序言 貝裡·馬祖爾 / 005 
前言 / 009 
主角簡介 / 011 

第一部分 美好舊時光 
第1節 五千萬人也可能出錯 / 019 
第2節 小心撞到天花板 / 025 
第3節 不要淺嘗輒止 / 035 
第4節 歸納 / 043 
第5節 我們的圖騰柱 / 051 
第6節 圖騰柱（續） / 061 
第7節 抽像 / 071 
第8節 定義你的術語 / 077 
第9節 喜結連理 / 087 
 
第10節 喜得貴子 / 099 
第11節 總結 / 111 

第二部分 奇妙新世界 
第12節 新式教育 / 121 
第13節 常識 / 125 
第14節 自由與放縱 / 135 
第15節 傲慢與偏見 / 147 
第16節 2×2不等於4 / 163 
第17節 抽像——現代風格 / 177 
第18節 第四維度 / 181 
第19節 做好準備 / 195 
第20節 現代之物 / 207 
寓意 / 219

打開這本書，就仿佛來到了一片世外桃源。在這裡，純粹的思想在雨水的衝刷下閃閃發光，如向日葵一般，迫不及待地展示初綻的花瓣。這些思想令人賞心悅目，且大有用處，蘊藏著無限的可能。李伯夫婦纔華橫溢，寫就了一本真正適合所有人閱讀的書，書中闡釋了一些有價值的觀點，展現了數學真正的本質。另外，本書編寫風格獨具特色，無論是電車上的乘客還是散兵坑裡的士兵都手不釋卷 ；而且篇幅短小精煉，早期是為美國大兵設計的平裝版a，甚至可以塞進軍需配給包中。 
與李伯夫婦的邂逅令我激動不已，因為他們筆下的數學異彩紛呈。他們提出的一些問題令人大開眼界 ：比如在第3節，他們假設給赤道套上鋼圈，再稍稍松開。這些問題有一種不可思議的效果，無形之中，會讓你、我，還有迷思先生用定量的方式深入思考。在第9節，我們會看到代數和幾何學的“喜結連理”；在第13節，他們不動聲色地講述了一個看似合理、實則錯誤的歐幾裡得幾何b證明，為了增強說服力，他們還利用了圖形中一個巧妙的錯誤假設，在闡明那個誤導性的圖形後，其寓意顯而易見 ；在第10節，他們講解了一點微積分的知識，在我看來，正是微積分能夠讓你領略數學的不同凡響 ；在第15節《傲慢與偏見》中，我們感受到了有限幾何的風采，其中幾何公理模型的概念清晰易懂，無需多做解釋，你隻要看看就能學會這些更抽像的概念 ；在第16節，有限算術也是如此闡明的；在第18節，他們詳細解釋了第四維度和相對性。所有這些闡述都各有寓意，發人深省。本書寫於1942年，反映了那個時代的殘酷和兇險，書中傳達的堅定信念——“思想能創造美好的未來”使其熠熠生輝。 
美國大兵版本上寫著“軍隊海外版”，隻有12.5釐米×18釐米那麼大（成年男子巴掌大小）。戰時圖書委員會a能夠為士兵們提供這本具有教育意義的書實屬幸事！打開本書，士兵們就會看到這本書的主人公——迷思先生，戴著一頂雙曲面的帽子，絲毫不顧那個時代的險峻，興高采烈地在數學殿堂中思考徜徉。 
你會發現這本小書非常有趣，不過，有時也有點令人惱火。 
打開它，我仿佛回到了12歲。作者就像慈祥年邁的叔叔嬸嬸，他們把我放在高腳椅上，並遞給我一大杯巧克力牛奶和一大塊自制餅干，然後向我展示豐富多彩的課程（關於生活、數學和世界等）， 每堂課都有其特別的寓意。 
這本書尺寸雖小，卻令人十分興奮，更與大版本的現代微積分教材形成了鮮明對比（人們甚至不禁要問，為什麼每天攜帶這些笨重教材的學生沒有獲得額外的體育學分？）。無論是出於懶惰還是反叛，青少年時期的我就對那些精簡的小書情有獨鐘，因為它們直奔主題，絕不連篇累牘。在這一點上，我與傳說中的懷疑論者頗為相像。這位懷疑論者去找拉比b·希勒爾，讓這位聖人僅在他單腳站立時間裡傳授他《律法書》中所有的內容，而熱心的拉比僅回復了一句話a。因此，我愛上李伯夫婦的書也不足為奇了。本書以輕松靈活的方式展現了數學敏感性的本質，你真正需要知道的也盡在其中。
貝裡·馬祖爾
哈弗大學校聘教授

