換一個燈泡需要多少專家？
需要多少超現實主義者？ 4 位。一位去換燈泡，一位在浴缸中裝滿流沙，一位用大氣層的邊緣磨破早餐盤，另一位把拋光後的Swatch 手表用獨角獸來裝飾。
需要多少園丁？ 3 個，一個去換燈泡，另外兩個人在旁邊爭論，這個季節應該使用什麼樣的燈泡。
需要多少禪師？ 2 位，一位去換燈泡，另一位不要去換。
需要多少數學家？隻要一位。他會把燈泡交給 4 個超現實主義者、3 個園丁或 2 個禪師，這樣就把問題回推到已經解決的問題上。

能夠成為數學家的十大征兆 ：
●看到 e 時，會先想到一個數，然後纔想到字母。
●精通希臘字母，但不懂希臘文。
●可以靠著手指計數到 1023（多虧了二進制數）。
●曾經嘗試用反證法說服交通警察，你的車並不是停在禁止停車區。

●如果要看漂亮的圖片，寧願找一本關於碎形的書來看，而不是去看色彩繽紛的周刊。
●知道幾何級數的極限值，但不知道自己的腰圍大小。
●看到分數這個詞的時候，不會先想到考試。
●你知道：老數學家永遠不會死，隻是失去了一些功能。
●認為復雜化可以把事情變簡單。
●讀完上述這些，但沒笑出來。

數學天方夜譚

三天後的途中，接近一處小村莊斯巴，一片廢墟中，我們看見地上趴著一名可憐的旅人，衣衫襤褸，而且一看就知道身受重傷，狀況非常淒慘。我們連忙上前救起這個不幸的家伙，然後他也把自己的悲慘遭遇說給我們聽。


他的名字是納瑟耳，是巴格達城*富有的商賈之一。幾天之前，他的大隊商旅正從巴斯拉回程，準備前往赫列，卻在半途遭到襲擊，來者是一批波斯族沙漠牧民。車隊眾人幾乎都慘死在這伙強盜手下，身為商隊領隊的納瑟耳，躲在自家奴僕尸身之間的沙地逃得不死，奇跡般地保住了性命。說完這段悲慘遭遇，他用顫抖的聲音問我們
：“請問兩位，身上可帶有什麼喫食？我已經快餓死了。”
“我有 3 條面包。”我說。
“我有 5 條。”數數的人說。

“好極了，”富商老爺說，“我懇求二位把面包分給我喫。我會公平合理地回報。我答應一等我回到巴格達，就回贈 8 枚金幣。”我們答應了他的請求。


第二天黃昏時分，我們抵達了那座號稱東方之珠的名城巴格達。正要穿越熙來攘往的熱鬧廣場，我們的去路卻被一支華麗的隊伍擋住。隻見眾多隨員之前，一騎當先，高踞漂亮的栗色馬兒背上的，正是本朝高官瑪勒夫大人。他一看見與我們同行的納瑟耳老爺，立刻命令身後那支耀目的隊伍停步，大聲喚他
：“發生了什麼事？我的朋友？怎麼你一身襤褸地到了巴格達城？還同兩名陌生人走在一起？”
可憐的納瑟耳老爺把事情原原本本地告訴了他，並熱情地贊頌我們。

“立刻把酬金付給那兩位陌生人。”瑪勒夫大人吩咐，從錢囊中取出 8 枚金幣交給納瑟耳，又說
：“我要立刻帶你進宮。因為我們的哈裡發，眾虔信者的捍衛者，一定想得知這個消息
：這群強盜貝都人，竟然又做出這等傷天害理的事。而且就在堂堂哈裡發轄地之內，攻擊我們的友人，洗劫我們的商隊。”於是納瑟耳對我們說
：“在此向二位道別了，我的朋友。不過我要再次向你們表示感謝，並如先前承諾，回報你們的慷慨相助。”他向數數的人說 ：“這是 5
枚金幣，謝謝您拿出的 5 條面包。”
然後又對我說 ：“這是 3 枚，給您，我的巴格達友人，謝謝您的 3 條面包。”
非常出乎我意料之外，數數的人卻恭敬地表示異議 ：“閣下！對不起，請容我說一句，這樣的分配看來似乎簡單明了，在數學上卻不盡正確。我拿出 5 條面包，所以該分得 7 枚金幣。我的朋友提供 3 條，所以隻應得 1 枚。”
“以穆罕默德之名！”大人驚呼起來，顯然對這狀況非常感興趣 ：“請問這位陌生客，怎麼會提出這等可笑的分法？”
數數的人不慌不忙上前，向這位朝廷要員報告如下 ：

