引言
1. 摸索前前20000&mdas前400年
   前20000年伊尚戈骨上刻的是什麼？——遠古人類 
   前20000—前3400年為什麼是數到“10”？——遠古人類
   前2700年為什麼1分鐘有60秒？——蘇美爾人
   前1650年可以化圓為方嗎？——古埃及人、古希臘人
   前1500年埃及分數怎麼表示？——古埃及人 
   前530年何為證明？——畢達哥拉斯
   前400年無限有多大？——古希臘人
2. 問題和解前399&mdas628年
   前300年誰需要邏輯？——歐幾裡得
   前300年質數有多少？——歐幾裡得
   前250年何為π ？——阿基米德
   前240年地球有多大？——埃拉托色尼
   250年代數之父多少歲？——亞歷山大城的丟番圖
   628年何為無？——婆羅摩笈多
3. 兔子與現629—1665年
   820年不用數字能運算嗎？——阿爾－花剌子模
    1202年有多少隻兔子？——斐波那契
    1572年數字都是實數嗎？——拉斐爾·邦貝利
    1614年如何用骨頭做加法？——約翰·奈皮爾
    1615年酒桶有多大？——約翰內斯·開普勒
    1637年何為笛卡兒坐標？——笛卡兒
    1653年何為概率？——布萊士·帕斯卡
    1665年如何計算寸步之速？——艾薩克·牛頓、戈特弗裡德·萊布尼茨
4. 彌合數學中的鴻溝：1666—1796年
    1728年何為歐拉數？——萊昂哈德·歐拉
    1736年你能一次性走完7座橋嗎？——萊昂哈德·歐拉
    1742年偶數能被分成質數嗎？——克裡斯蒂安·哥德巴赫
    1752年如何計算流量？——丹尼爾·伯努利
    1772年浩瀚宇宙，何處停留？——約瑟夫－路易·拉格朗日
    1796年螞蟻知道自己在球上嗎？——卡爾·弗裡德裡希·高斯
5. 救生、邏輯和實驗：1797—1899年
    1807年波如何導致溫室效應？——讓－巴普蒂斯·傅裡葉
    1815年振動如何產生圖案？——瑪麗－索菲·熱爾曼
    1832年何以為解？——埃瓦裡斯特·伽羅瓦
    1837年機器能制表嗎？——查爾斯·巴貝奇、阿達·洛芙萊斯
    1847年何為思維定律？——喬治·布爾
    1856年統計數據如何救死扶傷？——弗洛倫斯·南丁格爾
    1858年幾個側面和幾條邊？——奧古斯特·莫比烏斯、約翰·本尼迪克特·利斯廷
    1881年歸入哪個圓？——約翰·維恩
    1899年為什麼存在混沌繫統？——亨利·龐加萊
6. 在思想和宇宙中：1900—1949年
    1913年猴子多了就能寫出莎士比亞嗎？——埃米爾·博雷爾
    1918年能量始終守恆嗎？——艾米·諾特
    1918年的士數趣味知多少？——斯裡尼瓦瑟·拉馬努金
    1928年取勝的方法？——約翰·馮·諾依曼
    1931年是否完備？——庫爾特·哥德爾
    1948年何為反饋回路？——諾伯特·維納
    1948年傳輸信息的方式？——克勞德·香農
    1949年該不該改變策略？——約翰·納什
7. 現代計算機時代：1950 年至今
    1950 年機器能解決所有問題嗎？——艾倫·圖靈
    1963 年蝴蝶如何引發龍卷風？——愛德華·洛倫茲
    1974 年飛鏢和風箏鋪就了什麼？——羅傑·彭羅斯、莫裡茨·科內利斯·埃舍爾
    1994 年費馬真的證明了嗎？——安德魯·懷爾斯
    2014 年物體如何沿曲面運動？——瑪麗亞姆·米爾扎哈尼
    2018 年何為盾狀稜柱？——佩德羅·戈麥斯·加爾韋茲等
名詞表

