了得網科普讀物_從0到無窮，數學如何改變了世界

編輯推薦

1.《從0到無窮》，作者是英國的中學數學老師，懂得用*生動*簡潔的方式講述數學發展中的偉大人物和偉大事件，而且其中的大多數內容是教科書中很少提及的。

2.圖文並茂的形式可以讓我們更直觀地看到這些數學故事。

3.本書講述了“從0到無窮”，26個世紀以來數學是怎樣一步步一天天地改變我們這個世界和我們的生活的。

4.《從0到無窮》是一部完整的數學史，一本書講完了你應該知道的數學史上發生的大事件大發現。

內容簡介

本書講述了史前時期到我們所在的電子時代的數學歷史。不同於枯燥的數字、符號和公式，這是一本關於人與文化，信念與目標，希望和夢想的關繫的探索歷程，從畢達哥拉斯定理到大型強子對撞機，26個世紀以來的數學領域湧現了許許多多關鍵人物、著名理論和優美邏輯，本書向你展示這些歷史上的數學大發現與大發展如何改變了我們看世界的方法。本書涉及了以下有趣的數學問題，當然這隻是其中的幾個問題：
古人怎樣數綿羊：早期的牧羊人，用一塊卵石代表一隻綿羊，每數一隻綿羊，拿走一塊卵石，後袋子裡剩下的幾塊卵石，就代表有幾隻綿羊走失了。
瑪雅人的日歷為什麼隻到2012年：二十進制法，瑪雅日歷，世界末日說法。
柏拉圖是哲學家也是數學家：柏拉圖立方體，黃金比例，等等。
丟番圖年紀之謎：他1/6的年齡為童年，1/2的生命為青年……他兒子在他年紀的一半時離開人世，他又用了4年的時間研究代數，隨後生命終止。你能算出他去世時的年齡嗎？
柯尼斯堡七橋問題：七座橋在不同的地點連接島嶼的兩岸，怎樣纔能把每座橋都走一遍，而同一座橋不會走兩次。
完美公式：一條熠熠生輝的等式：eiπ+1=0它在數學上的美體現在它用到了五個數學上重要的數——e、i、π、1、0。本書講述了史前時期到我們所在的電子時代的數學歷史。不同於枯燥的數字、符號和公式，這是一本關於人與文化，信念與目標，希望和夢想的關繫的探索歷程，從畢達哥拉斯定理到大型強子對撞機，26個世紀以來的數學領域湧現了許許多多關鍵人物、著名理論和優美邏輯，本書向你展示這些歷史上的數學大發現與大發展如何改變了我們看世界的方法。本書涉及了以下有趣的數學問題，當然這隻是其中的幾個問題：

古人怎樣數綿羊：早期的牧羊人，用一塊卵石代表一隻綿羊，每數一隻綿羊，拿走一塊卵石，後袋子裡剩下的幾塊卵石，就代表有幾隻綿羊走失了。

瑪雅人的日歷為什麼隻到2012年：二十進制法，瑪雅日歷，世界末日說法。

柏拉圖是哲學家也是數學家：柏拉圖立方體，黃金比例，等等。

丟番圖年紀之謎：他1/6的年齡為童年，1/2的生命為青年……他兒子在他年紀的一半時離開人世，他又用了4年的時間研究代數，隨後生命終止。你能算出他去世時的年齡嗎？

柯尼斯堡七橋問題：七座橋在不同的地點連接島嶼的兩岸，怎樣纔能把每座橋都走一遍，而同一座橋不會走兩次。

完美公式：一條熠熠生輝的等式：eiπ+1=0它在數學上的美體現在它用到了五個數學上重要的數——e、i、π、1、0。

因同性戀而屈辱自殺的圖靈：他破譯了恩尼格瑪密碼機，他發明了智能機器“圖靈機”，他是現代計算機理論之父，他以一隻毒蘋果結束自己41歲的生命。

Google名字的由來：當美國數學家愛德華?卡斯納要為一個大數創造一個新的單詞時，他的小外甥向他提議google這個詞，表示1後面緊接著100個0，後來又演化為，表示不需要達到無窮就可以擁有這麼大的數。

