治學方法

談談個人學習數學的一點經驗和看法

Euler的方法、精神與風格

漫談學數學

直覺與聯想對學習和研究數學的作用

略論科學計算在理論研究中的作用

數學家是怎樣思考和解決問題的

談自學成纔

數學研究中的創造性思維規律

數學研究與左右腦思維的配合

數學研究的藝術

數學文化教養對人生的作用

數學教育

數學直覺的意義及作用——論培養數學直覺應是數學教育的重要內容

數學方法論與數學教學改革

關於數學創造規律的斷想及對教改方向的建議

數學哲學、數學史與數學教育的結合——數學教育改革的一個重要方向

現代數學教育工作者值得重視的幾個概念

算法化原則與數學教育

談談我的一些數學治學經驗

西南聯大數學名師的“治學經驗之談”及啟示

談談“一流博士從何而來”的問題

大學應重視“精神性存在”的作用和價值

追憶我的大學老師華羅庚先生

編後記

這是一套由4卷組成的、重新出版的文集，文集采用了一個較簡短的統一書名——徐利治數學科學選講。詳名是“數學科學與哲學及其相關專題選講”。

“人處盛世，老不言老。”但我還是樂意表白：在我現今97歲高齡時，精神尚未覺老；得知大連理工大學出版社將再版我在2008年前後出版的4部著作，我很是高興並感謝。寫此序言希望能起到一點導讀作用。

原來4部著作分別是《徐利治談數學方法論》《徐利治談數學哲學》《徐利治談治學方法與數學教育》以及《論無限——無限的數學與哲學》。前3部都是文集，包括一部分是往年和富有纔識的年輕作者（還有當年的弟子）合作發表的文章。許多篇文章中表述了我們自己的研究心得、觀點和見解，也提出了一些尚未解決的問題。特別是在《論無限——無限的數學與哲學》一書中，更有一些值得繼續深思和研究的疑難問題。

考慮到書中的某些問題並無時間性限制，對它們的繼續探討和研究，會對數學方法論與數理哲學的發展起促進作用，也會對數學教育與教學法的革新有啟示作用，所以在我有生之年有機會再版上述著作，真是深感慶幸和欣慰。

再版的4卷書中，對原著增加了6篇文獻，且對原來的文章順序安排做了局部調整。但原著前3卷內容仍保持原貌，對第4卷4.10節與5.4節中的幾處做了修正和改述。

卷1論述數學方法論。值得一提的是，“數學方法論”（methodology of mathematics）這一學科分支名稱及其含義，早出現於我在20世紀80年代初出版的兩本專著中。從此國內數學教育界開展方法論研究的人士與年俱增。2000年起國際大型數學信息刊物 Math.Reviews（《數學評論》）已開始將“數學方法論”條目編入數學主題（科目）分類表中（分類號為OOA35）。這表明國際上已確認這一起源於中國的新興分支科目了。

美國已故的數學方法論大師喬治·波利亞（G.Pólya）提出的“似真推理法”，無疑是對數學解題和數學研究都極為有用的思想方法。我們對方法論做出了兩項貢獻，一是“關繫—映射—反演方法（簡稱RMI方法）”，二是“數學抽像度分析法”。國內已有多項著作揭示了這兩項方法論成果在數學教育與教學方法方面的應用。

凡是利用n次RMI程序可求解的問題，即稱該問題的復雜度為n，而求解程序為（RMI）ⁿ，n為程序階數。顯然這些概念刻畫了問題與解法的難易程度與技藝水平，所以對某些類數學教材內容與教法的設計安排都有啟示作用。數學抽像度分析法中，有一個極有用的概念，稱為&ldqu指標”，可用以刻畫數學概念、命題、定理及法則的“基本性、深刻性與重要性”程度。我們希望對此感興趣的讀者，特別是重視數學概念教學的教師們能做出更多深入而有助於教改的研究。

卷2、卷3中的多篇文章，估計哲學愛好者更感興趣，關注數學思想發展史的教師們也會有興趣。可以看出，有些文章明顯地體現了“科學反映論”觀點，相信對協助讀者們（尤其是年輕學子們）如何較客觀地、公正地分析評論歷史上諸數學流派的觀點分歧根源與爭論實質是有幫助的。特別希望某些文章對讀者中的年輕教學工作者及早形成科學的“數學觀”能起促進作用。