數學以其自身模式和精妙之處區別於其他學科。這門學科的發展並不依賴外在的物質世界，比如鉛的重量、天空的藍色、火藥的可燃性……數學上取得的進步往往源於純粹的洞察力和邏輯。直至今日，數學家們在譜寫屬於他們的數學奇跡時也不過是用紙和筆。
實驗表明，烏鴉、大鼠、黑猩猩等許多動物的計數能力都令人驚嘆。這麼看來，要說早期人類也有不掰手指做心算的本事，倒在情理之中。
畢達哥拉斯是早的數學先驅之一前580年，他出生於古希臘的薩摩斯島，後來在意大利南部的克羅托內創辦了一所數學學校。在這所學校裡，他的追隨者們戒食豆子、不許踫白色羽毛，也不許在陽光下撒尿。雖然不是他創造了著名的畢達哥拉斯定理（a^2＋b^2＝c^2），但他證明了這一定理。事實上，他引入了“證明”的概念，這是數學的基本原則之一。在數學這門學科中，證明即一切；反之，科學無法證明任何東西。科學家能夠推翻某一觀點，但永遠無法證明它。
證明是費馬大定理的關鍵所在。在討論畢達哥拉斯定理的那一章1頁邊空白處，法國律師皮埃爾·德·費馬寫道：當整數n大於2時，關於x、y、z 的方程x^n＋y^n＝z^n 沒有正整數解。除此之外，他還寫了一句話：“我發現了一個絕妙的證明方法，不過這面的頁邊實在太窄了，寫不下。”不過，他的這一說法直到1665年他去世後，纔為世人所知。之後長達330年的時間裡，傑出的數學家們苦尋他的證法，卻徒勞無功。直到1994年，安德魯·懷爾斯終於解決了這個難題。但是，懷爾斯的證明足足列了150頁，還使用了在費馬那個時代還未知的數學方法。因此，我們可能永遠都不會知道當時的費馬是否說了真話。
數學常用於解謎。比薩的萊昂納多（以“斐波那契”這個名字為人所知）在《計算之書》（Liber Abaci，1202）中以謎題的形式引入了一串新奇的數列。他讓讀者們想像有一對幼兔，它們長大要一個月的時間，然後再過一個月，就能生下一對小兔子。而它們生下的這對小兔子，長大又要一個月。那麼問題來了：“每個月的月底會有幾對兔子？”答案是1，1，2，3，5，8，13，21，34，…。這個數列可以無限遞推，其中每一項都等於前兩項之和。大自然中，斐波那契數列隨處可見。比方說，花通常有3、5或8片花瓣；松果上的鱗片通常在順時針方向呈現8 條螺旋線，在逆時針方向呈現13條螺旋線。斐波那契纔智過人，他還學會了阿拉伯數字繫統，並將其引入西方世界。
如果沒有這些前輩，緊隨其後的數學拓荒者們就永遠都無法獲得更多發現。沒有斐波那契，牛頓和萊布尼茨就不會發明微積分；沒有微積分，歐拉、高斯、拉格朗日和帕斯卡的許多想法也無法為人所知；沒有這些想法，伽羅瓦、龐加萊、圖靈和米爾扎哈尼等人的研究也將舉步維艱……這樣的例子不勝枚舉。當然，更別提費馬大定理的證明了。
所有這些數學發現，包括斐波那契的兔子和他的數列，都是在前人的研究基礎上不斷向前發展、向外延伸的。正因如此，數學還有著更廣闊的疆域，待人們探索發現。

為什麼1分鐘有60秒？
蘇美爾的六十進制
我們生活在一個十進制的世界中。這個世界到處都是數十、成百、上千、幾百萬的整數。那為什麼那麼多日常生活中的基本單位都能被6整除呢？比如，白天有12 個小時、1 小時有60分鐘、圓周角度數是360°等。這僅僅是有些尷尬的歷史遺留問題，還是說它們背後有更待深入探討的原因？
楔形數字
六十進制， 或者說以60為基數的數字繫統， 起源於四五千年前美索不達米亞的蘇美爾古代文明。蘇美爾的數學也許是當時復雜的數學。盡管其他文明的數學可能同樣發展得不錯，但是大家都知道，蘇美爾人對數學有更專業的追求。他們將數學刻在石頭上，更確切地說是泥板上。
蘇美爾人發明了早的一種書寫繫統。為了記錄語言和數學，他們在潮濕的泥板上用叫作“stylus”的杆子做好楔形的記號，然後在太陽底下將泥板晾干曬硬，上面承載的信息便得以永久保存。形狀使然，人們將這些記號命名為楔形文字（cuneiform）。這個詞來源於拉丁語中的“cuneus”（楔子）一詞。