作者簡介

克裡斯·韋林（Chris Waring）：英國中學數學老師，曾出版《我應該知道的數學知識》（I Uused toKnow That:Maths）。他的作品生動簡潔，由淺入深，深受讀者喜愛。本書是他的又一部廣受歡迎的作品，揭示了數學背後那些鮮為人知的故事。

前言

史前的數學

早期文明的數學

古希臘的數學

羅馬的數學

東方的數學

中世紀時期的歐洲

文藝復興之後

數字時代

現代數學

數學的未來

參考文獻

索引

在線試讀

前言
世間萬物都離不開數學。這一學科內涵豐富，延伸出多個分支。因此，任何的事情，從宇宙大爆炸到如何增加自己在遊戲節目中獲勝的概率，我們都可以利用它來解析。數學在日常生活中也發揮著不可或缺的作用。你可能正在從事一份技術性的工作，而工作期間你需要經常進行大量復雜的數字運算，又或許僅當你要記賬或者比較網上的特價優惠時纔需要進行算術運算。
從小時候開始我們就被反復灌輸數學知識。大概到了十六歲的時候，你很可能已經接受過一定程度的數學教育。你會學習過算術——怎樣去進行數字運算；幾何，它能幫助我們理解形狀和空間；還有代數，憑此我們不需要反復試驗就能夠解決問題。
越來越多的人因學習數學而取得學位，或者取得更高的成就，而你也許會成為當中的一員。在這種情況下，你會熟悉微積分、復數、力學、統計學、決策數學或者種種可能存在的數學領域。
無論你目前達到哪種數學水平，你也不太可能聽說過很多數學背後的故事。誰決定我們采用十進制的呢？為什麼一個圓周是360度呢？又是誰發明了代數呢？數學的每一方面，從我們采用的數字到當代數學家用來處理未解大難題的方法，都是幾千年來人類努力的成果，而人類的這番努力在全世界的數學課堂以及數學課本上都很少被提及。
我們這本書從早期的人類文明開始一直介紹到現代，講述了引人入勝的數學史。這是一部人類及其文明、信仰和目標的編年史。為什麼瑪雅人的歷法到2012年便結束了呢？為什麼歷史上沒有出現過哪位顯著的羅馬數學家卻有那麼多古希臘的數學家呢？從什麼時候開始科學家利用數學去開發理論呢？
我希望你會覺得接下來的故事有趣、動人，具娛樂性。我也希望這本書會令你對數學以及那些促進數學發展為如今這樣一門奇妙的學科的人產生新的敬意。
阿蘭圖靈
（1912—1954年）
圖靈是英國卓越的數學家和科學家。廣為人知的是，在第二次世界大戰期間，他幫助盟軍破譯了納粹的密碼機恩尼格瑪。
有內存的機器
在次世界大戰之前，圖靈是劍橋的一名數學研究員。他從事於判定問題的研究。判定問題是大衛?希爾伯特（見書217頁）所提出的一個挑戰，說的是能否把一個數學問題轉變成一個算法，該算法可以產生一個“為真”或者“為假”的答案，而答案是無需證明的。通過引入理想化計算機圖靈機的概念，圖靈表明那是不可能的。前言

世間萬物都離不開數學。這一學科內涵豐富，延伸出多個分支。因此，任何的事情，從宇宙大爆炸到如何增加自己在遊戲節目中獲勝的概率，我們都可以利用它來解析。數學在日常生活中也發揮著不可或缺的作用。你可能正在從事一份技術性的工作，而工作期間你需要經常進行大量復雜的數字運算，又或許僅當你要記賬或者比較網上的特價優惠時纔需要進行算術運算。

從小時候開始我們就被反復灌輸數學知識。大概到了十六歲的時候，你很可能已經接受過一定程度的數學教育。你會學習過算術——怎樣去進行數字運算；幾何，它能幫助我們理解形狀和空間；還有代數，憑此我們不需要反復試驗就能夠解決問題。