卷4論無限：這其中的有些基本問題，特別是連續統的雙相結構問題，曾使作者從年輕時代一直思考到老年。30歲前後曾花費不少時間去思考Cantor的“連續統假設”論證難題。經過多次無效的努力之後，纔初步覺醒，在直觀上意識到並開始確信：由特定形式的延伸原則與窮竭原則（概括原則）確定的超窮基數序列中的Aleph數（如 Aleph-1），要求同算術連續統（又名點積性連續統）的基數等價對應起來，是找不到邏輯演繹依據的。事實上，幾經考察和試算，發現“連續統基數”無法被表述成前述相似形式的由延伸到窮竭的過程。這樣，我們便由“超窮過程論”觀點猜想到Cantor連續統假設在“素樸集合論”框架內的“不可確定性”。後來，到了20世紀60年代，我們很高興地得知美國青年數學家P.Cohen在“公理化集合論”框架內，創用“力迫法”（forcing method）成功地（通過建模法）證明了連續統假設的不確定性。這符合我們的一種直覺信念。當然，Cohen解決的問題已不是Cantor集合論中的原來問題。

在卷4中我們還給出了非標準分析（NSA）方法的兩個應用，一是構造出一個非Cantor型自然數模型，可用以精細地解釋恩格斯（F.Engels）關於“無限性悖論”的論述內容及意義；二是構造出一個“廣義的互反公式”，它既包括了離散數學中的Mbius反演公式及其擴充，又包括了分析數學中的Newton-Leibniz微積分基本定理，作為其直接推論。但如何把NSA方法改造成數學教育中易學好用的工具問題，迄今尚未很好解決。

我們相信，數學基礎問題研究者中的直覺主義學派，關於連續統本質問題的觀點是很有道理的。由相異實數（坐標點）構成的Cantor-Dedekind連續統（即“點組成連續統”）是舍棄了“連續性”本質，隻保留了“點積性”特征的單相性概念抽像物，纔會出現Zeno關於運動的悖論，以及點集論中的Banach-Tarski分球悖論等怪論。直覺主義派早就認識到“點組成連續統”並非真正連續統，因為一切相異實數點是互不接觸的。

事實上，Hegel在分析Zeno悖論時，早就指出連續統是“連續性”與“點積性”兩個基本特征的“對立統一體”。（注意，時間連續統與運動連續統都是連續統概念的原型。）所以，隻抓住一個特征（例如，“點積性”）而認為它是連續統的“本質”，這就是產生悖論的根源。由於一義性的“概念”（例如，數學概念或具有邏輯推導性的理念）不可能表述具有雙相性結構的連續統，所以Hegel早就認識到連續統是一種“存在”（being）而非一種“概念”。這就是為什麼現代數理邏輯家都認為“連續統是什麼”還是個邏輯上尚未解決的問題。這也就是加拿大數學家塔西奇（V.Tasic）在他2001年出版的《後現代思想的數學根源》（蔡仲，戴建平，譯.復旦大學出版社，2005）的著作中，為什麼要把“連續統”說成是後現代思想中的“隱蔽主題”。有趣的是，他還引述了法國現代哲學家德裡達（J.Derrida）為了想表述連續統的“雙相性”，甚至發明了一個新的單詞“延異”（differance）。可惜塔西奇的長篇大論中未能注意到Hegel早在19世紀就已做出了對連續統雙相性結構本質的深刻分析，他的書中一字未提Hegel。

正是因為受到了Hegel關於悖論的哲學分析、Poincaré內束思想，以及Robinson單子模型結構等思想的啟發，纔使我們提出建立“Poincaré連續統”的設想。為此我們做出了兩個描述性的結構模型。按照某種形式推理，揭示出標準實數點集與*R中的單子集合都不能產生直線連續統的測度（真正長度）。線測度必須通過“單子間距”（做成Poincaré內束成分）的積累而產生，由此我們發現了比Robinson單子（無限小）大得多的“Poincaré線量子”（半無限小）的概念。還由此得出了一個合理的猜想：應該可以充分利用Poincaré線量子概念來構造一種平行於Robinson的非標準微積分。

由於Poincaré連續統加入了“內束結構”（用到“單子距”概念），因而與單相性的“點積性連續統”概念相區別，所以纔能真正體現出直線連續統的長度概念。自然，這更切近物質世界的客觀真理。但要由此構建出一套符合模型論條件的數學模式並使之成為易於操作的數學工具，還須做進一步的分析研究，特別需要精心挑選正確而合用的數學新公理。

這4卷文集中，題材內容述及一繫列近現代的數學思想、哲學觀點以及數學建模等問題，希望感興趣的讀者和樂於從事研究者，能由此做出更深入的研究、發展，並取得有意義的美好成果。