些遙不可及、無法想像的事物。