蘇美爾的數字符號並不復雜，僅由豎劃記號和箭頭記號組合而成。單個豎劃記號表示1，代表一個單位；兩個標記表示2，三個標記表示3，依此類推。不過，單個豎劃記號根據位置不同可以分別表示1、60或3 600。其中的數字，表達起來少不了60的倍數。比如，124這個數字就表示為兩個60的記號加上4個單獨的單位記號。
為什麼是60？
也就是說，蘇美爾的數字繫統和羅馬數字有點兒像，隻不過這個繫統基於六十進制而非十進制。但是為什麼是60呢？長期以來，數學家一直想對這一問題做出理論解釋，但並沒有得到確切的答4世紀，亞歷山大城的塞翁提出這是因為60是能同時被1、2、3、4和5整除的小數字，所以因數的數量化了。但是與60一樣，還有其他數字也有很多因數。
出生於奧地利的美籍科學史學家奧托·紐格鮑爾則認為，六十進制是從蘇美爾的度量衡中發展而來的。以60為基數的話，人們輕易就能將商品等分為兩半、3份、4份和5份。然而，也有人覺得可能恰好相反，不是度量衡影響了數字繫統，而是數字繫統決定了度量繫統。
還有些人認為，一切答案都在星空中。那時的夜空非常晴朗，而且人們晚上也無所事事。蘇美爾人都是狂熱的觀星者，他們在星空中尋找圖案，為個星座取名。他們的日歷也因觀星誕生——星圖每晚都會產生細微的變化，一年後終回到同一位置。
蘇美爾人以這種方式得出一年有365天。19世紀的德國數學家莫裡茨·康托爾決定將其近似計為360，然後除以6（一個圓要分成6份很容易），以此與六十進制相符。這個猜想不無道理。一年如果是360天，就可以輕易分成12個月，每個月30天，同時還可以解釋為什麼我們的圓周角是360度。但這僅僅也是猜測。
也許以60為基數的數字繫統僅僅來源於手指計數。但是有證據表明，美索不達米亞人用手指計數的方法完全不同。你先抬起一隻手，用拇指計算4根手指的3節，從而得到12。每計算一次12，你需要彈動另一隻手的拇指，然後是4根手指，從而得到5倍的12或60。一旦你掌握了這種計數方法，算起數來非常簡便、快捷。
以60為基數的計算優勢
無論這一數字繫統是怎麼來的，60都可以被許多因數整除，這為蘇美爾人研究一些非常復雜的數學問題奠定了基礎。2017年，以戴維·曼斯菲爾德為首的澳大利亞數學家們聲稱，終於破解了“巴比倫人泥板”（普林頓322號泥板）的代碼。這塊已有3 800年歷史的泥板出土於一個世紀前，埃德加·J. 班克斯在伊拉克發現了它。班克斯堪稱現實版的印第安納·瓊斯，他把泥板轉賣給紐約出版商喬治·普林頓。後來，普林頓逝世，泥板被遺贈給了哥倫比亞大學。
這一泥板上有用巴比倫版的楔形文字刻下的復雜數字表。曼斯菲爾德和他的同事聲稱，這不僅是早期的三角函數表，而且比現代的十進制三角函數表更準確，因為以60為基數的數字具有能被整除的性質——60能被3整除，但10不能。以10為基數，我們很容易將1/2、1/4、1/5這樣的分數表示成小數——0.5、0.25和0.2，這並不難；但要把1/3這樣的分數寫成小數，隻能得到無限循環小數0.333 333…，永遠得不到一個精確值。
曼斯菲爾德等人的觀點是否正確還有待商榷。但毋庸置疑的是，他們強調的是以60為基數的計數優勢。現在，我們已經完全習慣了以10為基數的十進制繫統所帶來的便利。十進制中，除以10或乘以10時，我們隻需調整數位即可，而且十進制小數為無限的計算範圍開闢了道路。但是，當面對時間單位的分割，60的整除性質則獨具優勢，以至於其他計數方式來去更迭，六十進制卻一直存在。很少有人會在深思熟慮之後，提出改成10小時為1天、10分鐘為1個小時這樣的建議。畢竟，以60為基數來劃分時間要簡單得多。