“且讓在下為大人您說個分明 ：我的建議在數學上*無誤。您瞧，旅途之中，每當我們感到肚子餓了，我便拿出一條面包，平分成 3
等份，我們每人各喫了 1 份。所以我的 5 條面包，總共分成了 15 份，對吧？我朋友的 3 條，又是 9 份，加起來一共是24 份。我的 15
份中，我自己喫了 8 份，所以實際上我等於隻貢獻了 7 份。我朋友提供 9 份，但是他本身也喫了 8 份，因此他隻貢獻了 1 份。我提供的 7
份，加上我朋友的 1 份，一共 8 份，都給了納瑟耳。所以我該得 7 枚金幣，我朋友隻得 1 枚，如此分配方屬合理。”
瑪勒夫大人盛贊數數的人，然後便下令該給他 7 枚金幣，給我 1 枚。因為我們這位數學家提出的證明既合邏輯又極完美，全然無懈可擊。
然而這個分法再公正，撒米爾顯然還是不能滿意。他轉身向驚詫不已的大人閣下，繼續又說 ：“這個分法，我 7 他 1，雖然正如我所證明，在數學上可謂完美，但是在我們全能主的眼中卻欠完美。”
說著，他又把金幣收在一起，平均分成兩堆，給我 4 枚，自己留下 4 枚。
“此人實在太不尋常！”大人宣布 ：“起先，他不肯接受五三的分配。然後提出證明，顯示他自己有權利得到 7 枚，伙伴隻得一枚。但是接下來，他竟然又把這些金幣重新平分，將其中一半分給了他的伙伴。”
大人越說越熱情 ：“以全能者之名！這位年輕人不但在算學上聰明敏捷，同時也是一位*美好又慷慨的友人。我要任命他擔任我的秘書，今天就生效。”
數數的人答道 ：“大人，我注意到您剛纔一共說了 30 個詞語、125 個字母，說出了我這輩子所聽到的*美譽。願安拉永遠祝福保佑您！”
吾友撒米爾的運算奇纔，甚至及於對方所用的詞語、字母。
我們全體都對他的天資嘖嘖稱奇。

在那滿是駱駝的城市，一間煙霧彌漫的小茶館裡，撒米爾因為他的智慧與臨危不亂，名氣愈來愈大，樹大招風的結果讓他又得挑戰新的謎題。

“從前，有個壞心眼的法官，故意出了一道難題。他將90顆蘋果分給三姐妹，規定老大一定要賣出50顆，老二要賣出30顆，老三隻能賣出10顆，每個人賣出的價格必須相同，*後每個人的總收入也必須一樣。這太難了，三姐妹感到非常困擾，明明是不同數量的蘋果，怎麼可能賣相同的價格還能得到一樣的收入呢？這分明就是壞心眼法官在找碴兒！不知所措的女孩們向智者請教，從智者那裡得到了解決的方法，果真在用相同的價格賣出不同數量的蘋果後，每個人還能得到一樣的收入。”

故事結束，撒米爾能解開這個神奇的謎題嗎？

數學不難，真理也不難，且看馬爾巴·塔罕如何用數字說真理、用文字算數學。狂銷超過兩百萬本的趣味、驚奇與感動，在你讀過後必能心領神會。

真理無所不在，而撒米爾的解答就在這裡——

7顆的價格賣出*數量的蘋果，因此老大賣出49顆，老二賣出28顆，老三賣出7顆，1顆的價格賣出剩下的蘋果。這樣，三姐妹都能各獲的收入，大功告成。

神奇的數字零

第∞章 0的*終勝利 [終止時間] 這就是世界結束的方式： 並非一聲轟鳴的巨響，而是一陣無聲的嗚咽。
——T. S. 艾略特 《空心人》
一些物理學家正試圖把0從他們的方程式中抹除消淨，而其他一些物理學家卻認為，0或許將笑到*後。科學家可能永遠也無法解開宇宙的誕生之謎，但他們距離宇宙的*終結局卻隻有一步之遙。宇宙的終*宿命就潛藏在0中。

愛因斯坦的廣義相對論容不下一個靜止不變的永恆宇宙，卻能容許宇宙具有不同的終*宿命。宇宙中的物質總量將決定宇宙本身的*終命運。假如宇宙的物質總量較輕，如氣球一般的時空將無限膨脹增大，恆星與星繫逐個毀滅，宇宙漸漸變冷並*終在熱寂（heat

death）狀態中迎來凋亡。假如宇宙的物質總量超過了臨界值水平，那麼大爆炸釋放的原始動力將不足以支撐氣球的無限膨脹，相反，星繫之間會相互拉拽，不停壓縮時空結構，於是氣球開始洩氣縮小。壓縮的速度將逐漸加快，宇宙的溫度逐步上升，*後迎來終*壓縮的命運——與大爆炸的情景相反，這種情況被人們稱作“大塌縮”（big
crunch）。我們究竟將迎來何種命運？答案近在咫尺。
天文學家凝視遙遠的星繫，其實就是在回溯過往的時光。距離地球*近的星繫也在一百萬光年之遙，來自那個星繫的光束得在宇宙中寂寞地穿梭一百萬年然後纔能抵達地球，也就是說，我們的雙眼在當下這一刻看到的其實是那個星繫一百萬年前的景況。