小心撞到天花板

我們再試試另一個問題，
這一次多思考一下 ：
假設你有一張餐巾紙，
厚度大約為0.1毫米。
在上面再放一張相同的餐巾紙，
兩張紙的厚度是0.1 × 2 = 0.2，
即0.2毫米。
然後在上面再放兩張餐巾紙，
這樣總共是4張，厚度就是0.1× 4 = 0.4，
即0.4毫米。
不斷重復這個步驟，
每次將餐巾紙的數量增加一倍，
即 ：
第一次有1張餐巾紙，
第二次2張，
第三次4張，
第四次8張，
第五次16張，
以此類推。
按照之前所說，
每次都將餐巾紙數量加倍，
並重復這一步驟32次。
那麼問題來了 ：
這摞餐巾紙有多高？
你覺得它有30釐米高嗎？
還是和普通房間一樣高？
即從地板到天花板的高度，
或者和紐約帝國大廈一樣高？
還是有其他答案？
以上答案可能都不正確。
你是怎麼想的？
請在翻頁之前作出決定。
我們來繪制一張表格，
以便清晰地展示這一過程 ：
可以看到，
這堆餐巾紙最後的厚度為
214748364.8毫米。
我要把這個數字除以1000，
換算成米，即214748.36米 ；
還可以換算成千米，也就是將近215千米，
餐巾紙數量 厚度（毫米）
第1次 1 0.1
第2次 2 0.2
第3次 4 0.4
第4次 8 0.8
第5次 16 1.6
第6次 32 3.2
第7次 64 6.4
第8次 128 12.8
第9次 256 25.6
第10次 512 51.2
第11次 1024 102.4
第12次 2048 204.8
第13次 4096 409.6
第14次 8192 819.2
第15次 16384 1638.4
第16次 32768 3276.8
第17次 65536 6553.6
第18次 131072 13107.2
第19次 262144 26214.4
第20次 524288 52428.8
第21次 1048576 104857.6
第22次 2097152 209715.2
第23次 4194304 419430.4
第24次 8388608 838860.8
第25次 16777216 1677721.6
第26次 33554432 3355443.2
第27次 67108864 6710886.4
第28次 134217728 13421772.8
第29次 268435456 26843545.6
第30次 536870912 53687091.2
第31次 1073741824 107374182.4
第32次 2147483648 214748364.8
這個高度，
相當於24個珠穆朗瑪峰！
你又一次感到驚訝了嗎？
你是憑直覺回答的嗎？
還是親自動手一張張摞起來的？
又或是像我一樣計算的？
下面我們來談談這幾種方式 ：
關於直覺，我想說明兩點 ：
（1）我們的直覺有一些是正確的，
有一些是錯誤的。
區分對錯的唯一方法，
就是跟著直覺走，
並加以檢驗。
（2）科學家和數學家也有直覺，
他們一些最好的想法都源於直覺，
但是隻有經過反復檢驗，
這些直覺纔能成為令人尊敬的科學和數學。
迷思先生和科學家之間的本質區別
就在於此 ：
迷思先生認為，
如果他的直覺偶爾準確，
那麼就可以一直依賴直覺。
但事實上，
每個人的直覺都必須經過反復檢驗！
至於實驗，
人們通常認為實驗非常“切實可行”：
“如果進行實驗，你一定會得到正確答案。”
這話確實不假，
但是顯然，
對於這個特殊問題，
把餐巾紙摞到214748米高不切實際！
如果你真的這麼做了，一定會撞到天花板！
總之，
在分析完問題之前，
不要斷定某個方法“切實可行”。
最後，正如我們所見，
“計算”是目前為止最好的方法。
所以不要說
“數學不切實際，隻有親自動手纔可靠。”
因為這有時是對的，
有時則不然！
如果你認為計算很乏味，
我們則要聲明 ：
（1）數學至少不像摞餐巾紙那麼無聊乏味！
（2）還有一個更簡便的計算方法。
不過，你需要多了解一些關於“對數”的知識。
在這裡我們不講解對數，
因為在任何一本代數書中，
你都可以找到詳細的解釋。
隻要稍微學習一下，
你便可以掌握一種應用廣泛的計算方法。
請記住，
無論開車、遊泳還是做任何事情，
都要有所付出。
但是，
隻要成果很值得，
為什麼要因為多付出一些而抱怨呢？
畢竟，
生命不息，
奮鬥不止！
寓意 ：快醒醒，
認真生活！
跟著直覺走，
並加以檢驗！