越來越多的人因學習數學而取得學位，或者取得更高的成就，而你也許會成為當中的一員。在這種情況下，你會熟悉微積分、復數、力學、統計學、決策數學或者種種可能存在的數學領域。

無論你目前達到哪種數學水平，你也不太可能聽說過很多數學背後的故事。誰決定我們采用十進制的呢？為什麼一個圓周是360度呢？又是誰發明了代數呢？數學的每一方面，從我們采用的數字到當代數學家用來處理未解大難題的方法，都是幾千年來人類努力的成果，而人類的這番努力在全世界的數學課堂以及數學課本上都很少被提及。

我們這本書從早期的人類文明開始一直介紹到現代，講述了引人入勝的數學史。這是一部人類及其文明、信仰和目標的編年史。為什麼瑪雅人的歷法到2012年便結束了呢？為什麼歷史上沒有出現過哪位顯著的羅馬數學家卻有那麼多古希臘的數學家呢？從什麼時候開始科學家利用數學去開發理論呢？

我希望你會覺得接下來的故事有趣、動人，具娛樂性。我也希望這本書會令你對數學以及那些促進數學發展為如今這樣一門奇妙的學科的人產生新的敬意。

阿蘭圖靈

（1912—1954年）

圖靈是英國卓越的數學家和科學家。廣為人知的是，在第二次世界大戰期間，他幫助盟軍破譯了納粹的密碼機恩尼格瑪。

有內存的機器

在次世界大戰之前，圖靈是劍橋的一名數學研究員。他從事於判定問題的研究。判定問題是大衛?希爾伯特（見書217頁）所提出的一個挑戰，說的是能否把一個數學問題轉變成一個算法，該算法可以產生一個“為真”或者“為假”的答案，而答案是無需證明的。通過引入理想化計算機圖靈機的概念，圖靈表明那是不可能的。

圖靈機是一臺擁有無限內存可以填塞無限多數據的計算機。機器可以根據一個簡單的數學規則對數據進行修改。圖靈指出，對於判定問題，究竟圖靈機可以求出一個答案還是隻會永恆地運作下去，都是不可知的。

還處在理論層面的圖靈機對建立計算機科學意義重大。圖靈在計算方面的研究讓他得以在美國的普林斯頓大學繼續深造，在那裡他取得了數學博士學位。圖靈利用布爾邏輯（見書167頁）制造了其中一部早期的電子計算機，這是面向現代計算機的重要進展。

破解密碼

圖靈是密碼學校中的一員。密碼學校成立於二戰期間，位於英國米爾頓凱恩斯的布萊切利公園，圖靈在那裡著手於恩尼格瑪密碼機的破譯工作。圖靈設計出一臺稱為邦貝的機電機，用這臺機器枚舉恩尼格瑪密碼設定的速度比密碼專家用人工的方法去做要快很多。邦貝依賴於這樣一個事實，恩尼格瑪不會把一個字母加密成它本身——如果你把字母“q”輸進恩尼格瑪，機器不會輸出“q”。邦貝會窮舉所有的設定，當輸出的字母與輸入的字母相同時，這種設定就要被排除，進而模擬下一種設定。第二個竅門就是作試探：憑經驗猜測，比如，猜想被截信息的個單詞可能是什麼。

圖靈和其他人在布萊切利公園所做的工作對於盟軍有重大意義，無疑地，也縮短了戰爭。然而，這些工作是高度機密，也因此沒什麼人了解圖靈做出的努力。

人類對機器

戰後，圖靈繼續自己在電子計算機方面的工作，著手研究人工智能——一臺足夠強大足夠快的計算機能否擁有智能。在研究中，圖靈設計出圖靈測試。測試規定，如果一個人類與計算機交流時沒有察覺出對方不是一個人類，那麼計算機就被認為是擁有智能。圖靈在計算機方面的研究為我們現在享受（也被視為理所當然）的數字革命奠定了基礎。例如，我用來寫書的這臺計算機，也是起源於圖靈機。