宇宙的*終命運取決於我們的時空氣球的膨脹情況。如果宇宙的膨脹正不斷減速，那便意味著大爆炸提供的能量已幾近耗盡，而我們的宇宙將走向大塌縮。如果宇宙的膨脹速度並沒有減緩，那就說明大爆炸提供的能量足以使時空結構永無止境地膨脹。
天文學家對宇宙膨脹變化的測量工作業已展開。他們以一種稱為“Ia”的超新星[由天體爆發所產生的爆發星。
]作為標準燭火，就像哈勃的造父變星，因為幾乎所有已知的Ia超新星都有相似的爆炸方式以及*發光度（發出的光線亮度）。哈勃利用的造父變星較為黯淡，超新星則不然，即便距離我們半個宇宙之遙也依然清晰可見。

1997年底，天文學家宣布，他們已在這些超新星的輔助下測量出了一些十分黯淡古老的星繫的距離。通過它們與我們的距離可以測算它們的年齡，通過它們的多普勒偏移可以推定它們的速度，*後通過對比星繫在過去不同年代的遠離速度，就能推算出時空膨脹的速度。天文學家得到的答案卻有些怪異。

宇宙膨脹的速度沒有減弱，反而有增加的趨勢。超新星反饋的數據表明，宇宙正逐漸增大，且增大的速度越來越快。如果情況真是如此，那麼宇宙就不太可能走向大塌縮，因為有什麼東西正在與萬有引力展開對抗。於是，物理學家再次提起了宇宙常數——一個被愛因斯坦強行加入他的方程式以抵消萬有引力的神秘之力。愛因斯坦犯下的*大錯誤也許根本就不是一個錯誤。

這個神秘之力或許又是源於真空。充斥整個時空的微粒對外施加微弱的推力，極其細微地拉伸時空結構。數十億年過去之後，拉力積少成多，於是宇宙的膨脹速度就變得越來越快。我們宇宙面臨的*終命運可能不是大坍縮，而是無休止的膨脹、冷卻，*後熱寂，而這一切皆因零點能量而起——一個為真空注入無窮微粒並在量子力學方程式中顯露真貌的0。

天文學家依舊持謹慎態度。從超新星處得來的數據隻是初步結果，但不斷新增的觀測反饋正逐步夯實這些結論的根基。其他一些相關研究也支持了超新星的反饋結果，認為宇宙將不斷膨脹，並*終消亡於冷寂，而非熾烈。
“冰”還是“火”？答案是冰——由於0的威力。 超*無限 然而，如果我們確實發現了一套完整的理論，
它應該在一般的原理上及時讓所有人（而不僅僅是少數科學家）所理解。 那時，我們所有人，包括哲學家、科學家以及普普通通的人，
都能參加為何我們和宇宙存在的問題的討論。 如果我們對此找到了答案，那將是人類理性的*終*勝利—— 因為那時我們將領會上帝的旨意。
——史蒂芬·霍金
物理學上所有大謎題的背後都潛藏著0的身影。黑洞的無限密度是除以0，無中生有的大爆炸也是除以0，真空的無窮能量還是除以0。但是，除以0的運算摧毀了數學的架構以及邏輯的框架，動搖了科學的根基。

在畢達哥拉斯生活的年代、在0出現之前的年代，純粹的邏輯是主宰者，宇宙建構在有理數之上，昭彰著上帝的存在，一切皆有跡可循，秩序井然。他們把0與無窮從數字的國度驅逐出去，從而避開了與0有關的一連串惱人悖論。

隨著科學革命的來臨，基於哲學的單純邏輯推理為基於觀察的實證研究所替代。為了解釋宇宙的法則，牛頓不得不將微積分中不合邏輯的部分——由除以0引發的邏輯混亂——暫時擱置一旁。

數學家與物理學家成功克服了微積分中的除以0的難題，將它重新置於合理的邏輯框架之中，於是，量子力學和廣義相對論的方程式中再次出現了0的蹤跡，而0又一次令科學蒙上了無窮的陰影。在充滿0的宇宙中，邏輯潰不成軍，量子理論和相對論土崩瓦解。為了走出困境，科學家再次著手嘗試抹除0，使支配宇宙的兩套法則統一為一個整體。

倘若科學家取得成功，他們就將徹底掌握宇宙的奧秘。我們將通曉從古至今支配萬物（包括時空*邊緣的事物）的物理法則，了解創造大爆炸時宇宙的想法，並*終領會上帝的旨意。然而，這一次，0不會輕易敗下陣來。

將量子力學與廣義相對論相結合的理論描述了黑洞的中心，解釋了大爆炸的奇點，但至今無法用實驗證實其理論的真偽。弦理論與宇宙論的論證在數學層面或許十分嚴密，然而，它們與畢達哥拉斯的哲學理論一樣無用。它們的數學推理看似十分美麗且邏輯自洽，似乎能夠解釋宇宙的本質——但它們也有可能是完全錯誤的。
科學家唯*能夠確定的是，宇宙起源於虛無，也終將歸於虛無。 宇宙始於0，也終於0。