進入混沌

1952年，圖靈從事生物學方面的研究。在生物體中，有一個時期，細胞會從相互之間非常相似變到相互之間非常不同。比如，在胚胎發育時期，一組相同的干細跑會發育成身體各種器官細胞。圖靈表示，這個稱為形態發生的時期，隻是有著簡單的數學基礎，盡管如此，細胞還是能夠發育成復雜的動物。這個想法領先那個時代太多了，人們的思維也跟不上，圖靈在這方面的研究全都白費了。然而，在圖靈去世很多年以後，他在形態發生方面所做的工作被認為是初露了混沌數學的端倪。

不幸的是，1952年，圖靈因為同性戀行為被判嚴重猥褻罪。在那時候，同性戀是不合法的。在服刑與注射雌激素之間，圖靈選擇了後者。注射所帶來的可怕副作用使圖靈非常沮喪，在1954年，他因氰化物中毒而死。在41歲時，圖靈，現代計算理論的奠基者，無名的戰爭英雄，去世了，而他很可能是自殺而死的。我們隻能沉思，要是他沒有以這種悲劇的方式過早離世，他還能為人類帶來什麼新的發現。

圖論問題

計算機沒有立即被數學家們采用，因為很多批評者認為求解問題時需要規範地寫上一段優雅的證明，而不是僅僅通過數字搗弄來得出結果。其中一個先在計算機的幫助下證明的猜想叫做四色定理。

在19世紀，南非數學家弗朗西斯格思裡（1831—1899年）繪制英格蘭的地圖時發現，可以用四種顏色為地圖著色，而每一個郡的顏色都由相鄰郡的顏色決定。格思裡把這定為四色猜想，更正式地說，就是在一個二維的平面地圖上，相互接壤的地區不能著上同一種顏色，多隻需要四種顏色就能把地圖著完色。需要注意的是，相交於一點的地區不算是接壤，因此它們可以著上同一種顏色。並且，地圖上的每一個國家都是獨立的，所以它們可以著上任何規定的顏色（不像俄羅斯境內老柯尼斯堡的所在地）。

π的一部分

每一個學童都知道，π是一個特殊的數，是由圓周（圓的周長）除以圓的直徑（通過圓心連接圓上兩點的距離）而得到的。因為所有圓在數學上都是相似的（大小成比例），無論圓大小如何，你總能得到相同的π值。

數學家一直對π感到著迷。它是一個無理數（見書43頁），而數學上它也是一個非常有用的常數，它不僅在有關圓的問題上出現，而且還出現在幾何和微積分的問題上。縱觀整個數學史，我們看到人們嘗試算出π，嘗試提高它的精度（見183頁方框部分）。我的計算器顯示：

π = 3.141592654

自從機械計算機和電子計算機出現後，快速精確地進行必要運算的能力已經成倍地提升。在1980年代，來自美國的楚德諾夫斯基兄弟用自制的超級計算機首先把π精確到小數點後十億位。目前的記錄是由日本數學家金田康正創下的，他在2010年把π精確到小數點後2.7萬億位（2 700 000 000 000）。

計算π

多個世紀以來，π是這樣計算出來的：

前1900年，希臘數學家計算出的值是256/81=3.1605。

古巴比倫人算出一個更接近的值25/8=3.125。

從《聖經》中我們可以推出一個約等於3的值。

我們看到阿基米德把π的值定在3.1408和3.1429之間，他也給出一個經常被學校采用的近似值22/7。

15世紀中國的祖衝之算出355/113=3.1415929。

1400年印度數學家摩陀婆算出3.1415926539。

1706年英格蘭天文學教授約翰馬契把π精確到小數點後100位。

瑞士數學家約翰朗伯在1768年證明了π是無理數。

進入未知

混沌理論是數學的一個分支，探討的是不可預知的行為。雖然在計算機出現後這個領域纔真正出現，但在牛頓的年代混沌方程就首次被人注意到了。

牛頓工作的主要目標之一就是要創造一個可以解析天體運動的繫統。如我們所知，行星幾乎按照近乎圓形的軌道圍繞太陽轉動。然而，宇航員注意到，行星的軌道偶爾有輕微的擺動，而擺動明顯是隨機的。

萊昂哈德歐拉（見書142頁）想出一個稱為三體問題的概念，試圖預測月球那有點不規則的軌道。這種不規則產生的原因是月球的軌道同時受到地球和太陽引力的影響。月亮位於繞地球軌道的不同位置時太陽對其施加的作用力是不同的，也因此月球的軌道存在波動。歐拉得出一條控制方程，該方程表明以第三個星體（月亮）為參照時，某兩個星體（地球和太陽）存在著固定的關繫。法國數學家亨利龐加萊（1854—1912年）試圖擴充這條方程，使它適用於更一般的情況，以便能把它引用到整個太陽繫。他沒有成功，但他能夠指出，軌道永遠是不規則的。

天體運動並非一個科學家觀察到的不規則現像。湍流中的數學原理長期以來都困擾著數學家。當氣體或者液體流動時，在某些情況下，質點的運動可以用數學來解析——當液體的流動速度是相對較小時。然而，隨著速度增加，質點的運動，尤其是在障礙物附近的運動，是不可預測的。這個湍流相當沒秩序。對氣體和液體運動的研究稱為流體力學，而在很多場合中，包括運輸，發電，甚至是理解人體的血液流動，流體力學都對人類非常重要。

天氣可能是湍流在地球上顯著的例子。在1960年代，美國的氣像學家愛德華羅倫茲（1917—2008年）利用計算機為空氣的運動建模，他注意到，當他非常輕微地改變仿真的初始條件時，隨著時間的推移，由仿真所預報的天氣會有很大的不同。這讓羅倫茲發現了“蝴蝶效應”：這個概念表示，在氣流模型中的微小變化，就像蝴蝶拍動翅膀所帶來的變化，可能會導致世界的某個地方出現颶風。

初始條件是敏感的，它會導致不可預測的、無序的行為。即使我們可以完全理解當中質點的運動，我們也未能在它們速度、質量或者溫度的測量中得到足夠的細節去預測一個長期的結果。

這也可以運用到圖靈對形態發生的觀察——盡管斑馬身上條帶的形成是由簡單的數學和化學規則掌控，是不可估量的，但那些規則之於每隻斑馬的小小差異就會導致它們條帶的巨大差異。

天氣預報

天氣是無序的——我們永遠不可能提前幾天就準確把它預報出來，要是那樣，我們預報的結果也與實際相差甚遠。1987年英國的暴風雨刮起了幾百年來糟糕的狂風，而這從未被預測到。

計算機成為研究混沌數學的關鍵，因為它讓你能夠對某種情況建模並且讓模型運轉，並在每一個時期記錄許多變量。沒有計算機的幫助，每一步的迭代都要耗費難以想像的時間。計算機有利於交互式過程，這為我們將要看到的數學分支帶來幫助：分形學。

顯微鏡下

盡管“分形”這個詞要到1975年纔出現，但幾百年來，數學家都已經對此著迷。分形就是一種有自我相似性的幾何圖形：無論你以何種尺度觀測圖像，你都能看到同樣的特征。

海岸線就是分形的一個好例子。想像一下你有一張海岸線的衛星照片。沒有任何像建築物、樹或者船之類的線索，你發現很難判斷自己是在看離海岸1000英裡的地方還是離陸地10英裡的地方。這是因為那些特征——河流入口，岬角，海灣等——以不同的尺度來看都很相似。上述情況也適用於許多自然景觀的特征。在月球上的宇航員發現很難測量卵石的尺寸——沒有大氣籠罩，他們不能判定自己是在100米以外觀察一個像車那麼大的卵石還是在500米以外觀察一個更大的卵石。

日常的分形學

很多的樹和植物都有一個分支的、類似分形的結構。尤其是蕨類植物——植物的葉子看起來與其復葉的縮小版很相似。

我們今天在遊戲和電影中看到的CGI（計算機生成圖像）經常都是利用分形算法去構造風景、植物葉子、雲朵，甚至皮膚和毛發，以使它們看起來真實。

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